SKKN Hình Học

B. Nội Dung- Giải quyết vấn đề Bài toán 1: Cho góc xOy khác 180 0 , OZ là tia phân giác của góc xoy . Trên tia ox lấy lấy hai điểm A, B (A nằm giữa O và B) . Trên tia Oy lấy hai điểm C và D ( C nằm giữa O và D) Sao cho AB = CD và OA OC, gọi M,N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD . Chứng minh : MN // OZ . G/V : 1 . Gọi HS nhắc lại các dấu hiệu nhận biết hai đờng thẳng song song . 2 . Các hớng suy nghĩ áp dụng cụ thể ở bài toán này . a , Hớng thứ nhất : Tạo một đờng thẳng song song với đờng thẳng MN bằng cách áp dụng tính chất đờng trung bình của tam giác , rồi chứng minh đờng thẳng đó song song với tia OZ. b , Hớng thứ hai : Dùng tính chất đoạn chắn song song để kết nối hai đoạn thẳng bằng nhau AB = CD tạo thành tam giác cân rồi từ đó tìm đoạn thẳng song song với MN. Sau đó chứng minh đoạn thẳng đó song song với OZ. Để suy ra MN//OZ. c, Hớng thứ 3: Kết nối 2 đoạn thẳng bằng nhau đã cho thành 2 đoạn thẳng bằng nhau trung gian tạo thành tam giác cân. Rồi từ đó chứng minh MN// OZ sẽ dễ dàng hơn. Giải Cách 1 (áp dụng hớng suy nghĩ thứ nhất) hình 1a hình 1b Trên tia đối của tia NA lấy điểm K sao cho NK= NA Dễ thấy NAB = NKD ( c.g.c) AB = DK mà AB = CD DCK cân tại D D 1 = 2 KCD ( góc ngoài tam giác cân) Do tia OZ là tia phân giác của góc XOY XOY = 2 O 1 Dễ thấy OX// DK XOY = O 1 ( đồng vị) O 1 = KCD OZ//CK ( 1) mà O 1 và KCD so le trong Dễ thấy MN là đờng trung bình của tam giác ACK. Suy ra MN//CK (2). Từ (1) và (2), suy ra MN//OZ (đpcm) GV: Ta có thể tạo ra: + MN là đờng trung bình của tam giác BK 1 D (Hình 1b) 2 + MN là đờng trung bình của tam giác CAK 2 (Hình 1c) + MN là đờng trung bình của tam giác DBK 3 (Hình 1d) Hình 1c Hình 1d Cách 2 .(áp dụng hớng suy nghĩ thứ hai) Hình 2a Hình 2b Vẽ hình bình hành ABKD , dễ thấy 3 điểm A,N,K thẳng hàng có N là trung điiểm của AK MN//CK lại có M là trung điểm của AC Tiếp tục chứng minh nh cách 1 . Giáo viên: * Ta có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD bằng cách dựng hình bình hành ABDK (H 2 b) Ta đợc tam giác CDK 1 cân tại D. Lấy I là trung điểm của CK 1 . Dễ chứng minh đợc NMDI là hình bình hành. Suy ra MN//DI. Dễ c/m đợc OZ//DE OZ // MN (đpcm) * Hoặc có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD bằng cách dựng h.b.h ABK 2 C để đợc CDK 2 cân tại C ( hình 2c) lấy I là trung diểm của DK 2 dễ c/m đợc NMIC là hình bình hành MN // CI dễ c/m đợc OZ//CI 3 OZ // MN (đpcm) Hình 2c * Hoặc có thể liên hệ 2 đoạn thẳng AB = CD bằng cách dựng h.b.h ABK 3 C để đợc CDK 3 cân tại C ( hình 2d) dễ c/m đợc M là trung điểm của BK 3 lại có N là trung điểm của BD MN// K 3 D OZ//MN (đpcm) dễ c/m đợc OZ// K 3 D Hình 2d Hình 2e Cách 3: ( áp dụng hớng suy nghĩ thứ 3 ) Lấy E là trung điểm của AD do N là trung điểm của BD EN// = 1/2 AB EM// = 1/2 CD EMN cân tại E EMN = ENM do EN// Ox ENM = P ( so le trong) OPQ cân tại O ME//Oy EMN = OQP ( so le ngoài) xOy = 2 P O 2 = P Oz //MN (đpcm) lại có xOy =2 O 2 Giáo viên: Từ cách giải 3 của bài toán 1 ta thấy MN tạo với Ox, Oy các góc bằng nhau và kết hợp với nhận xét về độ dài các đoạn thẳng BP và DQ ta có bài toán mới. Bài toán 2: Cho ABC. Hai diểm D và E trên 2 cạnh AB và AC sao cho BD = CE. Gọi M,N thứ tự là trung diểm của BC và DE; gọi H,K thứ tự là giao điểm của đờng thẳng MN với các đờng thẳng AB, AC. a, Chứng minh AHK cân. b, Chứng minh BH = CK. c, Xét bài toán trên khi D và E thứ tự trên các tia BA, CA và cũng thoả mãn BD = CE. Giải tóm tắt: a, Theo cách giải 3 của bài toán 1 ta có ngay AHK cân tại A. b, Qua C kẻ đờng thẳng // MH 4 cắt đờng thẳng AB tại P lại có M là trung điểm của BC BH = HF (1) dễ thấy các AHK; ACF đều cân HF = CK (2) Từ (1) và (2) BH = CK. c, Bài toán cũng đúng khi D và E ở bất kỳ trên các tia BA và CA những vẫn thoả mãn BD = CE ( h/s tự chứng minh) Giáo viên: Trở lại bài toán 1: Nếu thay đổi vị trí 2 điểm C,D cho nhau. Hãy nhận xét về quan hệ của đờng thẳng MN với tia OZ là phân giác của A . Ta có bài toán 3. Bài toán 3: Cho góc xOy có tia Oz là tia phân giác. Trên tia Ox lấy 2 điểm A và B ( A nằm giữa O và B), trên tia Oy lấy 2 điểm C và D ( D nằm giữa O và C) sao cho AB = CD. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của các đoạn thẳng AC và BD. Chứng minh rằng: MN Oz. Giáo viên: tơng tự Bài toán 1 ta cũng có nhiều cách giải, nhiều cách vẽ thêm các đờng phụ để giải bài toán này. Sau đây chỉ là một lời giải của bài toán trên. Giải tóm tắt: Lấy điểm K sao cho N là trung điểm của AK MN// CK. MN DH dễ thấy DCK cân tại D có đờng cao DH CK MN DH dễ c/m đợc DH// Oz MN Oz ( đpcm) Giáo viên: Trở lại bài toán 2: Chúng ta hãy xét bài toán ngợc của bài toán này khi tam giác AHK cân tại A hoặc đờng thẳng MNtạo với AB và AC các góc bằng nhau hoặc khi có BH = CK thì hai đoạn thẳng BD và CE có bằng nhau hay không ?. Ta có bài toán mới: Bài toán 4: Cho tứ giác ABCD có các cạnh AB và CD không song song với nhau, hai điểm M,N thứ tự là trung điểm của AD và BC. a, Biết MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau. Chứng minh AB = CD. b, Gọi H, K thứ tự là giao điểm của MN với các đờng thẳng AB và CD. Nếu có AH = DK. Hãy chứng minh AB = CD. Giáo viên: Bài toán ngợc này chúng ta cũng có nhiều cách giải, nhiều cách vẽ thêm các phần phụ để chứng minh. Sau đây chỉ là một lời giải của bài toán trên. Lời giải tóm tắt: Lấy I là trung điểm của BD, lại có M là trung điểm của AD MI// = AB 2 1 (1) 5 Tơng tự ta có : NI // = CD 