SKKN: Mot so sai lam cua HS khi giai toan HSG

mét sè sai lÇm cña häc sinh THCS khi gi¶i bµi to¸n cho häc sinh giái I. Đặt vấn đề. 1. Trong giải toán, đặc biệt là giải các bài toán dành cho học sinh giỏi, không ít tr- ờng hợp học sinh đã mắc phải một số sai lầm. Nếu là sai lầm trong một kỳ thi chọn học sinh giỏi, học sinh sẽ khó đạt kết quả cao. 2. Ngời học toán, nhất là học sinh giỏi toán, ngoài việc học các kiến thức mới và luyện các kỹ năng còn phải biết học từ chính các sai lầm của mình và của ngời khác. 3. Ngời dạy toán, nhất là dạy học sinh giỏi toán, ngoài việc dạy các kiến thức mới và rèn các kỹ năng cho học sinh cần dành thời gian thích đáng cho việc phân tích các sai lầm nếu có của học sinh, từ đó giúp các em hiểu rõ nguyên nhân của sai lầm, sau này nếu gặp tình huống tơng tự sẽ không mắc phải, đồng thời qua đó điều chỉnh việc dạy của chính mình. 4. Chuyên đề này bàn về một số tình huống sai lầm của học sinh trung học cơ sở khi giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi, trong đó tập trung chủ yếu vào loại sai lầm về kiến thức, về suy luận. 5. Các ví dụ trong chuyên đề này phần lớn đợc su tầm và chọn lọc từ các tạp chí toán và tài liệu tham khảo môn toán, một phần nhỏ là từ kinh nghiệm giảng dạy của cá nhân. Chúng đợc trình bày theo cấu trúc: - Nêu đề bài; - Đa ra một lời giải sai; - Phân tích nguyên nhân của sai lầm; - Trình bày một lời giải đúng; - Đôi lời bàn về việc dạy. ----------------------------------- II. Các ví dụ. 1. Nhóm bài toán về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của một biểu thức. Ví dụ 1.1) * Đề bài: Cho A = x 2 - 3x + 5. Tìm A min với x 2 ? * Một lời giải sai: A = (x - 3/2) 2 + 11/4 11/4 với x R. Vậy A min = 11/4. * Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm. * Một lời giải đúng: Với x 2 thì (x-3/2) 1/2 => A 3 => => A min = 3. * Lời bàn: Việc dạy khái niệm Ví dụ 1.2) * Đề bài: Cho B = 2 2 2 2 ( ) x y x y y x y x + + với x, y R, 0. Tìm B min ? * Một lời giải sai: Đặt (x/y) + (y/x) = t => B = t 2 - t - 2 = (t - 1/2) 2 - 9/4 => B - 9/4 với t R; Vậy B min = - 9/4, đạt khi t - 1/2 = 0 hay khi t =1/2. * Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, xác định sai yêu cầu, lỗi trình bày. * Một lời giải đúng: B = (t-2)(t+1). Xét với t 2 và t -2. Đáp sô B min = 0. * Lời bàn: Việc dạy khái niệm, cách trình bày. Ví dụ 1.3) * Đề bài: Cho C = (x 2 - 1)(x 2 + 1) với x R. Tìm C min ? * Một lời giải sai: Có: (x 2 - 1) - 1; (x 2 + 1) 1 với x R => C (-1).