PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN NĂM HỌC 2014 – 2015 Thời gian làm bài: 120 phút Thi ngày 20 tháng năm 2014 Bài 1: a, Cho A = 2014 − 2013; B= 2015 − 2014 So sánh A B b, Tính giá trị biểu thức: B = + 13 + − 13 Bài 2: a, Giải phương trình : x − + x + x + x + = + x − b, Giải phương trình nghiệm nguyên : y2 = - 2(x6- x3y - 32) Bài 3: a, Giả sử x, y số không âm thỏa mãn điều kiện x + y = Tìm giá trị nhỏ nhất,giá trị lớn x + y b, Cho a,b,c ba số dương Chứng minh : 1 1 + + ≥ 3 + + a b c a + 2b b + 2c c + 2a Bài 4: Cho tam giác ABC vuông A, đường cao AH.Gọi D, E lân lượt hình chiếu H AB, AC Chứng minh: a = b.DE = DB.CE.BC c = + Bài 5: Chứng minh rằng: A =5 ( +1) - ( + ) chia hết cho 91 với số tự nhiên n -Hết- ĐÁP ÁN ĐỀ THI KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN TOÁN LẦN – 2014 BÀI Ý a NỘI DUNG ( A= 2014 − 2013 ( 2015 − 2014 B= ( ( )( 2014 + 2013 2014 + 2013 )( ) 2015 + 2014 2015 + 2014 ) )= )= ĐIỂM 2014 + 2013 2015 + 2014 Mà 2014 + 2013 < 2015 + 2014 Nên b B3 = + 1 > hay A > B 2014 + 2013 2015 + 2014 B 1 B3 +9B – 10 = (B- 1)(B2 + B + 10 ) = B=1 ĐK: x a Đặt = a; = b; ( a; b Ta có : a + b = + ab (a – 1) (b – 1) = a = b = TH : a = TH2 : b = b y2 = -2(x6 – x3y – 32) Áp dụng bất đẳng thức Bnhiakops xki (x + y)2 2(x2 + y2) =2 ( x2 + y2 = 1) 0.5 A= a (x + y) – (x2 + y2) = x(1 – x)+ y(1-y) Vì x ; y 0.5 A= Vậy Min A = b Với x, y, z ( Áp dụng bất đẳng thức ta có : Suy : A E D C H B a ( Ta lét) b c = = = = A = (25n – 18n) – (12n – 5n) Do: (25n – 18n) M(25 – 18)= ; (12n – 5n) M(12 – 5) = nên A M7 Mặt khác: A = (25n – 12n) – (18n – 5n) Do: (25n – 12n)M(25 – 12)= 13 ; (18n – 5n) M(18 – 5) = 13 nên A M13 Tóm lại: A vừa chia hết cho 7, vừa chia hết cho 13, mà (7 ; 13) = 1 Nên A M7.13 hay A M91 PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 01 trang) ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Thời gian: 120 phút (Không kể thời gian giao đề) Thi ngày 24 tháng 11 năm 2014 Câu (2.0 điểm) a Rút gọn biểu thức sau: A = 2( + 1) − ; b B = − − − + − b Tìm x; y ∈ Z biết: xy + xy − y + x = Câu (2.0 điểm) Giải phương trình sau : a − x − − x = b x + x + + = x − x + + x Câu (2.0 điểm) x− y a Tính giá trị Q = biết y ≠ 0; x + y ≠ x − y = xy x+ y b Tìm giá trị nhỏ M = x + y + xy − x − y + a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ c Cho a, b, c > Chứng minh rằng: b+c c+a a +b Câu (3.0 điểm) Cho ∆ ABC vuông A, đường cao AH Vẽ đường tròn tâm O đường kính AH, đường tròn cắt