Hướng dẫn học sinh giải bài toán theo phương pháp phân tích suy luận ngược trong hình học lớp 8

I M U I.1 Lớ chn ti : Thc t ging dy cho thy, i vi hc sinh, vic tỡm li gii cho mt bi toỏn l iu khụng h n gin v hu ht u mang tớnh t phỏt, khụng cú h thng hay phng phỏp c th, c bit l nhng bi toỏn chng minh hỡnh hc Cỏc em cú th tip thu rt nhanh c hng dn gii cỏc vớ d minh nhng gp nhng bi tng t li cm thy b tc, khụng tỡm hng gii quyt phự hp L mt giỏo viờn ng lp, sau nhiu nm tỡm tũi v th nghim, tụi nhn thy mt nhng cỏch thc tỡm c li gii nhanh nht chớnh l suy lun phõn tớch ngc õy l phng phỏp n gin v d thc hin, thụng qua vic liờn kt iu phi chng minh vi gi thit v nhng iu ó bit trc ú, hc sinh cú th d dng tỡm cỏc cu ni gia nhng iu ny v theo quy lut lụgic, li gii dn c hỡnh thnh mt cỏch mch lc v y thuyt phc Khụng ch vy, suy lun phõn tớch ngc cũn giỳp cỏc em gii quyt nhng tỡnh phỏt sinh ngoi thc tin mt cỏch nhanh chúng v hp lớ Xut phỏt t nhng lớ trờn, t tớnh cp thit thc tin ging dy v nhng thnh tu kh quan ó thu nhn c sau tin hnh th nghim, tụi xin mnh dn trỡnh by sỏng kin kinh nghim ca mỡnh vi ti: Hng dn hc sinh gii bi toỏn theo phng phỏp phõn tớch suy lun ngc hỡnh hc I.2 Mc ớch nghiờn cu : - ti s gúp phn minh cho phng phỏp suy lun phõn tớch lm rừ mi liờn h lụgic gia iu cn chng minh vi iu phi chng minh - Cung cp thờm mt phng phỏp chng minh hỡnh hc m hng i l t kt lun n gi thit theo t suy lun ngc - ti c s dng t chc dy trờn lp v t chc chuyờn v phng phỏp chng minh hỡnh hc cp THCS núi chung v i vi hc sinh lp núi riờng I.3 i tng nghiờn cu : Hot ng hc ca hc sinh cỏc bi toỏn chng minh hỡnh hc I.4 Phng phỏp nghiờn cu: Thu thp, tham kho v x lớ ti liu su tm c iu tra kh nng hc hỡnh hc ca hc sinh Phõn tớch, khỏi quỏt húa v ỳc rỳt kinh nghim quỏ trỡnh ging dy Trao i, tho lun chuyờn mụn vi ng nghip Cp nht thụng tin t mng internet Nh phi hp cỏc phng phỏp trờn, tụi ó dn nh hỡnh ni dung, quy mụ v phm vi ca ti ri t ú thit lp cỏc gii phỏp, tin hnh th nghim, ỏnh giỏ v cui cựng l h thng húa bng ngụn ng thnh mt sỏng kin kinh nghim trn II NI DUNG CA SNG KIN KINH NGHIM II.1 C s lớ lun II.1.1 Suy lun Suy lun l quỏ trỡnh suy ngh i t mt hay nhiu mnh cho trc rỳt mnh mi Mi mnh ó cho trc gi l tin ca suy lun Mnh mi c rỳt gi l kt lun hay h qu Ký hiu: X1, X2, , Xn Y Nu X1, X2, , Xn Y l hng ỳng thỡ ta gi kt lun Y l kt lun lụgic hay h qu lụgic II.1.2 Phng phỏp chng minh tng hp: Phng phỏp chng minh tng hp l phng phỏp chng minh i t iu ó cho trc hoc iu ó bit no ú n iu cn tỡm, iu cn chng minh S : A B C Y X Trong ú A l mnh ó bit hoc ó cho trc; B l h qu lụgớc ca A; C l h qu lụgớc ca B; ; X l h qu lụgớc ca Y II.1.3 Phng phỏp chng minh phõn tớch i xung Phng phỏp chng minh phõn tớch i xung l phng phỏp chng minh suy din i t iu ó bit n iu cn tỡm S : A B Y X Trong ú: X l mnh cn tỡm, mnh cn chng minh; Y l h qu lụgic ca X; .; A l h qu lụgic ca B v A l mnh ó bit no ú Nu A sai thỡ X sai Nu A ỳng thỡ X cú th ỳng, cú th sai Lỳc ny chỳng ta phi dựng phng phỏp tng hp i t A ti X II.1.4 Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn Phng phỏp chng minh phõn tớch i lờn l phng phỏp chng minh suy din i t iu cn tỡm, iu cn chng minh n iu ó cho hoc ó bit trc ú S : X Y B A Trong ú: X l mnh cn chng minh; Y l tin lụgic ca X; .; A l tin lụgic ca B; A l mnh ó bit hoc ó cho trc Nu A sai thỡ X sai Nu A ỳng thỡ X cú th ỳng, cú th sai Lỳc ny chỳng ta phi dựng phng phỏp tng hp i t A ti X II.2 Thc trng trc ỏp dng sỏng kin kinh nghim Qua quỏ trỡnh ging dy hỡnh hc nhiu nm qua, tụi nhn thy nhng bt cp nh sau : - Nhiu hc sinh khụng nm c phn lớ thuyt c bn ca bi hc hoc nm ni dung bi hc mt cỏch th ng, nờn quỏ trỡnh lm bi cũn gp nhiu khú khn, lỳng tỳng - Mt s hc sinh khụng chu cp bi toỏn theo nhiu hng khỏc nhau, khụng s dng ht cỏc d kin ca bi toỏn - a s hc sinh khụng bit dng hoc dng cha thnh tho cỏc phng phỏp suy lun gii toỏn, khụng bit s dng cỏc bi toỏn gii mu hoc ỏp dng phng phỏp gii mt cỏch th ng - Khi phỏt phiu iu tra v mc hng thỳ hc phõn mụn Hỡnh hc u nm cho thy kt qu nh sau : S HS cú hng thỳ Tng s HS S HS khụng cú hng thỳ SL % SL % 12,9% 54 87,1% 62 Kt qu kho sỏt cht lng phõn mụn Hỡnh hc cha ỏp dng SKKN T l Khi S hc sinh Gii Khỏ TB Yu 62 35 19 II.3 Cỏc gii phỏp ó s dng gii quyt : II.3.1 Vớ d Cho tam giỏc ABC (AC < AB) Trờn tia AC ly E cho AE = AB Tia phõn giỏc ca gúc A ct BC ti D, ct BE ti H Chng minh: a) BD = DE A b) BE AD ABC: AC < AB; AE = AB; GT AD l tia phõn giỏc AD x BE = {H} B D H a) BD = DE KL C E b) BE AD Gii: a) Phõn tớch Cm: BD = DE Chng minh a) Ni DE BDA v EDA cú: AB = AE (gt) à A1 = A (gt) AD chung Cm: BDA = EDA AB = AE (gt) à (gt) = A2 Cú: A AD chung iu kin (c.g.c) = 900) b) Cm: BE AD ( H (1) AD l trung trc ca BE Cm: (2) AD l ng cao 1= H (3) H (1) Cm: AD l trung trc ca BE Cú AB = AE Cn cm: DB = DE (ỳng theo ý a) (2) Cm: AD l ng cao ca ABE ã Cú AD l phõn giỏc ca BAE ABE cõn ti A (ỳng vỡ AE = AB theo gi thit) 1= H (3) Cm: H Cm: ABH = AEH AB = AE (gt) à = A (gt) Cú: A AH chung iu kin (c.g.c) BDA = EDA (c.g.c) BD = DE b) (1) Ta cú: AB = AE (gt) v DB = DE (theo ý a) AD l ng trung trc ca BE AD BE (2) Vỡ AB = AE Nờn ABE cõn ti A ã M AD l ng phõn giỏc ca BAE AD cng l ng cao AD BE (3) ABH v AEH cú: AB = AE (gt) à A1 = A (gt) AH chung ABH = AEH ( c.g.c) 1= H H 1+ H = 1800 m H 1= H = 1800: = 900 nờn H Vy BE AD Nhn xột: chng minh hai ng thng vuụng gúc vớ d ny, ta ó s dng kin thc v ng trung trc ca mt on thng, v ng cao v v nh ngha hai ng thng vuụng gúc Qua suy lun v thc hin, ta thy ỏp dng kin thc v ng trung trc l hiu qu nht vỡ cỏch lm ngn gn v c bit l nú tn dng c kt qu ó cú ý trc ú II.3.2 Vớ d : Cho tam giỏc ABC cõn ti A Hai ng cao BD v CE ct ti H Chng minh rng BHE = CHD A ABC cõn ti A GT BD AC, CE AB E BD x CE = {H} KL BHE = CHD D B H 2 C Gii: Phõn tớch BHE v CHD vuụng ti E v D Do ú: Cm: BHE = CHD