Một cách khác tính tích phân

MC LC 1.1 1.2 1.3 1.4 2.1 2.1.1 2.1.2 2.2 2.3 2.3.1 2.3.2 2.3.3 2.3.4 2.3.5 2.4 Mc lc t Lý chn ti Mc ớch nghiờn cu i tng, phm vi nghiờn cu phng phỏp nghiờn cu Ni dung C s lý lun Cụng thc o hm Cụng thc tớch phõn Thc trng ca Bin phỏp thc hin S dng cụng thc n.u Â.u n- = (u n ) S dng cụng thc u Â.v + vÂ.u = (uv) u = (ln u) S dng cụng thc u  ổu   ữ S dng cụng thc u v - v u = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốv ứ v u = ( u ) u Hiu qu ca SKKN Kt lun, kin ngh Ti liu tham kho S dng cụng thc 1 1 1 1 2 11 12 14 16 T VN 1.1/ Lý chn ti: Trong nhiu mc ớch ca ging dy mụn toỏn thỡ vic khớch l nim am mờ, tỡm tũi sỏng to l mc ớch m bn thõn tụi luụn luụn coi trng Trong quỏ trỡnh ging dy tụi luụn khuyn khớch hc sinh t tỡm ý tng, cỏch gii ca riờng mỡnh Mt thc t, phn ln hc sinh hin gii mt dng toỏn no ú thng lm theo mt thut toỏn m ngi thy ó dng sn Khụng nhiu hc sinh tỡm hiu sõu v nh ngha, khỏi nim, cỏc kin thc xõy dng nờn thut toỏn ú L giỏo viờn may mn c tip xỳc vi nhiu hc sinh cú hc lc khỏ gii, nờn tụi thng ng viờn khuyn khớch cỏc em tỡm hiu rừ bn cht T ú hc sinh quen vi tớnh ch ng sỏng to quỏ trỡnh hc Trong thi i hc (trc õy) v thi THPT Quc gia (hin nay) thỡ phn tớch phõn chim 10% Thi gian gn õy cỏc bi toỏn gn vi thc tin (nh xỏc sut; ng dng tớch phõn; tớnh giỏ tr biu thc lng giỏc; khong cỏch) ang dn c chỳ ý Vic gii cỏc bi toỏn tớch phõn i vi hc sinh khỏ gii khụng my khú khn Nhng trờn tinh thn phỏt trin s say mờ tỡm tũi cho hc sinh, tụi ó hng dn hc sinh i tỡm nhng cỏch gii, cỏch trỡnh by bi toỏn c bng phng phỏp mi Vỡ lý ú tụi chn ti: "Mt cỏch khỏc tớnh tớch phõn" 1.2/ Mc ớch nghiờn cu: Chuyn vic tớnh tớch phõn bng cỏch truyn thng sang cỏch tớnh da vo cỏc cụng thc tớnh o hm quen thuc 1.3/ i tng, phm vi nghiờn cu: - Toỏn tớch phõn chng trỡnh gii tớch lp 12 - Hc sinh lp 12 1.4/ Phng phỏp nghiờn cu: - Nghiờn cu ti liu - Phõn tớch, tng hp, ỳc rỳt quỏ trỡnh ging dy NI DUNG 2.1/ C s lý lun: 2.1.1/ Cụng thc o hm: Tụi yờu cu hc sinh nh cỏc cụng o hm dng dng ngc t v phi qua v trỏi n.u Â.u n- = (u n ) u Â.v + vÂ.u = (uv) u = (ln x) u  u Âv - v Âu ổ uử ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ốv ứ u2 u = ( u ) u 2.1.2/ Cụng thc tớch phõn: Tụi nhc li nh ngha h nguyờn hm, ký hiu nguyờn hm xõy dng cụng thc - Ta cú ũf (x).dx = F(x) + C [ F(x) + C]Â=f (x) - Do f (x) l mt nguyờn hm ca [ f (x) ]Â, nờn:  ũ[ f (x)] dx = f (x) + C (1) b ũ[ f (x)]Âdx = f (x) b a (2) a 2.2/ Thc trng ca : - Do thúi quen ca hc sinh l dựng phng phỏp vi phõn, dựng bng nguyờn hm tớnh tớch phõn nờn mi tip cn vi phng phỏp ny cũn b ng - Vic dng cụng thc ngc thng phi tỏch thờm bt (vớ d l u Âv - v Âu ) nờn cng l mt tr ngi cho hc sinh v2 - Do tớnh tũ mũ nờn t tụi hc sinh cú ngi nhng mun thy trỡnh by Khi ó nm c thỡ rt ho hng lm theo lm xut hin 2.3/ Bin phỏp thc hin: Trong quỏ trỡnh dy cụng thc cho hc sinh tụi luụn yờu cu hc sinh quan tõm n chiu ngc li Vic hng dn hc sinh hỡnh thnh v phi dng thụng qua v trỏi tụi lm thng xuyờn to thnh thúi quen Trong quỏ trỡnh thc hin tụi cng yờu cu hc sinh phi ghi nh mt s th thut 2.3.1/ S dng cụng thc n.u n- 1u Â= (u n ) T biu thc di dõu tớch phõn tụi hng dn hc sinh tỏch, thờm bt xut hin dng n.u Âu n- ỏp dng qua v phi, ta xột mt s vớ d sau: p Vớ d 1: T = sin 2x(1 + sin x)3 dx ũ Phõn tớch: sin 2x = (sin x) u Â.u = (u ) Bi gii: Ta cú: sin 2x(1 + sin x)3 = (sin x)Â(1 + sin x)3 1ộ  2 4ự Â(1 + sin x)3 ự = ộ 4(1 + sin x) = (1 + sin x) ỳ ỳ ỷ 4ở ỷ 4ở p p Vy: T = ộ(1 + sin x) ựÂdx = (1 + sin x) =15 ỳ ỷ 4ũ Chỳ ý: Ta cú th dựng phng phỏp vi phõn nh sau p p 0 ự T = ũ(1 + sin x)3 ộ ở2sin x.d ( sin x ) ỷ= ũ(1 + sin x) d(1 + sin x) = (1 + sin x) p p e2 Vớ d 2: T = cos(ln x) dx ũ x Phõn tớch: = (ln x)Â(vi x > ) x u Â.cos u = (sin u) Bi gii: Ta cú cos(ln x) = (ln x)Â.cos(ln x) = [ sin(ln x) ] x p e2 p Vy: T = [ sin(ln x) ]Âdx = sin(ln x) e =1 ũ 1 Chỳ ý: Ta cú th dựng phng phỏp vi phõn nh sau p e2 p e2 T = ũcos(ln x)d(ln x) = sin(ln x) =1 e2 Vớ d 3: T = ũ e Phõn tớch: ln x dx x = (ln x) x Bi gii: Ta cú: ln x = (ln x)Â(ln x) = (ln x) x e2 e2 1 Vy: T = ũ(ln x)Âdx = ln x e = e 2 e2 Chỳ ý: Ta cú th gii T = ũln x.d(ln x) = e e2 ln x hoc bng phng phỏp e tớch phõn tng phn Bi tp: ep 1/ T = ũsin(ln x)dx 1 2/ T = ũ x - x dx 2.3.2/ S dng cụng thc u Â.v + u.v Â= (u.v) Tụi gi õy l cụng thc "o hm tng phn" Da vo cụng thc ny ngi ta xõy dng cụng thc nguyờn hm, tớch phõn tng phn; vỡ lý ú ta cú th dng nú tớnh nhanh mt s tớch phõn Phng phỏp: T biu thc di du tớch phõn ta tỏch, thờm bt lm xut hin dng u Â.v + u.v  ta chuyn biu thc di du tớch phõn v dng (u.v) n õy ta s dng cụng thc (1), (2) ly kt qu Ta i xột mt s vớ d sau, mi vớ d chỳng ta hóy chỳ ý lng thờm bt ú p Vớ d 1: T = ũ x.sin x.dx Phõn tớch: Vỡ x.sinx =- x(cos x)Â, nờn ta thờm bt - (x)Âcos x + cos x Bi gii: ự Ta cú: x.sinx =- ộ ởx.