bai tap ham so 12 bai tap ham so

Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn ⧫ Bài 1: QUAN HỆ GIỮA ĐẠO HÀM VÀ SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ Tính đơn điệu hàm số: a Định nghĩa: + Hàm số f (x) gọi đồng biến D x1 , x2  D, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) + Hàm số f (x) gọi nghịch biến D x1 , x2  D, x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) b Định lý: + Hàm số y  f ( x) đồng biến khoảng (a;b)  y '  0, x  (a; b) + Hàm số y  f ( x) nghịch biến khoảng (a;b)  y '  0, x  (a; b) Cực trị hàm số: + Hàm số y  f ( x) đạt cực trị x0 y '( x0 )  + Hàm số y  f ( x) đạt cực đại x0 đạo hàm y ' đổi dấu từ + sang – qua x0 + Hàm số y  f ( x) đạt cực tiểu x0 đạo hàm y ' đổi dấu từ – sang + qua x0 y f(x1) f(x2) a x1 x2 b xi   xi xi   xj  xj  c xj xj xj  d x xj   Định lý Giả sử hàm số f(x) có đạo hàm cấp khoảng (a; b) chứa điểm x0, f ’(x0) = f(x) có đạo hàm cấp hai khác điểm x0 ’’ + Nếu f (x0) < hàm số f(x) đạt cực đại điểm x0 + Nếu f ’’(x0) > hàm số f(x) đạt cực tiểu điểm x0 + Nếu f ’’(x0) = hàm số f(x) cực trị CÁC DẠNG TOÁN THƯỜNG GẶP  Bài 1: Xét tính đơn điệu cực trị hàm số y = f(x) a Qui tắc 1: + B1: Tìm tập xác định (giả sử D = R, a < 0) ’ + B2: Tính f (x) giải phương trình f ’(x) = BBT: + B3: Lập bảng biến thiên kết luận x -∞ x1 x2 x3 +∞ ’’ ’’ ’ ’ b Qui tắc 2: + Tính f (x) tính f (xi).(xi nghiệm pt f (x)) f (x) + - + + Nếu f ’’(x) < hàm số đạt cực đại điểm xi + Nếu f ’’(x) > hàm số đạt cực tiểu điểm xi f(x) CĐ CĐ + Nếu f ’’(x) = hàm số cực trị CT ⧩ Chú ý: Cách xét dấu phương trình + Ta xét dấu từ phải sang trái, bên phải dấu với hệ số a (nếu phương trình tích, thương dấu tích hệ số a) qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu  Ví dụ 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số sau: a) y  x3  x  x  b) y   x4  x2  2 c) y  2x 1 x5 d) y  x  x  26 x2 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn g) y  ( x  2)3 ( x  1) f) y  x  x e) y  x 1   x h) y  x  x  x  Ví dụ 2: Tìm cực trị hàm số sau: a) y  sin x  x b) y  x  sin x c) y  sin x  cos x, x [0;  ]  Bài 2: Xác định tham số để hàm số y = f(x) đồng biến (nghịch biến) a Tìm m để hàm số f(x) đồng biến (nghịch biến) tập xác định B1: Tìm tập xác định D B2: Tính f ’(x) + Hàm số f(x) đồng biến D f ’(x)  x  D + Hàm số f(x) nghịch biến D f ’(x)  x  D a  a  Chú ý + ax2  bx  c  0, x  R   + ax2  bx  c  0, x  R       + Nếu a chứa tham số phải xét trường hợp a = b Tìm m để hàm số f ( x)  ax3  bx2  cx  d đồng biến (nghịch biến) (α, β) B1: Tìm tập xác định D B2: Tính f ’(x) Cách 1: Nếu tham số m có mũ bậc + Hàm số f(x) đồng biến (α; β)  f ’(x)  ∀x ∈ (α; β)  m  g ( x)  m  Maxg ( x) + Hàm số f(x) nghịch biến (α; β)  f ’(x)  ∀x ∈ (α; β)  m  g ( x)  m  g ( x) Cách 2: Nếu tham số m có mũ bậc hai phương trình f ’(x) có ∆ = (km + h)2 → f ’(x) có hai nghiệm x1 , x2 với x1 < x2  x1    x1   a0 a0 + f(x) đồng biến (α; β)  nghịch biến (α; β)   x2    x2   a   x1      x2 a   x1      x2 + f(x) đồng biến (-∞; α) ⇔ a > 0, x1 > α, + f(x) đồng biến (α; +∞) ⇔ a > 0, x2 < α, nghịch biến (-∞; α) ⇔ a < 0, x1 > α, nghịch biến (α; +∞) ⇔ a < 0, x2 < α, ad  bc ax  b  d có TXĐ: D = R \   , y /  (cx  d ) cx  d  c ad  bc  ad  bc  + Hàm số f(x) đồng biến (-∞; α)   , f(x) nghịch biến (-∞; α)    d / c    d / c   ad  bc  ad  bc  + Hàm số f(x) đồng biến (α; +∞)   , f(x) nghịch biến (α; +∞)    d / c    d / c   1) Tìm giá trị m để hàm số y  x  mx  x  đồng biến R ĐS: 2  m  2) Với giá trị m hàm số: y  (m  m  6) x3  (m  2) x  3x  nghịch biến R ĐS: - 7/4 ≤ m ≤ 3)(KA -13) Tìm m để hàm số y   x  