tr−êng thcs chu m¹nh Trinh §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng n¨m häc 2016 - 2017 M«n: To¸n Ngµy thi: 19 th¸ng 05 n¨m 2017 Thêi gian lµm bµi: 120 Bài (2,0 điểm) Tính giá trị biểu thức sau: 2017 a) A = + + + + 2017 1 b) B = 2017 − − − − − : + + + + 2020 20 25 30 10100 c) Thực phép tính: A = 5.(22.32 )9 (22 )6 − 2.(22.3)14 34 5.228.318 − 7.229.318 Bài (1,5 điểm) a) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 b) Cho a, b số nguyên thỏa mãn (a2 + b2 ) chia hết cho Chứng minh a b chia hết cho Bài (1,0 điểm) Cho p số nguyên tố lớn 2p + số nguyên tố, 4p + số nguyên tố hay hợp số? Vì sao? Bài (1,5 điểm) Cho phân số A = 3n + 6n (n ∈ ℕ; n ≠ 0) a) Viết phân số A dạnh tổng hai phân số mẫu b) Với giá trị n phân số A có giá trị lớn ? Tìm giá trị lớn A Bài (2,0 điểm) a) Tìm hai số tự nhiên a, b biết a 2 − = b 15 b) Tìm chữ số x, y, z để số 579xyz chia hết cho 5, Bài (2,0 điểm) Cho xAy = 90O Trên tia Ax lấy điểm C khác A, tia Ay lấy điểm O, I, B đôi khác nhau, I trung điểm AB, AB = 12cm, AO = cm a) O có trung điểm BI không? Vì sao? b) Giả sử tia Ay lấy điểm : A1 , A2 , A3 , … , An đôi khác khác A Nối CA1 ; CA2 ; CA3 ; … ;CAn Người ta đếm thấy hình vẽ có 171 tam giác khác Vậy Ay có điểm phân biệt khác A? - Hết * Ghi chú: Học sinh không sử dụng máy tính cầm tay tr−êng thcs chu m¹nh Trinh H−íng dÉn chÊm §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng n¨m häc 2016 - 2017 M«n: To¸n Ngµy thi: 19 th¸ng 05 n¨m 2017 Câu Ý Nội dung Điểm 2004 A = + + + + ⇒ 3.A = 3(3 + 32 + 33 + + 32004 ) = 32 + 33 + + 32004 + 32005 a ⇒ 2A = 32005 − 0,5 3(32004 − 1) ⇒A= 2017 1 B = 1 − + 1 − + + 1 − : + + + 2020 2020 b 0,75 = 15 c 5.(22.32 )9 (22 )6 − 2.(22.3)14 34 A= 5.228.318 − 7.229.318 5.218.318.212 − 2.228.314.34 5.230.318 − 29.318 = = 5.228.318 − 7.229.318 28.318 (5 − 7.2) 29.318 (5.2 − 1) 2.9 = 28 18 = = −2 (5 − 14) −9 Gọi số cần tìm a ta có: (a-6) ⋮ 11 ;(a-1) ⋮ 4; (a-11) ⋮ 19 (a-6 +33) ⋮ 11 ; (a-1 + 28) ⋮ ; (a-11 +38 ) ⋮ 19 (a +27) ⋮ 11 ; (a +27) ⋮ ; (a +27) ⋮ 19 a Do a số tự nhiên nhỏ nên a+27 nhỏ Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) Từ tìm : a = 809 - Chứng minh được: Bình phương số nguyên chia cho số dư là - Nếu a2 b2 không chia hết cho a2 + b2 chia cho dư dư b 2, điều trái với (a2 + b2 ) chia hết cho Vậy a2 b2 chia hết cho Do số nguyên tố nên a b chia hết cho p số nguyên tố lớn nên p không chia hết cho 0,75 0,75 0,75 Do p có hai dạng: 3k +1 3k +2 ( với k số tự nhiên) - Nếu p = 3k +1 2p + = 6k + 3, chia hết cho Mà 2p + > nên 2p+1 hợp số ( mâu thuẫn với điều kiện toán) - Suy p = 3k +2 Khi đó: 4p + = 12k + 9: chia hết cho Mà 4p + > nên 4p + hợp số a 3n + 3n = + 6n 6n 6n A= + 6n A= Do n số tự nhiên, để A lớn ⇔ b giá trị nhỏ Do 6n > ; 6n ⋮ ⇒ 6n = ⇔ n = 0,5 có giá trị lớn ⇔ 6n có 6n Vậy n = A có giá trị lớn Ta có a a 2 a 30 − = ⇒ = − ⇒ = 3a − số tự nhiên ⇒ b 15 b 15 b 30 ⋮ b ⇒ b ∈ {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30} 0,75 Thử giá trị ⇒ (a;b) ∈ {(4;3); (1;30)} Ta có 579xyz ⋮ (5.7.9) ⇒ 579xyz = 315k ( k ∈ ℕ ) b Ta có 579000 ≤ 579xyz ≤ 579999 ⇒ 1838 30 84 ≤ k ≤ 1841 315 315 ⇒ k ∈ {1839;1840;1841} ⇒ 579xyz ∈ {57928;579600;579915} ⇒ xyz ∈ {28;600;915} a)Trên tia Ay có AB > AO nên O nằm A,O Tính OB = a IB = Vậy O trung điểm IB b)Tính được: Có n điểm khác Ax có 0,75 1,0 n(n − 1) tam giác b khác Tính n = 19 Kết luận Ay có 18 điểm phân biệt khác A - Hết - 1.0 ...tr−êng thcs chu m¹nh Trinh H−íng dÉn chÊm §Ò thi häc sinh giái cÊp tr−êng n¨m häc 20 16 - 2017 M«n: To¸n Ngµy thi: 19 th¸ng 05 n¨m 2017 Câu... = 6k + 3, chia hết cho Mà 2p + > nên 2p+1 hợp số ( mâu thuẫn với điều kiện toán) - Suy p = 3k +2 Khi đó: 4p + = 12k + 9: chia hết cho Mà 4p + > nên 4p + hợp số a 3n + 3n = + 6n 6n 6n A= + 6n... trị nhỏ Do 6n > ; 6n ⋮ ⇒ 6n = ⇔ n = 0,5 có giá trị lớn ⇔ 6n có 6n Vậy n = A có giá trị lớn Ta có a a 2 a 30 − = ⇒ = − ⇒ = 3a − số tự nhiên ⇒ b 15 b 15 b 30 ⋮ b ⇒ b ∈ {1; 2; 3; 5; 6; 10; 15; 30}