UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) x+2 x x −1 + + Bài (2,0đ): Cho P = ÷: x x − x + x + 1 − x a/ Rút gọn biểu thức P (0,75đ Khá) b/ Tìm x để P = (0,75đ Khá) c/ So sánh P2 với 2P (0,5 Khá) Bài (2,0đ): 1/ Giải phương trình: x = x − 1 + − (1đ Giỏi) x x 2/ Trên mặt phẳng tọa độ, cho điểm M(2; 1), N(3; – 4), P(5; 3) trung điểm cạnh AB, BC CA tam giác ABC a/ Viết phương trình đường thẳng AB; BC (0,5đ Khá) b/ Xác định vị trí điểm D cho tứ giác ABCD hình bình hành (0,5 Khá) Bài (2,0đ): 1/ Giải phương trình nghiệm nguyên: x + xy − 2014 x − 2015 y − 2016 = (1đ Khá) 2/ Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: Tổng số với chữ số 2023 (1đ Giỏi) Bài (3,0đ): Cho đường tròn (O;R) cố định, đường kính AB Lấy điểm I nằm tia đối BA, kẻ tiếp tuyến IC (C tiếp điểm) Gọi M điểm cố định thuộc nửa đường tròn đường kính AB không chứa điểm C (M khác A;B) Gọi N giao điểm thứ IM với (O); H hình chiếu C AB; K hình chiếu O IM, E giao điểm CH OK a/ Chứng minh: IC2 =IA.IB (1đ Khá) b/ Chứng minh: IH.IO=IM.IN (1đ Giỏi) c/ Khi I di động tia đối BA, tìm quỹ tích điểm E (1đ SX) Bài (1,0đ): Cho số nguyên a, b thỏa mãn a + b + = 2(ab + a + b) Chứng minh a; b số phương liên tiếp (1đ SX) Hết - UBND HUYỆN LƯƠNG TÀI PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ĐỢT Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm bài:150 phút (không kể thời gian giao đề) Bài (2,0đ): Ý Đáp án x + x ÷: x − P= + − ÷ (với x ≥ ; x≠1) x + x + x − x −1 ÷ x + + x − x − x − x −1 = × x −1 x −1 x + x +1 Điểm ( ) a/ ( = )( ) x − x +1 ( )( ) x −1 x + x +1 × 2 = x −1 x + x +1 x + x +1 Ta có: P = (với x ≥ ; x≠1) x + x +1 2 P= ⇔ = ⇔ x + x +1= ⇔ x + x − = x + x +1 Vậy P = b/ ⇔ ( x −2 )( x +3 =0⇔ ⇔x=4 Vậy với x =4 P = Ta có: P = ) ( ) x − = (vì x ≥ nên 0,25đ 0,25đ x + > 0) 0,5đ ( Với x ≥ ; x ≠ 1) x + x +1 Do x ≥ ; x≠1 nên x + x + > ⇒ P = c/ 0, 5đ >0 x + x +1 Ta lại có x + x ≥ (vì x ≥ ; x≠1) ⇒ x + x + 1≥ 1⇒ ≤ 1⇒ P = ≤2 x + x +1 x + x +1 Ta có P2 – 2P = P(P – 2) ≤ (vì 0< P ≤ ) => P2 ≤ 2P Vậy P2 ≤ 2P 0,25đ 0,25đ Bài (2,0đ): Ý Đáp án ĐK: Điểm x − x ≥ x ≥ 1 − ≥ ⇔ −1 ≤ x < x x ≠ 0,25đ TH1: −1 ≤ x < VT0 nên PT vô nghiệm 0,25đ 1 ⇔ 1 x − 1− = x − TH2: x ≥ PT: x = x − + − x x x x 1/ 1 1 ⇔ x − − = x − ⇔ x – x − + − x = 0 x x x ⇔ x − x − x 1 − ÷ + = ⇔ x ( x − 1) − x( x − 1) + = x ⇔ ( ) x ( x − 1) − = ⇔ 0,25đ x ( x − 1) = ⇔ x − x − = ⇔ x = + (vì x ≥ 1) 1 + Vậy S = 0,25đ + Viết phương trình đường thẳng MP y = x – 0,25đ + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng 2-a/ x + b Vì N thuộc đường thẳng BC tìm b = – Vậy phương trình đường thẳng BC y = x – y = 2-b/ + Tương tự ta có ptđt AB y = x – 0,25đ y = x – + Giải hệ y = x − 0,25đ ta suy tọa độ đỉnh B(0; – 6) Sử dụng công thức tọa độ trung điểm, với P trung điểm AC nên P trung điểm BD, tìm tọa độ điểm D(10;12) Vậy D(10;12) 0,25đ Bài (2,0đ): Ý Đáp án Giải phương trình nghiệm nguyên: x + xy − 2014 x − 2015 y − 2016 = ⇒ x + xy + x − 2015 x − 2015 y − 2015 = Điểm ⇒ ( x + y + 1) ( x − 2015 ) = 0,25đ x + y +1 = x + y + = −1 ⇒ ⇒ ( x; y ) = ( 2016; −2016 ) hoặc x − 2015 = x − 2015 = −1 ⇒ ( x; y ) = ( 2014; −2016 ) 0,25đ ⇒ x ( x + y + 1) − 2015 ( x + y + 1) = 1/ 2/ Vậy ( x; y ) = ( 2016; −2016 ) ( x; y ) = ( 2014; −2016 ) Tìm số tự nhiên có chữ số, biết rằng: Tổng số với chữ số 2023 Gọi số