Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THICHỌN HSG LỚP10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐỀTHI MÔN: TOÁN (Dành cho họcsinh THPT không chuyên) Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đềĐỀ CHÍNH THỨC Câu a) Giải phương trình 1 x x x2 b) Cho phương trình bậc hai x2 2mx m2 2m ( x ẩn m tham số) Tìm tất giá trị thực m cho phương trình cho có hai nghiệm không âm x1 , x2 Tính theo m giá trị biểu thức P x1 x2 tìm giá trị nhỏ P x xy y x y Câu Giải hệ phương trình: x, y 2 x xy y Câu Cho a, b, c độ dài ba cạnh tam giác không nhọn Chứng minh a 1 1 b c 10 a b c Câu a) Cho tam giác ABC, nhọn, không cân nội tiếp đường tròn O; R Gọi G M trọng tâm tam giác ABC trung điểm cạnh BC Chứng minh đường thẳng OG vuông góc với đường thẳng OM AC AB2 2BC 12R2 b) Cho tam giác ABC có độ dài đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C m, n, p Tính độ dài cạnh AB, BC , CA theo m, n, p c) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có phương trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ đỉnh A, B, C có phương trình x y 0, x 0, x y Tìm tọa độ đỉnh A, B, C, biết bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC 10 đỉnh A có hoành độ âm Câu Cho tứ giác lồi ABCD điểm M nằm bên tứ giác (M không nằm cạnh tứ giác ABCD) Chứng minh tồn góc MAB, MBC, MCD, MDA có số đo không lớn 450 -Hết Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn Thísinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh:…………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 03 trang) KỲ THICHỌN HSG LỚP10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho họcsinh THPT không chuyên) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm họcsinh làm theo cách khác đủ ý cho điểm tối đa - Điểm toàn tính đến 0,25 không làm tròn - Với hình họcthísinh không vẽ hình phần không cho điểm tương ứng với phần II ĐÁP ÁN: Câu 1(3đ) Nội dung trình bày 1.a (1,5 điểm) x x 2;0 Điều kiện: 2 x Đặt y x2 Thay vào ta được: 0; Điểm 0,25 1 Do ta có hệ phương trình: x y x2 y 2 x2 y x y xy 1 x y xy x y x y xy x y x y x y xy x y 1 x y xy xy 0,5 x y y x x +) xy x 2x 1 y 0,5 0,25 0,25 1 x x y 1 x 1 y +) (do y ) xy 0,5 2 y y y 1 2 0,25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn 1 Vậy phương trình cho có tập nghiệm S ;1 1.b (1,5 điểm) Phương trình x2 2mx m2 2m (1) có hai nghiệm không âm ' m m 2m S 2m m P m 2m Theo định lý Vi-ét ta có x1 x2 2m; x1 x2 m2 2m Do x1 x2 x1 x2 x1 x2 x1 x2 2m m 1 3 Do m x1 x2 Dấu đẳng thức xảy m 2(2đ) 0,5 0,25 Đặt z y , thay vào hệ ta được: 2 x xz z x z 3xz x z x z x xz z x z xz x z xz x z x z xz x z xz x z x z xz z x x z x x +) xz z y x 2x 1 x z z 1 x x 1, z x 1, y +) xz x x x 0, z x 0, y Vậy hệ phương trình có tập nghiệm S 1; , 1;1 , 0; 3(1đ) 0,75 0,5 0,5 0,25 0,5 0,25 Do a, b, c độ dài ba cạnh tam giác không nhọn nên có bất đẳng thức sau xảy ra: a b2 c , b2 c a , c a b2 Giả sử a b2 c2 , ta có: 0,25 1 b2 c2 1 2 2 a b c a b2 c2 a b2 c 2 a b c b c 2 b c a2 2 4 b c a2 0,25 3a a2 b2 c2 a b2 c2 10 Do b2 c2 b2 c2 a2 b2 c2 a a b2 c2 a12 b12 c12 10 4.a (1,0 điểm) Áp dụng quy tắc trọng tâm quy tắc trung điểm ta có: 1 4(3đ) 0,5 0,25 Gia sư Thành Được OG www.daythem.edu.vn OA OB OC OB OC Khi , OM OG OM OG.OM OA OB OC OB OC 0,25 OA.OB OA.OC 2OB.OC R 2 a b a b 1 R AB R AC R BC R (chú ý a.b 2 2 2 AB AC 2BC 12R 4.b(1,0 điểm) 2S 2S 2S ab c ,b ,c Kí hiệu a BC , b CA, c AB, p Khi ta có a m n p Theo công thức Hê – rông ta có: S 0,25 ) p p a p b p c 0,25 0,25 0,25 1 1 1 1 1 1 1 1 4S 2S 2S 2S 2S m n p m n p m n p m n p 4S 4S k S , k 1 1 1 1 k m n p m n p m n p m n p 2 ,b ,c Do a mk nk pk 4.c (1,0 điểm) Do BC vuông góc với đường cao kẻ từ A nên BC có dạng x y c Tọa độ đỉnh B 2 x y c x B 2; c , nghiệm hệ x y c tọa độ C nghiệm hệ phương trình x y c x c C c 3; c x y y c 0,25 0,25 0,25 AB qua B 2; c vuông góc với đường cao kẻ từ C nên AB : x y c x y c Tọa độ đỉnh C nghiệm hệ x y c x 2c 12 A 2c 12; c x y y c Theo giả thiết ta có AB AC.BC AB AC BC AB AC 10 10 10 S ABC 2.d A, BC BC d A, BC 2c 10 2c 10 3c 15 4c 24 c c c 7 10 c c 3 0,25 0,25 Gia sư Thành Được www.daythem.edu.vn +) Nếu c 7 A 2; 1 , B 2;3 , C 4; 1 +) Nếu c 3 A 6;3 , B 2; 1 , C 0;3 không thỏa mãn hoành độ A âm Vậy A 2; 1 , B 2;3 , C 4; 1 5(1đ) 0,25 Giả sử MAB, MBC , MCD, MDA 450 (1) Ta có cot MAB cos MAB sin MAB MA2 AB MB 2.MA AB.sin MAB MA2 AB MB 4SMAB MA AB MB cot 450 MA2 AB MB 4S MAB 4S MAB Tương tự ta bất đẳng thức sau : MB BC MC 4S MBC 3 0,25 Kết hợp với (1) ta 0,25 MC CD MD 4S MCD MD DA2 MA2 4S MDA 5 Cộng theo vế bất đẳng thức (2), (3), (4), (5) ta được: AB BC CD DA2 S MAB S MBC S MCD S MDA 4S ABCD (6) 0,25 Mặt khác ta lại có: AB2 BC CD2 DA2 AB.BC 2CD.DA 4S ABC 4SCDA 4S ABCD , mâu thuẫn với (6) Do giả sử ban đầu sai suy tồn góc 0,25 MAB, MBC , MCD, MDA có số đo không lớn 450 Hết ... y c Theo giả thi t ta có AB AC.BC AB AC BC AB AC 10 10 10 S ABC 2.d A, BC BC d A, BC 2c 10 2c 10 3c 15 4c 24 c c c 7 10 c c... THI CHỌN HSG LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012-2013 ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Dành cho học sinh THPT không chuyên) I LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm trình bày cách giải với ý phải có Khi chấm học sinh làm theo cách... Thí sinh không sử dụng tài liệu máy tính cầm tay Cán coi thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh: …………………….……… …….…….….….; Số báo danh…………………… SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Đáp án có 03 trang) KỲ THI