(1) = -1 với x R. C = - 1 khi x 2 = 0 hay x = 0 . Vậy C min = -1. * Nguyên nhân sai: Biến đổi BĐT sai. * Một lời giải đúng: C = x 4 - 1. Đáp số C min = -1. * Lời bàn: Việc dạy các phép biến đổi BĐT. Ví dụ 1.4) * Đề bài: Cho D = (x + y) 2 + (x + 1) 2 + (y - x) 2 với x, y R. Tìm D min ? * Một lời giải sai: Đặt M = (x + 1) 2 và N = (x + y) 2 + (y - x) 2 với x, y R. Có: D đạt min <=> đồng thời xảy ra M đạt min và N đạt min. ? Do . => M min = M(-1) = 0. Khi đó N = (-1 + y) 2 + (y + 1) 2 = 2y 2 + 2 => => N min = N(0) = 2. => D 0 + 2 ; dấu bằng đạt khi x = -1; y = 0. Vậy D min = 2. * Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận. * Một lời giải đúng: D = 3x 2 + 2x + 1 + 2y 2 . Đáp số D min = 2/3. * Lời bàn: Việc dạy phép suy luận. Ví dụ 1.5) * Đề bài: Tìm m R để phơng trình sau: x 2 + (m+1)x + 1 = 0 (1) có tổng bình ph- ơng các nghiệm nhỏ nhất ? * Một lời giải sai: - Thấy (1) có nghiệm <=> (m+1) 2 - 4 0 <=> m 1 hoặc m -3 (*) - Khi đó x 2 2 + x 2 2 = = (m+1) 2 - 2 - 2. Dấu bằng đạt <=> m = -1, nhng giá trị m = -1 không thoả mãn (*). Vậy m R để phơng trình (1) có tổng bình phơng các nghiệm nhỏ nhất ? * Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm. * Một lời giải đúng: x 2 2 + x 2 2 = ((m+1) 2 - 4) + 2. Đáp số m = 1 hoặc m = -3 * Lời bàn: Việc dạy khái niệm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Ví dụ 1.6) * Đề bài: Cho E = 2 2 2 2 1 1 ( ).( )x y y x + + với x, y R + thay đổi / x + y = 1. Tìm E min ? * Một lời giải sai: Có: (x 2 + 1/y 2 ) 2x/y > 0; (y 2 + 1/x 2 ) 2y/x > 0 với x, y R + => E 4 với x, y R + . E = 4 khi xy = 1. Vậy E min = 4. * Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, không xem xét điều kiện của biến. * Một lời giải đúng: Từ giả thiết => 0 < xy 1/4. Có E = (xy + 1/xy) 2 . Biến đổi E = ((xy + 1/16xy) + 15/16xy) 2 và dùng BĐT Côsi. Đáp số E min = (17/4) 2 . * Lời bàn: Việc dạy bài toán cực trị của biểu thức nhiều biến, có điều kiện. Rèn học sinh tính cẩn thận. Ví dụ 1.7) * Đề bài: Cho x, y, z R/ x 2 + y 2 + z 2 27 (*). Tìm F min với F = x+y+z+xy+yz+zx. * Một lời giải sai: Dễ chứng minh đợc: xy + yz + zx x 2 + y 2 + z 2 với x, y, z R. Cùng với giả thiết (*) => xy + yz + zx 27 ; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z. Lại chứng minh đợc 2(x + y + z) (x 2 + y 2 + z 2 ) + 3 với x, y, z R. Cùng với giả thiết (*) => (x + y + z) 15; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1. Từ đó suy ra F 27 + 15 = 42; dấu bằng xảy ra <=> x = y = z = 1 Vậy F min = 42. * Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm, không xem xét điều kiện của biến. * Một lời giải đúng: Chứng minh đợc các kết quả: xy + yz + zx (x 2 + y 2 + z 2 ); (x + y + z) 2 3(x 2 + y 2 + z 2 ); Dấu bằng cùng xảy ra khi x=y=z=3. Đáp số F min = 36. * Lời bàn: Việc dạy bài toán cực trị của biểu thức nhiều biến, có điều kiện. Rèn học sinh tính