CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN I.. cứ đạo hàm bao h hết dạng vô định thì thôi nhé em!. Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé : ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao.. lim ?→?0?? =0 thì fx gọi là vcb + vô cùng
Trang 1CÁC KỸ THUẬT TÍNH GIỚI HẠN
I Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng ∞∞ hoặc 𝟎𝟎 khi x→ x0 (∞)ta dùng quy tắc l'Hopital
L=𝑙𝑖𝑚đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử = cứ đạo hàm bao h hết dạng vô định thì thôi nhé em!
II Lý thuyết về các vô cùng bé và các vô cùng lớn:
+) vô cùng bé ( khi x→x0 ( x0≠ ∞) )
sinu~𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑠𝑖𝑛𝑢~𝑎𝑟𝑐𝑡𝑎𝑛𝑢~𝑢 khi u→ 0
1-𝑐𝑜𝑠2𝑢~𝑢2
2 khi u→ 0
(1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 khi u→ 0
Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Khi tính giới hạn nếu x không tiến ra vô cùng thì ta cố gắng sử dụng tối đa Tuyệt chiêu thay vô cùng bé
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng bé : ta ngắt bỏ vô cùng bé bậc cao ( lim
𝑥→𝑥0𝑓(𝑥) =0 thì f(x) gọi là vcb) +) vô cùng lớn
Khi x→ ∞ thì thằng nào tiến ra vô cùng nhanh hơn thì giữ lại , thằng nào tiến ra vô cùng chậm hơn thì bỏ
Quy tắc ngắt bỏ vô cùng lớn: ta ngắt bỏ vô cùng lớn bậc thấp ( lim
𝑥→∞𝑓(𝑥) =∞ thì f(x) gọi là vcl)
VD : lim
𝑥→∞
𝑥100+𝑥50+1
𝑥 100 +𝑥 99 +100
Phân tích : rõ dàng khi x→ ∞ khi tử số 𝑥100 tiến ra vô cùng nhanh nhất do đó ta gắt bỏ các thành phần
khác đi thì tử số tương đương với 𝑥100 , 𝑙ậ𝑝 𝑙𝑢ậ𝑛 ℎ𝑜à𝑛 𝑡𝑜à𝑛 𝑡ươ𝑛𝑔 𝑡ự 𝑡𝑎 𝑐ũ𝑛𝑔 𝑐ó 𝑚ẫ𝑢 𝑠ố
tương đương với 𝑥100
Như vậy L= lim
𝑥→∞
𝑥100
𝑥 100 =1
I Sử dụng cách diễn giải trên để xử lý các bài tập
Câu 13 : tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
√𝑐𝑜𝑠𝑥
3 − √𝑐𝑜𝑠𝑥2
𝑠𝑖𝑛 2 𝑥 =lim
𝑥→0
√𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1
Trang 2khi x→ 0 thì sinx~𝑥 và cosx-1~ − 𝑥2/2 do đó
L=lim
𝑥→0
√1−𝑥2
2
3
− √1−𝑥2
2 2
𝑥→0
( √1−𝑥2
2
3
−1)−( √1−𝑥2
2
2
−1)
𝑥→0
(1−𝑥2
2 )
1
3 −1−[(1−𝑥2
2 )
1 2
−1]
Khi u→ 0 (1 + 𝑢)𝛼 -1 ~ 𝛼𝑢 do đó L== lim
𝑥→0
−1.𝑥2 3.2 −−1.𝑥2
2.2
𝑥 2 == lim
𝑥→0
−1.
3.2 −−1.
2.2
1 =121
Câu 14 : tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥√𝑐𝑜𝑠2𝑥
𝑥 2 =lim
𝑥→0
1−(𝑐𝑜𝑠𝑥−1+1)√(𝑐𝑜𝑠2𝑥−1+1)
𝑥→0
1−(1−𝑥2
2 )[(1−(2𝑥)2
2 )
1
2 −1+1]
𝑥→0
1−(1−𝑥2
2 )(1−1.(2𝑥)2
2.2 )
𝑥 2
=lim
𝑥→0
1−(1−𝑥2
2 )(1−𝑥2)
𝑥 2 ( đến đây có dạng 𝟎𝟎 => L’Hopital dùng 2 lần)
Em nhân ra rồi tính đạo hàm 2 lần nhé ,sau đó thay x=0 vào ta đc kết quả nhé!
