PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN

PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN: I) CÁC PHƯƠNG PHÁP THƯỜNG SỬ DỤNG ĐỂ GIẢI BÀI TẬP: 1.Phương pháp dùng tính chẵn lẻ: Phương pháp đưa dạng tích: Phương pháp xếp thứ tự ẩn: _Phương pháp thường dùng để giải phương trình nghiệm nguyên dương vai trò ẩn phương trình VD: Tìm x, y, z nguyên dương biết: x + y + z = xyz Giải: Do vai trò ẩn nhau, không tính tổng quát, giả sử x y z xyz 3x yz 3, mà y z nguyên dương nên yz {1; 2; } - Nếu yz = y = z = x + = x ( vô nghiệm ) - Nếu yz = y = 2; z = x + = 2x x = - Nếu yz = y = 3; z = x + = 3x x = ( loại x < y = ) Vậy (x; y; z) (3; 2; 1) hoán vị Phương pháp loại trừ: * xn < yn < (x + a)2 yn = (x + i)n với i khoảng từ đến a – ( a > 1) * x(x + 1) (x + n) < y(y + 1)…(y + n) < (x + a)(x + a + 1)…(x + a + n) thì: y(y + 1)…(y + n) = (x + i)(x + i + 1)…(x+ i + n) với i khoảng đến a – ( a > 1) * Đặc biệt: Nếu số nguyên x, y, n thỏa mãn x(x + n) < y(y + n) < (x + 2)(x + + n) y(y + n) = (x + 1)(x + + n) Sử dụng điều kiện có nghiệm phương trình bậc 2: _ PT: ax2 + bx + c = ( a 0) Phương trình có nghiệm với = b2 – 4ac số phương Phương pháp sử dụng tính chia hết: _ Sử dụng tính chia hết số, ta chứng minh phương trình nghiệm đưa phương trình phương trình tương đương với phương trình cho dễ dàng Phương pháp đưa vé trái thành tích số nguyên liên tiếp, vế phải số phương: _ Nếu m, n Z n(n + 1) = m n = n + = n = ( Bạn đọc tự chứng minh) Phương pháp cực hạn (Lùi vô hạn – Xuống thang): Phương pháp đưa dạng tổng: _ Đưa dạng vế trái tổng bình phương, vế phải tổng số phương 10 Phương pháp sử dụng bất đẳng thức: _ Sử dụng bất đẳng thức để giải phương trình ( Bất đẳng thức Cô- si, Bunhiacốpski, ….) 11 Sử dụng chữ số tận cùng: _ Xét chữ số tận vế phương trình, dựa vào tính chất, chẳng hạn tính chất số phương: Số phương có chữ số tận 0, 1, 4, 5, 6, 9; chữ số tận 2, 3, 7, 2.Số phương chia hết cho chia hết cho Số phương chia hết cho chia hết cho 4.Số phương chia hết cho chia hết cho 25 5.Số phương chia hết cho chia hết cho 16 Số phương chia dư 1; chia dư 0, 4; chia dư 1,… II) MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN: Tìm x, y P biết : x2 = 2y + Tìm x, y, z Z biết: Tìm x, y nguyên phương trình sau, biết: x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – = Tìm x, y nguyên phương trình sau, biết: a) x3 – y3 = 77 b) x2 – 4xy = 23 c) x – y = – 2xy d) x – y3 = 3xy + Tìm x, y, z nguyên dương phương trình sau, biết: a) x + y + z = xyz b) 5(xy + yz + xz) = 4xyz c) x + 2y + 2z = 2336 Tìm x, y nguyên phương trình sau, biết: a) 2(x + y) +16 = 3xy b) (2x + 5y + 1)(2|x| + y + x2 + x) = 105 c) x3 + x2y + xy2 + y3 = 2001 d) xy + x + 2y = e) x2 – 3y2 + 2xy – 2x – 10y + = f) x2 + 4x + = y4 g) y2 = (x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) h) 2xy2 + x + y + = x2 + 2y2 + xy Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau, biết: a) b) = c) xy + yz + xz = xyz d) x y + yx + xy.yx = 5329 e) = f) 5(x + y + z) = 4xyz – 24 g) x + y – = xyz – 3xy Tìm x, y nguyên phương trình sau, biết: a) x6 + 3x3 + = y4 b) x4 + x2 + = y2 – y 2 d) x + y – 2x + y = e) 7(x2 + xy + y2) = 39(x + y) g) x2 – y2 – 3x + 3y = h) x2 – 4y2 – 4y = 45 c) + x + x = y2 f) 7(x + y ) = 3(x – xy + y2) i) x – 3xy = 6y – Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau, biết: a) xyz = 2(x + y + z ) b) x = 2(y + z) x3 – y3 – z3 = 3xyz c) x + y = xy – y 10 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau, biết: a) x2 + (x + )2 = y4 + (y + 1)4 b) x4 + x3 + x2 + x + = y2 d) 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = e) x2 – (y + 5)x + 5y + = c) x2 + y2 + xy = x + y f) 5(x2 + y2 + xy) = 7(x + 2y) 11 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau, biết: a) x2 – 2y2 = b) x2 + y2 + z2 = 2023 c) x14 + x24 + … + x74 = 2008 12 Giải phương trình nghiệm nguyên sau, biết rằng: a) x2 – 5y2 = b) x – 3y3 – 9z3 = 13 Tìm nghiệm tự nhiên phương trình sau, biết rằng: c) x2 + y2 + z2 = x2y2 a) x6 + z3 – 15x2z = 3x2y2z – (y2 + 5)3 b) x2 + x – = 34y + 14 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau, biết rằng: a) x – y + 2xy = b) 2x + y2 – 2xy + 2y – 6x + = 2 d) x – xy + y = e) 3x2 + y2 + 4xy + 4x + 2y + = c) 1! + 2! + … + x! = y4 c) y + y = x4 + x3 + x2 + x f) 5x – 3y = 2xy – 11 15 Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau, biết rằng: a) b) x2 – 3xy + 2y2 + = c) x2 + 4x – y2 = d) 2x + = 3y e) f) x + y2 = x + y + CHÚC CÁC BẠN THÀNH CÔNG  ... DỤNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN: Tìm x, y P biết : x2 = 2y + Tìm x, y, z Z biết: Tìm x, y nguyên phương trình sau, biết: x4 – 2y4 – x2y2 – 4x2 – 7y2 – = Tìm x, y nguyên phương trình sau,... i) x – 3xy = 6y – Tìm nghiệm nguyên dương phương trình sau, biết: a) xyz = 2(x + y + z ) b) x = 2(y + z) x3 – y3 – z3 = 3xyz c) x + y = xy – y 10 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau, biết: a) x2... + y2 + xy) = 7(x + 2y) 11 Tìm nghiệm nguyên phương trình sau, biết: a) x2 – 2y2 = b) x2 + y2 + z2 = 2023 c) x14 + x24 + … + x74 = 2008 12 Giải phương trình nghiệm nguyên sau, biết rằng: a) x2