skkn một số KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN hữu tỷ

SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Trong chương trình Giải tích lớp 12, bên cạnh dạng toán quen thuộc như: Khảo sát vẽ đồ thị hàm số, toán liên quan đến hàm số, phương trình bất phương trình mũ lôgarit, số phức ta gặp nhiều toán tích phân đặc biệt tích phân hữu tỷ Đây dạng toán khó học sinh, gặp tích phân học sinh cách giải toán Trong trình trực tiếp giảng dạy Toán lớp 12 nghiên cứu, thấy dạng toán không khó mà hay, lôi em học sinh giỏi Nếu biết sử dụng linh hoạt khéo léo phép biến đổi đại số, lượng giác đưa toán toán quen thuộc Với tinh thần trên, nhằm giúp em hứng thú hơn, tạo cho em niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu, định chọn đề tài nghiên cứu là: ’’MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ’’ II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỂN Cơ sở lý luận Cung cấp cho học sinh không kiến thức mà phương pháp suy luận, khả tư Từ kiến thức phải dẫn dắt học sinh có kiến thức nâng cao cách tự nhiên (chứ không áp đặt kiến thức nâng cao) Trong chuyên đề chủ yếu dùng phương pháp biến đổi trực tiếp, phương pháp đổi biến số phương pháp phần để giải toán đặt Phạm vi nghiên cứu: Đại số giải tích 12 nâng cao Khách thể nghiên cứu: Học sinh trường trung học phổ thông Sông Ray Cơ sở thực tiển: a) Thuận lợi - Học sinh trang bị kiến thức, tập luyện tập nhiều - Học sinh hứng thú tiết học, phát huy khả sáng tạo, tự học yêu thích môn học - Có khích lệ từ kết học tập học sinh thực chuyên đề b) Khó khăn - Giáo viên nhiều thời gian để chuẩn bị dạng tập Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ - Nhiều học sinh bị kiến thức đại số giải tích, không nắm vững kiến thức nguyên hàm tích phân - Đa số học sinh học yếu phần tích phân III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP Nhắc lại số công thức nguyên hàm hay sử dụng x 1 1)  x dx   C ;   1  1  3)   ax  b    ax  b  2)  x dx  ln | x | C 4)  ax  b dx  a ln | ax  b |  C; a   1 dx  a(  1)  C ; a  0;   1 1 Các toán liên quan đến tích phân hữu tỷ b Phương pháp chung: Tính tích phân I   a f ( x) dx với f ( x), g ( x) đa thức với g ( x) hệ số thực Nếu deg f ( x)  deg g ( x) thực phép chia đa thức, ta có: b b b f ( x) p ( x) f ( x) p ( x)  h( x )  ;deg P( x)  deg g ( x)   dx   h( x)dx   dx Vì dễ g ( x) q ( x) g ( x) q ( x) a a a b b a a dàng tính  h( x)dx nên việc tính I   b f ( x) p ( x) dx đưa tính I '   dx g ( x) q ( x) a với deg p( x)  degq(x) , degp(x) bậc cao đa thức p(x) 2.1 Giải pháp 1: Các toán tích phân hữu tỷ mẫu số g(x) tam thức bậc hai px  q dx I   dx với tam thức bậc hai m ax  bx  c m ax  bx  c n n Tính tích phân I   ax  bx  c có hai nghiệm phân biệt x1 ; x2 Phương pháp chung: - Tìm hệ số A1 , A2 cho A1 A2   ax  bx  c x  x1 x  x2 A1 A2 px  q Xác định hệ số A1 ; A phương pháp hệ số bất   ax  bx  c x  x1 x  x2 định phương pháp gán giá trị đặc biệt n  A1 A2 dx     x  x1 x  x2 m ax  bx  c m n - Tính I   n  A1 A2 px  q dx     x  x1 x  