Câu 15 : tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠𝑥.𝑐𝑜𝑠2𝑥.𝑐𝑜𝑠3𝑥
1−𝑐𝑜𝑠𝑥
Sau khi biến đổi tích thành tổng ta được
L=lim
𝑥→0
1−𝑐𝑜𝑠6𝑥+1−𝑐𝑜𝑠4𝑥+1−𝑐𝑜𝑠2𝑥
Sử dụng 1-𝑐𝑜𝑠2𝑢~𝑢2
2 khi u→ 0 ta được
L=lim
𝑥→0
(6𝑥)2
2 +(4𝑥)2
2 +(2𝑥)2
2
4.𝑥2
2
= lim
𝑥→0
(6)2
2 +(4)2
2 +(2)2
2
4.1
2
=14 Câu 16 : tính giới hạn
L= lim
𝑥→∞𝑥2(1 − 𝑐𝑜𝑠1
𝑥)
Rõ dàng khi 𝑥 → ∞ thì 1
𝑥 → 0 do đó đủ điều kiện áp dụng vô cùng bé tương đương
Khi đó L= lim
𝑥→∞𝑥2[(
1
𝑥 )2
2 ] = lim
𝑥→∞
1
2=1
2
Câu 17 : tính giới hạn
L= lim
𝑥→𝜋+
2
𝑐𝑜𝑠𝑥
√(1−𝑠𝑖𝑛𝑥) 2
𝑥→𝜋+
2
cos (𝑥−𝜋2+𝜋2)
√[1−sin (𝑥−𝜋
2 +𝜋
2 )] 2
𝑥→𝜋+
2
−sinx (𝑥−𝜋2)
√[1−cos (𝑥−𝜋
2 )] 2
𝑥→𝜋+
2
− (𝑥−𝜋2) [(𝑥−
𝜋
2) 2
2 ]^2
3
= lim
𝑥→𝜋+
2
− (2)23
(𝑥−𝜋
2 )
1 3 =-∞
Trang 3Câu 18 : tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
√1+𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥−1
𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥
Áp dụng sinx~𝑥 khi x→ 0
L=lim
𝑥→0
(1+𝑥2)12 −1
𝑥 2 =lim
𝑥→0
𝑥2 2
𝑥 2 = lim
𝑥→0
1 2
1 =12 Câu 19 : tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
√1−𝑡𝑎𝑛𝑥−√1+𝑡𝑎𝑛𝑥
𝑠𝑖𝑛2𝑥
Áp dụng tanx~𝑥 và sin2x~2 𝑥 khi x→ 0
Ta được L=lim
𝑥→0
√1−𝑥−√1+𝑥 2𝑥 ( liên hợp )= lim
𝑥→0
(1−𝑥)−(1+𝑥) 2𝑥(√1−𝑥+√1+𝑥) =lim
𝑥→0
−1 (√1−𝑥+√1+𝑥)= −12 Câu20 : tính giới hạn
L=lim
𝑥→𝜋
2
(2𝑥𝑡𝑎𝑛𝑥 − 𝜋
𝑐𝑜𝑠𝑥) =lim
𝑥→𝜋
2
[2𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑥 −𝜋
2+𝜋
cos (𝑥−𝜋
2 +𝜋
2 )] =lim
𝑥→𝜋
2
[ −2𝑥
tan (𝑥−𝜋
2 )+ 𝜋
sin (𝑥−𝜋
2 )] Thay vô cùng bé tương đương
=lim
𝑥→𝜋2(−2𝑥
𝑥−𝜋
2
+ 𝜋
𝑥−𝜋
2
) =lim
𝑥→𝜋2[−2(𝑥−
𝜋
2 ) 𝑥−𝜋
2
] =lim
𝑥→𝜋2−2 =-2 Câu 21 : tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
ln (1+3𝑥𝑠𝑖𝑛𝑥)
𝑡𝑎𝑛 2 𝑥
Thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Khi đó
L=lim
𝑥→0
ln (1+3𝑥2)
𝑥 2 =lim
𝑥→0
3𝑥2
𝑥 2 = lim
𝑥→0 3 = 3 Câu 22: tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
ln(1+𝑥−3𝑥2)
ln(1+3𝑥−4𝑥 2 )
