Hướng dẫn học sinh dùng sơ đồ tư duy hệ thống kiến thức và phân dạng bài tập về khoảng cách

1.MỞ ĐẦU 1.1 Lí do chọn đề tài Loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một trong những loại toán hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi

1.MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Loại toán tính khoảng cách trong hình học không gian là một trong những loại toán hay, đòi hỏi tư duy đối với học sinh THPT và thường gặp trong các đề thi đại học.Khi gặp loại toán này học sinh thường rất lúng túng không biết hướng giải quyết.Thực tế giảng dạy cho thấy môn Toán học trong trường phổ thông là một trong những môn học khó, phần lớn các em học môn Toán rất yếu đặc biệt là hình học không gian, nếu không có những bài giảng và phương pháp dạy môn Hình học phù hợp đối với thế hệ học sinh thì dễ làm cho học sinh thụ động trong việc tiếp thu, cảm nhận Đã có hiện tượng một số bộ phận học sinh không muốn học Hình học, ngày càng xa rời với giá trị thực tiễn của Hình học Nhiều giáo viên chưa quan tâm đúng mức đối tượng giáo dục, chưa đặt ra cho mình nhiệm vụ và trách nhiệm nghiên cứu, hiện tượng dùng đồng loạt cùng một cách dạy, một bài giảng cho nhiều lớp, nhiều thế hệ học trò vẫn còn nhiều Do

đó phương pháp ít có tiến bộ mà người giáo viên đã trở thành người cảm nhận, truyền thụ tri thức một chiều, còn học sinh không chủ động trong quá trình lĩnh hội tri thức-kiến thức hình học làm cho học sinh không thích học môn Hình học

1.2.Mục đích nghiên cứu

Xuất phát từ mục đích dạy- học phát huy tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh nhằm giúp các em xây dựng các kiến thức, kỹ năng, thái độ học tập cần thiết, kỹ năng tư duy, tổng kết, hệ thống lại những kiến thức, vấn đề cơ bản vừa mới lĩnh hội giúp các em củng cố bước đầu, khắc sâu trọng tâm bài học, thì

sơ đồ tư duy là một biểu đồ được sử dụng để thể hiện từ ngữ, ý tưởng, nhiệm vụ hay các mục được liên kết và sắp xếp tỏa tròn quanh từ khóa hay ý trung tâm Sơ

đồ tư duy là một phương pháp đồ họa thể hiện ý tưởng và khái niệm trong các bài học mà giáo viên cần truyền đạt, làm rõ các chủ đề qua đó giúp các em hiểu

rõ hơn và nắm vững kiến thức một cách có hệ thống

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Để cho học sinh có hứng thú trong học tập bộ môn Hình học hơn, tôi có

một ý tưởng là: “ Hướng dẫn học sinh dùng sơ đồ tư duy hệ thống kiến thức

và phân dạng bài tập về khoảng cách ” với mong muốn thay đổi cách giảng

dạy truyền thụ tri thức một chiều sang cách tiếp cận kiến tạo kiến thức và suy nghĩ Ý tưởng là “sơ đồ tư duy” được xây dựng theo quá trình từng bước khi người dạy và người học tương tác với nhau

1.4.Phương pháp nghiên cứu

Để thực hiện được điều như trên, bản thân tôi xác định phải luôn bám sát các nguồn tư liệu như: chuẩn kiến thức, kĩ năng; sách giáo khoa; sách giáo viên

và các sách tham khảo khác Ngoài ra còn luôn chuẩn bị một hệ thống câu hỏi và bài tập dựa trên mục tiêu của từng bài, từng chương cụ thể, giúp học sinh định hướng và nắm được kiến thức trọng tâm bài học Thông qua đó học sinh nắm vững kiến thức cũ, lĩnh hội kiến thức mới nhanh hơn

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Sơ đồ tư duy (SĐTD) còn gọi là bản đồ tư duy, lược đồ tư duy,… là hình thức ghi chép nhằm tìm tòi đào sâu, mở rộng một ý tưởng, hệ thống hóa một chủ