2 1 (2) Do MI// AB IMN = H 1 ( so le trong) Do NI //CD INM = K 1 ( đồng vị) IMN = INM IM = IN (3) mà H 1 = K 1 ( giả thiết) Từ (1), (2) và (3) AB = CD ( đpcm) b, Qua D kẻ đờng thẳng song song với MN cắt đờng AB tại E, lại có M là trung điểm của AD nên suy ra H là trung điểm của AE. AH = HE HE = CK ( vì cùng = AH) Từ đó ta dễ chứng minh đợc MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau. Sau đó chứng minh tơng tự nh câu a. Ta đợc AB = CD. Giáo viên: Tơng tự nh bài toán trên các em hãy tìm bài toán đảo của bài toán 3. Ta có bài toán mới. Bài toán 5: Cho tứ giác ABCD có các đờng thẳng AB và CD cắt nhau tại O, hai điểm M,N thứ tự là trung điểm của các đờng chéo AC và BD. Kẻ Ox là tia phân giác của góc AOD. Chứng minh Ox MN khi và chỉ khi AB = CD. ( Học sinh tự giải. ) Giáo viên: Trở lại Bài toán 2: Nếu ta cho 2 điểm D, E di động trên các cạnh AB và AC mà vẫn thoả mãn BD = CE. Hãy nhận xét về đờng thẳng MN ? . Ta có bài toán mới: ở dạng tìm tập hợp điểm. Bài toán 6: Cho ABC có AB < AC, 2 điểm D, E thứ tự di chuyển trên các cạnh AB, AC sao cho BD = CE. a, Hãy tìm tập hợp các trung điểm N của DE ? b, Xét bài toán khi D, E theo thứ tự di chuyển trên các tia BA và CA ? c, Xét bài toán khi D, E thứ tự di chuyển trên các tia đối của các ta BA, CA ? Lời giải ( Tóm tắt): a, Lấy M là trung điểm của BC Tơng tự Bài toán 1 ta có: MN// Ax phân giác của BAC lại có M là điểm cố định. Ax là đờng cố định M nằm trên đờng thẳng cố định đi qua M và //Ax. Gọi K là giao điểm đờng thẳng MN với AC. Dễ thấy khi D, E di chuyển trên các cạnh AB, AC thì N di chuyển trên đoạn thẳng MK. Ngợc lại, lấy tuỳ ý điểm N thuộc đoạn thẳng MK. qua N kẻ đờng thẳng // AC. qua M kẻ đờng thẳng //AB. Chúng cắt nhau tại I. 6 Đờng thẳng CI cắt AB tại D, đờng thẳng DN cắt AC tại E. Ta dễ c/m đợc 2 điểm D,E thoả mãn điều kiện bài toán là BD = CE, và N là trung điểm của DE. Vậy tập hợp các trung điểm N là đoạn thẳng MK. * Cách khác: Ta có khi D trùng B thì E trùng C. Khi đó N trùng với trung điểm M của BC. Trên CA lấy điểm Q sao cho CQ = AB. Ta có khi D trùng A thì E trùng Q, khi đó N là trung điểm của AQ. Lấy P là trung điểm của AC. Ta có: PK = AP AK = 22222 ABABACACAQAC = = (1) dễ thấy PM = 2 AB (2) Từ (1) và (2) PMK cân tại P. Lại dễ thấy IMN cân tại I và 3 điểm M, I, P thẳng hàng, do đó ta suy ra 3 điểm M, N, K thẳng hàng. Suy ra điểm N nằm trên đờng thẳng MK cố định. Tiếp tục làm phần giới hạn và phần đảo nh trên. b, Học sinh tự giải: Tập hợp điểm N là tia MK. c, Học sinh tự giải : Tập hợp điểm N là tia đối của tia MK. Bài toán 7: Cho ABC, điểm D di động trên tia AB, điểm E di động trên tia đối của tia CA sao cho AD = CE. Hãy tìm quỹ tích các trung điểm N của DE ? Giải sơ lợc: Trên tia đối của tia AC lấy điểm F sao cho AF = AD. lấy M là trung điểm của AC. dễ thấy M là trung điểm của EF. N là trung điểm của DE MN // DF. dễ c/m đợc DF // Ax ( Ax là phân giác của góc BAC ) MN // Ax cố định lại có M là điểm cố định đờng thẳng MN cố định . Vậy : Quỹ tích của điểm N là tia MN. Giáo viên cũng tơng tự nh các Bài toán 4, 5 ta có các bài toán sau: Bài toán 8: Cho ABC, trên cạnh AB lấy điểm D, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho BD = CE. Gọi M, N thứ tự là trung điểm của BC và DE. a, Chứng minh MN Ax ( Ax là tia phân giác của BAC ) b, Tìm quỹ tích của điểm N khi các điểm D và E thay đổi nhng vẫn thoả mãn điều kiện trên. Giải tóm tắt: a, Tơng tự Bài toán 3 ta có : MN Ax b, Theo trên ta có: 7 MN Ax cố định (1) lại có điểm M cố định (2) Từ (1) và (2) N nằm trên đờng thẳng đi qua trung điểm M của BC và với phân giác Ax của BAC. + Giới hạn: Gọi F là giao điểm của MN với AC dễ thấy M nằm trên đoạn thẳng MF. + Ngợc lại: Lấy điểm N tuỳ ý thuộc đoạn thẳng MF. Qua N kẻ đờng thẳng // AB, qua M kẻ đờng thẳng //AC chúng cắt nhau tại I, đờng nối BI cắt AC tại E ,đờng nối NE cắt AB tại D. Ta có D, E thoả mãn điều kiện bài toán ( h/s tự chứng minh). Vậy tập hợp điểm N cần tìm là đoạn thẳng MF. Bài toán 9: Cho ABC có AB < AC, D, E là 2 điểm thứ tự di động trên 2 cạnh AB và AC sao cho AD = CE. a, Chứng minh: trung điểm N của DE luôn di động trên 1 đờng cố định. b, Tìm quỹ tích của điểm N( trung điểm của DE.) ? c, Xét bài toán khi D, E thứ tự di động trên các tia AB và CA ? ( h/s tự giải) Giáo viên: ở các bài toán trên ta thấy có nhiều đoạn thẳng DE thoả mãn điều kiện bài toán. Ta nghĩ rằng cần phải khống chế DE để DE đợc xác định. Ta có bài toán sau ở dạng dựng hình. Bài toán 10: Cho ABC, xác định các điểm D, E thứ tự ở trên các tia BA, CA sao cho BD = CE và DE song song với một đờng thẳng d cho trớc. * Cách dựng: - qua B dựng đờng thẳng // d. - qua C dựng đờng thẳng với phân giác Ax của A. Gọi M là giao điểm của 2 đờng thẳng vừa dựng. qua M dựng đờng thẳng // AB cắt AC tại E. qua E dựng đờng thẳng // d cắt AB tại D. Ta có D, E là các vị trí cần tìm. * Chứng minh ( h/s tự chứng minh) * Biện luận: Dễ thấy số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số điểm chung M. - Bài toán không có nghiệm hình nếu d Ax và AB khác AC. - Bài toán có 1 nghiệm hình duy nhất nếu d không vuông góc với Ax. - Bài toán có vô số nghiệm hình nếu d Ax và tam giác ABC cân ở A. 8 Bài toán 11: Cho ABC, trên cạnh AB xác định điểm D, trên cạnh AC xác định điểm E sao cho AD = CE và DE song song với 1 đờng thẳng d cho trớc. Giải tóm tắt: Cách dựng: - qua A dựng Ay //d - qua C dựng CZ //Ax. Ay cắt CZ tại M. - qua M dựng