Kinh Nghiệm Tổng Hợp Các Kỹ Thuật Giải Và Kinh Nghiệm Thi Môn Giải Tích Của Tác Giả Lâm Hữu Minh

Đây là tài liệu tổng hợp các kỹ thuật giải và kinh nghiệm thi môn giải tích của tác giả Lâm Hữu Minh khá hay dành cho các bạn sinh viên đang học môn giải tích ở các trường đại học. Nhất là sinh viên trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội. Tài liệu này bao gồm các kỹ thuật giải và kinh nghiệm thi môn giải tích như : Tích phân bội Tích phân đường – mặt Chuỗi Phương trình vi phân Trong đó, tài liệu gồm các kỹ thuật giải bài tập giải tích hay cũng như các chú ý, kinh nghiệm khi đi thi môn học này nhằm giúp các bạn sinh viên có thể nắm được cách cách giải nhanh các bài tập giải tích để có thể tự tin chinh phục môn học này.

TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí GIẢI TÍCH ĐẠI CƯƠNG Kỹ thuật giải & Kinh nghiệm thi cuối kì II Lâm Hữu Minh∗ Ngày tháng năm 2016 Tóm tắt nội dung Tài liệu ngắn cung cấp đến bạn số kỹ thuật bổ sung phương pháp để phục vụ cho việc thi cuối kì môn Giải tích II III, bao gồm phần quan trọng là: Tích phân bội, Tích phân đường tích phân mặt, Chuỗi, Phương trình vi phân Tài liệu không mang tính hệ thống lại lý thuyết hay công thức, mà khám phá mở rộng, gồm kỹ thuật ghi nhớ công thức số phương pháp giải nhanh, chất công thức, hay lưu ý quan trọng làm Đó kinh nghiệm trình học, thời gian hạn hẹp nên đưa hết vào Tài liệu đặc biệt thích hợp với bạn theo học nghành Toán - Tin nói riêng tất có yêu thích Toán học đam mê khám phá nói chung Một số phương pháp đưa ứng dụng vào việc lập trình phần mềm liên quan đến việc tính toán, phân tích Mong bạn thấy có ích cho kì thi cuối kì 2, quan trọng chia sẻ cho bạn thân mình! ∗ SV ĐH Bách Khoa HN, sherlockttmt@gmail.com TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Mục lục Tóm tắt 1 TÍCH PHÂN BỘI 1.1 Cách vẽ miền D V 1.2 Khó nhớ công thức đổi biến sang tọa độ cầu? 1.3 Lưu ý đổi sang tọa độ cực, tọa độ cầu 10 TÍCH PHÂN ĐƯỜNG - MẶT 2.1 Tham số hóa tích phân đường cong kín 2.2 Tích phân đường sang tích phân suy rộng 2.3 Tìm hàm số có vi phân toàn phần biết trước 2.4 Làm gọn tích phân đường loại 2.5 Tính toán nhanh tích phân mặt loại CHUỖI 3.1 Tìm miền hội tụ chuỗi hàm ∞ lnp f1 (n) 3.2 Xét hội tụ chuỗi q f (n) n=1 3.3 Tính đạo hàm tích phân chuỗi hàm 3.4 Nhớ khai triển Maclaurin hàm 3.5 Xét tính hội tụ dạng chuỗi ∞ − ∞ − PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1 PTVP không mẫu mực 4.2 Đưa PTVP dạng đẳng cấp 4.3 Đưa PTVP dạng toàn phần 4.4 Tách phân thức hữu tỉ nhanh 11 11 12 12 14 16 18 18 19 19 20 21 23 23 23 23 24 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TÍCH PHÂN BỘI 1.1 Cách vẽ miền D V Nhiều bạn hỏi: cần vẽ hình toán tích phân bội làm thi? Câu trả lời đơn giản thôi: vẽ vẽ ra, không vẽ hình phức tạp thôi, quan trọng tìm cận, đôi khi, cần đổi biến số phát tích phân mà không cần giải thích hình, ứng dụng thực tế, người ta cố hạn chế việc phải dựa vào hình vẽ thấy rõ ràng mà phải tư trừu tượng! Nếu lớp 12 bạn học hình không gian tốt (có thể vừa đọc đề vừa tưởng tượng, tính toán không cần nháp) mục không quan trọng đâu! Sau đây, cung cấp cho bạn phương pháp đơn giản để phác thảo hầu hết mặt không gian mà toán tích phân bội đề thi ra, gọi phương pháp tổng quát hóa Tóm tắt: ta xây dựng vài phần đơn giản mặt, sau liên kết phần với dùng trí nhớ ta hình không gian mẫu thấy, liên hệ từ chiều sang chiều để đưa dạng đúng, dạng gần (phác thảo) mặt cần tìm Nói cách khác: ta dựa vào số tính chất đặc biệt để từ vài nét riêng tổng quát thành hình đầy đủ! Đầu tiên, ta cần nắm tính chất sau đây: ) Xét mặt (S) không gian có PT z = f (x, y), (S) mặt đối xứng qua: a) mp Oxz f (x, −y) = f (x, y) b) mp Oyz f (−x, y) = f (x, y) c) trục Oz f (−x, −y) = f (x, y) (hay gặp (S) mặt tròn quay trục Oz ) d) trục Ox f (x, −y) = −f (x, y) e) trục Oy f (−x, y) = −f (x, y) f) gốc tọa độ f (−x, −y) = −f (x, y) (hay gặp (S) mặt kín tâm gốc tọa độ) (Nếu cho PT dạng y = f (x, z) hay x = f (y, z) tương tự) ) Nếu mặt (S) đối xứng qua trục Oz , giao tuyến (nếu có) với mp Oxz Oyz đường đối xứng qua Oz , giao tuyến với mp Oxy (nếu có) đường nhận gốc O làm tâm đối xứng (tương tự (S) đối xứng qua Oy , Oz ) ) Nếu mặt (S) đối xứng qua mp Oxz , hình chiếu D xuống mp Oyz Oxy nhận Oz Ox làm trục đối xứng ) Mặt (S) mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz PT (S) không chứa z (tương tự với Ox, Oy ) TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Sau ta xét vài VD vẽ mặt từ đến phức tạp Theo tóm tắt phương pháp trên, ta cần phải nhớ hình dạng số mặt bản, VD mặt (quy ước gọi tất mặt VD mặt (S)) Vì lí kỹ thuật nên đưa hình ảnh minh họa vào tài liệu này, bạn vẽ hình đàng hoàng giấy nháp tưởng tượng theo hướng dẫn! Ví dụ z = x2 p + y2 q với p, q > x2 y2 + , f (−x, −y) = f (x, y) nên mặt (S) nhận trục Oz làm trục đối xứng, p q giao tuyến với Oxz Oyz là đường đối xứng qua Oz Đặt f (x, y) = x2 , PT giao tuyến (S) với mp Oxz , parabol hướng p lên có đỉnh O (do p > 0) Cho y = 0, ta z = Cho x = 0, ta lại PT giao tuyến (S) với mp Oyz : z = y2 , parabol tương tự q Bây giờ, từ giao tuyến tìm được, bạn sử dụng trí tưởng tượng để tổng quát hóa