Một số bài toán về số phức giúp học sinh ôn thi THPT quốc gia

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HÓA TRƯỜNG THPT LÊ VĂN HƯU SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM TÊN ĐỀ TÀI: "MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC GIÚP HỌC SINH ÔN THI THPT QUỐC GIA" Người thực hiện: Trương Thị Huệ Chức vụ: Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực môn: Tốn Mục lục Trang Mở đầu 1.1 Lí chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu 1.3 Đối tượng nghiên cứu .3 1.4 Phương pháp nghiên cứu Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm 2.2 Thực trạng vấn đề .4 2.3 Các giải pháp .4 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm 19 Kết luận kiến nghị 20 3.1 Kết luận .20 3.2 Kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 21 MỞ ĐẦU 1.1 Lý viết sáng kiến - Đất nước ta đường đổi cần có người phát triển toàn diện, động sáng tạo Muốn phải nghiệp giáo dục đào tạo , đòi hỏi nghiệp giáo dục đào tạo phải đổi để đáp ứng nhu cầu xã hội Đổi nghiệp giáo dục đào tạo phụ thuộc vào nhiều yếu tố , yếu tố quan trọng đổi phương pháp dạy học có phương pháp dạy học mơn tốn 1.2 Mục tiêu sáng kiến Nhằm giúp học sinh ôn luyện thi THPT quoc gia, nghiên cứu biên soạn nhóm tập , đưa phương pháp để học sinh tự ơn luyện NỘI DUNG SKKN 2.1 Cơ sở li luạn cua sáng kiến Đổi phương pháp dạy học thay đổi từ phương pháp dạy học tiêu cực đến phương pháp tích cực, sáng tạo Nhưng khơng phải thay đổi phương pháp hoàn toàn lạ mà phải trình áp dụng phương pháp dạy học đại sở phát huy yếu tố tích cực phương pháp dạy học truyền thống nhằm thay đổi cách thức, phương pháp học tập học sinh chuyển từ thụ động sang chủ động Đây vấn đề học sinh phổ thông ,Bộ giáo dục chuyển tải nội dung từ nội dung học đại học năm thứ xuống lớp 12.Với thời lượng cho phép dạy lớp mơn tốn có hạn Chất lượng học sinh lớp không đồng , dạy cho học sinh yếu , trung bình hiểu học sinh giỏi chán , nguồn học sinh thi đậu đại học lại mong manh 2.2 Thực trạng vấn đề cần giải Trong chương trình giải tích 12 nay, chương số phức đưa vào,trong gồm phần : khái niệm số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức,phương trình bậc hai với hệ số thực chiếm vị trí quan trọng có đề thi THPT QUOC GIA Phần lớn học sinh lúng túng việc phân tích đề để tìm lời giải Chính mà nghiên cứu, biện soạn vấn đề nhằm giúp học sinh hướng tìm lời giải 2.3 Các giải pháp/biện pháp thực Để phát huy tính động sáng tạo học sinh giỏi tơi biên soạn nhóm tập xếp thứ tự tập từ dễ đến khó ,nhằm giúp học sinh làm tốt phần số phức kỳ thi tới NỘI DUNG NGHIÊN CỨU : Dạng : Tìm mô đun ,căn bậc hai số phức, giải phương trình ,hệ phương trình tập số phức Phương Pháp : Cho số phức : z = a + bi với a,b số thực + Mô đun số phức z : z  a  b2 +Gọi w = x + yi với x,y  R bậc hai số phức z Ta có  x  y a w a  bi   x  yi  a  bi    xy b giải hệ phương trình tìm bậc hai số phức z +Việc giải phương trình ,hệ phương trình giải tương tự giải trường số thực ý đến việc tìm bậc hai số âm Bài 1: Tìm mơđun số phức Lời giải: Vì   i  z 1  4i    i  13  3i  3i  i 1  3i   i   2i Suy ra: z   2i  z    1  22  Bài 2: Cho hai số phức: z1   5i ; z2   i Tính Lời giải: z1  5i   z2 3 i     i   5i  8  4  i 3 i 3i z1 z2 z z1 2  3i z1  22   z2    Bài 3: Gọi z1 z2 hai nghiệm phức phương trình: Tính giá trị biểu thức A = Lời giải: Ta có: = z1  z2 z  z  10 0 12 - 10 = -9 = 9i2 Phương trình có nghiệm: z1 = - - 3i; z2 = - + 3i Ta có: 2 2 z1  z2   1    3    1  32 20 Bài 4: Tìm số phức z thỏa mãn: z    i   10 Lời giải: Đặt z = a + bi với a, b  , z.z 25 ta có:  z.z 25 a  b 25  a  b 25      2 a   b  i  10 z   i  10        a     b  1 10     a 3  a  b 25 b 4       a 5 2a  b 10   b 0 2 Vậy có hai số phức cần tìm : z = + 4i , z = + 0i Bài 5: Cho số phức z = - 3i Tìm Lời giải: z  z2 z z  z   3i     3i  11  27i  z  z 11  27i  11  27i    3i   37  141i     3i 42  32 25 z Bài 6: Giải phương trình sau (ẩn z): Lời giải: Giả sử z a  bi ; z  z   5i  z  z   5i  2  (*)  a  bi   a  bi  1  10i  25i 3a  24  3a  bi  24  10i     b 10 a   z   10i  b  10 Dạng 2: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức Phương pháp : + Gọi số phức có dạng : z = x + yi với x,y số thực + Dựa vào giả thiết tốn tìm xem với điểm M( x; y) thỏa mãn phương trình + Kết luận tập hợp điểm biểu diễn số phức z cho Bài 13: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z    4i  2 Lời giải: Đặt z = x + yi; x, y  z    4i  2    x  3  x  3   y   i , ta có: 2   x  3 2   y   2   y   2 Vậy tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z = x + yi thỏa mãn điều kiện cho đường trịn tâm I(3; -4); bán kính R = Bài 14: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện: z  i  z  z  2i Lời giải: Gọi z = x + yi (x, y  Ta có: ) z  i  z  z  2i  x   y  1 i    y  i  x   y  1    2y  y  x2 Bài 15: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z   5i   2 Lời giải: Đặt z = x + yi (x, y   ) Ta có: z - 5i + = (x + 2) + (y - 5)i 2 2 Suy ra: z   5i   2   x     y   2   x     y  5 4 Vậy tập hợp điểm biểu diễn số phức z đường trịn tâm I(-2; 5), bán kính R = CÁC BÀI TỐN VỀ SỐ PHỨC CĨ HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ Phần 1: Dạng đại số số phức Bài 1: Tính z + z a) z = + 3i z z với : b) z = -5 + 3i ĐS: a) 13 b) -10 34 Bài 2: Tìm phần thực phần ảo số phức sau : a) (4 – i) + (2 + 3i) – (5 + i) d) 3 i  1 i b) (1 + i) – (1 – i)2 c) (2 + i)3 – (3 – i)3 i i ĐS: a) b) c) -16 37 d)  2  1 2 Bài 3: Tính : a) a  bi a  bi ĐS: a) b) 1 i b) 1 i Bài 4: Tính: a) 1 i b) ĐS: a) -2in+1 1 i 3     2 b) c)   32i 25 n (với n số nguyên dương) n 1 i  c)   i  1 (1  i)7 a2  b2 2ab  2 2 a b a b  i 3       1 i Bài 5: Giải hệ phương trình sau với x, y, z số phức : a)   i  x    2i  y 2  6i    2i  x    3i  y 5  4i b)   i  x  (2  i ) y 6  (3  2i ) x  (3  2i) y 8 ĐS: a) x = + i , y = i b) x = + i , y = – i Bài 6: Tìm số liên hợp với : a) Bình phương ĐS: a) 0; 1;  i i  ;  2 2 b) Lập phương b) 0; 1; -1; i; -i Bài 7: Cho số phức z = x + iy (x, y thuộc R) Tìm phần thực phần ảo số phức: a) z2 – 2z + 4i b) z i iz  ĐS: a) x – y – 2x 2(xy – y + 2); b)  2xy y2  x2  v x  ( y  1) x  ( y  1) Bài 8: Giải phương trình sau (ẩn z) : a) i   3i z 1 i i ĐS: a) 22  i 25 25   b)    i  z   i   iz  2i  0  b) -1 + i , ½ Bài 9: a) Chứng minh : b) Giả sử  i k 1 ( 1)k i, k  N ; i k ( 1) k , k  N zk i