đờng thẳng // AB cắt AC tại E. - qua E dựng đờng thẳng // d cắt AB tại D. Ta có D, E là 2 điểm cần dựng. * Chứng minh: dễ thấy D, E thoả mãn điều kiện bài toán. * Biện luận: Số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm M. - Bài toán không có nghiệm hình nếu d //Ax. - Bài toán luôn có một nghiệm hình duy nhất nếu d không song song với Ax. Bài toán 12: Cho ABC, trên các cạnh ABvà CA hãy dựng thứ tự các điểm D, E sao cho BD = CE = DE Lời giải: * Phân tích: giả sử đã dựng đợc 2 điểm D, E thoả mãn điều kiện bài toán BD = CE = DE. Lấy điểm E tuỳ ý trên tia BE. Kẻ EC // AC ( C BC) Kẻ ED // DE (D AB) dễ thấy BD = DE= CE dễ dựng đợc BDEC. Ta dựng đợc các điểm E, D. * Cách dựng: Trên AB; AC dựng các điểm D, M tuỳ ý sao cho BD = CM= m ( m > 0, chọn tuỳ ý). - Dựng đờng tròn ( D; m) cắt đờng thẳng qua M và // BC tại E. - Tia BE cắt AC tại E. - Qua E đờng thẳng // DE cắt AB tại D. Ta có: DE là đoạn thẳng cần dựng. * Chứng minh: dễ c/m DE thoả mãn điều kiện bài toán. * Biện luận: Do DE ta khống chế ở trên 2 cạnh AB, AC của ABC nên dễ thấy bài toán có một nghiệm hình duy nhất ( nếu cho DE ở trên 2 tia BA và CA thì dễ thấy số nghiệm hình của bài toán phụ thuộc vào số giao điểm E của đờng tròn ( D , m) và đờng thẳng qua M và // BC ) GV: Từ cách dựng của bài toán trên chúng ta có thể đề xuất đợc bài toán tổng quát hơn hay không ? Ta có bài toán 13: 9 Bài toán 13: Cho ABC, hãy dựng các điểm D, E thứ tự ở trên 2 cạnh AB, AC của tam giác sao cho: a, BD = CE = 2 1 DE. b, DE = 2 BD = 4 CE. c, a. BD = b. CE = c. DE ( với a, b, c > 0 cho trớc) ( học sinh giải tơng tự) Giáo viên: Trở lại nhận xét bài toán 8 ta thấy khi hai điểm D, E thay đổi nhng tổng AD + AE luôn bằng AB + AC không đổi. Chúng ta có thể tìm đợc vị trí của các điểm D và E để tam giác ADE có diện tích lớn nhất hay không ?; đoạn thẳng DE có độ dài ngắn nhất hay không ?. Ta có một số các bài toán mới về cực trị: Bài toán 14: Cho ABCcó AB > AC, góc A < 90 0 , hai điểm D và E thứ tự di chuyển trên cạnh AB và tia đối của tia CA sao cho BD = CE . a, Tìm vị trí của D, E để diện tích tam giác ADE lớn nhất. b, Tìm vị trí của D, E để độ dài đoạn thẳng DE ngắn nhất Giải: a, Ta có S ADE = AEAD. 2 1 . sin A A AEAD sin. 2 . 2 1 2 + (1) dễ thấy AD + AE = AB + AC (2) Từ (1) và (2) S ADE A ACAB sin. 2 . 