thành toàn mặt (S) chứ? Vâng, mặt Paraboloit eliptic, tên gọi ghép, thể parabol không gian, "miệng" phía (là giao tuyến với mp z = h > 0) elip Ví dụ z = x2 p − y2 q với p, q > x2 y2 z = − , p q không đơn giản để liên kết giao tuyến lại với chúng ngược nhau! Đây mặt đối xứng qua Oz , giao tuyến với Oxz Oyz z = x2 h2 − parabol hướng lên (tức theo hướng dương p q Oz ) nằm mp y = h Điều có nghĩa ta sử dụng mp vuông góc với Oy cho quét qua Nhận thấy, cho y = h, z = mặt (S) giao tuyến thu parabol hướng lên, đỉnh trùng gốc O mặt phẳng quét nằm vị trí y = 0, thấp gốc O (z < 0) vị trí khác Đó họ parabol hướng lên nằm mp song song với Oxz Bây lại coi x số, nghĩa ta quét (S) mp x = k song song với Oyz , thu y2 k2 họ parabol hướng xuống z = − + , đỉnh trùng O x = cao O q p vị trí quét khác Bằng cách vẽ khoảng đường parabol họ (đường thứ nằm giao tuyến mặt quét với Oxz Oyz ta vẽ từ đầu) ta tổng quát hình dạng mặt (S), mà bảo bạn đặt tên cho khó để người khác hình dung được! Vâng, người ta gọi (S) mặt Yên ngựa, tên xác Paraboloit hypebolic! Sở dĩ lại có chữ "hype- TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí bolic" cắt mặt mp z = h giao tuyến thu nhìn chung hypebol x2 y − =h p q x y Đặc biệt, giao tuyến (S) với mp Oxy cặp đường thẳng √ ± √ = p q Ví dụ x2 a2 + y2 b2 + z2 c2 = với a, b, c > Rất nhiều người biết đến mặt này, nhanh qua Nó mặt Elipxoit, giao tuyến với mp tọa độ elip có tâm O (lần lượt cho x, y , z thấy ngay) Trường hợp đặc biệt mặt cầu quen thuộc, a = b = c = R Ví dụ x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = với a, b, c > Dễ thấy mặt nhận Oz làm trục đối xứng, gồm mặt z = ±c x2 y + − 1, mặt a2 b lại đối xứng qua mp Oxy , (S) nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng! Cho z = 0, giao tuyến (S) với Oxy elip đường hypebol x2 y2 + = Cho y = 0, (S) lại giao với Oxz a2 b2 x2 z − = 1, giao tuyến (S) với Oyz hypebol tương tự a2 c Giả sử dùng mp z = h song song với Oxy quét qua (S), tập giao tuyến thu elip: x2 y h2 x2 y2 + = + ⇔ + =1 a2 b2 c2 h2 h2 a2 + b2 + c c h2 h2 Như |h| tăng dần bán trục a + b + elip tăng dần, nhỏ c c mặt quét nằm vị trí z = 0, họ elip nằm mp song song với Oxy , lớn dần xa gốc tọa độ Bằng cách vẽ tầm elip họ (elip x2 y + = vẽ rồi), ta dễ dàng tổng quát hóa mặt (S)! a2 b2 (S) gọi mặt Hypeboloit tầng, để hiểu rõ tên gọi làm tiếp VD5 Có lẽ nhiều người thấy khó tin biết rằng, mặt Hypeboloit tầng uốn cong cách mềm mại thực chất tạo vô số đường thẳng! Mặc dù điều có nói sách Toán THPT Ví dụ x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = −1 với a, b, c > Mặt nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng, không giao với Oxy "có mặt" x2 y phần dương âm Oz , z = + = −1 vô nghĩa! a b TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Như ta cần vẽ (S) với z > 0, lấy đối xứng qua mp Oxy toàn mặt (S) x2 y2 z2 + = − ≥ ⇔ z ≥ c, ta cắt mặt (S) mp z = h ≥ c giao a2 b2 c2 x2 y2 z2 tuyến thu elip + = Khi h tăng, bán trục a − c2 z2 z2 2 a −1 b −1 c2 c2 z2 b − lớn Bằng cách vẽ vài giao tuyến (trong giao tuyến ứng với z = c c2 tiếp điểm), ta tổng quát thành công mặt (S) Ta có: Cuối cùng, lấy đối xứng phần vừa vẽ qua Oxy , ta tầng thứ mặt (S), lí (S) có tên mặt Hypeboloit hai tầng Ví dụ x2 a2 + y2 b2 − z2 c2 = với a, b, c > (S) có tâm đối xứng gốc tọa độ, giao điểm mp Oxy Giao tuyến x z x z x2 z x z (S) mp Oxz − = ⇔ − + = 0, cặp đường thẳng ± = đối xứng a c a c a c a c qua Oz Tương tự, giao điểm (S) Oyz cặp đường thẳng y z ± =0 b c Từ đường thẳng dễ dàng tổng quát hóa mặt (S), giống ta đem nón đặt ngược đồng trục, dính chóp với nhau, thay mép tròn ta bóp méo thành elip! Có thể tổng quát hóa theo cách khác để thấy mép nón elip (đường tròn trường hợp đặc biệt): ta dùng mp z = h quét qua (S), giao tuyến với (S) có PT x2 y2 h2 ah bh + = , rõ ràng elip với bán trục Do h = giao tuyến 2 a b c c c điểm (gốc tọa độ), |h| lớn elip giao tuyến lớn (đặc điểm nón) Bằng cách vẽ vài elip ta tổng quát hóa xong Cũng VD4, mặt nón quỹ tích đường thẳng, ta xoay đường thẳng quanh trục không trùng với qua điểm cố định Nếu trục xoay không cắt đường thẳng này, mặt tạo Hypeboloit tầng! Trong toán tích phân bội, người ta thường cho mặt z = x2 + y Nhận xét Nói chung, VD này, VD có nhiều cách để tổng quát hóa, bạn tự làm thêm cách khác, việc nắm thêm nhiều tính chất giúp ta nhìn toán từ nhiều góc độ khác nhau, từ có thêm kinh nghiệm gặp phải mặt "không mẫu mực"! Ví dụ z = √ x+y TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Nhìn đơn giản mà không đơn giản đâu nhé! Các bạn thử vẽ xem sao, liệu có chút giống mặt phía chăng? Ta gọi mặt (K) cho đỡ chán! Nó tính chất đối xứng lý thuyết nêu, ta tìm giao tuyến với Oxy cách cho z = ⇒ y = −x, giao tuyến đường thẳng qua gốc tọa độ Giao tuyến với Oxz Oyz : cho y = x = ⇒ z = √ x z = √ y Với giao tuyến vẽ được, thẳng cong méo liên quan đến cả, liệu tổng quát hóa không? Ta quét họ giao tuyến (K) mp y = k song song với Oxz , giao tuyến nửa đường √ parabol z = x + k (do z ≥ 0) Vì điều kiện x ≥ −k nên họ nửa đường parabol có đỉnh nằm đường y = −x (chính giao tuyến (K) Oxy ) Ta vẽ khoảng dăm ba đường họ để tí tổng quát hóa cho dễ Tương tự, quét (K) mp x = h song song với Oyz , ta thu họ nửa đường parabol √ z = y + h, có đỉnh nằm đường y = −x, nói chung giống y hệt họ khác họ nằm "vuông góc" mp quét vuông góc với Như đủ để ta vẽ xác mặt (K) rồi! Xem không khó lắm, khó khác biệt với mặt yếu tố đối xứng lý thuyết nêu, khác hẳn với VD trước Dẫu vẽ mặt có đối xứng dễ √ Sau vẽ xong, ta lại nhận tính chất này: mặt z = x + y có √ √ cách xoay mặt z = x z = y góc 45o quanh trục Oz Lí mặt giống nhau, √ hợp nửa parabol có đỉnh xuất phát từ đường thẳng: mặt z = x mặt trụ có đường sinh √ song song với Oy nên đỉnh parabol nằm Oy , tương tự, mặt z = y có đỉnh parabol nằm √ Ox, mặt z = x + y có đỉnh nằm x+y = 0, mà đường x+y = hợp với Ox, Oy góc 45o √ Nếu khám phá, có lẽ bạn đặt câu hỏi: quay liệu mặt z = x có trùng √ hoàn toàn với z = x + y hay không? Chắc chắn có, cắt mặt (K) mp z = h, ta √ √ đường x + y = h2 , cắt đường parabol z = x z = y z = h, điểm cắt √ (h2 ; 0; h) (0; h2 ; h) nằm x + y = h2 Điều chứng tỏ mặt trụ nửa parabol (K), z = x √ z = y giống hệt Và ta xây dựng (K) phép xoay, dễ hình dung nhiều!    x2 + y = 2ax   Ví dụ (V ) : x2 + y = 2az    z = Trường hợp lại a < bạn tự làm nhé, xét a > Một có mặt z = 99% miền V nằm phía (z ≥ 0) TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí x2 + y = 2ax ⇔ (x − a)2 + y = a2 mặt trụ có đường chuẩn đường tròn tâm (a; 0) Oxy , qua O, x2 + y = 2az paraboloit, có đỉnh O, giao tuyến chúng chắn qua O Kết hợp PT ta x2 + y = 2ax = 2az ⇒ giao tuyến nằm mp z = x, giao trụ x2 + y = 2ax mp z = x Mp z = x phân giác mp Oxy Oyz , vẽ đơn giản giao tuyến, elip    ≤ x ≤ 2a    √ √ Vậy hỏi cận ta có: − 2ax − x2 ≤ y ≤ 2ax − x2    x2 + y  0 ≤ z ≤ 2a x2 + y + z Ví dụ (K) : = a2 x2 + y − z với a > Dễ thấy mặt (K) đối xứng qua mp tọa độ, ta cần vẽ phần nằm góc phần tám thứ ok! Điều kiện x, y, z ≥ giới hạn trường hợp lại Giao tuyến (K) với Oxy x2 + y 2 = a2 x2 + y ⇔ x2 + y x2 + y − a2 = 0, hình gồm điểm O đường tròn x2 + y = a2 (kì lạ?) Còn giao tuyến với mp tọa độ giống nhau: x2 + z 2 = a2 x2 − z y + z 2 = a2 y − z , nhiên vẽ chúng không đơn giản! Ta làm khác với VD đầu: xác định giao tuyến (K) với mp z = x z = y Thay z = x z = y vào PT (K) ta thu y + 2z Ta có: y + 2z 2 = a2 y x2 + 2z 2 = a2 x2 = a2 y ⇔ y + 2z − ay y + 2z + ay = 0, cặp đường y + 2z ± ay = −y + ay Tuy nhiên đường y + 2z + ay = điểm gốc y ≥ 0, ta xét z = ⇒ zy = −2y + a a Như đường y + 2z − ay = đồng biến với z ≤ y ≤ , nghịch biến 2 2 (−y + ay) a y > Ta không cần vẽ xác, cần biết gần giống parabol quay bề lõm phía z < 0, a a xác định với y ∈ [0; a] có đỉnh ; √ 2 Cuối ta vẽ xong giao tuyến (K) với mp Oxy , z = x z = y góc phần tám thứ nhất, có PT x2 + y = a2 , y + 2z − ay = x2 + 2z − ax = (2 sau giống hệt nhau) Từ đây, ta bắt đầu tổng quát hóa Trong góc phần tám thứ nhất, (K) giống khó miêu tả hình ảnh! Tuy nhiên sau lấy đối xứng qua mặt phẳng tọa độ, toàn mặt (K) giống bánh dầy, mép tròn, bị đâm lõm vào đến tâm (gốc O), trục Oz xuyên qua đó! Nó quay quanh Oz bánh xe! Nhận xét Những toán kiểu thích hợp để rèn luyện tưởng tượng đấy! Việc tưởng tượng nằm bước tổng quát hóa, não ta phải tìm hình dạng thích hợp để sinh giao tuyến vẽ được, nói chung phải thỏa mãn đầy đủ tính chất khảo sát Phương TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí pháp quét mặt cần vẽ mặt phẳng có vector pháp tuyến cố định để xác định họ giao tuyến ứng dụng Đồ họa để lập trình vẽ mặt không gian chiều với PT cho trước! Tóm lại, sơ sơ đơn giản để bạn nắm bắt phương pháp thôi, không cần phải dài dòng quá, đề thi mặt có hình dạng quái gở đâu, có nhiều cách đổi biến để tìm cận mà không cần phải xác định hình dạng mặt gốc Chẳng hạn VD cuối, thi thực tế ta chuyển sang tọa độ cầu! 1.2 Khó nhớ công thức đổi biến sang tọa độ cầu? Ta có công thức đổi biến (đổi tọa độ) sau tích phân bội:        x = r cos ϕ x = r cos ϕ sin θ   x = r cos ϕ   ; y = r sin ϕ ; y = r sin ϕ sin θ y = r sin ϕ       z = z z = r cos θ Ứng với tọa độ chuyển sang tọa độ cực, tọa độ trụ, tọa độ cầu Trong mục giúp thấy khó nhớ hệ CT thứ viết cách dễ dàng hệ CT thứ nhất, chí không làm BT nhiều, thực có tắc (bản chất)! Bây viết tắt "HTĐ" thay cho "hệ tọa độ" Đúng HTĐ thứ phải gọi tọa độ tròn tọa độ cực, miền D bao hình tròn x2 + y ≤ r2 , biểu diễn qua thông số hình tròn HTĐ thứ với thứ thực một, thêm trục Oz vào hình tròn x2 + y ≤ r2 kéo dài theo Oz thành hình trụ (tọa độ trụ), chất không khác nhau, lí định thức Jacobi hệ J = r! Tuy nhiên hệ CT thứ lại có J = −r2 sin θ, khác biệt, ta tìm điểm chung với hệ Dễ thấy điểm chung thứ hệ liên quan đến hình tròn! HTĐ cực hình tròn x2 + y ≤ r2 mặt Oxy , HTĐ trụ hình trụ có trục Oz Hình chiếu hệ lên Oxy hình tròn x2 + y ≤ r2 , tham số hóa đường tròn ta thu x = r cos ϕ, y = r sin ϕ Vì HTĐ trụ chiếu hình trụ lên Oyz Oxz không thu hình tròn, nên trục z giữ nguyên z = z mà Như HTĐ chiếu lên mặt  phẳng tọa độ cho hình chiếu đường tròn, ứng x = r cos ϕ với mặt ta có hệ thức dạng (x ứng với cos góc ϕ lấy mốc quay từ Ox, y = r sin ϕ gọi "ϕ góc Ox") Muốn thấy trực quan vẽ đường tròn ra! Xét HTĐ cầu, theo HTĐ này, miền V nằm trọn hình cầu x2 + y + z ≤ r2 Chiếu hình cầu lên mp tọa độ Oxy , Oyz , Oxz