k  i k 1 , k  N Tính tổng zk + zk+1 ĐS: b) Bài 10: Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i a) Với điều kiện a, b, a’, b’ tổng chúng số thực ? số ảo? b) Cũng câu hỏi hiệu z – z’ ĐS: a) z + z’ số thực b = -b’ , số ảo a = -a’ , b  b b) z – z’ số thực b = b’ , số ảo a = a’, b b 10 Bài 11: a) Với điều kiện a, b bình phương z = a + bi số thực, số ảo? b) Cũng câu hỏi z3 HD: a) z2 = a2 – b2 + 2abi Z2 số thực a = b = a = b = Z2 số ảo a  b 0 b) z3 = a3 – 3ab2 + (3a2b – b3)i z3 số thực b = b2 = 3a2 z3 số ảo a = 0, b 0 a2 = 3b2, b 0 Bài 12: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z a  ai, a  R b) z i ĐS: a) Đường thẳng y = x số ảo b) Trục ảo Oy trừ (i) Bài 13: Xác định tập điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn : a) z2 số thực âm b) z  i   z  i 9 ĐS: a) Trục thực Ox từ gốc O b) Elip Bài 14: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z = x + yi với x, y thuộc R thỏa mãn : a)  z 3 b)  x  y 1   x 0, y 0 Bài 15: Chứng minh : a) Bình phương hai số phức liên hợp liên hợp 11 b) Lập phương hai số phức liên hợp liên hợp c) Lũy thừa bậc n số phức liên hợp liên hợp Bài 16: A, B, C, D bốn điểm mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số : + 2i ,   i,1   i,1  2i Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp đường tròn Hỏi tâm đường trịn biểu diễn số phức nào? HD: cặp số + 2i, – 2i   i,1   i cặp số phức liên hiệp nên hai điểm A, D hai điểm B, C đối xứng qua Ox; phần thực hai số đầu khác phần thực hai số sau nên ABCD hình thang cân Do tứ giác nội tiếp đường trịn có tâm J nằm trục đối xứng Ox; J biểu diễn số thực x cho :   JA  JB   x  2i   x   i  x 1 Từ suy tâm đường trịn biểu diễn : z=1 * Cách khác:  AB biểu diễn số phức    3i  3i nên AB.DB 0 3 i   i, DB biểu diễn số phức  3i Mà   T/tự (hay lí đ/x qua Ox), DC AC 0 Từ suy AD đ/kính đ/trịn qua điểm A, B, C, D Phần 2: Căn bậc hai phương trình Bài 1: Tìm bậc hai số phức: a) z = 200 10 b) b) z = - 13 ĐS: a) i 13 Bài 2: Giải phương trình bậc hai sau tập hợp số phức C: 12 a) z2 – z + = ĐS: a) i z b) 2z2 – 5z + = b) z (Tốt nghiệp THPT 2006) i Bài 3: Giải phương trình : a) z2 + z + = b) z  z  0 ĐS: a) z  i b)  i 2 Bài 4: Giải phương trình a) k = z k z trường hợp sau: b) k = ĐS: a) z = i b) z =  i  Bài 5: Giải phương trình C: z  z 0 HD: Đặt z = x + yi dẫn đến hệ phương trình hai ẩn x, y: Kết quả: z1 = ; z2 = -1 ; z3 = 3 i ; z4   i 2 2 Bài 6: Giải phương trình tập C: a) x4 – 3x2 + = ĐS: a) x =  i  2 b) x4 – 30x2 + 289 = b) x = 4 i Bài 7: Giải phương trình C: x3 + = HD: Ta có: x3 + =  x    x   x  2x  0    x  2x       x    x 1 i 13 Phần 4: Bài tập tổng hợp số phức Bài 1: Viết số phức sau dạng đại số: a) z = 2i10 + i3 b) z = i2007 + i2008 ĐS: a) -2 –i ; b) – i Bài 2: Viết dạng a + bi số phức sau: a) z = (1 + i)2– (1 – i)2 c)  z  1 i  b) z = (2 + i)(-1 + i)(1 + 2i)2 d) ĐS: a) 4i 1 z  1 i 1 i b) – 15i c) -8 Bài 3: Tính : a) (1 + 2i)6 d) b) (2 + i)7 + (2 – i)7 ĐS: a) 117 + 44i ; b) -556 Bài 4: Giải hệ phương trình với ẩn số thực: (1  i ) x  (1  2i) y  (1  3i ) z  (1  4i)t 1  5i  (3  i) x  (4  2i) y  (1  i) z  4it 2  i ĐS: x = -2; y = 3/2; z = ; t = -1/2 Bài 5: Cho hai số phức z = a + bi