cẩn thận. * Chú ý: Có thể chuyển các bài toán trên thành các bài toán tìm giá trị lớn nhất. -------------------------------------------------------- 2. Nhóm bài toán về phơng trình. Ví dụ 2.1) * Đề bài: Giải phơng trình : 2 3 2x x + + 2 4 3x x + = 2 2 5 4x x + (1) * Một lời giải sai: - Điều kiện: x 2 -3x+2 0; x 2 -4x+3 0; x 2 -5x+4 0 <=> x 1 hoặc x 5. - Biến đổi (1) <=> ( 1)( 2)x x + ( 1)( 3)x x = 2 ( 1)( 4)x x <=> 1. 2x x + 1. 3x x = 2 1. 4x x <=> 2x + 3x = 2 4x bình phơng 2 vế và giải tiếp, tìm đợc x = -97/64, không thoả mãn điều kiện. Đáp số: Phơng trình (1) vô nghiệm. * Nguyên nhân sai: Lỗi biến đổi phơng trình. * Một lời giải đúng: Sau khi đặt điều kiện và biến đổi (1) <=> ( 1)( 2)x x + ( 1)( 3)x x = 2, xét các trờng hợp : x = 1; x < 1; x 5. Đáp số: Phơng trình (1) có duy nhất nghiệm x = 1. * Lời bàn: Việc dạy phép biến đổi biểu thức có căn. Ví dụ 2.2) * Đề bài: Giải phơng trình: 3 3 1x + 3 1x + = 3 2x (1) * Một lời giải sai: Điều kiện: x R. Lập phơng 2 vế của (1), đợc: (1) <=> <=> 3. 3 3 1x . 3 1x + .( 3 3 1x + 3 1x + ) = - 6x <=> 3 3 1x . 3 1x + . 3 2x = - 2x <=> (3x-1)(x+1)(-2x) = -8x 3 . <=> x = 0 hoặc (3x-1)(x+1) = 4x 2 <=> x = 0 hoặc x = 1. Vậy (1) có 2 nnghiệm là x = 0 và x = 1. * Nguyên nhân sai: Lỗi biến đổi phơng trình. * Một lời giải đúng: Điều kiện: x R. Lập phơng 2 vế của (1), đợc: (1) <=> <=> 3. 3 3 1x . 3 1x + .( 3 3 1x + 3 1x + ) = - 6x => 3 3 1x . 3 1x + . 3 2x = - 2x => (3x-1)(x+1)(-2x) = -8x 3 . => x = 0 hoặc (3x-1)(x+1) = 4x 2 => x = 0 hoặc x = 1. Thử lại, thấy x = 1 không thoả mãn (1). Vậy (1) có duy nhất nghiệm là x = 0. * Chú ý: Có thể xét : x = 0 => là nghiệm; x>0 => VT>VP; x<0 => VT<VP * Lời bàn: Việc dạy phép biến đổi phơng trình. Ví dụ 2.3) * Đề bài: Tìm các số thực m để phơng trình sau có đúng một nghiệm số thực: 2 2(2 1) 3 6 0 1 mx m x m x + + + = + (1) * Một lời giải sai: Điều kiện x -1. Với điều kiện trên, (1) <=> mx 2 -2(2m+1)x+3m+6 = 0 (2) (1) có đúng 1 nghiệm <=> (2) có đúng 1 nghiệm x 0 và x 0 -1 <=> (2) có nghiệm kép x 0 và x 0 -1 Nếu (2) có nghiệm kép => (2m+1) 2 - m(3m+6) = 0 <=> m = 1. Với m = 1, thử lại thấy (2) có nghiệm kép x 0 = 3 -1. Vậy có duy nhất giá trị m = 1 thoả mãn phơng trình (1) có đúng 1 nghiệm thực. * Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng khái niệm. Lỗi suy luận. * Một lời giải đúng: Xét các trờng hợp sau: - m = 0 : ph/tr (1) trở thành 2 6 1 x x + + = 0, có đúng 1 nghiệm thực là x = 3. - m 0 : Thấy mx 2 - 2(2m+1)x + 3m + 6 = 0 là phơng trình bậc 2 có biệt thức ' = (2m+1) 2 - m(3m+6) = (m-1) 2 => ' 0 với mọi m => phơng trình luôn có hai nghiệm x 1 = 3; x 2 = (m+2)/m. Khi đó để (1) có đúng một nghiệm cần có: hoặc (m+2)/m = -1 hoặc (m+2)/m = 3 <=> m = - 1 hoặc m = 1. Vậy ph/trình (1) có đúng 1 nghiệm <=> m = 0 hoặc m = - 1 hoặc m = 1. * Lời bàn: Việc dạy phơng trình bậc hai, ph/tr có tham số; dạy phép suy luận. Ví dụ 2.4) * Đề bài: Tìm m R để phơng trình sau có 4 nghiệm thực phân biệt: (x 2 + x - 2)(x 2 - 2(m-1)x + m 2 - 1) = 0 (1) * Một lời giải sai: Có (1) <=> x 2 + x - 2 = 0 (a) hoặc x 2 - 2(m-1)x + m 2 - 1 = 0 (b) Thấy (a) có 2 nghiệm phân biệt là x = 1 và x = -2 nên (1) có 4 nghiệm phân biệt <=> (b) có 2 nghiệm phân biệt <=> <=> m < 3/2. * Nguyên nhân sai: Hiểu cha đúng về tập nghiệm của phơng trình; Lỗi suy luận. * Một lời giải đúng: Đáp số: m < 3/2 và m 1; -2 6 . * Lời bàn: Dạy về tập nghiệm của phơng trình tích; phép suy luận. Ví dụ 2.5) * Đề bài: Tìm m R để phơng trình sau vô nghiệm: x 2 -3 + x 2 -5 = m - 3 (1) * Một lời giải sai: Do (1) có VT 0 x R nên (1) vô nghiệm <=> m - 3 < 0 <=> m < 3. * Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận. * Một lời giải đúng: Viết (1) <=> t - 3 + 5 - t = m - 3 (2) với t = x 2 0. Bằng việc xét 3 trờng hợp: 0t3; 3<t5; t5, phá dấu , chứng minh đợc rằng (1) có nghiệm <=> (2) có nghiệm t 0 <=> m 5. Suy ra (1) vô nghiệm <=> m < 5. * Chú ý: Nếu chứng minh x 2 -3+x 2 -5 2 => (1) có nghiệm khi m 5 rồi suy ra (1) vô nghiệm khi m < 5 thì cha đủ. * Lời bàn: Dạy phép suy luận. Ví dụ 2.6) * Đề bài: Tìm các số tự nhiên x, y thoả mãn: x 2 + y 3 + 27y = 36 + 9y 2 (1) * Một lời giải sai: Có (1) <=> x 2 + (y - 3) 3 = 9 mà 9 = 1 2 + 2 3 = 3 2 + 0 3 nên xảy ra: (x 2 ; (y-3) 3 ) {(1 2 ; 2 3 ); (3 2 ; 0 3 )}. Từ đó suy ra (x; y) = (1; 5) hoặc (x; y) = (3; 3). * Nguyên nhân sai: Không xét hết các khả năng biểu diễn 9 thành dạng a 2 +b 3 (có chẳng hạn: 9 = 6 2 + (-3) 3 ). * Một lời giải đúng: Có (1) <=> x 2 + (y - 3) 3 = 9. Do x 2 0 nên (y-3) 3 8 (y N) => (y-3) 2 => y 5 => y {0; 1 ; 2; 3; 4; 5}. Từ đó tìm đợc x. Đáp số: có 3 cặp số tự nhiên (x; y) thoả mãn ycbt là: (1; 2), (3; 3) và (6; 0). * Lời bàn: Rèn kỹ năng kiểm soát và bao quát các khả năng khi giải toán; -------------------------------------------------- 3. Nhóm bài toán về phép biến đổi đồng nhất, giá trị của biểu thức. Ví dụ 3.1) * Đề bài: Cho a, b, c 0 thoả mãn: a b c c + = b c a a + = c a b b + Tính giá trị biểu thức P = (1 )(1 )(1 ) a c b c b a + + + . * Một lời giải sai: Từ giả thiết => a b c c + +2 = b c a a + +2 = c a b b + + 2 => a b c c + + = a b c a + + = a b c b + + => a = b = c => P = 8. * Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận. * Một lời giải đúng: Từ giả thiết => => a b c c + + = a b c a + + = a b c b + + => a+b+c = 0 hoặc a = b = c . Từ đó suy ra P = -1 hoặc P = 8. * Lời bàn: Dạy