AB, AC D E Gọi M; N trung điểm BH, CH a Chứng minh MD // NE b Chứng minh trực tâm tam giác AMN trung điểm đoạn thẳng OH c Tam giác ABC có thêm điều kiện để tam giác AMN có diện tích nhỏ nhất? Câu (1.0 điểm) Cho đa giác có chu vi Chứng minh có hình tròn bán kính R = chứa toàn đa giác 4 Hết./ Họ tên: Số báo danh ĐÁP ÁN THI HSGHUYỆN NĂM HỌC 2014-2015 MÔN THI: TOÁN Nội dung Điểm 2( + 1) − = 0.5 PHÒNG GD&ĐT THANH CHƯƠNG Câu Ý a A = ( + 1) − = ( + 1) ( − 1) = ( + 1)( − 1) = 0.5 B2 = ( − − − + − ) = - − + = -2( Câu − ) = - = ( - 1)2 B < nên B = 1- b 4y xy + xy − y + x = ⇔ x( y + y + 1) = y ⇔ x = Vì x; y ( y + 1) nguyên mà (y; y+1) = nên (y+1) ước ⇔ y +1 = 2, 0, 1, -1, -2; 0.5 suy y = 1; -1; 0; -2 -3 từ HS tìm x tương ứng a ĐK: − x ≥ hay x ≤ − x − − x = ⇔ 0.5 ( − x − 1) = ⇔ 0.5 3 − x = ⇔ x = thỏa mẫn ĐK nghiệm phương trình x = Câu b ĐK x + x + ≥ ⇔ (4 x + 1)( x + 1) ≥ ⇔ x ≥ − x ≤ −1 4 x + x + − x − x + = x − Đặt x + x + = m va x − x + = n 2 0,25 0,25 0.25 0.25 Ta có m – n = m – n ⇔ (m - n)(m + n – 1) = nên m= n Câu m = 1- n từ HS tìm x đối chiếu ĐK để kết luận a Ta có: x − y = xy ⇔ x2 – y2 – y2 – xy = ⇔ (x + y)(x – 2y) 0.25 = suy ra: x = 2y ta có Q = 1/3 b M = x + y + xy − x − y + = (x + y)2 - 2(x + y) + + y2 – y +1/4 – 1/4 0.25 0,25 0,5 M = (x + y -1)2 + (y - 1/2)2 - 1/4 ≥ -1/4 Vậy M = -1/4 x = y = 1/2 c Ta có: a2 a2 b+c b+c a2 b + c b + c b + c 4a − b − c = + − ≥2 − =a− = b+c b+c 4 b+c 4 4 b2 4b − a − c c2 4c − a − b ≥ ≥ Tương tự Cộng vế với vế ta a+c a+b 0.5 0.25 có a2 b2 c2 a+b+c + + ≥ b+c c+a a +b Câu 0.25 a Tứ giác ADHE HCN suy ra: D; O; E thẳng hang HS chứng minh MD ⊥ DE ( góc MDH = góc MHD; góc ODH = góc OHD) Tương tự: NE ⊥ DE Suy ra: MD // NE Kẻ MK ⊥ AN MK cắt OH G, tam giác ABC vuông A có AH 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 đường cao nên AH2 = HB.HC suy b HB AH HB AH HB AH = ⇔ = ⇔ = 1 AH HC OH HN Vậy ∆HOB : ∆HNA suy AH HC 2 0.5 góc HBO = góc HAN mà góc HAN = góc HMK (góc có cạnh tương ứng vuông góc) nên góc HBO = góc HMK suy BO // MK M trung điểm BH suy G trung điểm OH c Ta có S ∆AMN = 0.25 0.5 AH MN R R = R.MN = R ( HM + HN ) = ( HB + HC ) ≥ HB.HC = R AH 2 0.25 = 2R2 Vậy SAMN nhỏ 2.R2 HB = HC hay tam giác ABC vuông cân Câu 0.25 Lấy điểm A cạnh đa giác, lấy điểm B cạnh khác đa giác cho AB chia chu vi đa giác thành hai phần có độ dài 1/2 Gọi O trung điểm AB Lấy D điểm tùy ý thuộc cạnh đa giác nằm đa giác Lấy điểm E đối xứng với D qua O Tứ giác AEBD HBH AD + DB < 1/2 mà DE < AD + DB