ta thu hình tròn, đường tròn tương ứng TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí x2 + y = r2 , y + z = r2 x2 + z = r2 Lấy góc ϕ có mốc quay từ Ox mp Oxy , góc θ có mốc quay từ Oz mặt phẳng thẳng đứng, đường tròn ta thu hệ thức:    x = r cos ϕ z = r cos θ z = r cos θ ; ; y = r sin ϕ y = r sin θ x = r sin θ  z = r cos θ hệ thức sau viết gộp lại thành , kết hợp với hệ thức đầu, ta thu kết x = y = r sin θ    x = r cos ϕ sin θ   lâu dùng (mà méo hiểu lắm!): y = r sin ϕ sin θ    z = r cos θ Vậy chung hệ CT là: góc trục (có mốc quay từ trục đó) trục lấy cos, trục lại phải lấy sin (tất nhiên trục phải nằm mặt phẳng góc quay ấy) Nói tóm lại, để viết hệ CT đổi biến số sang HTĐ cầu, ta cần tưởng tượng điều sau hệ tọa độ: + Góc ϕ góc Ox, nên x chứa cos ϕ, trục lại phải lấy sin ϕ, nhiên Oz không nằm mp ϕ (là mp Oxy ) nên z không chứa sin ϕ, vậy: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ (như CT đổi tọa độ cực) + Góc θ góc Oz , nên z lấy cos θ, tức z = r cos θ, trục lại phải lấy sin θ, góc θ quay Oxz Oyz , nên bổ sung thêm x = r cos ϕ sin θ, y = r sin ϕ sin θ Xong! Nhận xét Cái khó chịu học Toán Cao Cấp có nhiều thứ khó hiểu mà phải làm sao! Hãy tìm cách hiểu chất nó, học Toán Cao Cấp, không THPT ôn thi ĐH chủ yếu tập trung vào kỹ thuật công thức giải BT 1.3 Lưu ý đổi sang tọa độ cực, tọa độ cầu f (x, y)dS , mà miền D chứa PT kiểu đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 (hoặc Khi tính D elip), f (x, y) chứa PT đường tròn (elip) khác, chẳng hạn (x − m)2 + (y − n)2 + p, không nên sử dụng tọa độ cực Ví dụ Tính diện tích σ phần mặt x2 + y + z = phía mặt x2 + y2 =1 Ta cần tính diện tích phần mặt cầu nằm mặt trụ ellipse Do tính đối xứng, ta xét phần diện tích nằm góc phần tám thứ nhất, có PT z = 2dxdy ⇒ + zx2 + zy2 = ⇒σ=8 2 4−x −y − x2 − y − x2 − y D Với D hình chiếu phần diện tích cần tính lên mp Oxy : 10 x2 y + = 1; x ≥ 0, y ≥ TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí + ln(1 + x) đạo hàm từ cấp trở thực chất đạo hàm cấp 1+x Ta nhớ cách rút gọn thành vô bé tương đương, phần lớn ta dùng khai ∞ x3 x5 x7 x2n+1 triển dạng khai triển, tức x − + − + · · · , thay (−1)n 3! 5! 7! (2n + 1)! n=0 Các vô bé tương đương học sau: sin x ∼ x; cos x ∼ − x2 x ; e − ∼ x; ln(1 + x) ∼ x; (1 + x)α ∼ + αx Bây giờ, cần khai triển sin x, ta nhớ sin x ∼ x, sau nhớ tiếp đan dấu x3 có x mũ lẻ (do số hạng x mang mũ 1), từ số hạng − , viết 3! x3 x5 x7 tiếp sin x = x − + − + · · · Trong số dạng toán xét tính hội tụ chuỗi số, ta 3! 5! 7! x3 cần khai triển hàm số đến "mức" đó, cụ thể sin x = x + o(x), sin x = x − + o(x3 ), 3! x3 x5 sin x = x − + + o(x5 ), 3! 5! x2 , đan dấu, có x mũ chẵn (nhìn x2 x2 x4 x6 biết rồi), ta viết tiếp: cos x = − + − + ··· 2! 4! 6! Nếu cần khai triển cos x, ta lại nhớ đến cos x ∼ − Đến lượt ex , ta nhớ ex − ∼ x nghĩa e2 ∼ + x, không đan dấu đầy đủ x mũ chẵn lẫn x x2 x3 lẻ, ex = + + + + ··· 1! 2! 3! Sang đến ln(1+x), dù ta nhớ ln(1+x) ∼ x, dễ nhầm ln(1+x) = x− ln(1 + x) = x − x2 x3 x4 + − +· · · x2 x3 x4 + − + · · · , trường hợp đặc biệt mà ta phải lưu tâm 2! 3! 4! sử dụng Cái (1 + x)α dễ nhớ mà cần dùng đến (1 + x)α ∼ + αx, chí quên VCB tương đương phải dùng khai triển Maclaurin để nhớ lại, VCB tương đương không hay dùng x x2 x3 +A2α +A3α +· · · dễ hơn, muốn tính 1! 2! 3! hệ số giá trị cụ thể cần bấm máy tính! Tuy nhiên dạng cho α ∈ N thôi, x x2 x3 khai triển , hay (1±x)−1 , ta phải chuyển dạng 1+α +α(α−1) +α(α−1)(α−2) +· · · 1±x 1! 2! 3! (nhanh thôi), bấm máy Tuy nhiên, bạn nên nhớ dạng (1+x)α = A0α +A1α 3.5 Xét tính hội tụ dạng chuỗi ∞ − ∞ − ∞ (f (n) − g(n)) mà lim f (n) = lim g(n) = Cụ thể dạng n=0 n→∞ n→∞ Sau bước làm: ) Bước 1: xét trường hợp: 21 ∞ TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Nếu thuộc dạng ∞ − ∞, ta tìm cách gộp lại f (n) − g(n) = h(n), lim h(n) = n→∞ chuỗi chắn phân kì, không để bàn, thường lim h(n) = để tiếp n→∞ bước Tiếp theo sử dụng khai triển Maclaurin h(n) (hoặc đại lượng vô bé h(n)) để lấy VCB tương đương h(n): h(n) ∼ H(n) Nếu thuộc dạng − 0, ta sử dụng khai triển Maclaurin để gộp làm vô bé: f (n) ∼ F (n), g(n) ∼ G(n), f (n) − g(n) ∼ F (n) − G(n) = H(n) ∞ bn dạng cấp số nhân aq n Riemann ) Bước 2: tìm chuỗi số n=0 f α (n) cho lim n→∞ ∞ (k = 0; ∞), tính hội tụ (phân kì) chuỗi cho giống chuỗi bn n=0 ∞ ) Bước 3: xét tính hội tụ bn kết luận n=0 ∞ Ví dụ Xét tính hội tụ chuỗi: ln n n=0 − ln sin n5 Đây dạng ∞ − ∞ lim ln = lim ln sin = −∞ Ta có: n→∞ n→∞ n5 n   sin n 25  1  an = ln − ln sin = −ln    n5 n5 n5 Đặt = t t → n → ∞, sử dụng khai triển Maclaurin ta được: n5 t3 sin t t2 sin t t2 sin t = t − + o(t3 ) ⇒ = − + o(t2 ) ⇒ an = −ln ∼ −ln − t t ∞ an Do ta xét chuỗi bn với bn = t2 = , lim = n→∞ bn n5 ∞ Mặt khác n=0 n=0 n phân kì ⇒ chuỗi cho phân kì ∞ Ví dụ Xét tính hội tụ chuỗi: sin n=0 n − ln + n = t, dùng khai triển Maclaurin ta có: n t t2 sin t = t − + o(t3 ) ln(1 + t) = t − + o(t2 ) t3 t2 t2 t2 Suy an = t − + o(t ) − t − + o(t2 ) = + o(t2 ) ∼ 2 ∞ an Do ta chọn chuỗi bn với bn = t2 = lim = n→∞ bn n Chuỗi thuộc dạng − 0, đặt ∞ Mặt khác n=0 n=0 hội tụ ⇒ chuỗi cho hội tụ n2 ∞ Ví dụ Xét tính hội tụ chuỗi: n=0 n − ln t2 n+1 n t2 Đây chuỗi − 0: an = t − ln(1 + t) = + o(t2 ) ∼ , t = 2 n an Vậy ta chọn bn = ⇒ lim = n→∞ bn n 22 ∼ t2 H(n) =k bn TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí ∞ Chuỗi n=0 hội tụ ⇒ chuỗi cho hội tụ n2 PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4.1 PTVP không mẫu mực Loại đề thi thường giải cách chuyển dạng f (x, y) = g (x, y) ⇔ f (x, y) = g(x, y) + C Để nhóm gộp số hạng thành thế, nghĩ đến việc nhân (chia) vế với đại lượng cho thích hợp gọn Có nhóm hay đưa (uv) u v Ví dụ GPT xy − 2y = x3 yy với ĐK y(1) = √ 2; y (1) = Thấy bên trái có −2y , ta nghĩ nên nhân x vào vế để tạo 2xy = (x2 ) y : PT ⇔ x2 y − 2xy = x4 yy ⇔ y x2 − y (x2 ) = yy ⇔ (x2 )2 y x2 y2 = ⇔ y y2 = +C x2 Thay ĐK cho vào tìm C = 0, PT lại phân li biến số Ví dụ GPT xy − 2y = x3 y + x4 y với ĐK y(1) = y (1) = PT ⇔ 4.2 y x2 − y (x2 ) = y + xy ⇔ (x2 )2 y x2 = (xy) ⇔ y = xy + C x2 Đưa PTVP dạng đẳng cấp Khi đề yêu cầu đưa PTVP dạng đẳng cấp, trước hết ta quan tâm đến số hạng dạng xm y n , xử x r u r lí chúng trước, nghĩa ta đặt y = up xq cho xm y n = xm y n = Nếu thành u x phần khác chưa xuất dạng đẳng cấp, ta lại đặt tương tự (thay đổi p, q ), điều chỉnh đến Ví dụ Chuyển PT dạng đẳng cấp: y = y − yx3 x x4 u − 4xu Ta quan tâm đến số hạng yx3 , đặt y = yx3 = , ta tiếp tục tính y = , thay vào, u u u5 u − 4xu x 2u PT trở thành: = − chưa có dạng đẳng cấp u u x x x Do ta điều chỉnh y = k , cách mò, ta tìm k = 2, nghĩa đặt y = ⇒ y = u u u − 2xu u − 2xu x2 2u2 x x u , thay vào ta được: = − ⇔ − 2u = −2 Xong! u3 u3 u x u u x 4.3 Đưa PTVP dạng toàn phần Việc tìm hàm α(x, y) nhân vào vế PTVP P dx + Qdy = Giải tích đại cương đơn giản α chứa x chứa y , cách tìm đơn giản: ) Bước 1: tính f = Qx − Py ) Bước 2: biểu diễn f = P g(y) f = Qg(x) 23 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí ) Bước 3: hàm cần tìm α(x) = e− 4.4 g(x)dx α(y) = e g(y)dy Tách phân thức hữu tỉ nhanh Đây tất nhiên ứng dụng Laplace giải PTVP, bước làm cho bạn ngại làm tách ghép phân thức hữu tỉ s để biến đổi ngược lại thành t, lí lâu la dễ nhầm! Tuy nhiên có biết nghiên cứu kỹ thuật CASIO giải Toán THPT thấy bình thường, kỹ thuật tách phân thức CASIO có từ lâu bắt nguồn từ việc tính tích phân hàm hữu tỉ lớp 12 Sau toàn phương pháp học nghiên cứu thêm, từ đơn giản đến phức tạp: xk + ♥ Dạng 1: = b a 1 = k b d b + b)(cx + d) − ac xk + a c a c a − cxk + d axk + b (axk bc − ad d c d xk + c  − xk + =   bc − ad  d xk + c −   b k x + a Cái dễ nên tách tay cho nhanh! ♥ Dạng 2: x(ax2 (ax2 + bx + c) − x(ax + b) = = + bx + c) cx(ax2 + bx + c) c ax + b − x ax2 + bx + c Cái nên tách tay f (x) a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an a1 an = = + ··· + n n (x − x0 ) (x − x0 ) x − x0 (x − x0 )n (degf < n) ♥ Dạng 3: Sở dĩ xét degf < n giả sử degf = n + k ta làm cũ thôi, kết cộng thêm với gk (x) (đa thức có bậc k , hiểu chứ?) Cái tách tay không ổn, ta dùng CASIO để tách f (x) = a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an Dễ thấy dạng khai triển Taylor hàm đa thức f (x) x = x0 , áp dụng kỹ thuật khai triển đa thức phương pháp xấp xỉ máy tính CASIO ta tách khoảng 10 giây thực hành quen! 97er CASIO bắt đầu phát triển nên phần lớn chưa biết, đến lứa 98er thực "lên đỉnh"! Nói sơ qua: để khai triển đa thức dạng tắc (tức dạng a1 xn +a2 xn−1 +· · ·+an+1 ), ta nhập đa thức vào máy sau gán vào biến máy giá trị 1000 (hoặc 100, thường dùng biến X ), ta thu kết f (1000) Từ kết sử dụng xấp xỉ truy ngược lại −−−−−→ hệ số i = 1, n + Như ta muốn tách f (x) = a1 (x − x0 )n−1 + a2 (x − x0 )n−2 + · · · + an , đặt Y = x − x0 , ta f (Y + x0 ) = a1 Y n−1 + a2 Y n−2 + · · · + an Để xấp xỉ được, ta phải gán cho x giá trị 24 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí cho Y = 1000, ta gán X = 1000 + x0 , sau xấp xỉ Nói người đến kỹ thuật CASIO chẳng hiểu cả! Không sao, bạn nóng lòng muốn biết nhảy đến VD2 để xem chi tiết, lý thuyết có thôi! f (x) B1 B2 Bm = + + ··· + m 2 + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c) (ax + bx + c)m −−→ với degf < 2m, Bi = pi x + qi i = 1, m tam thức ax2 + bx + c vô nghiệm thực ♥ Dạng 4: (ax2 Vì Bi số nên làm f (x) được, trái lại ta sử dụng (x − x0 )n kỹ thuật chia đa thức có dư CASIO hay! Ta thấy: (ax2 f (x) B2 Bm = B1 + + ··· + m−1 + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c)m−1 Như B1 thương phép chia f (x) cho (ax2 + bx + c)m−1 , việc chia CASIO đơn giản (cũng phương pháp xấp xỉ, xem VD thấy!) ⇒ f (x) − B1 (ax2 + bx + c)m−1 B3 Bm = B2 + + ··· + m−2 (ax + bx + c) ax + bx + c (ax + bx + c)m−2 Như B2 thương phép chia f (x) − B1 (ax2 + bx + c)m−1 cho (ax2 + bx + c)m−2 Cứ ta tìm Bi Có điều cần ý đây: −−→ Các Bi i = 1, m phép chia bậc nhất, tam thức bậc (phát từ thực nghiệm!), ta thêm khâu nhỏ để khử nốt đưa dạng xác, đơn giản Khi chia phân thức mà hệ số bậc cao mẫu cần gán X = 1000 có thương ngay, hệ số số khác, ta phải nhân thêm kết chia với số (như VD4) Để đảm bảo xác dùng kỹ thuật chia, nên thử với X = 1000 X = 100, giá trị lớn dễ gây sai số, việc xấp xỉ với X = 100 tương tự X = 1000 Nếu kết giống yên tâm, lệch nên tin kết X = 100 Cách sử dụng phép chia nghĩ lúc viết tài liệu này, trước năm có cách khác thống trị, sử dụng nghiệm