x2 m ax  bx  c m n I  Giáo viên: Trần Bá Tuấn   dx    dx  Trang - SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ - Dùng phương pháp hệ số bất định gán giá trị đặc biệt ta xác định hệ số A1, A2 dx x  x  1 Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   Phân tích: A B   x  3x  x  x  2 Dùng phương pháp hệ số bất định phương pháp gán giá trị đặc biệt suy : A = -1 B = Giải 0 1 x2 dx  dx  1 x  3x  1 x  1 x  dx  ln x  1  ln I Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   Phân tích: 2x  dx x  3x  2 2x  A B   Dùng phương pháp gán giá trị đặc biệt ta x  3x  x  x  2 A = B = Giải I  1 2x  1 dx  dx  dx  ln x  3x   ln   x 1 x2 x  3x  0 Nhận xét: Do  x  3x   '  x  nên I   2x  dx  ln x  3x   ln x  3x  2 2.2 Giải pháp 2: Các toán tích phân hữu tỷ mẫu số g(x) tam thức bậc hai n dx với tam thức bậc hai ax  bx  c có nghiệm kép m ax  bx  c Tính tích phân I   x1  x2   b 2a Phương pháp chung: n n n dx   ax  bx  c m m I  b   a  x   2a   dx   Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   Giáo viên: Trần Bá Tuấn b   a x   2a  m  dx x  4x  Trang - SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Giải 1 1 1 I  dx   dx    x20 x  4x   x  2 1 dx 1 x  12 x  Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   Giải 1 1 1 I dx   dx    2  x  3 1 1 x  12 x  1  x  3 2.3 Giải pháp 3: Các toán tích phân hữu tỷ mẫu số g(x) tam thức bậc hai px  q dx với tam thức bậc hai ax  bx  c có nghiệm kép m ax  bx  c n Tính tích phân I   x1  x2   b 2a Phương pháp chung: px  q dx   m ax  bx  c m n I  px  q n b   a  x   2a    pb q n p 2a     b   b   m  a  x   a  x   2a  2a     n dx   m b pb )q 2a 2a dx  b   a  x   2a   p( x     dx  p ln x  b  a 2a   Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   n n m pb q 2a  b   a x   2a  m  2x  dx x  4x  Giải I  1 2x  2( x  2)  3  dx  dx   2    x   x  2 x  4x  ( x  2) 0   dx   3  ln | x  |   2 ln  x20 Nhận xét: Ngoài trường hợp thêm bớt để tổng hàm số có nguyên hàm toán ta dung phương pháp hệ số bất định Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 2x 1 A B   ; x  x   Bx  A  B; x x  x  ( x  2) x2 (*) A   B  1 2x 1  3  dx  2ln | x  |  Do đó: I   dx      2ln   x   x  2  x  4x  x2 0  2.4 Giải pháp 4: Các toán tích phân hữu tỷ mẫu số g(x) tam thức bậc hai mx  n dx I '   dx với tam thức bậc hai ax  bx  c ax  bx  c p p q q Tính tích phân I   ax  bx  c vô nghiệm Phương pháp chung: q q 1 dx   dx 2 p ax  bx  c p (m x  n )  h I  Đổi biến số: mx  n | h | tant m mb (2ax  b)  n  q mx  n 2a dx I' dx   2a ax  bx  c p ax  bx  c p q q  p m mb q (2ax  b) n q m mb 2a a dx   dx  ln | ax  bx  c |  (n  )I 2a 2a ax  bx  c p p ax  bx  c Ví dụ 1: Tính tích phân sau: I   dx x 1 Giải: I  dx Đặt x  tan t  dx  1  tan t dt x 1 Đổi cận: x   t  x   t   Suy ra: I      1   dx  (1  tan t ) dt  dt  t 2   x 1 tan t  Ví dụ 2: Tính tích phân sau: I   x 1 dx x2  Giải: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ x 1 2x 1  I  dx   dx   dx  ln | x  |  I  ln  x 1 2 0 x 1 x 1 1 1 Ví dụ 3: Tính tích phân sau: I   dx