Copy of DE 18 r

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO §Ò 18 Câu (4đ) Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Chứng minh P < ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP THCS NĂM HỌC: 2011 – 2012 MÔN TOÁN Thời gian làm 150 phút x+2 x +1 x +1 + − x x −1 x − x +1 x −1 với x ≥ x ≠ Câu (4đ) a) Cho tam giác ABC, trung tuyến AM Chứng minh hệ thức: AB + AC = AM + b) Cho tam giác ABC vuông A Chứng minh rằng: tan BC 2 ·ABC AC = AB + BC 4t + Câu (4đ) Cho < t < Tìm GTNN biểu thức: A = t ( − t) Câu (4đ) a) Chứng minh rằng: a+b a + b2 ≤ 2 x2 −1 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: y = x +1 Câu (4đ) a) Tìm tất cặp số nguyên ( x, y ) thỏa mãn: x − ( + y ) x + + 2y = b) Tìm tất cặp số nguyên dương ( x, y ) thỏa mãn: x 2010 + y 2010 = 20122010 HẾT §Ò 18 Câu 1: a) Với x ≥ 0; x ≠ P= r HD chÊm x với x ≥ 0; x ≠ x + x +1 Vậy: P = b)Cách xét hiệu: x P− = − x + x +1 = = x − x − x −1 x + x +1 − ( ) x −1 x + x +1 Vì x ≥ 0; x ≠ nên: − ( x − 1) < x + x + > Do đó: P − < Vậy ta có điều phải chứng minh: 1 x ≥ 0; x ≠ x+ + với x 1 ≥2 Áp dụng BĐT Co – si cho số dương x ; ta có: x + x x Vì x ≠ nên dấu "=" không xảy 1 + > Vậy P < Suy ra: x + x 2 9 4t + 4t +  Câu 3: Ta có A = t − t = t t − t =  4t + t ÷ t − t ) ( ) ( )   ( x Cách 2: Ta có : P = = x + x +1 x =2 x 9  Tiếp ta dễ dàng chứng minh:  4t + ÷ ≥ 12 Dấu "=" xảy t = 1,5  t ≥ Dấu "=" xảy t = 1,5 t ( 3−t) 16 16 Suy A ≥ Dấu "=" xảy t = 1,5 Vậy GTNN A 3 Câu 4: a)Vẽ đường cao AH, ta có AB = AH + HB AC = AH + HC BC MB = MC = (AM trung tuyến) ⇒ AB + AC = AH + HB + HC = ( AM − HM ) + ( BM − HM ) + ( HM + MC ) 2 = AM − 2.HM + BM − 2.BM HM + HM + HM + 2.HM MC + MC = AM + BM + MC = AM + BC (đpcm) b)Vẽ phân giác BD ·ABC ta có ·ABD = xét ∆ ABD có µA = 900 AD nên tan ·ABD = (1) AB Mà BD phân giác AD DC AD + DC AC = = = (2) AB BC AB + BC AB + BC ·ABC AC Từ (1) (2) suy tan (đpcm) = AB + BC ⇒ Kẻ AH ⊥ BC,MN ⊥ AH MJ + MK = MJ + AJ = MA2 MJ + MK ≥ NA2 (Vì MA ≥ NA) Vì MI=NH nên : MI + MJ + MK = NH + MJ + MK ≥ NH + NA2 2 Áp dụng bất đẳng thức: a + b ≥ ( a + b ) 1 2 2 Ta MI + MJ + MK ≥ ( NH + NA ) = AH 2 Dấu xảy M trung điểm AH Câu a) với giới hạn chương trình hết tuần 16 ta nênlàm sau 2 + Ta có : x − ( + y ) x + + y = ⇔ y ( x − ) = x − x + Rõ ràng x = nghiệm nên chia hai vế cho x – ta x2 − x + −4 y= = ( x − 5) + x−2 x−2 Do x, y số nguyên nên x – ước -4 mà U ( −4) = { ±1; ±2; ±4} Ta có bảng: x-2 -1 -2 -4 x -2 y -3 -6 -3 đối chiếu với điều kiện đề cặp số sau thoả mãn (x;y) = ( 1;0 ) ; ( 0;3) ; ( −2; −6 ) ; ( 6;0 ) ; ( 4; −3) ; ( 3; −6 ) 2)Giả sử (x,y)là nghiệm nguyên dương phương trình: -6 Rõ ràng x,y x ⇒ 2012 ≥ x + 2010 Suy ra: 20122010 ≥ ( x + 1) = x 2010 + 2010 x 2009 + + 2010 x + > x 2010 + 2010 x 2009 Từ ta có x 2010 + y 2010 > x 2010 + 2010 x 2009 hay y 2010 > 2010 x 2009 mà x ≥ y nên x 2010 > 2010 x 2009 ⇒ x > 2010 (2) Tương tự ta có: y > 2010 (3) Từ (1), (2) (3) suy 2010 < x, y < 2012 Từ x = y = 2011 Nhưng cặp số (x, y) không thoả mãn phương trình cho (vì vế phải chia hết cho vế trái không chia hết cho 4) Vậy phương trình cho vô nghiệm x2 − x2 + y= = − x +1 x +1 x +1 = 1− x +1 Để y đạt giá trị nhỏ đạt giá trị lớn x +1 Muốn x2 + phải đạt giá trị nhỏ Vì x2 + ≥ nên x2 + đạt giá trị nhỏ x2 + = Tức x2 = ⇒ x = Khi y = -1 Vậy giá trị nhỏ biểu thức y = -1 ... mãn phương trình cho (vì vế phải chia hết cho vế trái không chia hết cho 4) Vậy phương trình cho vô nghiệm x2 − x2 + y= = − x +1 x +1 x +1 = 1− x +1 Để y đạt giá trị nhỏ đạt giá trị lớn x +1... 2)Giả sử (x,y)là nghiệm nguyên dương phương trình: -6 R r ng x,y x ⇒ 2012 ≥ x + 2010 Suy ra: 20122010 ≥ ( x + 1) = x 2010 + 2010 x... ( NH + NA ) = AH 2 Dấu xảy M trung điểm AH Câu a) với giới hạn chương trình hết tuần 16 ta nênlàm sau 2 + Ta có : x − ( + y ) x + + y = ⇔ y ( x − ) = x − x + R r ng x = nghiệm nên chia hai vế