Thay vô cùng bé tương đương :Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Trang 4Khi đó L=lim
𝑥→0
𝑥−3𝑥2
3𝑥−4𝑥 2 = lim
𝑥→0
1−3𝑥 3−4𝑥 =13
Câu 23: tính giới hạn
L= lim
𝑥→∞
ln (𝑥2−𝑥+1)
ln (𝑥 10 +𝑥 5 +1)
Thay vô cùng lớn tương đương
Tử số ~ ln(𝑥2) = 2𝑙𝑛𝑥
Mẫu số ~ ln(𝑥10) = 10𝑙𝑛𝑥
Khi đó L= lim
𝑥→∞
2𝑙𝑛𝑥
10𝑙𝑛𝑥 = lim
𝑥→∞
2
10=15 Câu 24: tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
ln (𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥)
ln (𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥) =lim
𝑥→0
ln (𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1+1)
ln (𝑐𝑜𝑠𝑏𝑥−1+1)
Vì cosax-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0 , tương tự cosbx-1→ 0 𝑘ℎ𝑖 𝑥 → 0
Do đó áp dụng thay vô cùng bé tương đương : Ln(1+u) ~ 𝑢 khi u→ 0
Ta được L= lim
𝑥→0
𝑐𝑜𝑠𝑎𝑥−1 c𝑜𝑠𝑏𝑥−1 =lim
𝑥→0
−(𝑎𝑥)2 2
−(𝑏𝑥)2 2
=lim
𝑥→0
−(𝑎)2 2
−(𝑏)2 2
=𝑎2
𝑏 2
Câu 25: tính giới hạn
L=lim
𝑥→0
8𝑥−7𝑥
6 𝑥 −5 𝑥
(có dạng 𝟎𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
L=lim
𝑥→0
8 𝑥 𝑙𝑛8−7 𝑥 𝑙𝑛7
6 𝑥 𝑙𝑛6−5 𝑥 𝑙𝑛5 = lim
𝑥→0
1.𝑙𝑛8−1.𝑙𝑛7 1.𝑙𝑛6−1.𝑙𝑛5=lim
𝑥→0
𝑙𝑛8−.𝑙𝑛7 𝑙𝑛6−.𝑙𝑛5 Câu 26: tính giới hạn
L=lim
𝑥→1
𝑥 𝑥 −1
𝑥𝑙𝑛𝑥
(có dạng 𝟎𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
Trước hết anh nói về cách tính đạo hàm của 𝑥𝑥
Đặt y=𝑥𝑥 𝑚ụ𝑐 𝑡𝑖ê𝑢 𝑐ủ𝑎 𝑡𝑎 𝑙à đ𝑖 𝑡í𝑛ℎ 𝑦′=> ( lấy loganepe 2 vế ) lny=xlnx
Bây giờ đạo hàm 2 vế ta được 𝑦′
𝑦 = (xlnx)’ = lnx+1
Trang 5Do đó y’=y.(lnx+1)= 𝑥𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1) hay (𝑥𝑥 )′ = 𝑥𝑥(𝑙𝑛𝑥 + 1)
Áp dụng L’Hopital L=lim
𝑥→1
(𝑥 𝑥 −1)′
(𝑥𝑙𝑛𝑥)′ =lim
𝑥→1
𝑥 𝑥 (𝑙𝑛𝑥+1) (𝑙𝑛𝑥+1) =lim
𝑥→1𝑥𝑥 = 1 Câu 27: tính giới hạn
L=lim
𝑥→0(1+𝑡𝑎𝑛𝑥1+𝑠𝑖𝑛𝑥)
1 𝑠𝑖𝑛3𝑥
Tuyệt chiêu tính giới hạn dạng L= lim
𝑥→𝑥0[𝑓(𝑥)]𝑔(𝑥) ( với x0 có thể bằng 1 số hoặc bằng vô cực ) Thì L=𝑒𝑥→𝑥0lim 𝑔(𝑥).ln [𝑓(𝑥)]
=……… ( chú ý 𝑓(𝑥)∞ mà f(x) tiến đến 1 là dạng vô định )
Áp dụng Vào bài toán : trước hết ta thay vô cùng bé tương đương tanx~𝑥 và sinx~𝑥 khi x→ 0