3x  3mx  (1) nghịch biến khoảng (0; +  ) ĐS: m ≤ -1 c Hàm số y = 4) Tìm m để hàm số y  1 x   m  1 x   m  3 x  đồng biến (0, 3) ĐS: m  12 m 5) Cho hàm số: y  x  mx2  (m  1) x  (C) Tìm m để hàm số (C) 3 a, đồng biến [0; 2] b đồng biến (1; +∞) ĐS: a m ≥ ˅ m ≤ - 1, b m ≤ Gia sư Thành Được 6) Tìm m để hàm số: y  www.daythem.edu.vn mx  nghịch biến khoảng (;1) xm ĐS: 2  m  1  Bài 3: Ứng dụng tính đơn điệu chứng minh đẳng thức u ( x)  v( x) + Đặt: f ( x)  u( x)  v( x) + Tính f / ( x) chứng minh f / ( x) > f / ( x) < + Nếu f / ( x) > suy f (x) đồng biến với x   f ( x)  f (0)  u( x)  v( x)  a, s inx  x  x , x  Chứng minh đẳng thức sau:  b, x  tan x,  x   d, 2sin x  t anx  x, x  (0; )  Bài 4: Các toán cực trị hàm số e,  c, tan x  x  x3 ,   0  x   2  x2 x   x   x với (0 < x < +∞) a Xác định tham số để hàm số đạt cực trị x = a + Hàm số y = f(x) đạt cực đại x = a  f / (a)  chứng minh f // (a)  + Hàm số y = f(x) đạt cực tiểu x = a  f / (a)  chứng minh f // (a)   f / ( x0 )  + Hàm số y = f(x) đạt cực trị x0 , y0   chứng minh f // ( x0 )   f ( x0 )  y0 b Xác định tham số để hàm số có cực trị  Với hàm số bậc ba đạo hàm tam thức bậc hai : f ’(x) = Ax2 + Bx + C, (A  0) + Hàm số f(x) đạt cực đại cực tiểu phương trình f ’(x) = có hai nghiệm phân biệt  A  0,   + Hàm số f(x) cực trị phương trình f ’(x) = có nghiệm kép vô nghiệm    x   Với hàm số trùng phương, ta có y’ = 4ax3 + 2bx = 2x(2ax2 + b) , y /    2ax  b  (1) b 0 + Hàm số có ba cực trị  (1) có hai nghiệm phân biệt khác   2a Khi hàm số có hai cực tiểu, cực đại a > 0; có hai cực đại, cực tiểu a < b 0 + Hàm số có cực trị  (1) vô nghiệm có nghiệm x =   2a Chú ý: + Nếu không tìm hai điểm cực trị ta qui tổng hai nghiệm tích hai nghiệm + Để tìm cực trị hàm số đa thức y = f(x) ta lấy y chia cho y’ viết hàm số dạng: y = y’.h(x) + g(x) Khi đó, x0 điểm cực trị y0 = g(x0) 1) Tìm m để hàm số: y  x  (m  1) x  3(m  4) x  m  đạt cực đại x = (Đ/S: m  ) 1 2) Xác định b, c để hàm số: y = x4 + 2bx2 + c đạt cực trị x = -1, y = (Đ/S: b = - , c = 1) 2 3) Tìm hệ số a, b, c, d hàm số: y = ax + bx + cx + d cho hàm số đạt cực tiểu điểm x = 0, f(0) = đạt cực đại điểm x = 1, f(1) = (Đ/S: a = - 2, b = 3, c = d = 0) 4) Tìm m để hàm số: y  (m  2) x  3x  mx  có cực đại, cực tiểu (Đ/S: m  2,3  m  1) 2 5) Định m để hàm số: y = mx + (m – 9)x + 10 có điểm cực trị (Đ/S: m < - ˅ < m < 3) Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 6) Tìm m để hàm số: y  x3  (m  1) x  3(m  2) x  có hai cực trị hoành độ dương (Đ/S: m > ) 3 7)(KB-14) Cho hàm số y  x  3mx  (1), Cho điểm A(2; 3) Tìm m để đồ thị (1) có hai cực trị B C cho tam giác ABC cân A ĐS: m = 1/2 8)(KB-12) Cho hàm số y  x3  3mx  3m3 (1) , m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 ĐS: m  0, m =  2 9)(KA-12) Cho hàm số y  x  2( m  )x  m ( ) ,với m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có ba điểm cực trị tạo thành ba đỉnh tam giác vuông ĐS: m > -1, m = 10)(KB-13)Cho hàm số y  x3  3(m  1) x  6mx (1) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho đường thẳng AB vuông góc với đường thẳng y = x + ĐS: m = 0, m = ⋇ Bài tập tương tự Bài 1: Xét tính đồng biến, nghịch biến cực trị hàm số sau: x2  x  x  x  24 1) y  x  x  12 x  2) y  3) y  4) y  x   2  x x2  x  x 1 Bài 2: Xác định tham số để hàm số đồng biến, nghịch biến m 1) Tìm m để hàm số: y  x3  x  (m  3) x  m đồng biến R ĐS: m  2x  m 2) Tìm m để hàm số: y = nghịch biến tập xác định ĐS: m < - ˅ m > mx  3) Tìm m để y  m x   m  1 x   m   x  đồng biến  2,   ĐS: m  3 3 4) Tìm m để hàm số y  x  mx  x  nghịch biến khoảng (1; 2) ĐS: m  13 / 