đề hay một mạch kiến thức,… bằng cách kết hợp việc sử dụng đồng thời hình ảnh, đường nét, màu sắc, chữ viết với sự tư duy tích cực Đặc biệt đây là một sơ

đồ mở, không yêu cầu tỉ lệ, chi tiết chặt chẽ như bản đồ địa lí, có thể vẽ thêm hoặc bớt các nhánh, mỗi người vẽ một kiểu khác nhau, dùng màu sắc, các cụm

từ diễn đạt khác nhau, cùng một chủ đề nhưng mỗi người có thể “thể hiện” nó dưới dạng SĐTD theo một cách riêng, do đó việc lập SĐTD phát huy được tối

đa khả năng sáng tạo của mỗi người.[1]

Cách thức tổ chức dạy học với SĐTD thể hiện dưới sơ đồ sau:

[1] SĐTD chú trọng tới hình ảnh, màu sắc, với các mạng lưới liên tưởng (các nhánh) Có thể vận dụng SĐTD vào hỗ trợ dạy học kiến thức mới, củng cố kiến thức sau mỗi tiết học, ôn tập hệ thống hóa kiến thức sau mỗi chương, mỗi học kì [1]

SĐTD giúp học sinh học được phương pháp học tập chủ động, tích cực.SĐTD giúp học sinh học tập tích cực, huy động tối đa tiềm năng của bộ não Việc học sinh vẽ SĐTD có ưu điểm là phát huy tối đa tính sáng tạo của học sinh, các em được tự do chọn màu sắc để thể hiện ( xanh, đỏ, tím, vàng, nâu, …), đường nét (đậm, nhạt, thẳng cong…), các em tự “ sáng tác” nên trên mỗi SĐTD thể hiện rõ cách hiểu, cách trình bày kiến thức của từng học sinh và SĐTD do các em tự thiết kế nên các em sẽ yêu quý, trân trọng “ tác phẩm” của mình.[1]

SĐTD giúp học sinh ghi chép rất hiệu quả Do đặc điểm của SĐTD nên người thiết kế SĐTD phải chọn lọc thông tin, từ ngữ, sắp xếp bố cục để ghi thông tin cần thiết nhất và lôgic Vì vậy, sử dụng SĐTD sẽ giúp học sinh dần dần hình thành cách ghi chép hiệu quả.[1]

Đồng thời sử dụng sơ đồ tư duy rất phù hợp với cách tư duy làm bài của hình thức thi trắc nghiệm hiện nay

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

a/Thuận lợi:

Là giáo viên dạy toán nhiều năm được tiếp xúc với nhiều đối tượng học sinh.Đa số học sinh thích học Toán, thích tìm phương pháp mới trong học tập

Tổ chuyên môn thảo luận về chuyên đề sơ đồ tư duy Bản thân thích học hỏi và nâng cao kiến thức

Hưởng ứng việc Sở giáo dục và đào tạo phát động sử dụng sơ đồ tư duy trong dạy học và đổi mới phương pháp dạy học

b/Khó khăn:

Các kiến thức cơ bản về hình học không gian lớp 11của học sinh còn hạn chế

Kỹ năng tư duy phân tích giả thiết và các quan hệ giữa các đối tượng trong hình không gian và hình học phẳng của các em còn yếu

Kỹ năng vẽ hình trong không gian của học sinh phần đa là yếu

Đa số học sinh là con em nông dân, học sinh gia đình có hoàn cảnh kinh

tế khó khăn nên học yếu môn Toán, đặc biệt là hình học không gian

Kĩ năng giải toán và trình bày bài giải còn yếu

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề

2.3.1 Hệ thống hoá các kiến thức về khoảng cách :

Sơ đồ tóm tắt

[2]

2.3.2.Phân loại các dạng toán :

Sơ đồ tóm tắt

[2]

Loại 1: Khoảng cách từ

một điểm đến một đường thẳng.

a) Cách xác định khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng:

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng() phẳng(P)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Gọi H là hình chiếu của M trên ( ) (() (hoặc(P))

Khi đó : d(M;())=MH (Hoặc d(M;(P)) =MH)

Cho a//(P).Điểm M (a_ a

d(a;(P))=d(M;(P))

Cho (P)//(Q).Với M(Q)

d((P);(Q))=d(M;(P))

Là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Phân loại các dạng

toán về khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách

Khoảng cách từ một điểm M đến một đường thẳng() phẳng(P)

Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song

Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song

Gọi H là hình chiếu của M trên ( ) (() (hoặc(P))

Khi đó : d(M;())=MH (Hoặc d(M;(P)) =MH) Cho a//(P), M ( a) d(a;(P))=d(M;(P))

Cho (P)//(Q), M(Q) d((P);(Q))=d(M;(P))

Là độ dài đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Trong không gian cho điểm M và đường thẳng ,để tính khoảng cách từ

M đến ta làm như sau :

Sơ đồ tóm tắt

[2]

b) Bài tập vận dụng :

Bài tập 1:Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O

cạnh a, cạnh SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = a Gọi I là trung điểm của cạnh SC và M là trung điểm của đoạn AB.Tính khoảng cách từ I đến CM.[3]

Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

Hướng dẫn học sinh giải:

Loại 2: Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

a) Cách xác định khoảng cách từ 1 điểm đến một mặt phẳng:

Sử dụng định nghĩa :Trong mặt phẳng chứa M và ta kẻ MHtại H.Ta có

d(M;) = MH

Cách 1 d(M;)

Cách 2

Trong không gian dựng mặt phẳng ()

đi qua M và ()vuông góc với và cắt tại

H ,ta có d(M;) = MH

O S

B

A

I

D M

N H

Vẽ hình

Xác định d(I,CM)

Trong mp(ABCD) dựng OHCM Ta có IO//SA mà SA(ABCD) nên IO(ABCD) Do

đó : CM(OIH) nên IHCM d(I,CM) = IH

Tính

d(I,CM)

Tính IH

Gọi N là giao điểm của MO với CD.Ta có hai tam giác vuông MHO và MNC đồng dạng

Do đó , lại có Mà OIH vuông tại O nên Vậy d(I,CM)

C

Trong không gian cho mp(P) và một điểm M không nằm trên mp(P), để xác định khoảng cách từ điểm M đến mp(P) ta làm như sau:

Sơ đồ tóm tắt

[2]

Lưu ý :

* Các kỹ năng xác định hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy của hình

chóp:

+ Nếu tồn tại một mặt phẳng đi qua đỉnh vuông góc với mặt đáy thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với hình chiếu của đỉnh lên giao tuyến của mp

đó và đáy

+Hình chóp có các cạnh bên bằng nhau hoặc các cạnh bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

+Hình chóp có các mặt bên tạo với mặt đáy một góc bằng nhau thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy trùng với tâm đường tròn nội tiếp đa giác đáy

+Hình chóp có hai mặt bên kề nhau vuông góc với đáy thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy chính là giao điểm của giao tuyến hai mặt bên đó và đáy

+Hình chóp đa giác đều thì hình chiếu của đỉnh lên mp đáy chính là tâm

đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy

*Ta sẽ sử dụng cách 1 trong trường hợp bài toán xác định hình chiếu của điểm trên mặt dễ dàng

* Ta sẽ sử dụng cách 2 trong trường hợp xác định được một mặt phẳng(Q) chứa điểm M, vuông góc với mặt phẳng (P) và (Q) cắt (P)

* Ta sẽ sử dụng bổ đề trong trường hợp việc tính khoảng cách trực tiếp khó khăn mà việc tính khoảng cách của điểm nào đó trong hình dễ tính hơn

b) Bài tập vận dụng :

Bài tập 1: Cho hình chóp đều S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm

O cạnh bằng a, SA=a Tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) [3]

Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

Hướng dẫn học sinh giải:

Xác định hình chiếu của O trên mp(SAB) Tính d(O;(SAB))

Tính OH

Ta có: AC = BD = a,

OI = Xét SAO ta có:

SO = SA - AO = ,2)) Nên )) = )) + )) = ))