cần tìm abcd ĐK: a; b; c; d ∈ N ;1 ≤ a ≤ 9;0 ≤ b; c; d ≤ Theo ta có: abcd + a + b + c + d = 2023 (1) Vì abcd + a + b + c + d = 2023 nên abcd < 3000 ≤ a ≤ nên a=1; TH1: a=1 Thay vào (1) ta được: 1bcd + + b + c + d = 2023 ⇒ bcd + b + c + d = 1022 (2) ⇒ bcd = 1022 − (b + c + d ) > 1022 − ( + + ) = 995 nên b=9 Thay vào (2) ta được: 9cd + + c + d = 1022 ⇒ cd + c + d = 113 (3) ⇒ cd = 113 − ( c + d ) > 113 − ( + ) = 95 nên c=9 Thay vào (3) ta được: 9d + + d = 113 ⇒ d + d = 14 ⇒ d = Suy số cần cần tìm là: 1997 TH2: a=2 Thay vào (1) ta được: 2bcd + + b + c + d = 2023 ⇒ bcd + b + c + d = 21 (4) ⇒ bcd = 21 − (b + c + d ) < 21 − ( + + ) = 21 < 100 nên b=0 Thay vào (4) ta được: 0cd + + c + d = 21 ⇒ cd + c + d = 21 (5) ⇒ cd = 21 − ( c + d ) < 21 − ( + ) = 21 nên c=0;1;2 + Nếu c=0 Thay vào (5) ta được: 0d + + d = 21 ⇒ d + d = 21 ⇒ d = 10,5 ⇒ (loại) + Nếu c=1 Thay vào (5) ta được: 1d + + d = 21 ⇒ d + d = 10 ⇒ d = Suy số cần cần tìm là: 2015 + Nếu c=2 Thay vào (5) ta được: 2d + + d = 21 ⇒ d + d = −1 ⇒ (loại) Vậy có số tmycbt là: 1997 2015 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (3,0đ): Ý Đáp án Điểm 0,25đ a/ b/ Chứng minh: IC2 =IA.IB 2 2 Chỉ ra: IC = IO − OC = IO − OA = ( IO + OA ) ( IO − OA) = IA.IB ⇒ đpcm Chứng minh: IH.IO=IM.IN Chỉ ra: ∆OCI vuông C, đường cao CH nên IC = IH IO (1) 2 Chỉ ra: IM IN = ( IK + KM ) ( IK − KN ) = IK − KM = IK − ( OA2 − OK ) = ( IK + OK ) − OA2 = IO − OA2 = ( IO + OA) ( IO − OA) = IA.IB = IC (2) c/ Từ (1) (2) suy ra: IH.IO=IM.IN ⇒ đpcm Khi I di động tia đối BA, tìm quỹ tích điểm E + Chỉ ra: ∆OHE đồng dạng với ∆OKI suy OK.OE=OH.OI (3) + ∆OCI vuông C, đường cao CH nên OH.OI=OC2= OM2 (4) + Từ (3); (4) suy ra: OK.OE=OM2 Chỉ ∆OKM đồng dạng với ∆OME · · Nên OME = OKM = 900 suy ra: ME ⊥ OM Vì (O); AB ; M cố định nên đường thẳng qua M vuông góc với OM cố định tức đường thẳng ME cố định Nên quỹ tích điểm E nằm đường thẳng qua M vuông góc với OM Giới hạn quỹ tích: Phần đường thẳng ME nằm giới hạn đường tiếp tuyến đường tròn (O) A B 0,75 0,25đ 0,5đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ Bài (1,0đ): Cho số nguyên a, b thỏa mãn a + b + = 2(ab + a + b) Chứng minh a; b số phương liên tiếp (1đ SX) Ý Đáp án Điểm Cho số nguyên a,b thỏa mãn a + b + = 2(ab + a + b ) ⇔ a + b + − 2ab + 2a − 2b = 4a ⇔ ( a − b + 1) = 4a Suy a ≥ ( a − b + 1) = 4a số phương suy a số phương Nên đặt a = x2 (x số nguyên) Khi đó: ( x − b + 1) = x ⇔ x − b + = ±2 x ⇔ b = ( x m1) Ta thấy x (x+1) (x-1) x số nguyên liên tiếp Suy ra: x2 (x+1)2 (x-1)2 x2 số phương liên tiếp Vậy a b hai số phương liên tiếp Ghi chú: Các cách giải khác, cho điểm tối đa 0,25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ ... + T ơng t ta có pt t AB y = x – 0,25đ y = x – + Giải hệ y = x − 0,25đ ta suy t a độ đỉnh B(0; – 6) Sử dụng công thức t a độ trung điểm, với P trung điểm AC nên P trung điểm BD, t m... 0,25đ + Vi t phương trình đường thẳng MP y = x – 0,25đ + Đường thẳng BC song song với MP nên phương trình có dạng 2-a/ x + b Vì N thuộc đường thẳng BC t m b = – Vậy phương trình đường thẳng BC...UBND HUYỆN LƯƠNG T I PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO T O HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN Đ T Năm học 2015 - 2016 Môn thi: Toán - Lớp Thời gian làm bài:150 ph t (không kể thời gian giao