x  x 1 Giải 1 I  dx   x  x 1 3 tan t  dx   tan t  dt dx Đặt x    2 ( x  )2  Đổi cận: x   t   x   t   Suy ra:    3 1 3 3 3 I  dx    tan t dt   dt  t  3 3    x  x 1 tan t  6   2x  dx 1 x  x  Ví dụ 4: Tính tích phân sau: I   Giải 2x  2x   2x  3 1 x  x  dx  1 x  x  dx  1 x  x  dx  1 x  x  dx I  ln | x  x  | 0 1 3   ( x  1) 1 1 dx  ln  3 Nhận xét: Việc giải tích phân phương pháp đổi biến số phụ thuộc vào cận tích phân 2.5 Giải pháp 5: Các toán tích phân hữu tỷ mẫu số g(x) đa thức bậc lớn hai b Tính tích phân I   a f ( x) dx với g ( x)   x  a1   x  a2   x  an  g ( x) Ví dụ 1: Tính tích phân I   2x2  5x  dx x3  x  x Phân tích: x2  5x  A B C    ; x x  x  2x x x  x   x  x    A  B  C  x   A  B  C  x  A; x Giáo viên: Trần Bá Tuấn (*) Trang - SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Dùng phương pháp hệ số bất định (hay đồng thức) ta có:  A  2 A  3   (*)   A  B  C  5   B  2 A  B  C    C   x2  5x  3 1 dx   dx  2 dx   dx Khi đó: I   22x x 1 2 x2 x  x  2x  3 3 3 5 3 ln | x |  ln | x  |  ln | x  |  ln  ln  ln 2 2 Ví dụ 2: Tính tích phân I   x3  dx x4  5x2  x3  A B C D     ; x Phân tích: x  5x  x  x  x  x           x3   A x   x  1  B x   x    C x   x  1  D x   x   ; x (*) D ùng phương pháp gán giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = vào (*) , ta có : 6 A   A   Thay x = vào (*) , ta có : 12 B  10  B  Thay x = – vào (*) , ta có : 6C   C  Thay x = – vào (*) , ta có : 12 D  6  D  Khi đó: I  x3  1 1 1 dx    dx   dx   dx   dx 2 x 1 x2 x 1 x2 x  5x  7 7 1 1 7 7   ln | x  |  ln | x  |  ln | x  |  ln | x  |   ln  ln  ln  ln 6 2 6 1  ln 6450  ln Ví dụ 3: Tính tích phân I  2 x3  dx  3 x  x  x Phân tích: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ x3  5x2  x   1 x3  x  x x  5x2  x Ta có: 5x2  x  A B C    ; x x  5x  x x x  x   5x2  x   A  x  2 x  3  B  x  3 x  C  x  2 x; x (*) Dùng phương pháp gán giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = vào (*) , ta có : A   A  Thay x = vào (*) , ta có : 2 B   B   Thay x = vào (*) , ta có : 3C  28  C  28 Khi đó: 2 2  x3  5x2  x   I dx   1   dx x  5x2  x  3 x  x  x 3  2 2 2 2 1 28   1dx   dx   dx  dx  3 x 3 x  3 x  3 28 28 2 2 2 2  x 3  ln | x | 3  ln | x  | 3  ln | x  | 3   ln  ln  ln 6 2.6 Giải pháp 6: Các toán tích phân hữu tỷ mẫu số g(x) đa thức bậc lớn hai Tính tích phân: b I  a f ( x) k dx ;với g ( x)   x  a1   x  a2   x  1  x    x  1   x  an  g ( x) 3x  3x  dx Ví dụ 1: Tính tích phân I   1 x  x  Phân tích: 3x  3x  A B C    ; x Ta có: x 1 x  x  3x  ( x  1)  3x  3x   A  x    B  x  1 ( x  2)  C  x  1 ; x (*) Dùng phương pháp gán giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = vào (*) , ta có : 3A   A  Thay x = -2 vào (*) , ta có : 9C   C  Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 10 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Thay x = vào (*) , ta có : A  2B  C   B  Khi đó: I  3x  3x  1 x3  3x  dx 0 1 3 dx   dx   dx   2ln x  1  ln x  2 x 1 x2 x  1 1 ( x  1) 1 1 0  3 0 1  ln 2  4x  dx 1 ( x  x  3) Ví dụ 2: Tính tích phân I   Ta