 OH =

d(O;(SAB)) =

B C

S

H

I O

S.ABCD là hình chóp đều nên SO  (ABCD) Qua O

kẻ OI vuông góc với AB

 (SOI)  (SAB) Kẻ OH

 SI  OH  (SAB)  d(O;(SAB)) = OH

Vẽ hình

d(M; (P))

Cách 1

Cách 3 Cách 2

Sử dụng định nghĩa : Gọi H là hình chiếu của M trên (P) Khi đó d(M;(P))=MH

Bước 1: Dựng mp(Q) đi qua M và vuông góc với mp(P)

Bước 2:Xác định giao tuyến d của mp(P) và (Q)

Bước 3: Kẻ MH vuông góc với d tại H

 MH  mp(P)  d(M;(P)) = MH

Bổ đề 1 :Cho mp(P) và 2 điểm M,A không nằm trên (P).Gọi I = MA  (P) khi đó :=

Nhận xét: * Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm C đến (SAB) ta sẽ làm như thế nào: Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng bổ đề 1 để suy ra d(C;(SAB)) Ta có: = = 2  d(C;(SAB)) = 6 3 a * Nếu thay giả thiết bài toán thành tính khoảng cách từ điểm trung điểm K của SC đến (SAB) ta sẽ làm như thế nào: Ta vẫn tính khoảng cách từ điểm O đến mp(SAB) rồi sử dụng tính chất để suy ra d(K;(SAB))Ta có OK //(SAB)  d(K;(SAB)) = d(O;(SAB)) = 6 6 a Bài tập 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy, SC tạo với đáy một góc 450 Tính theo a khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SCD) [3]

Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

Hướng dẫn học sinh giải:

Nhận

xét :

Như vậy ở

bài tập này việc tính khoảng cách từ B đến mp(SCD) bằng định nghĩa là khó khăn mà AB // CD nên AB // (SCD)

Vì vậy d(B;(SCD)) = d(A;(SCD))

Trong khi đó việc tính khoảng cách từ A đến mp(SCD) dễ dàng hơn nhiều

Lưu ý: Nếu một đường thẳng song song với một mặt phẳng thì khoảng

cách giữa đường thẳng và mặt phẳng bằng khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đường thẳng đến mặt phẳng.[2]

Giáo viên yêu cầu học sinh sử dụng sơ đồ tư duy để trình bày hướng làm bài đã nêu Cho các học sinh khác thảo luận và so sánh với cách làm của từng học sinh

Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B,

AB=3a, BC=4a; mp(SBC) vuông góc với mp(ABC).Biết SB=2a, góc SBC=30.Tính khoảng cách từ điểm B đến mp(SAC) theo a [4]

Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

Hướng dẫn học sinh giải:

H S

C B

Tínhd(B;(SCD))

Vẽ hình

Tính d(A;(SCD))

Kẻ AHSD tại H,mà AHCD nên AH(SCD)

d(A;(SCD))=AH =

= =a

Tính d(B;(SCD))

Vì AB // CD nên AB// (SCD) d(B,(SCD))= d(A,(SCD))=a

d(H;(SAC)) =HK=))

Tínhd(H;(SAC))

K

C H

A

S

Tínhd(B;(SAC))

Vẽ hình

Kẻ SH  BC, ta có:

SH = SB.sin30 = a,BH = 3a

Qua H kẻ HI  AC tại I

 (SHI)  (SAC) Kẻ HK  SI tại

K  HK  (SAC)

,)) = = 4  d(B;(SAC)) = ,7))

B

d(H;(SAC)) =HK=))

Tínhd(H;(SAC))

K

C H

A

S

Tínhd(B;(SAC))

Vẽ hình

Kẻ SH  BC, ta có:

SH = SB.sin30 = a,BH = 3a

Qua H kẻ HI  AC tại I Dễ thấy (SHI)  (SAC) Kẻ HK  SI tại K

 HK  (SAC)

,)) = = 4  d(B;(SAC)) = ,7))

B

I

Nhận xét :