5) Cho hàm số y  x  3(2m  1) x  6m(m  1) x  có đồ thị (Cm) Tìm m để hàm số a đồng biến khoảng (2; ) b nghịch biến (1; ) ĐS: a m ≤ b < m < 2 mx  6) Tìm m để hàm số y  đồng biến (2; +∞) ĐS: - ≤ m < -1 ˅ m > xm Bài 3: Cực trị hàm số 1) Tìm m để hàm số: y  x  (m  3) x  mx  m  đạt cực tiểu x = Đ/S: m  2) Tìm m để hàm số: y  mx4  2(m  2) x  m  đạt cực đại x  ĐS: m  3 3) Xác định hệ số a, b, c cho hàm số y = x + ax + bx + c đạt cực trị điểm x = - đồ thị hàm số qua điểm A(1; 0) Đ/S: a = 3, b = 0, c = - 4) Tìm m để hàm số: y  mx  3mx  (m  1) x  cực trị Đ/S:  m  1/ 5) Tìm m để hàm số f  x   x  mx  mx  đạt cực trị x1, x2 thoả mãn điều kiện x1  x      ĐS: m   ,  65    65 ,       6) Tìm m để hàm số: f  x   x  2mx  2m  m có cực đại, cực tiểu lập thành tam giác ĐS: m  3 7) Tìm m để hàm số: y  2mx4  x  4m  có điểm cực tiểu, cực đại khoảng cách chúng ĐS: m = 1/25 4 8) Tìm m để hàm số y = x – 2mx + 2m + m có cực trị A, B, C cho S  ABC = ĐS: m  4 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x – mx2 – 2(3m2 – 1)x + (1), m tham số thực Tìm m để hàm số 3 2 có hai điểm cực trị x1 x2 cho x1.x2 + 2(x1 + x2) = ĐS:m < Vm> ,m= 13 13 10)(KB-11) Cho h/s y  x  2( m  )x  m (1) Tìm m để đồ (1) có ba điểm cực trị A,B,C cho 9)(KD- 12) Cho hàm số y = ĐS:m > -1,m =  2 OA = BC, A cực trị thuộc trục tung, B C hai điểm cực trị lại ⧫ Bài 2: Ứng dụng đạo hàm tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Giả sử hàm số f(x) có tập xác định D (D  R) f ( x)  M , x  D + M  max f ( x)   x0  D : f ( x0 )  M D  + m  f ( x)  D  f ( x)  m, x  D x0  D : f ( x0 )  m a Tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng ta sử dụng phương pháp  Tính f (x)  Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên  Dựa bảng biến thiên ta có Maxf(x) = CĐ, minf(x) = CT b Tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b] ta sử dụng phương pháp  Tính f (x)  Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn treân [a; b] (nếu có)  Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn)  So sánh giá trị vừa tính kết luận: Maxf ( x)  M , f ( x)  m a ;b  a ;b   Ví dụ 1: Tìm giá trị LN, NN hàm số sau 20 x  10 x  4   3  y  y  x  1) y  2) (0; +∞) 3) 4) y   ;  2 3x  x  1 x x cos x 2  ĐS: max y = y = y = / , max y = max y = -1  Ví dụ: Tìm giá trị LN, NN hàm số sau 1) y  x3  3x  12 x  [–1; 5] 2) y = x4 - 3x3 - 2x2 + 9x [-2; 2] 3) y  | x  x  | [- 5; 5] 5) y   x   x    6) y  x   x 7) y  cos x  4sin x 0;  8) y = x + cos2x [0; ]  2 ĐS: Max y =266, y = -6 Max y = 14, y = - Max y = 56, y = max y = 5, y = Max y = , y = 6 Max y = 2 , y = - max y = 2 , y = Max y =  /  1/ , y = ⋇ Bài tập tương tự 2 x2  5x  1) y = x3 - 3x2 - 9x + 35 Trên đoạn [-4; 4] 2) y  x  ( x  0) 3) y  [0; 1] x x2 4) y  x   x 5) y  x  x 6) y  x   khoảng (1; ) x 1 2sin x  1 x    7) y  8) y  9) y   sin x,  ;  2 sin x   2 cos x  cos x  xm m 10) Tìm tham số m để giá trị nhỏ hàm số f ( x)  đoạn [0;1] -2 x 1 4) y  25  x [- 4; 4] Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn k cos x  Tìm k để giá trị nhỏ hàm số nhỏ -1 cos x  11 ĐS: maxy = 40, miny = - 41 miny = 3 maxy = , miny = maxy = 2 ,miny = -2 1 maxy = , miny =6 miny = maxy = , miny = - maxy = , miny = 2 11) Cho hàm số y  maxy =    , miny =    24 2 10 m = -1, m = 11 k = - k = ⊶⊶⊶⥈⊷⊶⊶ ⧫ Bài ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ Định nghĩa:  Đường thẳng x  x0 gọi đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y  f ( x) điều kiện sau thõa mãn: lim  f ( x)   ; lim  f ( x)   ; lim  f ( x)   ; lim  f ( x)   x  x0 x  x0 x  x0 x  x0  Đường thẳng y  y0 gọi đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y  f ( x) nếu: lim f ( x)  y0 ; x  lim f ( x)  y0 x   Đường thẳng y  ax  b, a  gọi đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y  f ( x) : lim x  f ( x)  (ax  b)  ; lim x  f ( x)  (ax  b)  Chú ý: a) Nếu y  f ( x)  P( x) hàm số phân thức hữu tỉ ta có Q( x)  Nếu Q(x) = có nghiệm x0 hàm số có đường tiệm cận đứng x  x0  Nếu bậc P(x)  bậc Q(x) hàm số có tiệm cận ngang  Nếu bậc (P(x)) = bậc (Q(x)) + hàm số có tiệm cận xiên b) Nếu y  f (x) ta tìm tiệm cận cách xác định hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau: f ( x) f ( x) a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  a  lim ; b  lim  f ( x)  ax  x x x x x x 1) Tìm đường tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số sau; x2  x  x2  3x  2x  x x a) y  b) y  c) y  d) y  e) y  x 1 x 1 x 1 x  x 1 x  4x  mx  2) Cho hàm số y  Xác định m để tiệm cận đứng đồ thị qua điểm A(-1; √2) ĐS: m = 2x  m 2x  m 3) Cho hàm số y  f ( x)  Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang mx  1 tiệm cận với hai trục tọa độ tạo thành hình chữ nhật có diện tích ĐS: m =  4) Tìm đường tiệm cận xiên hàm số sau: Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn x3  x  x2  x  a y  b y   3x x2  ⋇ Bài tập tương tự c y  x4  x  d y  x  x  x3  1) Tìm tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số sau: 10 x  x 1 2 x a y  b y  c y  1 2x x  2x   x2 2) Tìm tiệm cận xiên hàm số sau: 4x  x2  x  a y  b y  x  x c y  x 1 x2  d y  e y  x  3x  x2 x  3x  x3  x  x  d y  x  x  3x  10 ⊶⊶⊶⥈⊷⊶⊶ ⧫ Bài 4: KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số đa thức B1: Tập xác định D = R B2: Xét biến thiên hàm số a) Tìm giới hạn vô cực hàm số b) Lập bảng biến thiên hàm số, bao gồm: + Tính đạo hàm f ’(x) tìm nghiệm f ’(x) = 0, xét dấu đạo hàm, xét chiều biến thiên tìm cực trị hàm số (nếu có), điền kết vào bảng B3: Vẽ đồ thị hàm số + Tìm điểm uốn I(x0; y0) nghiệm phương trình f ’’(x) = (chỉ áp dụng hàm số bậc ba) + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị vẽ hình + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục tâm đối xứng đồ thị (nếu có) Chú ý: Biện luận phương trình f(x) – m = độ thị + Ta biến đổi phương trình dạng f(x) = m (*) + Nghiệm phương trình (*) số giao điểm đồ thị hàm số y = f(x) đường thẳng y = m Hàm số bậc ba y  ax3  bx  cx  d (a  0) :  Hàm số nhận điểm uốn làm tâm đối xứng  Các dạng đồ thị hàm số: a>0 y’ = có nghiệm phân biệt y  ’ = b – 3ac > a0 a 0 y x 1) Cho hàm số (C): y = x4 – 6x2 + a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình: - x4 + 6x2 + + m = 2) Cho hàm số (C): y = - x4 + 2x2 – a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình – x4 + 2x2 – m2 – = có nghiệm phân biệt 3) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y =  x  x  2 Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm phân thức hữu tỉ ax  b (c  0, ad  bc  0) Hàm số biến: y  cx  d  d B1: Tập xác định D = R \    c B2: Xét biến thiên hàm số + Xét tiệm cận đứng tiệm cận ngang hàm số Gia sư Thành Được lim  d x     c  www.daythem.edu.vn f ( x)   ( ), lim  d x     c f ( x)   ( ) → x   d tiệm cận đứng hàm số c a tiệm cận ngang hàm số x   x   c ad  bc + Lập bảng biến thiên hàm số, ta có : y’ = , (cx  d ) ad – bc > hàm số đồng biến D, ad – bc < hàm số nghịch biến D y’ > ta có BBT y’ < ta có BBT x - d/c x - d/c     lim f ( x)  lim f ( x)  y’ + a c  → y y’ + -  a/c  y a/c a/c y   a/c B3: Vẽ đồ thị hàm số + Xác định số điểm đặc biệt đồ thị (giao điểm 0x, giao điểm 0y) vẽ hình + Đồ thị nhận giao điểm hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng  Các dạng đồ thị y y 0 x ad - bc > x ad -bc < Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số sau: a, y  2x  x 1 b, y  x3 x2 PP VẼ HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI f ( x)   f ( x) Đồ thị hàm số y  f (x) : Ta có f ( x)    f ( x) f ( x)  Đồ thị hàm số y  f ( x ) : Ta có y = f (x) có đồ thị (C)  f ( x) x  f(x)  f ( x) x  y  f  x  có đồ thị (C’) y  f  x  có đồ thị (C’’) y  f  x   0, x  D Do ta phải y  f  x  có f   x   f  x  , giữ nguyên phần phía trục Ox lấy đối xứng phần phía trục Ox lên ta đồ thị (C’) x  D nên hàm số chẵn có đồ thị đối xứng qua trục tung Oy Gia sư Thành Được f(x)=abs(x^3-2x^2-0.5) www.daythem.edu.vn y y f(x)=abs(x)^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 f(x)=x^3-2x^2-0.5 (C) y (C') (C'') x x x Chú ý: + Phương trình f (| x |) m  | f ( x) | m  , nghiệm phương trình giao hàm số y  f (x) y  f ( x ) đường thẳng y = m + Vẽ đồ thị y  f (x) , y  f ( x ) tìm tham số m 1) Cho hàm số (C): y  x3  x  12 x  a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Tìm m để phương trình : | x |3 9 x  12 | x | m có nghiệm phân biệt 2) Cho hàm số (C): y   x  x  10 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Tìm m để phương trình: |  x  x  10 |  m có nghiệm phân biệt x 1 3) Cho hàm số (C): y  Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) x 1  x 1 a, Từ đồ thị hàm số (C) suy hàm số (C’): y  x 1  | x | 1 b, Từ đồ thị hàm số (C) suy hàm số (C’’): y  | x | 1 ⊶⊶⊶⥈⊷⊶⊶ BÀI TẬP RÈN LUYỆN x 11 1) Cho hàm số y    x  x  có đồ thị (C) 3 a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Biện luận theo m số nghiệm phương trình: x3 – 3x2 – 9x + 11 + m = 2) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: y = 2x3 + 6x2 + 6x – 3) Cho hàm số y  x3  3x  x có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình  x3  3x  x  2m  có hai nghiệm 4) Cho hàm số y = - x4 + 2x2 + có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm phương trình 2x4 – 4x2 + m + = 5) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x4 + 2x2 + 10 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 6) Cho hàm số y  x  x  có đồ thị (C) a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình x  x   m  có nghiệm 2x 1 x2 7) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số sau: a, y  b, y  2x  x 1 8) Cho hàm số (C) : y   x  3x  a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Biện luận theo m số nghiệm phương trình:  | x |3 3 | x | m 9) Cho hàm số (C): y  x  x a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Với giá trị m phương trình x | x  | m có nghiệm thực phân biệt 10) Khảo sát vẽ đồ thị hàm số (C): y  | x | 1 2x  suy đồ thị hàm số (C/): y  | x | 1 x 1 (a  1) x  ax2  (3a  2) x a Xác định a để hàm số luôn đồng biến b Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) a = 3/2 c Từ đồ thị hàm số (C) suy đồ thị hàm số: y  | x  x  x | 2 11) Cho hàm số: y  ĐS: a ≥ ⊶⊶⊶⥈⊷⊶⊶ ⧫ Bài MỘT SỐ BÀI TOÁN THƯỜNG GẶP VỀ ĐỒ THỊ I- TIẾP TUYẾN CỦA HÀM SỐ Tiếp tuyến hàm số (C) y = f(x) điểm x0  (C) B1: Với x0  (C)  f(x0) B2: Tìm hệ số góc tiếp tuyến (C) x0 : f ' ( x0 ) B3: Phương trình tiếp tuyến (C) x0 có dạng : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) Tiếp tuyến hàm số (C) y = f(x) biết hệ số góc k B1: Gọi điểm M(x0; y0)  (C)  Hệ số góc tiếp tuyến (C) x0: f ' ( x0 ) B2: Vì tiếp tuyến có hệ số góc k  f ' ( x0 ) = k, giải pt tìm x0  f(x0) B3: Phương trình tiếp tuyến (C) x0 có dạng : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) Chú ý: + Nếu tiếp tuyến song song đường thẳng: y = kx + m có hệ số góc f ' ( x0 ) = k + Nếu tiếp