có: 4x  A B C D     ; x 2 x  ( x  1) x  ( x  3) ( x  x  3)  x   A  x  1 x  3  B  x  3  C  x  1  x  3  D  x  1 ; x (*) 2 2 Dùng phương pháp gán giá trị đặc biệt, ta có: Thay x = vào (*) , ta có : 4B   B  Thay x = vào (*) , ta có : 4D  16  D  Thay x = vào (*) , ta có : A  B  C  D  12  A  C  Thay x = vào (*) , ta có : 9 A  9B  3C  D   3A  C  Suy ra: A = C = –  4x  3 dx      2  x  ( x  1) x  ( x  3) 1 ( x  x  3) 1  Khi đó: I   x 1  3ln x 3 0   dx  4    3ln  x  1 x  1 3 1 2.7 Giải pháp 7: Các toán tích phân hữu tỷ mẫu số g(x) đa thức bậc lớn hai b Tính tích phân I   a f ( x) dx g ( x) với g ( x)   x  a1   x  a2   x  1   x  mx  l   x  an  ;  m  4l   Ví dụ 1: Tính tích phân I   x2  dx x4  x2  Ta có: x  x   x  x   x   x  1  x   x  x  1 x  x  1 Nên: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 11 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ x2  Ax  B Cx  D   ; x x  x 1 x  x 1 x  x 1      x    Ax  B  x  x    Cx  D  x  x  ; x (*)  x2    A  C  x3    A  B  C  D  x2   A  B  C  D  x  B  D; x (*) Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: A  C  A  C  A   A  B  C  D  C  D  / B  /       A  B  C  D  D  B  C   B  D   B  D   D  / Khi đó: I  x2  1/ 1/ dx   dx   dx  I1  I x  x 1 x  x  x  x  0 1 Tính: I1   1/ dx x  x 1 Giải 1 1 I1   dx   x  x 1 20 Đổi cận: x   t   3 tan t  dx  dx Đặt x   1  tan t  dt 2 (x  )  x   t   Suy ra:  I1    1 1 3 3 3 dx   tan t dt  dt  t     2 x  x 1 2 3   18 tan t  6 Tính: I     1/ dx x  x 1 Giải I2  1 1 dx    x  x 1 20 Đổi cận: x   t    3 tan t  dx   tan t  dt dx Đặt x    2 ( x  )2  x   t   Suy ra: Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 12 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ  1 1 I2   dx  x  x 1 Vậy I  I1  I      3 6 3  tan t dt  dt  t   3   tan t  6 4   3 Ví dụ 2: Tính tích phân I   x2  dx x4  Ta có: x4   x4  x2   x2   x2  1  x2   x2  x  1 x2  x  1 x2  Ax  B Cx  D Phân tích:   ; x x  x  2x  x  2x      x    Ax  B  x  x    Cx  D  x  x  ; x     x    A  C  x3   A  B  C  D x  A  B  C  D x  B D; x Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có:  A    A  C    B   A  B  C  D      A  B  C  D  C   B  D  1    D    Khi đó: I  x2  dx  4 x 1 2x  x  2x   dx   ln x  x   ln x  x   1 x 2x  2  2x  dx  x2  x    ln  2  ln    x  x     2.8 Giải pháp 8: Các toán tích phân hữu tỷ mẫu số g(x) đa thức bậc lớn hai b Tính tích phân I   a f ( x) dx g ( x) với g ( x)   x  a1   x  a2   x  1   x  mx  l   x  an  ;  m  4l   k Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 13 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ x  18 Ví dụ 1: Tính tích phân I   x  18 Ta có: x  x  13   x  13 Ax  B  x x  x  13  dx Cx  D ; x x  x  13      x  18   Ax  B    Cx  D  x  x  13 ; x (*)  x2  18  Cx3   6C  D  x2   A  13C  6D  x  B  13D; x Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: C   A  12 6C  D   B  8      A  13C  D  C   B  13D  18  D  Khi đó: x  18 I  x  x  13  2x   6 x x  x  13  x  13 12 x  dx    dx  28  dx   2 dx x  x  13  x       dx    x  3 2 4 dx  I1  I  I3 Với I1  6 x  x  