Nhận thấy tính d(B; (SAC)) trực tiếp khó khăn vì vậy ta đã tính thông qua bổ

đề bằng việc tính d(H;(SAC)) dễ hơn

Như vậy việc tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng có rất nhiều

hướng suy nghĩ khác nhau do đó người học cần chọn cách nào cho phù hợp với từng bài toán cụ thể một cách nhanh nhất có thể Đó cũng là mục tiêu hướng tới của xã hội công nghệ thông tin, của những con người thích ứng nhanh với thời cuộc hiện nay

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác vuông tại A,

ABC 30  , SBC là tam giác đều cạnh a và mặt bên SBC vuông góc với đáy Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SAB) [4]

Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

Hướng dẫn học sinh giải:

S

A

B

C H

I

Tính d(C; (SAB))

Gọi H là trung điểm BC thì SH  (ABC) và SH =

Ta có BC=a,

Gọi I là trung điểm AB Ta có HI= ,

Vẽ HK  SI thì HK  (SAB).Ta có

Vậy d(C, (SAB))= 2HK =

Tính d(H; (SAB))

Tính

Vẽ hình

I

Nhận xét :

Nhận thấy tính d(C; (SAB)) trực tiếp khó khăn vì vậy ta đã tính thông qua bổ

đề bằng việc tính d(H;(SAB)) dễ hơn

Bài tập 5 Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình chữ

nhật AB=a, AD=a Hình chiếu vuông góc của A’ lên mp(ABCD) trùng với giao điểm O của AC và BD Góc giữa mp(ADD’A’) và (ABCD) bằng 60 Tính khoảng cách từ điểm B’ đến mp(A’BD) [4]

Giáo viên cho học sinh lập sơ đồ tư duy

Hướng dẫn học sinh giải:

Vẽ hình

C’

D’

A’

B’

K

Bình luận: Qua bài tập ta có thể rút ra cách tính khoảng cách từ điểm I

nào đó đến mp() chứa đường cao của khối chóp như sau:

Bước 1: Xác định giao tuyến d của mp() và mặt đáy

Bước 2: Chọn 1 điểm M nằm trên mặt đáy thuận lợi nhất, rồi tính d(M;()) bằng cách kẻ MH  d tại M  MH  ()  d(M;()) = MH

Bước 3: Sử dụng bổ đề (*) để suy ra

Như vậy : Để tính khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng song song, khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song ta đều quy về xác định khoảng cách

từ một điểm đến một mặt phẳng

Loại 3: Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau.

a) Cách xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau:

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Cách xác định khoảng cách giữa

2 đường thẳng chéo nhau

Sơ đồ tóm tắt

H

C

D A

B

O

Ta có B’C//(A’BD) Nên d(B’;(A’BD))=d(C;(A’BD))

Ta có A’O =

2

AB

tan600=

Kẻ CH  BD  CH  (A’BD)  d(C;(A’BD)) = CH

Mà = + =  CH =

Tính d(B’;

(A’BD))

Vậy d(B’;(A’BD)) =

Tính d(C;

(A’BD))

Tính d(B’;

(A’BD))

Sử dụng định nghĩa : Gọi AB là đoạn vuông góc chung giữa a và b khi đó d(a;b)

=AB

Tính d(a;b)

Th1: a và b vuông góc với nhau Chọn điểm M nằm trên a (thuận lợi nhất)

kẻ MH  b  mp(a,H)  b

Kẻ HK  a  d(a,b) = HK Nói cách khác :Xác định mp()chứa a và vuông góc với b tại H Trong mp()kẻ HKa tại K.Ta có d(a;b) =HK

Th2 :a và b chéo nhau nhưng không vuông góc ta có

Cách 1 :Dựng mp() chứa b và song song với a, d(a,b) = d(a,()) = d(M,()), trong

đó M là 1 điểm bất kỳ nằm trên đường thẳng a

Cách 2 : Ta dựng mp()a tại O,() cắt b tại I Dựng hình chiếu vuông góc của b là b’trên ().Trong mp() vẽ OHb’.Từ H dựng a’//a cắt b tại B.Từ B dựng b’//OH

Cách 1

Cách 2