tuyến vuông góc đường thẳng: y = kx + m có hệ số góc f ' ( x0 ) k = - + Nếu tiếp tuyến tạo với trục 0x góc  có hệ số góc f ' ( x0 ) = | tan  | Tiếp tuyến hàm số (C) y = f(x), biết tiếp tuyến qua điểm A(xA; yA)  (C) B1: Gọi điểm M(x0; y0)  (C)  Hệ số góc tiếp tuyến (C) x0: f ' ( x0 ) B2: Phương trình tiếp tuyến (C) x0 có dạng : y  f ' ( x0 )( x  x0 )  f ( x0 ) B3: Tiếp tuyến qua điểm A  yA  f ' ( x0 )( xA  x0 )  f ( x0 ) , giải pt tìm x0 B4: Thế x0 vào B2 ta phương trình tiếp tuyến cần tìm 3x  1) Cho hàm số (C): y  Viết phương trình tiếp tuyến (C) điểm có tung độ – x 1 Đ/S: y = -25x + 18 11 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 2)(KD -10) Cho hàm số y   x  x  Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y  x  ĐS: y =  6x + 10 3) Viết phương trình tiếp tuyến (C): y   x  x  x , biết tiếp tuyến có hệ số góc lớn ĐS: y  x  / 3 4)(KB-08) Cho hàm số y = 4x – 6x + (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua điểm M(–1;–9) ĐS: y = 24x + 15 hay y = 15 / x 21 / x2 5)(KA-09) Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C) biết tiếp tuyến tạo với Ox, 2x  Oy tam giác cân O Đ/S: y = -x – 6) Cho hàm số y  x  3x  (C ) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C ) biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy hai điểm A, B cho OA  OB ĐS: y  x  , y  x  25 II- GIAO ĐIỂM CỦA HAI ĐỒ THỊ ax  b ax  bx  c , y Giao điểm hàm số (C) : y  , với đt d: y = mx + n cx  d dx  e ax  b d  mx  n (*) ( x   ) + Phương trình giao điểm (C) đường thẳng d: cx  d c + Đặt (*) g(x) = Ax2 + Bx + C = 0, d cắt (C) hai điểm phân biệt d d  A  0,   , g ( )   phương trình (*) có nghiệm phân biệt khác  c c 2) Giao điểm hàm số (C) y = ax3 + bx2 + cx + d với đt d: y = mx + n + PT giao điểm (C) (d): ax3 + bx2 + cx + d = mx + n  Ax3 + Bx2 + Cx + D = (1) + Nếu PT (1) tìm nghiệm x = x0  x  x0 + Dùng sơ đồ Horner chia phương trình (1) cho x = x0 từ (1)    g ( x)  ax  bx  c  (2) + Số giao điểm (d) (C) số nghiệm phương trình (1) a  0,   Nếu PT (1) có nghiệm phân biệt PT (2) có nghiệm phân biệt khác x0    g ( x0 )  3) Giao điểm hàm số (C) y = ax4 + bx2 + c đường thẳng d : y = m + PT giao điểm (C) (d) : ax4 + bx2 + c = m (1) + Đặt t = x2 (t > 0)  at2 + bt + c – m = (2) + Số giao điểm (d) (C) số nghiệm phương trình (1) a  0,   Nếu PT (1) có nghiệm phân biệt  PT (2) có nghiệm dương phân biệt    S  0, P   Ví dụ 1: Tìm số giao điểm hàm số hữu tỉ đường thẳng 1) Cho hàm số y  x 1 (C) Tìm m để (C) cắt đường thẳng (d m ) : y  mx  2m  điểm phân 2x 1 biệt A, B ĐS: m ≠ 0, m ≠ - 1/3 2)(KB -09) Tìm tất giá trị m để đường thẳng y = - x + m cắt đồ thị hàm số y = 12 x2 1 hai x Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn điểm phân biệt A, B cho AB = ĐS: m =  2 2x  3)(KB -10) Cho hàm số y = có đồ thị (C) Tìm m để đường thẳng y = -2x + m cắt đồ thị (C) x 1 hai điểm phân biệt A, B cho tam giác OAB có diện tích (O gốc tọa độ) ĐS: m  2 x 1 4)(KA-11) Cho hàm số y  Chứng minh với m đường thẳng y = x + m cắt đồ thị 2x 1 (C) hai điểm phân biệt A B Gọi k1, k2 hệ số góc tiếp tuyến với (C) A B Tìm m để tổng k1 + k2 đạt giá trị lớn ĐS: m = -  Ví dụ 2: Tìm số giao điểm hàm số bậc ba đường thẳng 1)(KD -13) Cho hàm số y  x3  3mx  (m  1) x  (1) , m tham số thực Tìm m để đường thẳng y = -x +1 cắt đồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt ĐS: m < ˅ m > 8/9 2)(KD -08) Cho hàm số y = x – 3x + (C) đường thẳng (d) qua A(3; 20) có hệ số góc m Tìm m để 15 đường thẳng d cắt (C) điểm phân biệt ĐS: m  , m  24 3)(KA -10) Cho hàm số y = x3 – 2x2 + (1 – m)x + m (1), m