SKKN một số kinh nghiệm khi dạy học phần nguyên hàm cho học sinh trường THPT lê lai ngoc lặc

I Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Nguyên hàm phần khó học học sinh tốn ngược tốnđạo hàm nên đòi hỏi học sinh phải nắm thật vững cách tínhđạo hàm có khả bao quát, tư sâu Các cơng thức tính ngun hàm trình bày sách giáo khoa Giải tích 12 giúp học sinh tìm nguyên hàm hàm số thường gặp đối tượng học sinh trung bình yếu phảiđúng nguyên dạng cơng thức học sinh làm được, gặp khác dạng chút học sinh lúng túng, mà toán khác dạng phổ biến, thêm vàođó hình thức thi trắc nghiệm cũngđòi hỏi học sinh tốc độ làm phải thật nhanh kết nên đòi hỏi cần bảng nguyên hàm hàm số thường gặp tổng quát Một khó khăn với học sinh trình học nguyên hàmlà sử dụng phương pháp tìm nguyên hàm, em chưa biết sử dụng phương pháp đổi biến, sử dụng phương pháp phần bước làm cụ thể sử dụng hai phương pháp Với lý viết sáng kiến kinh nghiệm(SKKN) có tên “MỘT SỐ KINH NGHIỆM KHI DẠY HỌC PHẦN NGUYÊN HÀM CHO HỌC SINH TRƯỜNG THPT LÊ LAI-NGỌCLẶC” với mong muốn giải khó khăn mà chưa có tài liệu bàn sâu vấn đề 1.2 Mụcđích nghiên cứu Nhưđã trình bàyở trên, SKKN giúp học sinh tìm nhanh dễ dàng nguyên hàm thường gặp mà học thuộc bảng nguyên hàm sách giáo khoa học sinh khó khăn, lúng túng tìm kết Mụcđích thứ hai SKKN giúp học sinh thành thạo, linh hoạt hai phương pháp tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến phần, qua giúp em tự tin đứng trước tốn ngun hàm, tích phân 1.3 Đối tượng nghiên cứu SKKN tập chung nghiên cứu cơng thức tìm ngun hàm hàm số thường gặp hai phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến phần Cụ thể SKKN trình bày bảng tìm nguyên hàm hàm số thường gặp nêu dấu hiệu nhận biết sử dụng phương pháp đổi biến, sử dụng phương pháp phần với bước làm cụ thể sử dụng hai phương pháp 1.4 Phương pháp nghiên cứu SKKN sử dụng số phương pháp nghiên cứu như: xây dựng sở lý thuyết, phương phápđiều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin II Nội dung SKKN 2.1 Cơ sở lý luận SKKN 2.1.1.Các cơng thức tìm ngun hàm hàm số thường gặp a Vi phân hàm số Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xácđịnh có đạo hàm x Giả sử số gia x cho x + Tích gọi vi phân hàm số f(x) x, ứng với số gia , kí hiệu df(x) hay dy Chú ý Vì dx = nên: dy = (x)dx b Định nghĩa nguyên hàm Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K , với K Kí hiệu họ nguyên hàm f(x) là: , F(x) nguyên hàm f(x) c Bảng nguyên hàm số hàm số thường gặp ( + C Bảng * Chú ý: Kết nguyên hàm không phụ thuộc vào kí hiệu biến: ;;… Khi tìm ngun hàm hàm số hiểu tìm nguyên hàm khoảng xácđịnh Nếu k số khác 2.1.2 Tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số Định lí Nếu hàm số cóđạo hàm liên tục * Hệ Với u = ax + b(a 0) ta có: * Chú ý: Khi sử dụng phương pháp đổi biến đặt u = u(x) kết cuối phải viết theo biến x 2.1.3 Tìm nguyên hàm theo phương pháp phần Định lí Nếu hai hàm số u = u(x) v = v(x) có đạo hàm liên tục K * Chú ý: Vì nên đẳng thức viếtở