(cos x)Â+ x Â.cos x ỷ+ cos x =- (x.cosx)Â+ (sinx) = (sinx - x.cos x) p p Vy T = ũ(sinx - x.cos x)Âdx = (sinx - x.cos x) = p p x.sinx dx cos x p Vớ d 2: T = ũ -  ổ1 ổ1 ữ ỗ  x ữ ỗ Phõn tớch: Vỡ x.sinx nờn ta thờm bt ữ = x ỗ ữ ữ cos x ỗ ỗ ốcos x ứ ữ ỗ ốcos x ứ cos x Bi gii: ộ ự   ổ ổx x.sinx ổ 1 ỳ ữ ữ ữ ỗ ỗ ỗ  = x + x = Ta cú: ữ ữ ữ ỳ ỗ ỗ ỗ ữ ữỳ cos x ố ữ cos x ỗcos x ứ ỗcos x ứ ốcos x ứ ố cos x ỗ ỷ p  ổx ữ ỗ Vy T = ũỗ ữ ữdx ỗ ốcos x ứ p - p x ũ cos x dx = cos x p p - p - I Sau ú ta tip tc cho hc sinh tớnh I bng cỏch nhõn thờm c t c mu vi cosx Chỳ ý: Ta cú th gii bng phng phỏp tớch phõn tng phn s inx ùỡù ùỡ du = dx ùù u = ù cos x ị cos x t ùù ùù ùợ v = x ùợ dv = dx 2x Vớ d 3: T = ũ(x - 1) e dx Phõn tớch: 1  Vỡ (x - 1) e 2x = (x - 1) (e 2x )Âta thờm bt ( (x - 1) ) e 2x - (x - 1)e 2x 2 Tng t cho biu thc (x - 1)e 2x , ta cú cỏch gii Bi gii: ộ1 ự 2x 2x  2x 2x Ta cú: (x - 1) e = (x - 1) (e )Â+ ( (x - 1) ) e ỳ- (x - 1)e ỳ ở2 ỷ  = ộ (x - 1) (e 2x )ự ỳ ỷ ộ1 ự e 2x (x - 1)(e 2x )Â+ (x - 1)Âe 2x ỳ+ ỳ ở2 ỷ 2x 1ộ  1ộ  (e ) ộ  2x ự 2x ự = (x - 1) (e )ỷ - (x - 1)(e )ỷ + = (2x - 6x + 5)e 2x ự ỳ ỳ ỳ ỷ 2 4 1 ộ 1ộ e2 -  2x ự 2x ự (2x - 6x + 5)e ỷ Vy: T = ũ ỳdx = ờ(2x - 6x + 5)e ỷ ỳ0 = 4 Chỳ ý: Ta cú th gii bng phng phỏp tớch phõn tng phn ln p Vớ d 4: T = sin 2x.e 3x dx ũ 1 3x 3x 3x 3x Phõn tớch: Vỡ sin 2x.e = sin 2x.(e )Â, thờm bt (sin 2x)Âe - cos 2x.e 3 Tng t cho biu thc thc cos 2x.e 3x Bi gii: ộ1 3x 3x 3x ự 3x Ta cú: sin 2x.e = sin 2x.(e )Â+ (sin 2x) Âe ỳ- cos 2x.e ỳ ở3 ỷ ự ộ1 = (sin 2x.e 3x )Â- cos 2x.(e 3x )Â+ (cos 2x)Âe 3x ỳ- sin 2x.e 3x ỳ 3ờ ở3 ỷ Ta rỳt c: sin 2x.e 3x = ộ 3x ự e (3sin 2x 2cos 2x) ỳ ỷ 13 Vy: p T=ũ p ộ 3x 3x  e (3sin 2x - 2cos 2x)ự dx = ộ e (3sin 2x - 2cos 2x) ự ỳ ỳ ỷ ỷ 13 13 3p 4e 13 Chỳ ý 1: Ta cú th s dng phng phỏp ng nht nh sau = 3x ự Gi s sin 2x.e 3x = ộ ờe (m.sin 2x + n.cos 2x) ỷ ỳ ự = e3x ộ ở( 3m - 2n ) sin 2x + ( 3m + 2m ) cos 2x ỷ ;n =v ta cú kt qu nh trờn 13 13 Chỳ ý 2: Ta cú th gii bng phng phỏp tớch phõn tng phn ln ng nht hai v ta c m = Vớ d 5: T = ũ ln x dx x2 ổ 1ử ổ 1ữ ử ữ ỗ  (ln x) + Phõn tớch: Vỡ ln 2x = ỗ , thờm bt ữ ln x ỗ ữ ữ ỗ ỗ ố xứ ỗ x2 ố xữ ứ x Bi gii: Ta cú: ộ ự  ổ ử ln x ờổ 1 ổ ln x ữ ỳ ữ ữ ỗ ỗ ỗ Â+ = ỗ= ờỗ- ữ - ữ ỗ ữln x +ố ữ(ln x) ỳ ữ ỗ xứ ỗ xứ ỗ x ữ ố ứ x2 ờố ỳ x ỷ  ổ + ln x ữ Vy: T =- ũỗ ữ ỗ ữdx =ỗ ố ứ x 2 Vớ d 6: T = ũ Phõn tớch: Vỡ x ln(x + + x ) 1+ x x ln(x + + x ) 1+ x2  ổ1 ữ ỗ ữ ỗ ữ=ỗx ứ ố  ổ ln x +1ử ữ ỗ ữ ỗ ữ ỗ x ứ ố ổ + ln x - ln ữ ỗ = ữ ỗ ữ ỗ ố x ứ dx = (  + x ln x + + x , thờm bt ) ( ) ( ộ ờln x + + x Bi gii: Ta cú: ỡù = ùớ ùù ợù ( ) ự ỳ 1+ x - ỷ x ln(x + + x ) 1+ x =  ộ + x ln x + + x + ờln x + + x ) ( ) ( ộ = + x ln x + + x ) ( ) ỹ ù ự 2ù + x ý- ỳ ùù ỷ ù ỵ ự  ộ ự 2 x = + x ln x + + x x ỳ ỳ ỷ ỷ ( ) ộ ự 2 Vy: T = ũ + x ln x + + x - x ỳdx ỷ ( ( ) ) ộ ự = + x ln x + + x - x ỳ ỷ1 ep Vớ d 7: T = ũcos(ln x)dx Phõn tớch: Vỡ cos(ln x) = x Â.cos(ln x) , ta thờm bt x [ cos(ln x) ]Â+ sin(ln x) Gii: { } Ta cú: cos(ln x) = x Â.cos(ln x) + x [ cos(ln x) ] + sin(ln x) { } = [ xcos(ln x) ]Â+ x Âsin(ln x) + x [ sin(ln x) ] - cos(ln x) = [ x.cos(ln x) ]Â+[ x.sin(ln x) ]Â- cos(ln x) Suy cos(ln x) = [ x.cos(ln x) + x.sin(ln x) ] Vy: ep ep 1 T = ũ[ x.cos(ln x) + x.sin(ln x) ]Âdx = [ x.cos(ln x) + x.sin(ln x) ] 2 Bi tng t: x 2.1/ T = ũ(x - 1)e dx p 2.2/ T = (x +1)sin x.dx ũ p 2.3/ T = ũ p p 2.4/ T = ũ x dx sin x x dx + cos 2x 2.5/ T = ũ x.tan x.dx p 2.6/ T = + x.s inx dx (trớch thi i hc B nm 2011) ũ cos2x p 2.7/ T = e 2x cos x.dx ũ p 2.8/ T = e 2x sin 3x.dx ũ x + ln x dx 2.9/ T = ũ x ep 2.10/ T = ũsin(ln x)dx u = ( ln x )  u Trong quỏ trỡnh gii toỏn nguyờn hm, tớch phõn chỳng ta gp rt nhiu bi s dng cụng thc trờn 2.3.3/ S dng cụng thc 10 (x +1) dx (trớch D nm 2013) Vớ d 1: T = ũ + x x (x +1) = Phõn tớch: Vỡ 1+ x2 x +1 Gii: (x +1) 2x (x +1) ộ   =1 + =x + =ở x + ln(1 + x )ự Ta cú: ỳ 2 ỷ 1+ x 1+ x x +1 Âdx = ộx + ln(1 + x )ự1 =1 + ln 2 ự x + ln(1 + x ) Vy: T = ũ ộ ỳ ỳ0 ỷ ỷ e2 Vớ d 2: T = ũ e Phõn tớch: Vỡ dx x ln x = (ln x) x Bi gii: Ta cú: (ln x) = = [ ln(ln x) ] x ln x ln x e2 e Vy: T = ũ[ ln(ln x) ]Âdx =[ ln(ln x) ] e = ln e Chỳ ý: Ta cú th gii bng phng phỏp vi phõn e2 e2 d ( ln x ) dx e2 T=ũ =ũ = ln(ln x) e x ln x ln x e e p sin 2x Vớ d 3: T = ũ - cos2x dx Phõn tớch: Vỡ sin 2x = (- cos x) Bi gii: sin 2x (4 - cos 2x) ộ  = =ở ln(4 - cos 2x)ự Ta cú ỳ 2 ỷ - cos x - cos x p p Vy T = ộln(4 - cos x)ựÂdx = ộln(4 - cos 2x)ự4 = ln ỳ ỳ0 ũ ởờ ỷ ỷ 11 Chỳ ý: Ta cú th gii bng phng phỏp vi phõn p p sin 2x d(4 - cos x) T=ũ dx = =ln - cos x 2 ũ - cos x - cos x 0 p ổ pử sin ỗ x- ữ ữ ỗ ữ ỗ ố 4ứ Vớ d 4: T = (trớch B nm 2008) ũ sin 2x + 2(1 + s inx + cos x) dx p