phép suy luận; Ví dụ 3.2) * Đề bài: Tìm x Z /sao cho Q(x) = (x 4 +x 3 -3x-1)/(x 2 +x+1) Z. * Một lời giải sai: Có x 2 +x+1 > 0 với xR. Chia T(x) = (x 4 +x 3 -3x-1) = (x 2 -1)(x 2 +x+1) - 2x cho M(x) = (x 2 +x+1) đợc d là 2x. Để Q(x) Z thì T(x) phải chia hết cho M(x) hay đa thức d 2x phải bằng 0 <=> x = 0. Thử lại, thấy thoả mãn. * Nguyên nhân sai: Nhầm lẫn khái niệm: đa thức chia hết cho đa thức (thơng cha chắc là số nguyên, ví dụ x+2 chia hết cho 3(x+2) nhng thơng là 1/3 Z) và số nguyên chia hết cho số nguyên (thơng luôn là số nguyên). * Một lời giải đúng: Có Q(x) = (x 2 -1) + 2x/(x 2 +x+1). Giả sử có x Z để Q(x) Z, vì x Z nên x 2 -1 Z; 2x Z; x 2 +x+1 Z do đó Q(x) Z <=> 2x/(x 2 +x+1) Z <=> 2x chia hết cho (x 2 +x+1) <=> 2(x 2 +x+1) - 2x 2 - 2 chia hết cho (x 2 +x+1) => 2 chia hết cho (x 2 +x+1) => (x 2 +x+1) = 1 hoặc (x 2 +x+1) = 2 (do x 2 +x+1>0 x R) Giải, tìm đợc x = 0 hoặc x = -1. Thử lại thấy x = 0 và x = -1 thoả mãn yêu cầu. Đáp số: x = 0 ; x = -1 * Lời bàn: Dạy phép chia đa thức; giá trị của biểu thức. [...]... Một lời giải sai: Thấy AHMK là tứ giác nội tiếp, đờng tròn A (AHMK) có đờng kính AM, suy ra HK AM (1) Mặt khác, trong đờng tròn K (O;R) ta lại có AM 2R (2) Từ (1) và (2) suy ra: HK 2R Dấu bằng xảy ra AM = 2R AM đi qua O M đối xứng với A qua O O B C H Vậy HK lớn nhất và bằng 2R khi M đối xứng với A qua O M * Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận: Từ HK AM 2R => HKmax = 2R là sai vì ã HK =... trí điểm M để độ dài HK là lớn nhất * Một lời giải sai: Từ giả thiết, dễ chứng minh đợc MBC đồng A dạng với MHK, suy ra (HK/BC) = (MH/MB) Mà MH MB nên HK BC K Dấu bằng xảy ra MH = MB MB AB AM đi qua O Vậy HK lớn nhất và bằng BC khi M đối xứng O B C H với A qua O M * Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận: "Dấu bằng xảy ra MH = MB" chỉ đúng khi O ã nằm trong góc BAC Từ giả thiết không thể... (1/x) Z Chứng minh: An = xn + (1/xn) Z n N * Một lời giải sai: Từ giả thiết => (x2+1)/x Z => (x2+1) chia hết cho x => 1 chia hết cho x => x = 1 Với x = 1 => An = 2 n N ; với x = -1 => An = 2 n = 2m và An = - 2 n = 2m+1 Suy ra An Z n N * Nguyên nhân sai: Nhầm lẫn tập số (ngộ nhận x Z) Từ (x2+1)/x Z => (x2+1) chia hết cho x chỉ đúng khi x Z Ví dụ: với x =( 3 + 5 )/2 Z nhng (x2+1)/x = 3 Z * Một... 22 (ứng với a = 23; a = 5; a =5; a = 23) * Lời bàn: Rèn kỹ năng kiểm so t và bao quát các khả năng khi giải toán; - 4 Nhóm bài toán hình học Ví dụ 4.1) * Đề bài: Cho tam giác ABC có hai phân giác BD và CE cắt nhau tại I Biết rằng ID = IE, tìm mối liên hệ giữa số đo các góc: ã ABC và ã ACB * Một lời giải sai: Vẽ IH AB, IK AC (hình vẽ) => IH = IK A ã ã => IHE = IKD => IEH... =2 BAC