13 I  28  x       2x  Đổi cận: x   t    6   dx    0  x  x  13  dx Đặt x   tan t  dx  1  tan t  dt  x   t     I  28    4  tan t      tan t dt     cos tdt  4  1  cos 2t  dt    7 7 4   t  sin 2t      1 4 4   I  2 1  x  3 4 dx Đặt x   tan t  dx  1  tan t  dt Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Đổi cận: x   t    x   t   I3         2  tan t dt  1dt  t 4    tan t      Vậy I  I1  I  I  11  x  x  13 Ví dụ 2: Tính tích phân I   Phân tích: x  x  13  x    x  1    x    x  1 dx A Bx  C Dx  E   ; x x2 x 1 x2        x  x  13  A x    Bx  C  x     Dx  E  x   x   ; x (*)  x  x  13   A  D  x   2D  E  x3   A  B  D  2E  x   2B  C  2D  E  x  A  2C  2E; x Dùng phương pháp hệ số bất định, ta có: A  D  A  2 D  E   B  3    2 A  B  D  E   C  4 2 B  C  D  E   D  1    A  2C  E  13  E  2 Khi đó: I  x  x  13  x    x  1 1 3x  x2 dx   dx   dx 2 x  2  x 1 x 1 dx   1   1 1 2x 2x dx   dx   dx   dx  2 dx 2 x  2 x2  x 1  x 1 x 1      1 1  ln x    ln x   dx  2 dx 2 2 x 1 x 1 x 1    ln   3  ln  I1  I   ln   I1  I 2 Tính I1   x  1 dx Đặt x  tan t  dx  1  tan t  dt Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 15 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Đổi cận: x   t  x   t     Suy ra: I1    tan    2t  sin 2t  04  t  1  1  tan t  dt   4cos2 tdt   1  cos 2t  dt 4 0  2 dx Đặt x  tan t  dx  1  tan t  dt x 1 Tính I  2 Đổi cận: x   t  x   t   Suy ra: I         tan t dt  dt  t  tan t   3  Vậy: I   ln   I1  I   ln    2.9 Các tập áp dụng Tính tích phân sau: dx 9x  6x  1) I   4) I   x x2  dx x3  x 7) I   dx x  4x  10) I   1 13) I    2 dx 1 2 x  x  10 8) I   dx x  x  4x  x  x  3x  9) I   dx 1 x  x  x  11) I   x  x3  x  x   5x    dx x4  16) I   dx x 1 12) I  17) I   x  x  17 x   x 1  x 1 x4 14) I   dx 2x  5x  x3  3x  x  dx 15) I  x dx x2  dx x4  x2  x x 1  dx x  2x2  x 6) I   4x  x x 3) I   x 1 5) I   dx x 1 dx x  2x  2) I   18) I     2x  dx dx  x2 4x   x  1  x  3x   dx IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chuyên đề thực giảng dạy tham gia dạy lớp 12 bản, 12 nâng cao luyện thi Đại học Trong trình học chuyên đề này, học Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 16 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ sinh thực thấy tự tin, biết vận dụng gặp toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở cho học sinh cách nhìn nhận, vận dụng linh hoạt sáng tạo kiến thức học, tạo tảng cho học sinh tự học, tự nghiên cứu Kết việc dạy học thực nghiệm lớp 12A1 với lớp dạy không thực nghiệm 12A4 sau: Đề ra: Tính tích phân sau: a) I   b) I  1 x  x  4dx c) I   x  8x  x 1 f )I   dx ( x  x  6) x 1 e) I   dx x 1 3x  x  d )I   dx x2 1 4x  dx x  3x  1 dx x 4 Kết lớp dạy thực nghiệm 12A1 Điểm Số lượng 8,5 10 15 11 10 Kết lớp không dạy thực nghiệm 12A4 Điểm Số lượng 6 Dựa vào kết khảo sát thực nghiệm, ta thấy lớp dạy thực nghiệm lớp 12A1 tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên 39/41 chiếm tỉ lệ 95,12% Đặc biệt tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi cao Trong đó, lớp không dạy thực