2 1 2 + (không đổi) S ADE lớn nhất AD = AE = 2 ACAB + b, Trên cạnh AB, trên tia đối của tia CA thứ tự lấy hai điểm D và E sao cho AD = AE = 2 ACAB + . Trên cạnh AB, trên tia đối của tia CA thứ tự lấy 2 điểm D; E tuỳ ý sao cho BD = CE ( D D; E E ). Ta dễ chứng minh đợc DE > DE. Vậy vị trí của D, E cần tìm thoả mãn AD = AE = 2 ACAB + Giáo viên: Đối với những em nào yêu toán, các em hãy làm thêm bài toán sau Bài toán 15: Cho ABC, hai điểm D và E thứ tự di chuyển trên các tia AB và AC sao cho BD = CE. a, Tìm vị trí của D và E để đoạn thẳng DE ngắn nhất. b, Tìm vị trí của D, E để ADE có diện tích lớn nhất ( Học sinh tự giải) Giáo viên: trở lại các bài toán trên các em hãy nghiên cứu tính chất của đờng trung trực của đoạn thẳng DE khi các điểm D và E thay đổi nhng vẫn thoả mãn BD = CE ? Chúng ta có các bài toán mới 10 Bài toán 16: Cho ABC,2 điểm D, E thứ tự di động trên cạnh AB và AC sao cho BD = CE .Chứng minh rằng các đờng trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 17: Cho ABC,2 điểm D, E thứ tự di động trên tia BA và tia đối của tia CA sao cho BD = CE. Chứng minh rằng: Các đờng trung trực của DE luôn đi qua một điểm cố định. GV: Những bài toán ở dạng này giáo viên phải chỉ cho các em biết đợc các bớc đi tìm điểm cố định rồi sau đó chứng minh. Bài toán này sử dụng kiến thức ở lớp 9 chúng ta giải rất dễ. Sau đây là lời giải để bồi dỡng cho học sinh lớp 7. Lời giải: Ta có: khi D P thì E C lúc này đờng trungtrực của DE là đờng trung trực d của đoạn thẳng BC. Khi D A vì E ở vị trí M trên Cx sao cho CM = AB Lúc này trung trực của DE là đờng thẳng d trung trực của đoạn thẳng AM. Gọi I là giao điểm của d và d Ta c/m I đờng trung trực của đoạn thẳng DE. Dễ c/m đợc: IAB = IMC (c,c,c) ABI = ICM (1) có (1) ta dễ c/m đợc IBD = ICB ( c, g. c) ID = IE I đờng trung trực của đoạn thẳng DE. mà I cố định đờng trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua điểm I cố định Bài toán 18 : Cho ABC, 2 điểm D, E thứ tự di động trên 2 cạnh AB và AC sao cho AD = CE. Chứng minh rằng: Các đờng trung trực của đoạn thẳng DE luôn đi qua một điểm cố định. ( học sinh tự giải tơng tự nh bài toán 17) GV: ở những bài toán trên: giả thiết cho ta BD = CE CE BD = 1. Phải chăng tỉ số này là trờng hợp đặc biệt của tỉ số CE BD = k ( k > 0 cho trớc). Từ đó tự nhiên ta nghĩ rằng các bài toán trên chỉ mới là trờng hợp đặc biệt khi các điểm D và E đã cho trong bài toán thoả mãn CE BD = k. Hãy đề xuất các bài toán mới ? Bài toán 19: Cho ABCD có AB và CD không song song với nhau. Trên cạnh BC và AD thứ tự lấy 2 điểm M, N sao cho AC AB ND NA MC MB == . a, Chứng minh: MN tạo với AB và CD các góc bằng nhau. 11 [...]... HK khi M di động ( Học sinh tự giải) C Kết luận: Là ngời trực tiếp giảng dạy và bồi dỡng học sinh giỏi nhiều năm, chúng tôi đã tích luỹ đợc khá nhiều kinh nghiệm, song kinh nghiệm mà chúng tôi đã chia sẻ với các bạn trên đây chúng tôi cho là tâm đắc nhất bởi tính hiệu quả của nó : Học sinh rất hứng thú học tập Kết quả kiểm định chất lợng, kiểm định chất lợng học sinh giỏi huyện, thi học sinh giỏi tỉnh... MK ( hình vẽ ) Ngợc lại: Lấy N là