à1 =H (i nh) Cú H Cn cm: EH = HD Cn cm: AHE = AHD AHE v AHD vuụng ti E v D Cú AH chung à1 =A à2 Cn cm: AE = AD hoc A Cm: AE = AD AEC = ADB (ch gn) à1 =A à2 Cm: A Da vo cỏc ng tam giỏc cõn Chng minh Xột AEC v ADB cú: =D = 900 E AC = AB (ABC cõn ti A) A chung AEC = ADB (ch gn) AE = AD Xột AHE v AHD cú: =D = 900 E AE = AD (cmt) AH (chung) AHE = AHD (ch cgv) EH = HD Xột BHE v CHD cú: =D = 900 E EH = HD (cmt) à H1 = H BHE = CHD (c.g.c) Nhn xột: chng minh hai tam giỏc bng nhau, trc ht ta cn xem xột hai tam giỏc ú ó cú nhng yu t no bng nhau, cn chng minh thờm yu t no na T ú ta cú th hỡnh dung c tin trỡnh gii toỏn, chng minh iu gỡ trc v iu gỡ sau II.3.3 Vớ d Cho tam giỏc ABC v trung tuyn BD Chng minh rng nu M l trung im ca BD thỡ AM ct BC ti im N v CN = 2BN C P D ABC , AD = CD GT M BM = DM; AM x BD = {N} KL CN = 2BN N A B Gii: Phõn tớch Cỏch Cm: Cỏch CN = 2BN Nu ly P l trung im ca CN thỡ CP = PN = BN Cm: Gi P l trung im ca CN DP l ng trung bỡnh ca tam giỏc ACN Cm: Chng minh AN // DP AN // DP Tam giỏc BDP cú MN i qua trung im cnh BD v song song vi cnh DP nờn i qua trung im ca BP ỳng vỡ DP l ng trung bỡnh ca BN = PN = CP tam giỏc ACN Vy CN = 2BN Cỏch Cỏch Trờn tia i ca tia BA, v Do CN = 2BN CN = CB BE = AB CB l trung tuyn ca D oỏn CB l ng trung tuyn ca ACE (1) mt tam giỏc v N l trng tõm ca tam Gi P l giao im ca CE v tia AN giỏc ú Ta s chng minh N l trng tõm ca C ACE Ta cú DB l ng trung bỡnh ca D P N ACE DB // CE M M l trung im ca AP A B E DM l ng trung bỡnh ca ACP v MB l ng trung bỡnh ca APE Cn cm: N l trng tõm ca ACE Cú CB l trung tuyn ACE Cm: AP l trung tuyn ca ACE Cm: CP = PE cm: CP = PE, ta s dng tớnh cht ng trung bỡnh ca tam giỏc hoc nh lý Ta-let tam giỏc DM = 1 CP v MB = PE 2 M DM = MB CP = PE AP l trung tuyn ca ACE (2) T (1) v (2) suy N l trng tõm ca ACE CN = 2NB Nhn xột: Thụng qua suy lun, ta liờn kt c cỏc kin thc ca gi thit v kt lun, t ú tỡm c kin thc liờn quan v vic v thờm hỡnh l h qu tt yu, cn thit cú th s dng cỏc kin thc liờn quan ú II.3.4 Vớ d Cho tam giỏc ABC cõn ti A, ng cao AH Bit AB = 17cm, AH = 15cm a) Tớnh di on thng BC b) T B v BD AC (D AC) Chng minh AHC BDC S c) Qua D v DE BC (E BC) Chng minh BE.EC = AH CE CH ABC, AB = AC = 17cm; GT AH = 15 cm; AH BC; BD AC; DE BC a) BC = ? KL b) AHC BDC S c) BE.EC = AH CE CH Gii: Phõn tớch a) BC = ? BH = ? BH2 + AH2 = AB2 Chng minh p dng nh lý Pytago vo tam giỏc vuụng ABH, ta cú: BH2 + AH2 = AB2 BH2 = AB2 AH2 = 172 152 = 64 Vỡ BH > nờn BH = (cm) (AB, AH ó bit nờn BH tớnh c) BC = BH = 2.8 = 16 (cm) b) Xột tam giỏc AHC v BDC cú: AHC BDC S chung; AHC ã ã = 900 C = BDC c) BE.EC = AH CE CH 2 BE.EC.CH = AH2.CE2 2 DE CH = AH2.CE2 DE.CH = AH.CE DE CE = AH CH AHC S DEC ( iu kin) chung; C ã ã = 900 (GT) AHC = BDC AHC SBDC (g.g) Xột tam giỏc AHC v DEC cú: chung; C ã ã = 900 (GT) AHC = DEC AHC SDEC (g.g) DE CE = (Cỏc cnh tng ng) AH CH DE.CH = AH.CE DE2.CH2 = AH2.CE2 (1) Li