nghiệm 12A4 tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình thấp, có 7/30 chiếm tỉ lệ 23,33%, học sinh đạt điểm giỏi Qua giúp tự tin thực đề tài V KẾT LUẬN Dạng toán tích phân nói chung tích phân hữu tỷ nói riêng đa dạng phong phú Mỗi toán có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt kiến thức học làm cho học sinh phát triển tư sáng tạo Chuyên đề mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát huy sáng tạo Để đạt kết cao học sinh cần luyện tập nhiều, có thêm nhiều thời gian để sưu tầm tài liệu tham khảo liên quan Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 17 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Bằng chút vốn hiểu biết kinh nghiệm giảng dạy số năm, hệ thống số kiến thức liên quan, sưu tầm tích lũy số toán phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó học sinh tham khảo tự giải Một toán có nhiều cách giải, song việc tìm lời gải hợp lý, ngắn gọn thú vị độc đáo việc không dễ Giáo viên trước hết phải cung cấp cho học sinh nắm kiến thức sau cung cấp cho học sinh cách nhận dạng toán, thể toán từ học sinh vận dụng linh hoạt kiến thức bản, phân tích tìm hướng giải toán tạo cho học sinh tác phong tự học, tự nghiên cứu Trong khuôn khổ thời gian có hạn, đưa ví dụ, toán điển hình Rất mong đóng góp ý kiến độc giả đồng nghiệp để chuyên đề ngày đầy đủ hoàn thiện VI TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Hạo (Tổng chủ biên) – Vũ Tuấn (Chủ biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008) Đại số giải tích 12 (cơ bản), NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008) Đại số giải tích 12 (nâng cao), NXB Giáo dục [3] Trần Phương (2010) Tuyển tập chuyên đề kỹ thuật tính tích phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2010) Tuyển tập chuyên đề luyện thi đại học, NXB Đại học quốc gia Hà Nội Sông Ray, ngày 19 tháng năm 2015 Người thực Trần Bá Tuấn Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 18 [...]... Trang - 17 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Bằng một chút vốn hiểu biết và kinh nghiệm giảng dạy một số năm, tôi đã hệ thống được một số kiến thức liên quan, sưu tầm và tích lũy được một số bài toán phù hợp theo mức độ từ dễ đến khó để cho học sinh tham khảo tự giải Một bài toán có thể có rất nhiều cách giải, song việc tìm ra một lời gải hợp lý, ngắn gọn thú vị và độc đáo là một việc... 4   0 2.8 Giải pháp 8: Các bài toán tích phân hữu tỷ và mẫu số g(x) là một đa thức bậc lớn hơn hai b Tính tích phân I   a f ( x) dx g ( x) với g ( x)   x  a1   x  a2   x  ai 1   x 2  mx  l   x  an  ;  m 2  4l  0  k Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 13 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ 2 x 2  18 5 Ví dụ 1: Tính tích phân I   1 2 x 2  18 Ta có: x 2  6... dx  2 1  tan 2 t  dt Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 14 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Đổi cận: x  1  t    và x  5  t  4  4 I3  2      4  4 1  2 2 1  tan t dt  1dt  t 4  2   2 4 tan t  4  4    4 Vậy