điểm tuỳ ý thuộc đoạn thẳng MK Qua N,M thứ tự vẽ các đờng thẳng song song với AC và AB chúng cắt nhau tại I, đờng nối CI cắt AB tại D, đờng nối DN cắt AC tại E Ta dễ chứng minh đợc ND BD = =k NE CE (t/mđkbt) Vậy quỹ tích của điểm M là đoạn thẳng MK b, ( Là trờng hợp riêng của câu a, học sinh tự giải) c, Ta có: Khi D B thì E C Khi đó O P là trung điểm của BC Vẽ hình. .. = CE AC BD =k ? CE ? ( k >0 cho trớc) GV: Tơng tự nh trên các em hãy tìm thêm và đề xuất các bài toán mới về dựng hình , cực trị GV: Nh vậy, ở các bài toán trên nếu cho biết BD = CE chúng ta đã thu đợc nhiều kết quả hay Vấn đề thực tế cho thấy chúng ta lại thờng gặp những bài toán có hình thức khác với những bài toán cơ bản trên, giả thiết BD = CE bị chìm đi nhng chúng ta có thể chứng minh đợc Từ... Kết quả kiểm định chất lợng, kiểm định chất lợng học sinh giỏi huyện, thi học sinh giỏi tỉnh lớp 16 9 đều đạt kết quả cao và ổn định, có nhiều em thờng xuyên có bài đăng ở báo Toán học tuổi trẻ Kinh nghiệm có thể bồi dỡng cho học sinh các khối: 7; 8,9 Kinh nghiệm trình bày có phần vắn tắt, mang tính chất ví dụ, nặng về hớng dẫn hơn là trình bày cụ thể Một số bài toán cha có lời giải chủ ý là dành cho... điểm của DF Dễ thấy Q thuộc tia BQ cố định (2) Từ (1) và (2) ta suy ra điểm O di động trên đờng thẳng cố định đi qua P và song song với tia BQ cố định Giới hạn: Dễ thấy O di động trên đoạn thẳng PH ( nh hình vẽ ) Ngợc lại: Lấy O là điểm tuỳ ý thuộc đoạn thẳng PH Qua O kẻ đờng thẳng // BC, đờng thẳng này cắt BQ tại Q Qua Q kẻ đờng thẳng // DF cắt AB tại D Đờng nối DO cắt Ac tại E Ta dễ c/m đợc O là trung... tiếp tam giác ABC tại J a, Chứng minh : Ba điểm I, M, J thẳng hàng b,Gọi K là trung điểm của EF, tia MK cắt AC và tia BA thứ tự tại P và Q Chứng minh tam giác PAQ cân (Đề thi HS giỏi tỉnh Nghệ An năm học 2006 _2007) Lời giải tóm tắt: a, Gọi O là tâm đờng tròn (A, B, C) I là giao điểm của đờng thẳng MJ với đờng tròn (O) Dễ thấy 3 điểm J, M, O đều cách đều 2 đầu mút của đoạn thẳng BC Nên 3 điểm J, M,... toán cha có lời giải các bạn hãy chú ý đến những bài toán trớc đó thì việc giải những bài toán còn lại cũng không khó khăn lắm Trong bài viết này, có sử dụng một số mệnh đề, bất đẳng thức cơ bản dành cho học sinh giỏi Mặc dù rất cố gắng song vấn đề trình bày không tránh khỏi các khiếm khuyết mong các bạn góp ý chân thành.- Xin cảm ơn- Chúc các bạn thành công Nhóm tác giả 17 . giác BK 1 D (Hình 1b) 2 + MN là đờng trung bình của tam giác CAK 2 (Hình 1c) + MN là đờng trung bình của tam giác DBK 3 (Hình 1d) Hình 1c Hình 1d Cách. tính hiệu quả của nó : Học sinh rất hứng thú học tập. Kết quả kiểm định chất lợng, kiểm định chất lợng học sinh giỏi huyện, thi học sinh giỏi tỉnh lớp