phức tam thức ax2 + bx + c tính giới hạn! Cách lằng nhằng, dễ sai, bạn không cần phải quan tâm làm f (x) (x − x0 + bx + c)m a1 an B1 Bm = + ··· + + + ··· + n 2 x − x0 (x − x0 ) ax + bx + c (ax + bx + c)m −−→ với Bi = pi x + qi i = 1, m degf < n, tam thức ax2 + bx + c vô nghiệm thực ♥ Dạng 5: )n (ax2 25 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Cái khó nè! Tất nhiên phải cần CASIO nói, bạn phải luyện tập nhiều trường hợp trên! f (x) F (x) ta , có dạng giống phân thức mục 3, (ax2 + bx + c)m (x − x0 )n f (x) đó, F (x) đa thức, phân thức Về mặt khai triển Tay2 (ax + bx + c)m lor, ta viết F (x) dạng a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an−1 (x − x0 ) + an , không Nếu đặt F (x) = phải đa thức, nên dấu "=", mà F (x) ≈ a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an−1 (x − x0 ) + an , kết sai! Đúng F (x) sau: F (x) = a1 (x − x0 )n−1 + · · · + an + (x − x0 )n ⇒ an = F (x0 ) ⇒ an−1 = lim x→x0 ax2 B1 Bm + ··· + + bx + c (ax + bx + c)m F (x) − an = F (x0 ) x − x0 Liệu có kết quả: an−2 = F (x0 ); ; an−k = F (k) (x0 )? Khi đăng phương pháp Facebook, có kết ấy, nhận thấy có tài liệu khác đưa an−k = F (k) (x0 ), thực nghiệm sau cho thấy việc tìm an−k cách hoàn toàn sai, với an an−1 mà Cái sai khó phát hiện, không khó giải thích thuộc chất đạo hàm, cụ thể sau: an−2 F (x) − an−1 (x − x0 ) − an = lim = lim x→x0 x→x0 (x − x0 )2 Nhiều tác giả lầm tưởng lim x→x0 F (x) − an − an−1 F (x0 ) − an−1 x − x0 = lim x→x0 x − x0 x − x0 F (x0 ) − an−1 F (x) − an−1 = F (x0 ) thay F (x0 ) = x − x0 x − x0 Vậy ta tìm an an−1 dễ dàng cách tính F (x0 ) F (x0 ), việc tính F (x0 ) giao cho máy chức tính đạo hàm điểm (nhấn SHIFT phím tích phân thấy) Các hệ số lại ta đành phải tính lim theo cách thủ công thôi: an−2 = lim x→x0 f (x) an an−1 − − (x − x0 )n (ax2 + bx + c)m (x − x0 )n (x − x0 )n−1 (x − x0 )n−2 a1 = lim x→x0 (x − x0 f (x) an a2 − − ··· − m n + bx + c) (x − x0 ) (x − x0 )2 )n (ax2 (x − x0 ) Để tính lim CASIO bạn nhập biểu thức gán vào biến X = x0 + 10−8 (hoặc 10−5 ) để 26 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí biểu thị X "rất gần" với x0 , kết thu máy làm tròn (chẳng hạn 2, 0000000012 hiển thị 2), không làm tròn ta làm thay nó, giới hạn cần tính Ở dòng máy VINACAL có chức tính lim nên tiện lợi nhiều, không cần phải suy nghĩ gì! Còn CASIO, tính giới hạn bị sai, lí "sai số" thiết kế giá trị X nhập vào gần đúng! Về việc xử lí không nói thêm nữa, khiến bạn thấy rối rắm nghĩ dùng CASIO thêm thời gian, quan tâm đến kỹ thuật CASIO luyện thi ĐH biết thôi! Bây −−→ tìm Bi i = 1, m Để tìm Bi , ta sử dụng kỹ thuật chia có dư mục 4, đặt G(x) = f (x) , ta được: (x − x0 )n G(x) a1 an − (ax2 + bx + c) + ··· + m−1 + bx + c) x − x0 (x − x0 )n B2 Bm = B1 + + ··· + ax + bx + c (ax2 + bx + c)m−1 (ax2 ⇒ B1 thương phép chia có dư: G(x) − (ax2 + bx + c) (ax2 + bx + c)m−1 a1 an + ··· + x − x0 (x − x0 )n Tương tự: G(x) a1 an − (ax2 + bx + c)2 + ··· + (ax2 + bx + c)m−2 x − x0 (x − x0 )n B3 Bm = B2 + + ··· + ax + bx + c (ax + bx + c)m−2 − B1 (ax2 + bx + c) Từ ta lại tìm B2 , trình diễn Nhận xét Phép tính nhìn dài phức tạp, khó nhớ, dễ hiểu, cần luyện tập vài thạo! Nếu không nhập hết (lỗi tràn hình), ngắt ra, đừng ngắt nhiều lần quá, sai số gộp lại lớn Cũng mục 4, trước có cách sử dụng nghiệm phức tam thức ax2 + bx + c tính giới hạn, dễ sai Đó tất lý thuyết! Nhìn tổng quát ngại đọc VD thấy dễ hiểu, kiến thức sơ cấp! Điều thứ ta cần linh hoạt sử dụng CASIO, lý thuyết cách hoàn toàn giải toán, thực tế có đường tắt nhanh (xem VD!) Điều cuối phải lưu tâm: tính toán cho cẩn thận! Ví dụ Khai triển đa thức f (x) = (x2 + 3x + 2)(2x + 1)2 − (x − 1)(x2 − x + 3) dạng tắc 27 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí VD mang tính làm quen với việc khai triển đa thức phương pháp xấp xỉ CASIO cho người chưa biết thôi! Đầu tiên nhập biểu thức vào máy: (X + 3X + 2)(2X + 1)2 − (X − 1)(X − X + 3) (gọi tắt f (X)) Bấm CALC , gán X = 1000, bấm = , ta kết quả: K1 = 4, 015023007.1012 Vì 1012 = 10004 = X nên ta xấp xỉ: K1 ≈ 4.1012 = 4X , quay lại biểu thức nhập bổ sung thành f (X) − 4X , bấm = thu K2 = 1, 502300701.1010 Vì 1010 = 10.10003 = 10X nên ta dịch dấu phẩy cho thành 109 xấp xỉ: K2 = 15, 02300701.109 ≈ 15.109 = 15X , quay lại biểu thức bổ sung tiếp thành f (X) − 4X − 15X , bấm = thu K3 = 23007005 Các bạn chưa quen làm tiếp trên: K3 ≈ 23.10002 = 23X , ngại gõ thêm nên làm đến cuối luôn: K3 = 23.10002 + 7.1000 + = 23X + 7X + Việc thử lại quan trọng, bạn nhập toàn f (X) − 4X − 15X − 23X − 7X − gán X = π X = e (2 số siêu việt cho sẵn máy, lí phải siêu việt không cần hiểu đâu!), kết khai triển Vậy f (X) − 4X − 15X = 23X + 7X + 5, kết quả: f (x) = 4x4 + 15x3 + 23x2 + 7x + Nếu thành thục, tất bước bấm 10 giây mà thôi! Vậy không dùng X = 1000 mà dùng X = 100 sao? Như nói, tương tự thôi! Nhập biểu thức đề cho, gán X = 100, kết quả: K1 = 415230705 Vì X = 100 nên ta phân tích theo 100: K1 ≈ 4.108 = 4.1004 = 4X Sửa biểu thức, kết K2 = 15230705, K1 1004 nên K2 ta phân tích đến 1003 thôi: K2 ≈ 15.106 = 15.1003 = 15X Giống kết với X = 1000 chứ? Các bạn tự làm tiếp nhé! Ta rút nhận xét là: với X = 1000 hệ số phân tách rõ ràng (tổng