Lý thuyết xác suất và thống kê toán Chuong 1

https://www.facebook.com/chunli94 Tổng quan Chương I thường coi chương khó môn Xác suất - Thống kê, có lượng công thức đơn giản, dễ nhớ Đứng trước toán Xác suất cổ điển, thường ta bị bối rối câu từ, vấn đề toán đặt cần đâu Đi tìm lời giải toán qua bước sau, bạn thấy thứ đơn giản nhiều Bước 1: Tóm tắt đề Bước 2: Đặt biến cố tìm quan hệ chúng Chìa khóa toán xác suất không nằm công thức mà nằm biến cố Biểu diễn câu hỏi trường hợp liên quan qua biến cố Chú ý đặt biến cố: - Chỉ nên đặt biến cố sơ cấp (biến cố biểu diễn thành tổng biến cố khác) - Đặt biến cố cho số biến cố tối thiểu, dễ dàng biểu diễn xác suất cần tính qua kí hiệu quan hệ biến cố Đặc biệt liên quan đến quan hệ biến cố: giao, hợp đối lập để biểu diễn quan hệ biến cố Bước 3: Sử dụng công thức xác suất để tính Nhìn chung Xác suất chương I có dạng chính, ví dụ lưu ý cho dạng I Dạng sử dụng công thức cộng, công thức nhân, công thức xác suất Ví dụ 1: Một hộp có viên bi trắng, viên bi đen Bốc viên bi Xác suất để viên bi bốc trắng trường hợp sau: a) Bốc đồng thời c) Bốc lần lượt, không hoàn lại b) Bốc lần lượt, có hoàn lại Giải: a) Gọi A biến cố viên bi bốc trắng Số cách bốc viên bi từ 10 viên C102 Số cách bốc viên bi trắng C72 Vậy xác suất viên bi trắng C72  C10 15 b) Gọi A biến cố bốc bi trắng lần B biến cố bốc bi trắng lần  Tại không gọi trực tiếp A biến cố lần bốc bi trắng? https://www.facebook.com/chunli94 Khi ta cần tính xác suất P(AB) Áp dụng công thức nhân ta có P(AB) = P(A) P(B/A) =  Tại P(A) = 7 49  10 10 100 7 P(B/A) = 10 10 c) P(AB) = P(A) P(B/A) = 7  10 15  Sự khác biệt câu b câu c gì? Ảnh hưởng đến P(B/A) Ví dụ 2: (đề cô Hương) Tiến hành bắn phát súng vào bia, điểm tối đa phát súng 10 Xác suất điểm 0,25 Xác suất điểm 0,4 Xác suất 30 điểm với lần bắn 0,001 Xác suất để đạt tổng số 28 điểm? Giải  Các bạn có để ý đề thừa kiện? Gọi Ai biến cố đạt điểm lần bắn thứ i (i = 1,2,3) Bi biến cố đạt điểm lần bắn thứ i (i = 1,2,3) Ci biến cố đạt 10 điểm lần bắn thứ i (i = 1,2,3)  Tại xét biến cố đạt – – 10 điểm? Xác suất để đạt tổng số 28 điểm là: P(A1C2C3 + C1A2C3 + C1C2A3 + B1B2C3 + B1C2B3 + C1B2B3) = P(A1C2C3) + P(C1A2C3) + P(C1C2A3) + P(B1B2C3) + P(B1C2B3) + P(C1B2B3) (Tách thành tổng xác suất biến cố xung khắc với nhau) = 0,02625  Dùng công thức nhân nào? https://www.facebook.com/chunli94 II Dạng sử dụng công thức xác suất đầy đủ - Công thức Bayes Nhận diện toán sử dụng công thức xác suất đầy đủ: Có công đoạn thực hiện, tính chất khác cần xét đến để đến biến cố cuối cần tính xác suất Nhận diện toán sử dụng công thức Bayes: Có công đoạn thực hiện, tính chất khác cần xét đến Bài toán có từ “Biết rằng” “Giả sử” Ví dụ 3: (đề thầy Lâm Sơn) Có lô sản phẩm Lô có 10 phẩm, phế phẩm Lô có 16 phẩm, phế phẩm Từ lô lấy ngẫu nhiên sản phẩm Sau lấy từ sản phẩm sản phẩm Xác suất để sản phẩm sau phẩm bao nhiêu? Giải: a) Ta biết toán sử dụng công thức xác suất đầy đủ biến cố