DE DA CHUYEN TOAN LE HONG PHONG NAM DINH 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NAM ĐỊNH ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUYÊN Năm học 2014 – 2015 Môn: TOÁN (chuyên) ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 150 phút ( Đề thi gồm 01 trang) Bài 1: (2,0 điểm): 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: 1    a + b + c = a b c Chứng minh  a  1 b  1 c  1   n   2) Với số nguyên dương n; chứng minh     n số nguyên dương Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình    x   x   x  x  12   x3  xy  y  y  2) Giải hệ phương trình  hôm qua đánh nhầm y     x  x2   Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AA1; BB1; CC1 tam giác ABC cắt H Đường thẳng AA1 cắt đường tròn (O) K khác A 1) Chứng minh A1 trung điểm HK 2) Hãy tính HA HB HC   AA1 BB1 CC1 3) Gọi M hình chiếu vuông góc O BC Đường thẳng BB1 cắt (O) giao điểm AN  AB1   thứ hai E, kéo dài MB1 cắt AE N Chứng minh  NE  EB1  Bài 4: (1,0 điểm): Tìm số nguyên x; y thỏa mãn x3  y  3xy  Bài 5: (1,5 điểm): 1) Trên bảng ghi số nguyên dương có hai chữ số trở lên Người ta thiết lập số cách xóa chữ số hàng đơn vị số cho, sau cộng vào số lại lần số vừa bị xóa Ban đầu bảng ghi số 6100 Hỏi sau số bước thực ta thu 1006 hay không ? Tại ? 2) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3xyz Chứng minh rằng: x2 y2 z2    x  yz y  xz z  xy Hết Hướng dẫn giải: Bài 1: (2,0 điểm): 1    a + b + c = a b c 1) Cho a, b, c số thực thỏa mãn: Chứng minh  a  1 b  1 c  1  Từ GT ta có:  1 1 ab ab 1 1 1           0 0 a b c abc  a b c abc ab c  a  b  c  ab ab     a  b  c  a  b  c   ab     a  b  ca  cb  c  ab   ab c  a  b  c  a  b    a  b  c  b  a  c    c  b  c  a  Nếu a + b = => c = => c – = =>  a  1 b  1 c  1  Nếu c + b = => a = => a – = =>  a  1 b  1 c  1  Nếu a + c = => b = => b – = =>  a  1 b  1 c  1  Vậy ta có đpcm n     n 2) Với số nguyên dương n; chứng minh    số nguyên dương Bài 2: (2,5 điểm): 1) Giải phương trình    x   x   x  x  12  x   a  0; x   b   a  b  PTTT: a  b  a  b 1  ab   a  b2   a  b 1  ab  a  b     1  ab  a  b  +) với a  b taco : x   x  vô nghiệm ĐKXĐ x  , đặt a   x    x   vonghiem  b   x    x    x  3(TM ) +) với  ab  a  b    a  1 b  1    PT cho có nghiệm x =  x3  xy  y  y 1  2) Giải hệ phương trình    x3   2 y   x 1   x  y2   x  y2 1   x  y   xy  y   x  y  x  xy  y  y     2  x  xy  y  y   3 x  2  Thỏa mãn (2)  3   x  y   y  y      y  Với x  y Bài 4: (1,0 điểm): Tìm số nguyên x; y thỏa mãn x3  y  3xy  2 x3  y  xy    x  y   xy  x  y   xy  , đặt x + y = a xy = b (a, b nguyên) ta có: a  3ab  3b    a  1  a  a  1  3b  a  1    a  1  a  a   3b   Vì a, b nguyên nên có TH sau : a  a    1)   1 (loại) b  a  a   3b   a   a  x  y  2)   (nhận)     x; y    0;1 , 1;0  b  xy  a  a   b      a   1  a  2  x  y  2 3)   (nhận)     x; y   b   xy  a  a   3b  2 a   2 a  3  x  y  3 4)   (nhận)     x; y   b  xy  a  a   b      Vậy  x; y    0;1 , 1;  A Bài 3: (3,0 điểm): Cho tam giác ABC a) góc A1 = góc C2 = góc C1 => ∆CHK cân C, CA1 đ/cao + đ trung trực => đpcm b) Có: HA HB HC  HA1   HB1   HC1     1    1    1   AA1 BB1 CC1  AA1   BB1   CC1  E B1 C1 H  HA HB1 HC1   3     AA1 BB1 CC1  S S S     HBC  HAC  HBA      S ABC S ABC S ABC  N B c) Từ GT => M trung điểm BC => => ∆B1MC cân M => góc MB1C = gócMCB1 = góc AB1N => ∆CBB1 đồng dạng ∆B1AN (g-g) => B1 N  AE Áp dụng hệ thức lương tam giác vuông ta có: A1 O M K  AB1  AN AE AN  (đpcm)    EN EA EN  EB1  Bài 5: (1,5 điểm): 2) Cho số thực dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  3xyz Chứng minh rằng: A x2 y2 z2    4 x  yz y  xz z  xy Vì x, y, z dương, áp dụng BĐT Cô-si ta có: +) x yz  x  yz  2x2 x2    1 x  yz yz yz x  yz 1 1 1        (2) yz y z yz  y z  y2 11 1 x2 11 1     ; Từ (1) (2) => :     Tương tự : y  xz  x z  x  yz  y z   1 1 1   1  xy  yz  zx (3)  A             4 y z x z x y 2 y z x xyz +) Lại có xy  yz  zx  x  y  z (4) z2 11 1     z  xy  x y  C x  y  z 3xyz    đpcm xyz xyz Dấu « = » xảy x  y  z  Từ (3) (4) có :  A   Bài phần 2) phần 1) Bác có lời giải hay post lên để ace đồng nghiệp tham khảo !