dạng: 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng SKKN Trước áp dụng SKKN giảng dạy học sinh khó khăn việc đưa kết nguyên hàm gặp tốn tìm ngun hàm hàm số thường gặp cho dù em có thuộc bảng nguyên hàm hàm số thường gặp sách Giải tích 12(Bảng 1), chẳng hạn u cầu tìm em kết u cầu tìm học sinh hồn tồn lúng túng, có khoảng 20% học sinh làm Đối với việc vận dụng phương pháp tìm nguyên hàm học sinh khó khăn việc phân biệt dùng phương pháp đổi bến, dùng phương pháp phần trình áp dụng hai phương pháp cụ thể bước tiến hành em mờ mịt, khoảng 5% học sinh giỏi tiến hành làm trọn vẹn tốn tìm nguyên hàm phải thời gian định làm nhiều tập em làm 2.3.Một số kinh ngiệm dạy học nguyên hàm 2.3.1 Kinh ngiệm dạy học cơng thức tìm ngun hàm số hàm số thường gặp a Hình thành bảng tìm nguyên hàm - Sau giới thiệu bảng cơng thức tìm ngun hàm thường gặp sách Giải tích 12(Bảng 1) ta thay x hàm số dấu biểu thức bậc x dạng (ax + b) với a 0, ta bảng nguyên hàm sau: ( + C Bảng Chứng minh: Ta cần chứng minh trường hợp , trường hợp lại chứng minh tương tự - Đạo hàm vế phải: ta có điều phải chứng minh Nhận xét: Ta chứng minh Bảng sau có phương pháp đổi biến số, chẳng hạn để chứng minh ta đặt u = ax + b suy du = adx Khi ta được: Hoặc hiểu Bảng có kết hợp Bảng với hệ Khi học sinh học thuộc bảng công thức tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) dễ dàng nhiều việc tìm kết nguyên hàm hàm số thường gặp học sinh “tạm quên” Bảng b Các ví dụ áp dụng bảng nguyên hàm Ví dụ 1: Tìm: a c b d Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tìm ngun hàm Bảng Ví dụ 2: a c b d Hướng dẫn: Áp dụng cơng thức tìm ngun hàm Bảng Nhận xét: Học sinh cần thuộc bảng tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) kết Giáo viên nên đưa nhiều ví dụ khác cho đa dạng, vét hết trường hợp mà học sinh lúng túng, ví dụ đưa nên theo cấp độ từ dễ đến khó, ví dụ trước gợi ý cách làm cho ví dụ sau, chẳng hạn: Ví dụ 3: Tính nguyên hàm sau: Hướng dẫn: Áp dụng công thức cho với a =1, b = Các nguyên hàm lại biến đổi dạng công thức 2.3.2 Kinh nghiệm dạy học tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến số a Dấu hiệu bước làm: Nếu hàm số f(x) dấu có chứa ngoặc, căn, mẫu số, biểu thức mũ ta thường dùng phương pháp đổi biến sau: Bước1: Đặt u = biểu thức ngoặc = biểu thức = mẫu số = biểu thức mũ Bước 2: Tính vi phân du Bước 3: Biến đổi tồn biểu thức f(x)dx dấu từ biến x biến u Bước 4: Áp dụng cơng thức tìm ngun hàm ta tìm nguyên hàm theo biến u, sau có kết theo biến u ta thay u theo x đặt bước b Các ví dụ áp dụng tìm nguyên hàm theo phương pháp đổi biến Ví dụ 4: Tìm Hướng dẫn: Đặt u = x2 + du = 2xdx, đó: Ví dụ 5: Tính Hướng dẫn: Đặt u = x2 + 3x + du = (2x + 3)dx, ta có: *Chú ý: Khơng phải cho dấu hiệu ngoặc, có lại có nhiều ngoặc có ngoặc mẫu số, có bàiđòi hỏi phải biến đổi hàm số dấumới đổi biến Do cần vận dụng linh hoạt phương pháp đổi biến Ví dụ 6: Tìm a b Hướng dẫn: a Viết lại Từ đặt u = sinx suy du = cosxdx, ta có kết b Viết lại Từ đặt u = lnx suy , ta có kết + C Ví dụ 7: Tính I = Hướng dẫn: Lưu ý cho học sinh vận dụng máy móc phương pháp đặt u mẫu số đặt u phần mũ khơng tính I, khó khăn phần mũ e (-x), ta phải xử lý chỗ Biến đổi sau: I = Đếnđây ta đặt u = , từ kết I = Ngoài nhận dạng phương pháp đổi biến theo dấu hiệu trình bày bước 1, nên rèn luyện cho học sinh cách xét mối liên hệ biểu thức dấunhư: liên hệ cosx với sinxdx; sinx với cosxdx; lnx với; ; tanx với; cotx với Mối liên hệ là: sinxdx vi phân cosx, đặt u = cosx du = sinxdx Tương tự cho việc xét mối liên hệ cho trường hợp lại, từ ta sử dụng phương pháp đổi biến cho hợp lý Ví dụ 8: Tính I = Hướng dẫn: Đặt u = , ta có: I = Nhận xét: Khi làm đếnđây thực tế cho thấy chưa học bảng tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) học sinh lúng túng, thời gian, học bảng cơng thức học sinh phấn khởi kết quả, tốn tìm ngun hàm nhẹ nhàng nhiều, việc trang bị cho học sinh bảng công thức tìm nguyên hàm mới(Bảng 2) cần thiết Áp dụng Bảng ta kết ví dụ là: I= Ví dụ 9: Tính: a b c Hướng dẫn: a Đặt u = biểu thức ngoặc là: u = , ta có: b.Tương tự câu a Đặt u = biểu thức ngoặc là: u = c Đặt u = cos(2x+1) Một trường hợp đặc biệt hàm số dấucó chứa(hoặc có chứa )thì ta khử cách đặt x = g(u) = asinu(hoặc đặt x = g(u) = a.tanu) chẳng hạn: Ví dụ 10 Cho Tính I = Hướng dẫn: Đặtx = sinu suy dx = cosudu, ta có I= (Dạng thường gặp tính tích phân có cận giáo viên cần định hướng cách làm dạng toán được) 2.3.3 Kinh nghiệm dạy học tìm nguyên hàm theo phương pháp phần a Dấu hiệu bước làm Thường gặp dạng sau ta sử dụng phương pháp phần Dạng 1: Dạng 2: Dạng 3: Dạng 4: Các bước làm: Đối với dạng 1, dạng 2, dạng ta tiến hành sau: Bước 1: Đặt u = f(x); dv = phần lại dấu Bước 2: Tính du tìm v Bước 3: Áp dụng cơng thức phần (3) Trong nguyên hàm xuất đơn giản dễ tìm Riêng dạng ta tiến hành sau Bước 1: Đặt: u = lnx; dv = f(x)dx Bước bước b Các ví dụ áp dụng Ví dụ 11: Tính I = Hướng dẫn: Đặt u = 2x+ 1; dv = sinxdx, du = 2dx, v = -cosx Theo công thức nguyên hàm phần, ta kết quả: I = -(2x+1)cosx + = -(2x+1)cosx + 2sinx + C Ví dụ 12: Tính I = Hướng dẫn: Đặt u = lnx; dv = (1 - x)dx, Theo cơng thức ngun hàm phần, ta kết quả: I= Nhận xét: Trong tốn tìm ngun hàm phần nhiều sử dụng bảng nguyên hàm mới(Bảng 2) hiệu việc tính v tìm ngun hàm xuất cơng thức phần Ví dụ 13: Tính I = Hướng dẫn: Đặt u = x; dv = cos(2x +1)dx Áp dụng công thức phần, ta được: I= I= + Có tìm ngun hàm phải sử dụng hai phương pháp đổi biến phần sử dụng đổi biến nhiều lần phần nhiều lần Ví dụ 14: Tính I = Hướng dẫn: Đặt u = x2; dv = e-3xdx, du = 2xdx, v = Áp dụng công thức nguyên hàm phần ta có I= Tiếp tục sử dụng phương pháp phần cho nguyên hàm xuất , ta kết I = ( + Ví dụ 15: Tính I = Hướng dẫn: Đặt u = ex; dv = sinxdx du = exdx; v = - cosx Áp dụng công thức phần ta có: I = - excosx + (*) Tiếp tục áp dụng công thức nguyên hàm phần cho I1 ta có: I1 = Thay I1 vào (*) ta được: I = -excosx + Suy ra: 2I = ex(sinx – cosx) Vậy: I = Ví dụ 16: Tính I = Hướng dẫn: Học