Môn bất đẳng thức và áp dụng Hamtuadondieu 2

2.2 Hàm tựa đơn điệu

Nhiều trường hợp ứng dụng về áp dụng lý thuyết hàm đồng biến, nghịch biến không còn đúng

Ví dụ: hàm f(x) = sinx đồng biến trong khoảng

Xét các góc trong tam giác ABCNếu A< B thì Sin A < Sin B

Như vậy f(x) = sinx không đồng biến trong khoảngNhưng bất đẳng thức

A  B  sinA  sin B

)2/,0( 

),0( 

Giả sử hàm số xác định và đơn điệu tăng trên Khi đó, với mọi ta đều có

và ngược lại, ta có

Tuy nhiên, trong ứng dụng, có nhiều hàm số chỉ đòi hỏi có tính chất yếu hơn, chẳng hạn như:

thì không nhất thiết phải là một hàm đơn điệu tăng trên

Bài toán 2.1 Nếu là các góc của thì

Như vậy, mặc dù hàm không đồng biến trong ta vẫn có bất đẳng thức (suy từ (2.7)), tương tự như đối với hàm số đồng biến trong

Định nghĩa 2.1 Hàm số xác định trong

được gọi là hàm số tựa đồng biến trong khoảng đó, nếu

Tương tự, ta cũng có định nghĩa hàm tựa nghịch biến trong một khoảng cho trước.

Định nghĩa 2.2 Hàm số xác định trong

được gọi là hàm số tựa nghịch biến trong khoảng đó, nếu

Bài toán 2.2 Mọi hàm tựa đồng biến trong

đều đồng biến trong khoảng

Khi đó hàm số

là hàm số tựa đồng biến trong

Định lý 2.13 Mọi hàm xác định trong và

thoả mãn các điều kiện:

(i) đồng biến trong khoảng (ii)

đều là hàm tựa đồng biến trong khoảng đã cho.