L=lim
𝑥→0(1+𝑥
1+𝑥)1𝑥 =𝑒𝑥→0lim
1
𝑥 ln (1+𝑥
1+𝑥 )
(có dạng 𝟎
𝟎 => L’Hopital dùng 1 lần)
=𝑒𝑥→0lim
[ln(1+𝑥1+𝑥)]′
𝑥′ =𝑒𝑥→0lim
[ln(1+𝑥1+𝑥)]′
𝑥′ =𝑒𝑥→0lim
𝑜
1=𝑒𝑜=1
Câu 28: tính giới hạn
L= lim
𝑥→∞(𝑠𝑖𝑛1
𝑥+ 𝑐𝑜𝑠1
𝑥)𝑥
Trước hết ta thay vô cùng bé tương đương ta được :
L= lim
𝑥→∞(1
𝑥+ 1 − 1
2𝑥 2)𝑥 =𝑒𝑥→∞lim𝑥.ln (1
𝑥 +1− 1
2𝑥2 )
=𝑒𝑥→∞lim𝑥 (1
𝑥 − 1
2𝑥2 )
= 𝑒𝑥→∞lim(1−1
2𝑥 )
= 𝑒1=e
Vì ln (1𝑥+ 1 − 1
2𝑥 2) ~1
𝑥− 1
2𝑥 2
Câu 29: tính giới hạn
L= lim
𝑥→∞(𝑐𝑜𝑠1
𝑥)𝑥2
Trước hết thay vô cùng bé tương đương
L = lim
𝑥→∞(1 − 1
2𝑥 2)𝑥2 = 𝑒lim𝑥𝑥→∞2.ln (1− 1
2𝑥2 )
=𝑒lim𝑥𝑥→∞2.(− 1
2𝑥2 )
=1
√𝑒
Vì ln (1 −2𝑥12) ~ − 1
2𝑥 2
Câu 30: tính giới hạn
L= lim
𝑛→∞(𝑛√𝑎 + √𝑏
𝑛
2 )𝑛 với (a , b >0)
Trang 6Đặt x=1𝑛 , x→ 0 khi đó
L=lim
𝑥→0(𝑎𝑥+𝑏𝑥
2 )1𝑥 =𝑒lim 𝑥→0
1
𝑥 ln (𝑎𝑥+𝑏𝑥
2 −1+1)
=
𝑒lim 𝑥→0
1
𝑥 (𝑎𝑥+𝑏𝑥
2 −1)
=𝑒lim 𝑥→0
𝑎𝑥+𝑏𝑥−2 2𝑥 = 𝑒lim 𝑥→0
(𝑎𝑥+𝑏𝑥−2)′
(2𝑥)′ =𝑒lim 𝑥→0
𝑎𝑥𝑙𝑛𝑎+𝑏𝑥𝑙𝑛𝑏
2 = 𝑒𝑙𝑛𝑎+𝑙𝑛𝑏2 =√𝑎 +√𝑏
Câu 31: tính giới hạn
L= lim
𝑥→∞(𝑥−1
𝑥+1)𝑥= lim
𝑥→∞(1 + −2
𝑥+1)𝑥 =𝑒lim𝑥𝑥→∞ ln (1+−2
𝑥+1 )
=𝑒lim𝑥𝑥→∞ (−2
𝑥+1 )
=𝑒12 Câu 32: tính giới hạn
L= lim
𝑥→∞(𝑒1𝑥+1
𝑥)𝑥 =lim
𝑥→∞(𝑒1𝑥− 1 + 1 +1
𝑥)𝑥 = lim
𝑥→∞(1
𝑥+1 +1
𝑥)𝑥 = lim
𝑥→∞(1 +2
𝑥)𝑥 =𝑒lim 𝑥𝑥→∞ ln (1+2
𝑥 )
=𝑒lim 𝑥𝑥→∞ (2
𝑥 )
=𝑒2
Câu 33: tính giới hạn
L=lim
𝑥→𝜋
4
(𝑠𝑖𝑛2𝑥)𝑡𝑎𝑛22𝑥 =lim
𝑥→𝜋
4
[𝑠𝑖𝑛2(𝑥 −𝜋
4+𝜋
4)𝑡𝑎𝑛22(𝑥−𝜋4 +𝜋
4 )
=lim
𝑥→𝜋
4
sin [2 (𝑥 −𝜋
4) +𝜋
2]𝑡𝑎𝑛
2 [2(𝑥−𝜋
4 )+𝜋
2 ]
=lim
𝑥→𝜋
4
cos [2 (𝑥 −𝜋
4)]
1 𝑡𝑎𝑛2[2(𝑥−𝜋4)] ==lim
𝑥→𝜋
4 [1 −[2(𝑥−
𝜋
4 )]2
1 [2(𝑥−𝜋4)]2
Đặt (𝑥 −𝜋4) = t thì L=lim
𝑡→0[1 − 2𝑡2]
1 4𝑡2 ==𝑒lim 𝑡→0
1 4𝑡2 ln (1−2𝑡2)
= 𝑒lim 𝑡→0
1 4𝑡2 (−2𝑡2)
=1
√𝑒
Câu 34: tính giới hạn
L= lim
𝑥→2
𝑥𝛼−2𝛼
𝑥 𝛽 −2 𝛽
phân tích : rõ dàng khi thay x=2 vào L có dạng 00 do đó thỏa mãn điều kiện L'Hopital
khi đó L=đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑚ẫ𝑢đạ𝑜 ℎà𝑚 𝑡ử (viết cho vui thôi_ thi thì cứ băm luôn nhé :))
L=lim
𝑥→2
𝛼.𝑥𝛼−1−𝑜
𝛽.𝑥 𝛽−1 −𝑜= 𝛼𝛽 𝑥𝛼−𝛽