Từ đó suy ra HK lớn nhất NP lớn nhất AN lớn nhất AM lớn nhất AM = AC M trùng với C Khi đó HK = AC.sinA ã - Nếu O nằm ngoài góc BAC và AC < AB (O gần AB hơn AC), chứng minh nh trên, đợc HK lớn nhất M trùng với B Khi đó HK = AB.sinA * Lời bàn: Rèn các tác phong khi giải bài toán hình học: cẩn thận; xét đủ các khả năng có thể về quan hệ giữa các yếu tố trong bài Ví dụ 4.4)... và (2), suy ra CHM = CHA , do đó 3 điểm A, M, H thẳng hàng (đpcm !) * Chú ý: Còn một số cách giải sai khác cũng do ngộ nhận 3 điểm A, M, H thẳng hàng để chứng minh chính điều này * Lời bàn: Dạy phép suy luận, phơng pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng Ví dụ 4.5) * Đề bài: * Một lời giải sai: * Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận * Một lời giải đúng: * Chú ý: * Lời bàn: Dạy phép suy luận; ... 23 Q *Một lời giải sai: Từ a = m 2 + m + 23 => a2 = (m2+m+23) Do m Z nên a2 Z => aZ+ Ta có:a2=(m2+m+23)a2=(m+1/2)2+91/4(a+m+1/2)(a-m-1/2)=91/4=(13/2)(7/2) Do a, m Z nên a m Z, suy ra chỉ có 4 khả năng: ((a+m+1/2); (a-m-1/2)) {(13/2; 7/2); (7/2; 13/2); (-13/2; -7/2); (-7/2; -13/2)} Giải và tìm đợc m = 1và m = -2 Thử lại, thấy thoả mãn Đáp số: m = 1; m = -2 * Nguyên nhân sai: Không xét hết các... trên AB, AC; H là hình chiếu vuông góc của I trên OK Chứng minh 3 điểm A, M, H thẳng hàng * Một lời giải sai: ã ã Dễ thấy MK // AC suy ra KMH = CAM C (cặp góc đồng vị) I ã ã ã ã ã => KMH + KMI + IMA = CAM + 900 + IMA ã ã = CAM + IMA + 900 = 1800 => A, M, H thẳng hàng (đpcm !) K M A O H B * Nguyên nhân sai: Lỗi suy luận: ngộ nhận 3 điểm A, M, H thẳng hàng để chứng minh chính điều này * Một lời giải đúng:...Ví dụ 3.3) * Đề bài: Tìm x R để A = 2007 + 3 Z x +1 * Một lời giải sai: Điều kiện: x 0 Có A Z 3 Z 3 chia hết cho ( x +1) x +1 ( x +1) = 1 hoặc 3 Đáp số: x = 0 ; x = 4 * Nguyên nhân sai: Nhầm lẫn tập hợp số trong phép chia; ngộ nhận ( x +1) Z * Một lời giải đúng: Điều kiện: x 0 Có ( x +1) 1 x 0 => 3 Z x +1 3... AC (hình vẽ) => IH = IK A ã ã => IHE = IKD => IEH = IDK => à + ( B / 2) = à + (C / 2) (tính chất góc ngoài của tam A à A à giác) à à => ( B / 2) = (C / 2) E D K H => ã ABC = ã ACB I B C * Nguyên nhân sai: Lời giải phụ thuộc vào hình vẽ, lỗi không xét hết các khả năng về vị trí của các điểm H và K * Một lời giải đúng: Có 4 khả năng về vị trí của H, K ứng với 4 trờng hợp hình vẽ - TrH1: H BE, K CD, . số tình huống sai lầm của học sinh trung học cơ sở khi giải một số bài toán dành cho học sinh giỏi, trong đó tập trung chủ yếu vào loại sai lầm về kiến. lời giải sai: Đặt (x/y) + (y/x) = t => B = t 2 - t - 2 = (t - 1/2) 2 - 9/4 => B - 9/4 với t R; Vậy B min = - 9/4, đạt khi t - 1/2 = 0 hay khi t =1/2.