số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) cắt trục hoành điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3 thỏa mãn điều kiện: x12  x22  x32  ĐS: -1/4 < m - 4/5, m  2)(KD -09) Cho đường thẳng d: y  1 hàm số (Cm): y  x  (3m  2) x  3m Tìm m để (d) cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ (Đ/S:   m  1, m  ) 3) Tìm m để hàm số y = x – 2mx + 2m + cắt trục hoành điểm phân biệt x1, x2, x3, x4 cho 1 29 ĐS : m > 3, m = x14  x24  x34  x44  44 4) Cho hàm số y = - x + (m + 1)x – m + 1, (Cm) Tìm m để đường thẳng y = cắt đồ thị (Cm) điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hoành độ lập thành cấp số cộng ĐS: m = 9, m = 1/9 III - Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số (C): y = f(x) • Gọi M(x0; y0) ∊ (C) ⟹ y0 = f(x0), áp dụng điều kiện lại tìm x0 Chú ý: + Tìm điểm không đổi M ∊ (C), ta biến đổi pt y0 = f(x0) dạng: f(x0; y0)m + g(x0;y0) = | ax  by0  c | d ( M ;0 y) | x0 | , d ( M ; )  + Công thức khoảng cách: d ( M ;0 x) | y0 | a  b2 1)(KD – 14) Cho hàm số y = x3 – 3x – Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho tiếp tuyến (C) M có hệ số góc ĐS: M (-2; -4) (2; 0) 2x 2)(KD-07) Cho hàm số y  (C) Tìm M  (C ) cho tiếp tuyến (C) M cắt Ox, Oy A, B x 1 tạo thành tam giác OAB có diện tích 1/4 Đ/S: M (1 / 2;2); M (1;1) 2x 1 3) Cho hàm số (C): y  I giao điểm hai đường tiệm cận Tìm điểm M thuộc đồ thị (C), cho x 1 13 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn tiếp tuyến (C) M IM có tích hệ số góc – ĐS: (0; -1), (- 2; 5) 4) Cho hàm số (C): y = (m + 2)x + 2(m + 2)x – (m + 3)x – 2m + Tìm điểm thuộc (C) mà đồ thị hàm số qua với m ĐS: A(- 2;7), B(1; 4), C(- 1;6) x2 5)(KA-14) Cho hàm số y  Tìm tọa độ điểm M thuộc (C) cho khoảng cách từ M đến đường x 1 thẳng y = - x ĐS: M (-2; 0) (0; -2) 3x  6) Cho hàm số y  (C) Tìm điểm thuộc (C) có hoành độ nguyên cách trục tọa độ x2 ĐS: M1(1; 1) M2(4; 4) 2x 1 7) Cho hàm số y  Tìm (C) điểm có tổng khoảng cách đến hai tiệm cận (C) x 1 nhỏ ĐS: A(0; 1) , B(–2; 3) ⊶⊶⊶⥈⊷⊶⊶ BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1: Lập phương trình tiếp tuyến 2x 1 1)(CĐ -13) Cho hàm số y  Gọi M điểm thuộc (C) có tung độ Tiếp tuyến (C) x 1 M cắt trục tọa Ox Oy A B Tính diện tích ∆OAB ĐS: y = -3x + 11, S = 121/6 2x  2) Cho hàm số: y  (C) x 1 a, Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = - 4x + b, Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến qua điểm A(1;  / 3) c, Viết pt tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến tạo với hai tiệm cận tam giác vuông cân ĐS: a) y = - 4x + 2, y = - 4x + 14, b) y   x  c) y = - x – 1, y = - x – 9 2x 1 3) Cho hàm số y  (C) Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt trục x 1 25 13 Ox, Oy A, B cho OA  9OB ĐS: y   x  , y x 9 9 Bài 2: Tìm giao điểm hai hàm số 2x 1 1) Cho hàm số y  (C) Xét đường thẳng (dm) qua điểm A(- 2; 2) có hệ số góc m Tìm m để x 1 (dm) cắt (C) hai điểm phân biệt ĐS: m < ˅ m > 12 2x 1 2)(KD -11) Cho hàm số y  Tìm k để đường thẳng y = kx + 2k +1 cắt đồ thị (C) hai điểm x 1 phân biệt A, B cho khoảng cách từ A B đến trục hoành ĐS: k <  2  k   2 ,k  0, k =-3 2x  3) Tìm m để đường thẳng (d): y   x  m cắt (C): y  điểm phân biệt A, B cho AB đạt x2 giá trị nhỏ ĐS: m = x 1 4) Cho hàm số y  , (C) Xác định m để đường thẳng y = 2x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, x 1 B cho tiếp tuyến (C) A, B song song với ĐS: m = - 5) Cho hàm số y  x  x  x  có đồ thị (C) Định m để đường thẳng (d ) : y  mx  2m  cắt đồ thị (C) ba điểm phân biệt ĐS: m > - 6) Cho hàm số y = x3 – 3x (C) đường thẳng (d): y = m(x + 1) + Tìm m để (d) cắt (C) điểm 14 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn phân biệt có hoành độ thõa x1 < < x2 < x3 ĐS: - 9/4 < m < - 2 7) Cho hàm số y  x3  mx  x  m  có đồ thị (Cm) Tìm m để (Cm) cắt trục hoành điểm phân 3 biệt có tổng bình phương hoành độ lớn 15 ĐS: m > ˅ m < -1 8) Viết phương trình đường thẳng (d) cắt đồ thị (C): y = x – 3x + điểm phân biệt A, B, C cho xA = , BC = 2 ĐS: y = x + 9) Cho hàm số y = x4 – mx2 + m – (C) Tìm m để (C) cắt trục hoành điểm phân biệt ĐS:  m  10) Cho đường thẳng d: y  1 hàm số (Cm): y  x  (3m  2) x  3m Tìm m để (d) cắt (Cm) điểm phân biệt có hoành độ x1, x2, x3, x4 thõa , x12  x22  x32  x42  x1x2 x3 x4  ĐS: m = -2/9 11) Cho hàm số (Cm): y  x  2(m  1) x  2m  Tìm m để (Cm) cắt Ox điểm có hoành độ lập thành cấp số cộng Đ/S: m  2; m  4 / Bài 3: Tìm điểm thuộc đồ thị 1) Cho hàm số y   x   x  1  C  Tìm điểm M đường thẳng d : y  2x  19 , biết  207  ĐS: M  3;13 , M  ;   11 11  2) Cho hàm số y  x3  x  12 x  Tìm điểm M đồ thị (C) biết tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm thứ hai N cho N với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác có diện tích 3, biết N có tung độ dương ĐS: M(3/4; 25/32) 3) Cho hàm số y = x – 2x + Tìm toạ độ hai điểm P, Q ∈ (C) cho đường thẳng PQ song song với trục Ox khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ ĐS: P(-2;9), Q(2;9) 3x  4) Cho hàm số y  (C) Tìm điểm M thuộc (C) cho M cách đường tiệm cận x2 ĐS: M1( 1; 1) , M2(4; 6) ⊷⊶⊶⊷Hết⊶⊶⊷⊷ tiếp tuyến đồ thị  C  M vuông góc đường thẳng x  9y   Cho hàm số y  x3  x  12 x  a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số b) Tìm điểm M đồ thị (C) biết tiếp tuyến (C) M cắt (C) điểm thứ hai N cho N với hai điểm cực trị đồ thị (C) tạo thành tam giác có diện tích 3, biết N có tung độ dương 1,0 điểm (C) có hai điểm cực trị A(1; 1), B(2;0)  AB  Phương trình đường thẳng AB : x  y   SABN  d ( N ; AB) AB   d ( N ; AB)  2 Gọi d đường thẳng qua N d / / AB Phương trình d có dạng c   N (0; 4) (loai ) |c2| 3    x  y  c   d ( A, d )  d ( N , AB)  c  8  N (3;5) Với N (3; 5) , giả sử M ( x0 ; y0 ) Pt tiếp tuyến với (C) M là: y  y '( x0 )( x  x0 )  y0 Do tiếp tuyến qua N nên ta có:  (6 x02 18x0  12)(3  x0 )  x03  x02  12 x0   x0  (loai, vi N  M )  25  Vậy M  ;  ( x0  3) (4 x0  3)      x0   32   Câu Cho hàm số y  x4  2x2  15 0.25 0.25 0.25 0.25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm toạ độ hai điểm P, Q thuộc (C) cho đường thẳng PQ song song với trục hoành khoảng cách từ điểm cực đại (C) đến đường thẳng PQ  Điểm cực đại (C) A(0;1) PT đường thẳng PQ có dạng: y  m (m  0) Vì d( A, PQ)  nên m  Khi hoành độ điểm P, Q nghiệm phương trình: x4  2x2    x  2 Vậy: P(2;9), Q(2;9) P(2;9), Q(2;9) Câu Cho hàm số y  3x  (C) x2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm điểm thuộc (C) cách tiệm cận  Gọi M ( x; y)  (C) cách tiệm cận x = y = Ta có: x   y   x   x 3x  x x    ( x  2)   2  x2  x2 x2 x2 x  Vậy có điểm thoả mãn đề : M1( 1; 1) M2(4; 6) 16 ... m = 1/2 8)(KB -12) Cho hàm số y  x3  3mx  3m3 (1) , m tham số thực Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị A B cho tam giác OAB có diện tích 48 ĐS: m  0, m =  2 9)(KA -12) Cho hàm số... y  f (x) , y  f ( x ) tìm tham số m 1) Cho hàm số (C): y  x3  x  12 x  a Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) b Tìm m để phương trình : | x |3 9 x  12 | x | m có nghiệm phân biệt... Oy A B Tính diện tích ∆OAB ĐS: y = -3x + 11, S = 121 /6 2x  2) Cho hàm số: y  (C) x 1 a, Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến song song với đường thẳng: y = - 4x + b, Viết phương