Phõn tớch: Vỡ cos x - s inx = (sinx + cos x +1) Bi gii: Ta cú: ổ pử ữ sin ỗ ữ ỗ ữ ỗx - ứ cos x - sinx ố = sin 2x + 2(1 + sinx + cos x) (1 + sin 2x) + 2(sinx + cos x) +1  (s inx + cos x +1) ổ ữ ỗ = ữ ỗ ữ ốsinx + cos x +1ứ (s inx + cos x +1) ỗ =- p p  1 Vy: T = ổ ữ ỗ dx = ữ ỗ ữ ỗ ốsinx + cos x +1ứ 2ũ s inx + cos x +1 0 Chỳ ý: Ta cú th gii bng phng phỏp vi phõn p T= (sin x - cos x)dx (1 + sin 2x) + 2(sinx + cos x) +1 2ũ p d(sinx + cos x +1) (sinx + cos x +1) 2ũ =Bi tp: p 3.1/ T = - 2sin x dx ũ + sin 2x x + 2x +10x +1 dx 3.2/ T = ũ x + 2x + 12 (1 + e x ) dx 3.3/ T = ũ 2x e + e3 3.4/ T = ũ e2 3.5/ T = ũ dx x.ln x.ln(ln x) x + e x + 2xe x dx (trớch A nm 2010) + 2e x    ổu ữ 2.3.4/ S dng cụng thc u v - u.v = ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốv ứ v Trong quỏ trỡnh dng cụng thc ny hc sinh thng khú to u, tụi khuyn khớch hc sinh da vo v v v' d oỏn u Trong trng hp khú d oỏn tụi gi ý hc sinh dựng phng phỏp ng nht e2 ổ1 - ữ Vớ d 1: T = ũỗ ữ ỗ ữdx ỗ ố ứ ln x ln x e Ta cú:  1 ln x - x Âln x - x(ln x) ổ x ữ ỗ = = =ỗ ữ ữ ỗ ốln x ứ ln x ln x ln x ln x e2 e2 ổ1 ổx ử ữ ỗ Vy: T = ũỗ - ữ dx = ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ỗ ỗ ốln x ln x ứ ốln x ứ e e p Vớ d 2: T = ũ x2 dx (xsin x + cos x) x2 Ta cú f (x) = (x sin x + cos x) = (x.sinx)(x sin x + cos x) - (sinx - x.cos x)(x.cos x) (x sin x + cos x) = (sinx - x.cos x)Â(xsin x + cos x) - (xsin x + cos x)Â(s inx - x.cos x) (xsin x + cos x)  ổ s inx - x.cos x ữ =ỗ ữ ỗ ữ ỗ ốxsin x + cos x ứ 13 p p  sinx - x.cos x sinx - x.cos x 2 Vy: T = ổ ữ ỗ dx = = ũỗỗốxsin x + cos x ứữ ữ xsin x + cos x p 0 Chỳ ý: Nu gii bng cỏch ỏp dng tớch phõn tng phn tụi hng dn hc sinh nh sau: x2 x.cos x x = v phõn tớch cho hc sinh (xsin x + cos x) (xsin x + cos x) cos x x.cos x l o hm ca x.sinx + cos x Vớ d 3: T = ũ Ta cú + xe x ( x + ex ) dx  (x +1)Â(x + e x ) - (x +1)(x + e x ) ổ x +1 ữ ỗ = = ữ ỗ ữ ỗ ốx + e x ứ ( x + ex ) + xe x ( x + ex ) 2  ổx +1 x + 1- e ữ Vy T = ũỗ dx = = ữ ỗ ữ ỗ ốx + e x ứ x + ex + e Chỳ ý: Ta cú th gii bng phng phỏp tớch phõn tng phn x 3e x dx Bi tp: T = ũ (x + 3) 2.3.5/ S dng u = ( u ) u Rt nhiu bi m mu cha mt cn s dng c cụng thc ny p Vớ d 1: T = ũ sin 2x 2 cos x + 4sin x dx (trớch thi i hc A nm 2006) Phõn tớch: sin 2x = (sin x) Bi gii: Ta cú (sin x) (1 + 3sin x) = = 2 3 + 3sin x + 3sin x p ( + 3sin x ) p  Vy T = + 3sin x dx = + 3sin x =1 ũ ( ) Chỳ ý: Ta cú th gii bng phng phỏp vi phõn 14 p d(1 + 3sin x) T= ũ + 3sin x p Vớ d 2: T = ũ p cot x dx + ln(sinx) Phõn tớch: cot x = (sinx) = [ ln(sinx) ] sinx Bi gii: Ta cú [1 + ln(s inx)] ộ cot x  = = + ln(sinx) ự ỳ ỷ + ln(sinx) + ln(s inx) p p  + ln(s inx) ự dx = + ln(sinx) p2 = 2(1 Vy T = ũ ộ ỳ ỷ - ln 2) p p Vớ d 3: T = ũ tan x cos x + cos x dx Phõn tớch: =1 + t an x cos x = (t anx) cos x Bi gii: Ta cú: = tan x cos x + cos x (1 + tan x) + tan x p ( Vy: T = ũ t anx = + tan x ( = + tan x (t anx)Â.t anx = cos x + tan x ) p  + tan x dx = + tan x = 2 ) Vớ d 4: T = ũln(x + + x )dx 15  ự ộ Phõn tớch: ờln(x + + x )ỳ = ; ly c tớch phõn thỡ t ỷ + x2 1+ x2 phi cú x T ú ta cú cỏch gii nh sau Bi gii: ỡù ùù Âỹ 2 ự ộ ù  Ta cú ln(x + + x ) = x ln(x + + x ) + x ờln(x + + x ) ỳý ùù ỷùù ợ ỵ -  =ộ x.ln(x + + x )ự - ( + x ) ỳ ỷ 1+ x x = ộ 2x.ln(x + + x ) 2ở  1+ x2 ự ỳ ỷ  1+ x2 ự dx ỳ ỷ ộ Vy T = ũ ờ2x.ln(x + + x ) = ộ 2x.ln(x + + x ) 2ở 1+ x2 ự ỳ ỷ0 2.4/ Hiu qu ca sỏng kin kinh nghim: - i vi bn thõn: Tụi thy vic dng SKKN lm cho bn thõn am mờ tỡm tũi, thay i nhng li t truyn thng Tp cho mỡnh thúi quen thay i ỳng trc mt ó c - i vi hc sinh: Vic dy thc nghim lp 12 A1 nm hc 20152016 v dy ỏp dng SKKN ca lp 12A1 nm 2016-2017 tụi thu c kt qu v so sỏnh bng sau Yu TT Nm hc Lp S s S lng 2015-2016 2016-2017 12A1 12A1 45 46 T l % 11% 2% Trung bỡnh S T l % lng 35 24 78% 52% Khỏ, gii S T l % lng 21 11% 46% KT LUN, KIN NGH 3.1/ Kt lun: - Sau dng sỏng kin ny hc sinh s hỡnh thnh thúi quen dng cụng thc ngc 16 - Hc sinh s tỡm hiu k khỏi nim, nh ngha Hc sinh s cú thúi quen dựng nh ngha gii toỏn - i vi ng nghip sau tụi trỡnh by SKKN ny giỏo viờn cng dn chuyn t phng phỏp vi phõn sang s dng phng phỏp ny 3.2/ Kin ngh: - Nhng sỏng kin kinh nghim cú ý ngha thc t quỏ trỡnh ging dy, s nờn biờn thnh sỏch giỏo viờn cú thờm ti liu tham kho - Giy chng nhn sỏng kin kinh nghim, theo thin ngh ca tụi nú cú giỏ tr nh Giy chng nhn bn quyn Vỡ vy s nờn lm trờn cht liu tt hn, hỡnh thc p hn giỏo viờn lu gi Xin chõn thnh cm n! Th Xuõn, ngy 20 thỏng nm 2016 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Ngi thc hin Nguyn Duy Trỡnh XC NHN CA HIU TRNG 17 TI LIU THAM KHO 1/ Gii toỏn tớch phõn - Nguyn Vn Mu (ly bi) 2/ Gii nhanh toỏn gii tớch - Nguyn Vn Dng (phn tớch phõn tng phn) 3/ Tuyn thi i hc, Cao ng - Trn Phng (ly bi) 18