z’ = a’ + b’i Với điều kiện a, b, a’ ,b’ tích z.z’ chúng số thực ?số ảo? ĐS: ab’ + a’b = aa’ – bb’ = ; ab’ + a’b 0  Bài 6: Tính: a) c) HD: a)     i i 3i    i    i  3 i   3 i b) 2(3 + i2) = b)  i    d)   i   i 3 i  2 c) 2i.8 = 16i d) 2  3i   3i    3i 14 Bài 7: Tìm phần thực phần ảo số phức: z = (x + iy) – 2(x + iy) + (x, y  R) Với x, y số phức số thực? Bài 8: Cho số phức: z1 = + i , z2 = – 2i Hãy tính: z12 z1 z2 ; 2z1  z2 ; z1 z2 z2 z1 Bài 9: Thực phép tính: a) e)  2i b) 1 i 1 i c) m i m d) a i a a i a a i b i a Bài 10: Phân tích thừa số phức : a) a2 + b) 2a2 + c) 4a2 + 9b2 d) 3a2 + 5b2 Bài 11: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện : a) z   2i 0 b)   i  z   i  z c) lg z  i 1 Bài 12: Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z : z  d) 2 z   z  26 1  z z Bài 13: Cho số phức z = a + bi Một hình vng tâm gốc tọa độ O, cạnh song song với trục tọa độ có độ dài Hãy xác định điều kiện a b để điểm biểu diễn z: a) Nằm hình vng b) Nằm đường chéo hình vng 15 Bài 14: X/định tập hợp điểm M mphẳng phức biểu diễn số phức   i  z  , z  2 Bài 15: Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện sau: a) b) 2iz  2 z  2i  z  2z  Bài 16: Tìm bậc hai số phức : a) b) -2 ĐS: a)  b)  2i Bài 17: Giải phương trình tập số phức: a) x + 81 = b) x – x +2=0 Phan Luyen tap TNKQ Câu Tìm số phức liên hợp z số phức: z   2i A z   2i B z 1  2i C z 1  2i D z   i Câu Tính mơ đun z số phức: z 4  3i A z 7 B z 5 C z 25 D z  Câu Tìm số thực x, y thỏa:  x  y    x  y  i 3  6i A x  1; y 4 B x 1; y  C y  1; x 4 D x  1; y  Câu Thu gọn số phức z   3i  được: A z  B z 11  2i C z   2i D z   2i Câu Cho số phức z 3   4i   2i  Modun số phức z là: A B 14  10i C 74 D Câu Tìm số phức liên hợp z số phức z 3   3i    2i  1 A z 10  i B z 10  i C z 10  3i D z 2  i z Câu Cho số phức z1 3  4i ; z 4  i Số phức z  z bằng: 16 13  i 25 25  4i Câu Tìm phần thực a phần ảo b số phức z 4  3i   6i A 16 13  i 17 17 B 13  i 15 15 C 16 13  i 5 D 16 73 17 , b 15 17 b  A a  B a   17 73 ,b 15 Câu Cho số phức z thỏa mãn 73 17 , b  i 15 73 , 15 C a  D a  z  z 2 Phần thực a số phức w  z  z là:  2i C a 2 D a 1 A a  B a 3 Câu 10 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình z  z  13 0 Tính 2 P  z1  z ta có kết là: A P 0 B P  22 C P  13 D P  26 Câu 11 Gọi z1 , z2 hai nghiệm phức phương trình 2z  3z  0 Tính giá trị biểu thức P  A P  z1 z2  z2 z1 i B P  C P  D P  Câu 12 Trong tập số phức Gọi z1 , z2 , z3 ba nghiệm phương trình z  3z  8z  0 Tính P  z1 z2 z3 A P 6 B P 59 C P  D P 36 Câu 13 Tìm phần thực phần ảo số phức z thỏa z  z số ảo a 1 b 1 a 1 b 1 A  B  a  b 1 a 1 b  C  D  Câu 14 Tập hợp điểm mặt phẳng biểu diễn số phức z thoả mãn điều kiện z  i 1 là: A Một đường thẳng B Một đường tròn C Một đoạn thẳng D Một hình vng Câu 15 Trong mặt phẳng phức, gọi A, B, C điểm biểu diễn số phức z1  -1+3i; z  -3-2i, z  4+i Tam giác ABC là: A Cân B Đều C Vuông D Vuông cân Câu 16 Tập hợp điểm biểu diễn số phức z  2i 3 đường tròn tâm I Tìm tất D m 8; m 9 giá trị m để khoảng cách từ I đến d : 3x  y - m 0 A m  7; m 9 B m 8; m  C m 7; m 9 Câu 17 Trong tập số phức, phương trình z  z  0 có nghiệm là: A z1,2   1 B z1,2  i C z1,2   i D Vô