cuối: sản phẩm cuối phẩm thực qua công đoạn: chọn sản phẩm từ lô chọn sản phẩm cuối từ sản phẩm chọn Gọi A biến cố sản phẩm sau phẩm Làm để xác định hệ biến cố đầy đủ? Hãy quan tâm đến sau công đoạn thứ ta thu khả Đó hệ đầy đủ ta cần xác định Trong ví dụ trên, công đoạn thứ chọn sản phẩm từ lô Vì hệ đầy đủ ta là: H1: Chọn phẩm từ lô 1, phế phẩm từ lô H2: Chọn phế phẩm từ lô 1, phẩm từ lô H3: Chọn phẩm từ lô H4: Chọn phế phẩm từ lô Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A/H1).P(H1) + P(A/H2).P(H2) + P(A/H3).P(H3) + P(A/H4).P(H4) Khi tính xác suất H1, H2, H3, H4, ta lưu ý tổng xác suất hệ đầy đủ P(H1) = 10 2  ; P(H2) = ; P(H3) = ; P(H4) = 12 20 15 30  Tại tính xác suất P(H2), P(H3), P(H4)? https://www.facebook.com/chunli94 A/H1: Biến cố A xảy biến cố H1 xảy Nghĩa chọn phẩm từ sản phẩm, có phẩm phế phẩm Hiển nhiên P(A/H1) =  Tương tự, tính xác suất lại kết luận kết cuối Đáp số: 49 60 Lưu ý công thức Bayes ngược lại với công thức xác suất đầy đủ Các bước làm gần giống y hệt phần xác suất đầy đủ, khác công thức cuối Ví dụ 4: (đề cô Hương) Có 15 hộp bi, có hộp loại 1, hộp bi trắng, bi đỏ; hộp loại 2, hộp bi trắng, bi đỏ; hộp loại 3, hộp bi trắng, bi đỏ Lấy ngẫu nhiên hộp, từ hộp lấy bi Biết bi lấy bi đỏ Xác suất để bi thuộc hộp loại 1? Giải: Có từ “Biết” nên sử dụng công thức Bayes Gọi A biến cố bốc bi đỏ  Cần gọi hệ đầy đủ H1, H2, H3 đây? Công thức: P( H1/ A)  P(H1) = P( A / H1).P( H1) P( A / H1).P( H1)  P( A) P( A / H1).P( H1)  P( A / H 2).P( H 2)  P( A / H 3).P( H 3) C2 ; P(A/H1) = 52 C8  Tính tương tự với xác suất lại Đáp số: 495 1031 https://www.facebook.com/chunli94 III Dạng tính toán với xác suất Đây toán có lời văn nữa, mà cho số biểu thức xác suất A, B, C cho trước, sau vận dụng phép tính xác suất để tính biểu thức đề yêu cầu Công thức cần nhớ: 1.P( A  B)  P( A)  P( B)  P( AB) 2.P( AB)  P( A).P( B / A)  P( B).P( A / B ) P( AB) P( AB) 3.P( A / B )  ; P( B / A)  P( B) P( A) Một số quan hệ biến cố quan trọng: X  Y  X Y 4.P( A)  P( A)  Lưu ý xác suất quan trọng: P( AA)  XY  X  Y X (Y  Z )  XY  XZ 5.P( A / B )  P ( A / B )  Ví dụ 5: Cho P( A)  /10; P( B)  1/ 2; P( B / A)  / Tính P( A / B); P(( A  B) / A) Giải: P( AB)  P( A).P( B / A)  P(( A  B) / A)  P( AB)  P( A / B)   50 P( B) 25 P(( A  B) A) P( AA  BA) P( BA)    P( B / A)  P( A) P( A) P( A)  Tính P( AB  AB) Đáp số: 11 25 ... 28 điểm là: P(A1C2C3 + C1A2C3 + C1C2A3 + B1B2C3 + B1C2B3 + C1B2B3) = P(A1C2C3) + P(C1A2C3) + P(C1C2A3) + P(B1B2C3) + P(B1C2B3) + P(C1B2B3) (Tách thành tổng xác suất biến cố xung khắc với nhau)... 2: (đề cô Hương) Tiến hành bắn phát súng vào bia, điểm tối đa phát súng 10 Xác suất điểm 0,25 Xác suất điểm 0,4 Xác suất 30 điểm với lần bắn 0,0 01 Xác suất để đạt tổng số 28 điểm? Giải  Các bạn... Theo công thức xác suất đầy đủ ta có: P(A) = P(A/H1).P(H1) + P(A/H2).P(H2) + P(A/H3).P(H3) + P(A/H4).P(H4) Khi tính xác suất H1, H2, H3, H4, ta lưu ý tổng xác suất hệ đầy đủ P(H1) = 10 2  ; P(H2)