sinh phải thấy khó khăn tính I có kí hiệu căn, ta sử dung phương pháp đổi biến trước để khử Đặt u = Đến sử dụng phương pháp nguyên hàm phần, đặt v = u 2; dw = sinudu, dv = 2udu, w = -cosu Theo công thức nguyên hàm phần, ta có ) Tiếp tục tính I1 theo phương pháp ngun hàm phần, ta Vậy 2.4 Hiệu SKKN Trước SKKN đượcáp dụng trường THPT Lê Lai - Ngọc Lặc học sinh ngại học phần nguyên hàm, khả tìm nguyên hàm dạng thường gặp yếu, việc vận dụng hai phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến phần lúng túng , số lượng học sinh làm từ 15% đến 20% Trong năm gầnđây, đượcáp dung SKKN vào giảng dạy em học sinh cảm thấy dễ dàng tốn tìm ngun hàm, số lượng học sinh làm tăng lên rõdệt(đã có khoảng 80% học sinh làm bài) em khơng sợ phần ngun hàm – tích phân nữa, chí thích học phần Đối với đồng nghiệp trường sau tham khảo vàáp dụng SKKN vào giảng dạy cũngđã công nhận tác dụng hiệu cao SKKN III Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận 10 Từ bảng cơng thức tìm ngun hàm hàm số thường gặp sách Giải tích 12 kết hợp với phương pháp đổi biến, SKKN nàyđã trình bày thêm bảng cơng thức tìn nguyên hàm hàm số thường gặp, tổng quát hơn, mang lại hiệu cao dạy học giáo viên học tập học sinh.Trong trình giảng dạy cũngđã học hỏi rút số kinh ngiệm giảng dạy phần phương pháp tìm ngun hàm, từđóđưa dấu hiệu nhận biết dùng phương pháp đổi biến, dùng phương pháp phần bước làm cụ thể áp dụng hai phương pháp này, điềuđó giúp cho học sinh có sở việcáp dụng phương pháp tìm nguyên hàm tiến hành tìm nguyên hàm dễ dàng Nếu đượcáp dụng hợp lý SKKN trình giảng dạy việc dạy học phần nguyên hàmở trường THPT Lê Lai nói riêng cácđơn vị khác cấp học mà có chất lượng học sinh tương đương với trường THPT Lê Lai(chất lượng đầu vào trường THPT Lê Lai thấp, học sinh không bị điểm liệt đậu) chắn đạt hiệu cao 3.2 Kiến nghị Với hiệu SKKN nàyđã chứng minh thực tế giảng dạy, mong nội dung SKKN đượcáp dụng linh hoạt, rộng rãi cácđơn vị khácđể việc dạy học phần nguyên hàmđạt kết cao Tuy nỗ lực nhiều việcđúc kết kinh nghiệm trình bày cá nhân tơi chưa thấy hết cácđiểm chưa hay, chưa hợp lý hay khiếm khuyết cần bổ xung SKKN này, mong quý đồng nghiệp gópý để SKKN hoàn thiện mang lại hiệu cao TÔI XIN TRÂN TRỌNG CẢM ƠN! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 22 tháng05 năm 2017 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác (Ký ghi rõ họ tên) Phạm Chí Đạt 11 ... dụng trường THPT Lê Lai - Ngọc Lặc học sinh ngại học phần nguyên hàm, khả tìm nguyên hàm dạng thường gặp yếu, việc vận dụng hai phương pháp tìm nguyên hàm đổi biến phần lúng túng , số lượng học sinh. .. giúp cho học sinh có sở việcáp dụng phương pháp tìm nguyên hàm tiến hành tìm nguyên hàm dễ dàng Nếu đượcáp dụng hợp lý SKKN trình giảng dạy việc dạy học phần nguyên hàm trường THPT Lê Lai nói... nghĩa nguyên hàm Kí hiệu K khoảng đoạn nửa khoảng Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K , với K Kí hiệu họ nguyên hàm f(x) là: , F(x) nguyên hàm f(x) c Bảng nguyên hàm