quát X số tròn chục, số số nhiều dễ phân tách hệ số đa thức) Tuy nhiên giá trị lớn, sai số tính toán máy lớn hệ số bậc thấp dễ sai, ưu nhược điểm cách gán 100 1000 Sang VD3 bạn thấy việc sử dụng X = 100 có lợi hơn, nói chung ta nên dùng 2, so sánh kết với để đảm bảo kết Ví dụ Tách phân thức f (x) = x5 + 2x4 + 2x + (x − 1)4 28 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Bậc tử lớn bậc mẫu bậc nên kết có nhị thức bậc đứng riêng: f (x) = ax + b + a1 a2 a3 a4 + + + x − (x − 1) (x − 1) (x − 1)4 Nhưng dù ta kệ cmn cần khai triển Taylor tử theo (x − 1) xong hết! Nhập tử vào máy: T = X + 2X + 2X + 1, bấm CALC , gán X cho X − = 1000, gán X = 1001, bấm = ta kết K1 = 1, 007018022.1015 Việc khai triển bạn làm quen VD1 nên nhanh thôi: K1 ≈ 10005 = (X − 1)5 Sửa biểu thức: T − (X − 1)5 ⇒ K2 = 7, 018022015.1012 ≈ 7.10004 = 7(X − 1)4 Sửa tiếp: T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 ⇒ K3 = 1, 8022015.1010 = 18, 022015.109 ≈ 18.10003 = 18(X − 1)3 Tiếp tục: T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 − 18(X − 1)3 ⇒ K4 = 22015000 = 22.10002 + 15.1000 = 22(X − 1)2 + 15(X − 1) Thử lại, nhập toàn T − (X − 1)5 − 7(X − 1)4 − 18(X − 1)3 − 22(X − 1)2 − 15(X − 1) cho X = π xem kết có không Kết 6, đáp án cuối là: (x − 1)5 + 7(x − 1)4 + 18(x − 1)3 + 22(x − 1)2 + 15(x − 1) + (x − 1)4 18 22 15 =x+6+ + + + x − (x − 1) (x − 1) (x − 1)4 f (x) = Ví dụ Tách phân thức f (x) = x7 − x6 + x4 + x − (x2 + x + 1)3 Ta giả sử phân tích tử thức thành: T (x) = B1 (x2 + x + 1)3 + B2 (x2 + x + 1)2 + B3 (x2 + x + 1) + B4 T (x) B2 B3 B4 = B1 + + + nghĩa B1 thương + x + 1) x + x + (x + x + 1) (x + x + 1)3 phép chia có dư T (x) cho (x2 + x + 1)3 Khi đó: (x2 Các bạn nhớ sử dụng kỹ thuật chia có dư CASIO, nên làm lần cho bước chia với X = 1000 X = 100 X7 − X6 + X4 + X − Bấm CALC cho X = 1000 (X + X + 1)3 kết 996, 006 Ta lấy phần nguyên thương (phần thập phân gây dư), ta Để tìm thương trên, trước hết ta nhập phép chia: được: 996 = 1000 − = X − = B1 Với X = 100 ta thu phần nguyên 96 = X − 29 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí T (x) − (x − 4)(x2 + x + 1)3 B3 B4 = B2 + + ⇒ B2 thương phép chia 2 (x + x + 1) x +x+1 (x + x + 1)2 T (x) − (x − 4)(x2 + x + 1)3 cho (x2 + x + 1)2 ⇒ X − X + X + X − − (X − 4)(X + X + 1)3 Bấm = thu (X + X + 1)2 kết 6005, 99201 Lấy phần nguyên: 6005 = 6000 + = 6X + = B2 (cũng với X = 100) Quay lại biểu thức sửa thành: X − X + X + X − − (X − 4)(X + X + 1)3 − (6X + 5)(X + X + 1)2 X2 + X + Thương phép chia B3 , bấm = nhận 993002, 988 Lấy phần nguyên: 993002 = Tiếp tục sửa biểu thức: X − 7X + (xấp xỉ VD trước) Tuy nhiên lần với X = 100 ta lại 9300, 029502 nghĩa 9300 = X − 7X không giống trên, ta ưu tiên lấy B3 = x2 − 7x X nhỏ sai số thấp Không sao, nỗi phân vân thử lại sáng tỏ vào khâu cuối! Cuối ta rút gọn: X − X + X + X − − (X − 4)(X + X + 1)3 − (6X + 5)(X + X + 1)2 − (X − 7X)(X + X + 1) (với X = 100), ta 298 = 300 − = 3X − Thử lại biểu thức với X = π , thấy kết trùng với 3π − 2, ta làm đúng! Kết luận: x7 − x6 + x4 + x − (x2 + x + 1)3 (x − 4)(x2 + x + 1)3 + (6x + 5)(x2 + x + 1)2 + (x2 − 7x)(x2 + x + 1) + 3x − = (x2 + x + 1)3 6x + x − 7x 3x − =x−4+ + + 2 x + x + (x + x + 1) (x + x + 1)3 Thế gọi tách rồi, nên tách nốt x2 − 7x thành phân thức nhỏ (trên (x2 + x + 1)2 tử có tối đa bậc nhất), triệt để hơn: x2 − 7x (x2 + x + 1) − 8x − 1 8x + = = − 2 2 (x + x + 1) (x + x + 1) x + x + (x + x + 1)2 Cuối thì: x7 − x6 + x4 + x − 6x + 8x + 3x − =x−4+ − + 2 (x + x + 1) x + x + (x + x + 1) (x + x + 1)3 Ví dụ x(4) + 2x + x = e2t , x(0) = x (0) = x (0) = x(3) (0) = Sau lấy Laplace vế với giả sử L{x(t)}(s) = F (s) thay giá trị ban đầu, ta được: F (s) = Ta tách thành: F (s) = (s − 2)(s2 + 1)2 a B1 B2 + + s − s2 + (s2 + 1)2 30 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí 1 , bấm CALC cho X = ta a = + 1) 25 s2 + B2 ⇒ − = B1 + , B1 thương phép chia có dư: (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) s +1 Nhập (X s2 + − (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) Nhập X2 + − (X − 2)(X + 1) 25(X − 2) × 25, bấm CALC cho X = 1000 ta −1002, 00501 Lấy phần nguyên: −1002 = −1000 − = −X − ⇒ B1 = − Sở dĩ phải nhân 25 quy đồng s+2 25 s2 + − lên ta hệ số (s − 2)(s2 + 1) 25(s − 2) mẫu 25 Để tìm B2 , ta có: s2 + B2 − − B1 = , ta sửa biểu thức thành: (s − 2)(s + 1) 25(s − 2) s +1 X2 + X +2 − + (X − 2)(X + 1) 25(X − 2) 25 Bấm = thu −200, = − Vậy: F (s) = (X + 1) 1002 X +2 =− = B2 5 s+2 s+2 − − 25(s − 2) 25(s + 1) 5(s2 + 1)2 ⇒ x(t) = L−1 {F (s)}(t) 1 s = L−1 − L−1 − L−1 25 s−2 25 s +1 25 e2t t t = − + sin t + − cos t 25 10 25 25 s2 +1 − L−1 (s2 s + 1)2 − L−1 (s2 + 1)2 Ví dụ y (4) − 2y (3) − 8y − 30y − 25y = et , y(0) = 1, y (0) = 2, y (0) = 3, y (0) = Câu đề thi cuối kì KSTN K60! Sau lấy Laplace vế với giả sử L{y(t)}(s) = F (s) thay giá trị ban đầu, ta được: (s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25)F (s) = + s3 − 9s − 48 s−1 Nếu chia xuống ta tách phân thức riêng biệt, thành phần giống cuối phải gộp lại, ta quy đồng bên phải lên trước: 1 + (s − 1)(s3 − 9s − 48) s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 + s3 − 9s − 48 = = s−1 s−1 s−1 (Bỏ 10 giây quy đồng CASIO không