nghiệm Câu 18 Cho số phức z 1  3i Tìm số phức z  17 A z  =  i 4 B z  =  i 2 C z  = + 3i D z 1  3i Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện zi    i  2 A  x  1   y   4 B  x  1   y   4 2 C  x  1   y   0 D x  y  x  y  0 Câu 20 Trên mặt phẳng Oxy,tìm tập hợp điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn điều kiện z 2 A Tập hợp điểm M đường trịn có tâm gốc tọa độ O bán kính B Tập hợp điểm M đường thẳng: x  y  0 C Tập hợp điểm M đường trịn có tâm gốc tọa độ O bán kính D Tập hợp điểm M là đường thẳng: x  y  0 Câu 21 Tính mơđun z số phức z 5  2i    i  A z  41 B z  C z 7 D z 3 Câu 22 Biết số phức z thỏa mãn điều kiện u ( z   i)( z   3i) số thực Giá trị nhỏ |z| A 10 B 38 C 2 D Câu 23 Trong mặt phẳng phức cho ΔABC vuông C Biết A, B biểu diễn số phức : z1 2  2i ; z1   4i Khi đó, C biểu diễn số phức: A z 2  4i B z   2i C z 2  4i D z 2  2i Câu 24 Cho số phức z thỏa mãn: z   3i  2i   z Tập hợp điểm biểu diễn cho số phức z A.d: 20 x  16 y  47 0 B d’: 20 x  16 y  47 0 C.(C): y  20 x  y  20 0 D d’’:  20 x  32 y  47 0 Câu 25 Tìm tích nghiệm ảo phương trình z  z  0 A  B C  D  18 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm : Kết thử nghiệm cuối năm học 2014-2015 ,tôi chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Khá Trung Yếu bình 12C1 6,7% 26,7% 16,7% 15 50% 12C2 3,3% 16,7% 20% 18 60% Kết thử nghiệm cuối tháng năm học 2015 - 2016 ,tôi chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Khá Trung Yếu bình 12C5 10 33,3% 12 40 % 20 % 6,7% 12C7 26,7% 10 33,3% 16,6% 23,3% Kết thử nghiệm cuối tháng năm học 2016 - 2017 ,tôi chọn ngẫu nhiên 30 học sinh dự thi khối A khảo sát kết cụ thể sau : Lớp Giỏi Khá Trung Yếu bình 12C2 12 36,6% 12 40 % 17 % 6,7% 12C6 29,7% 10 33,3% 13,6% 23,3% 19 Rõ ràng qua ba năm thực đề tài này, kết học sinh học phần số phức có tiến rõ rệt Kết luận kiến nghị 3.1 Kết luận Việc viết sáng kinh nghiệm vấn đề cấp thiết cho gian đoạn ,giai đoạn công nghiệp hóa đại hóa đất nước, đất nước phát triển Việt nam ta nói chung ,riêng ngành giáo dục cần phải đổi nhanh chóng, song môn đặc biệt môn tự nhiên điều cốt lõi mà chương trình lớp kế thừa áp dụng giáo viên nên chỉ tạo điều kiện để em nắm bắt Có vậy, tình trạng hỏng kiến thức hạn chế dần khắc phục được.Hy vọng với đề tài giúp học tự học thích học phần số phức 3.2 Kiến nghị Đề tài cần thiết giới thiệu rộng rãi cho học sinh đồng nghiệp dạy 12 Tuy nhiên ví dụ cần sưu tập thêm, với cộng tác độc giả chắn đề tài đem lại nhiều lợi ích Ngồi phương pháp giải ví dụ chưa tối ưu cần góp ý bổ sung bạn đọc 20 ... thời lượng cho phép dạy lớp môn tốn có hạn Chất lượng học sinh lớp không đồng , dạy cho học sinh yếu , trung bình hiểu học sinh giỏi chán , nguồn học sinh thi đậu đại học lại mong manh 2.2 Thực... chương số phức đưa vào,trong gồm phần : khái niệm số phức, cộng trừ nhân chia hai số phức, phương trình bậc hai với hệ số thực chiếm vị trí quan trọng có đề thi THPT QUOC GIA Phần lớn học sinh cịn... phương pháp dạy học có phương pháp dạy học mơn tốn 1.2 Mục tiêu sáng kiến Nhằm giúp học sinh ôn luyện thi THPT quoc gia, tơi nghiên cứu biên soạn nhóm tập , đưa phương pháp để học sinh tự ơn luyện