I  I1  I 2  I 3  11 7  8 4 2 x 2  2 x  13 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I   0 Phân tích: 4 2 x 2  2 x  13  x  2   x 2  1 2    x  2.. .SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ  1 1 1 1 I2   2 dx  2 0 x  x 1 2 Vậy I  I1  I 2  6   6   3 3 6 3 6 3 1  tan 2 t dt  1 dt  t   3 2 3 2 3  3  9 tan t  6 6 4 4  1  3 6 1 Ví dụ 2: Tính tích phân I   0 x2  1 dx x4  1 Ta có: x4  1  x4  2 x2  1  2 x2   x2  1  2 x2   x2  2 x  1 x2  2 x  1 2 x2  1 Ax  B Cx  D Phân tích: 4  2... 2  3x  5  2 dx IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI Chuyên đề này đã được thực hiện giảng dạy khi tôi tham gia dạy lớp 12 cơ bản, 12 nâng cao và luyện thi Đại học Trong quá trình học chuyên đề này, học Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 16 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ sinh thực sự thấy tự tin, biết vận dụng khi gặp các bài toán liên quan, tạo cho học sinh niềm đam mê, yêu thích môn Toán, mở... 4 1 Tính I1   0 4 x 2  1 2 dx Đặt x  tan t  dx  1  tan 2 t  dt Giáo viên: Trần Bá Tuấn Trang - 15 SKKN: MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI TÍNH TÍCH PHÂN HỮU TỶ Đổi cận: x  0  t  0 và x  1  t   4   4 Suy ra: I1   0 4  tan    2t  sin 2t  04  1 2 t  1 2  1  tan 2 t  dt   4cos2 tdt   2 1  cos 2t  dt 4 4 0 0  2 2 1 dx Đặt x  tan t  dx  1  tan 2 t  dt x 1 Tính. .. sinh nào đạt điểm khá và giỏi Qua đó giúp tôi tự tin hơn khi thực hiện đề tài này V KẾT LUẬN Dạng toán tích phân nói chung và tích phân hữu tỷ nói riêng rất đa dạng và phong phú Mỗi bài toán có nhiều cách giải khác nhau, việc lựa chọn sử dụng linh hoạt các kiến thức đã học sẽ làm cho học sinh phát triển tư duy sáng tạo Chuyên đề này chỉ mang tính chất gợi mở cung cấp cho học sinh cách nhìn mới, phát... của việc dạy học thực nghiệm lớp 12A1 với lớp dạy không thực nghiệm 12A4 như sau: Đề ra: Tính các tích phân sau: 1 a) I   0 b) I  3 1 x 2  4 x  4dx c) I   2 0 x 4  8x 3  x 1 f )I   2 dx 2 0 ( x  5 x  6) x 4 1 e) I   6 dx 1 x 1 3x 2  x  2 d )I   dx x2 1 1 3 4x  3 dx 2 x  3x  4 1 1 4 dx 2 x 4 1 2 Kết quả của lớp dạy thực nghiệm 12A1 là Điểm 0 1 2 3 Số lượng 4 5 2 6 7 8,5... biên) – Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuất (2008) Đại số và giải tích 12 (cơ bản), NXB Giáo dục [2] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân Liêm – Đặng Hùng Thắng (2008) Đại số và giải tích 12 (nâng cao), NXB Giáo dục [3] Trần Phương (2010) Tuyển tập các chuyên đề và kỹ thuật tính tích phân, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [4] Phan Huy Khải (2010) Tuyển tập... 5 7 15 11 1 7 8 9 10 Kết quả của lớp không dạy thực nghiệm 12A4 là Điểm 0 1 Số 5 lượng 6 2 3 4 5 6 4 8 4 3 Dựa vào kết quả khảo sát thực nghiệm, ta thấy rằng ở lớp dạy thực nghiệm của lớp 12A1 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm trung bình trở lên là 39/41 chiếm tỉ lệ 95,12% Đặc biệt tỉ lệ học sinh đạt điểm giỏi khá cao Trong khi đó, ở lớp không dạy thực nghiệm 12A4 thì tỉ lệ học sinh đạt điểm từ trung bình