tốn thời gian nhỉ!) Tiếp theo phân tích s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25 thành nhân tử: nhập đa thức vào máy SHIFT CALC (Solve) để tìm nghiệm nó, nghiệm −1 5, s4 − 2s3 − 8s2 − 30s − 25 = (s + 1)(s − 5)f (s) 31 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Sửa lại: X − 2X − 8X − 30X − 25 , cho X = 1000 ta 1002005 = X + 2X + = f (s) (X + 1)(X − 5) Ok! Bây ta chia xuống: F (s) = Sau tách ta được: F (s) = s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 (s − 1)(s + 1)(s − 5)(s2 + 2s + 5) a1 a2 a3 B + + + s − s + s − s + 2s + Để tìm a1 , ta nhập F (s) vào máy, bỏ (s − 1) mẫu đi, nghĩa nhập: X − X − 9X − 39X + 49 (X + 2X + 5)(X + 1)(X − 5) (Nên nhập tam thức bậc đằng trước để lúc sửa cho dễ) Bấm CALC cho X = 1, ta a1 = − 64 Để tìm a2 , tương tự, ta lại bỏ (s + 1) mẫu đi, tức sửa biểu thức thành: X − X − 9X − 39X + 49 (X + 2X + 5)(X − 1)(X − 5) Cho X = −1 thu a2 = Tìm a3 , ta lại vứt (s − 5) đi: 27 16 X − X − 9X − 39X + 49 43 , cho X = thu a3 = (X + 2X + 5)(X − 1)(X + 1) 320 Để tìm B , ta có: B s4 − s3 − 9s2 − 39s + 49 27 43 = + − − 2 s + 2s + (s − 1)(s + 1)(s − 5)(s + 2s + 5) 64(s − 1) 16(s + 1) 320(s − 5) Do ta sửa biểu thức lần cuối thành: X − X − 9X − 39X + 49 27 43 + − − 2 (X + 2X + 5)(X − 1)(X − 5) 64(X − 1) 16(X + 1) 320(X − 5) (X + 2X + 5) (Nếu biểu thức tràn hình bạn bẻ đôi tính lần) 12673 , dù biết B = px + q 160 nhị thức bậc dùng xấp xỉ với số xấu không an toàn, ta thay giá trị Cho X = 1000 số xấu: −804, 83125, tính lại với X = 100, ta − nhỏ giải hệ bậc ẩn p, q : + Thay X = ta 227 = p.0 + q = q 160 + Thay X = ta − 31 227 129 = 2p + ⇒p=− 160 160 160 Kết luận: 27 43 129s − 227 − + − 16(s + 1) 64(s − 1) 320(s − 5) 160(s2 + 2s + 5) 107s − 109 43 129s − 227 = + − 64(s2 − 1) 320(s − 5) 160(s2 + 2s + 5) F (s) = 32 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí ⇒ y(t) = L−1 {F (s)} 107 −1 s 109 −1 43 −1 129 −1 s+1 = L − L + L − L 64 s2 − 64 s2 − 320 s−5 160 (s + 1)2 + 89 107 109 43 5t 129 −t 89 + L−1 = cosh t − sinh t + e − e cos 2t + e−t sin 2t 80 (s + 1)2 + 64 64 320 160 80 Ví dụ Tính L−1 s2 − s + (s − 2)3 (s2 − 4s + 13)2 s+1 + (s − 1)(s2 − 4s + 29) (t) Việc tách thành biết: F1 = a1 a2 a3 B1 B2 s2 − s + = + + + + 2 (s − 2) (s − 4s + 13) s − (s − 2) (s − 2) s − 4s + 13 (s − 4s + 13)2 F2 = s+1 a C = + (s − 1)(s2 − 4s + 29) s − s2 − 4s + 29 Tìm a3 : nhập Vì a2 = X2 − X + , cho X = a3 = 2 (X − 4X + 13) 81 s2 − s + (s2 − 4s + 13)2 , ta nhập: s=2 X2 − X + (X − 4X + 13)2 d dx , bấm = a2 = x=2 27 Để tìm a1 , ta tính giới hạn: lim s→2 s2 − s + − − 2 (s − 2) (s − 4s + 13) 27(s − 2) 81(s − 2)3 (s − 2) hay lim s→2 s2 − s + − − 2 (s − 2) (s − 4s + 13) 27(s − 2) 81(s − 2)2 Nhập biểu thức (với X thay cho s), cho X = + 10−8 ta 0, cho tiếp X = + 10−5 ta −0, 001372, rõ ràng giới hạn khác xác định số xác, phải đây? Không sao! Ta nhận thấy quy đồng biểu thức cần tính lim lên, hệ số bậc cao mẫu 81.27 = 2187, kết phân số khó xác định, để triệt mẫu, ta bổ sung thêm sau sau nhập biểu thức cần tính lim trên: X2 − X + − − 2 (X − 2) (X − 4X + 13) 27(X − 2) 81(X − 2)2 × 81 × 27 Cho X = + 10−5 , thu −3, 000564, làm tròn kết thành −3, từ đó, giới hạn cần tính là: −3 a1 = =− 81.27 729 Để tìm B2 = p2 x + q2 , ta có: B2 (s0 ) = s2 − s + (s − 2)3 s0 nghiệm s2 − 4s + 13 = 0, s=s0 s0 = ± 3i X2 − X + , cho X = − 3i (X − 2)3 4 X = + 3i thu kết tương ứng: − + i → A, − − i → B 27 27 Bấm MODE chuyển sang MODE số phức, nhập 33 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí Do p2 = B−A 19 = − ⇒ q2 = A − Ans(2 − 3i) = − (2 + 3i) − (2 − 3i) 81 81 Tìm B1 : ta tính biểu thức sau với s = 1000: s2 − s + 1 4s + 19 + − − + 2 (s − 2) (s − 4s + 13) 729(s − 2) 27(s − 2) 81(s − 2) 81(s − 4s + 13)2 Thu (s2 − 4s + 13) 971 s − 29 = = B1 , vậy: 729 729 F1 = − 1 s − 29 4s + 19 + + + − 729(s − 2) 27(s − 2)2 81(s − 2)3 729(s2 − 4s + 13) 81(s2 − 4s + 13)2 Tiếp tục: tìm a, ta gán X = vào X2 X +1 , a = − 4X + 29 13 s+1 − (s − 1)(s2 − 4s + 29) 13(s − 1) 984 s − 16 − =− = C , vậy: 13 13 Do C = F2 = (s2 − 4s + 29), nhập biểu thức này, cho X = 1000 ta s − 16 − 13(s − 1) 13(s − 4s + 29) Việc tính L−1 {F1 + F2 }(t) bạn làm tiếp nhé! Nói tóm lại, sử dụng phương pháp để lập trình chương trình phân tích phân thức hữu tỉ máy tính, bạn đam mê Program Language làm thử xem sao! 34 TopTaiLieu.Com | Chia Sẻ Tài Liệu Miễn Phí TÀI LIỆU THAM KHẢO: Lý thuyết chuỗi - PGS.TS Lê Hoàn Hóa Bài tập giải sẵn giải tích II III - Trần Bình Laplace Tranform in Mathematica - Đào Anh Pha Giải tích hàm nhiều biến (những nguyên lí tính toán thực hành) - Viện Toán học 35 ... cứu kỹ thuật CASIO giải Toán THPT thấy bình thường, kỹ thuật tách phân thức CASIO có từ lâu bắt nguồn từ việc tính tích phân hàm hữu tỉ lớp 12 Sau toàn phương pháp học nghiên cứu thêm, từ đơn giản... 0) Câu đề thi cuối kì KSTN K59! Ta giải cách, xem bạn thấy cách đơn giản thông minh nhất! Cách Tính vi phân Ta có: y = I= √ √ −x2 + 4x − ⇒ dy = √ −x2 + 4x − x 4x − 3dx + −x + dx, thay vào ta được:... 4.3 Đưa PTVP dạng toàn phần Việc tìm hàm α(x, y) nhân vào vế PTVP P dx + Qdy = Giải tích đại cương đơn giản α chứa x chứa y , cách tìm đơn giản: ) Bước 1: tính f = Qx − Py ) Bước 2: biểu diễn