cú: AHC S DEC (g.g) BE DE = DE CE BE.CE = DE2 (2) Thay (2) vo (1) ta c BE.EC.CH2 = AH2.CE2 BE.EC = AH CE (pcm) CH Nhn xột:Vớ d trờn ó s dng ng thc trung gian BE.CE = DE2 v DE2.CH2 = AH2.CE2 DE.CH = AH.CE (Vỡ di on thng luụn ln hn 0) II.3.5 Vớ d Cho tam giỏc vuụng ABC cú (ABC NE // BM BN = ME ME // AB NE = BM Ta s cm: CN > NE tc l CN > BM ( ) ( ã à1+E > ECN ã +C à3 CEN =E =C ) à1 >C v E >C à3 E à1 >C à2 a) Cm: E à1 =B (cựng bự vi BNE ã m E ) Cm: >C à2 Cm: B Ly im K trờn AB cho AK=AB ABD = AKD (c.g.c) (1) = AKD ã B ã à2 Cm: AKD >C ã ỳng vỡ AKD l gúc ngoi ca CKD >C à3 b) Cm: E Cm: CM > ME Cm: CM > BN BCM v CBN cú BC chung, BM=CN (gt) à1 >C CD > BD Cm: B m BD = KD (t (1)) Cm: CD > KD ã ỳng vỡ CKD k bự vi gúc nhn ã nờn l gúc tự: AKD ã à2 >C CKD Xột ABD v AKD cú: AD chung à A1 = A AK = AB ABD = AKD (c.g.c) = AKD ã (1) B >C v BD = KD (2) ã Trong CKD, gúc CKD k bự vi gúc ã nhn AKD nờn nú l gúc tự: ã KD < CD (3) CKD >C T (2) v (3) suy ra: à1 >C à1 BD < CD B Hai tam giỏc BCM v CBN cú: BC chung AK = AB nờn CM > BN (4) à B1 > C1 K NE//BM v ME//AB ct ti E thỡ ta cú: BN = ME (5) à1 =B (7) BM = NE (6) v E T (4) v (5) suy ra: CM > ME >C à3 Vy CME cú: E à1 >C à2 T (1) v (7) suy ra: E ( ) ( ã à1+E > ECN ã +C à3 CEN =E =C ) CN > EN (8) Từ (6) (8) suy CN > BM (trái giả thiết) Điều chứng tỏ điều giả sử sai Vậy AB = AC Tức tam giác ABC cân A Sau hc sinh c lm nhiu cỏc dng bi nh trờn thỡ k nng suy lun c hỡnh thnh, cng c v cỏi ớch l hỡnh thnh k xo cú cỏc phn x t nhiờn, nhy bộn trc mt bi khú II.4 Kt qu 10 Khi ỏp dng phng phỏp suy lun phõn tớch ngc vo ging dy hỡnh hc ti n v s ti, tụi nhn c kt qu nh sau: Hc sinh cú hng thỳ HS khụng cú hng thỳ Tng s HS SL % SL % Trc ỏp dng 62 12,9% 54 87,1% Sau ỏp dng 62 43 69,4% 19 30,6 Kt qu kho sỏt cht lng phõn mụn Hỡnh hc cha ỏp dng SKKN Tng s hc sinh Gii Khỏ TB Yu Trc ỏp dng 62 35 19 Sau ỏp dng 62 15 27 16 Da vo bng s liu trờn, cú th nhn thy nh ỏp dng phng phỏp suy lun phõn tớch ngc m cht lng hc sinh c nõng lờn ỏng k Vic hc ca hc sinh mt nm hc ó thu c nhiu kt qu kh quan, cha cao nhng cú nhng chuyn bin rừ rt theo chiu hng i lờn iu ny chng t vai trũ tớch cc ca ti nghiờn cu i vi quỏ trỡnh dy v hc ca thy trũ chỳng tụi 11 III KT LUN, KIN NGH III.1 Kt lun Cựng mt cú th phõn tớch theo cỏc hng khỏc nhau, t ú s tỡm nhiu cỏch gii khỏc cho mt bi toỏn Vỡ vy, ó phõn tớch v tỡm li gii, chỳng ta hóy tớch cc suy lun theo nhiu hng khỏc tỡm kim nhng li gii mi Suy lun phõn tớch cn phi luyn thng xuyờn v theo thi gian, s tớch ly kinh nghim s dn hỡnh thnh nờn mt kh nng vụ cựng c bit, ú l trc giỏc õy l dng phn x cú iu kin nhng li din rt nhanh sau nhng phõn tớch chúng vỏnh ca b nóo Nú lm nờn tớnh nhy bộn phõn tớch iu m bt kỡ ngi hc toỏn no cng cn phi t c Khụng ch riờng hc toỏn, phộp suy lun núi chung v phộp suy lun phõn tớch ngc núi riờng cũn rt cn thc tin Khi bt gp mt phc thỡ trc hnh ng, chỳng ta cn phi ngm ngh xem cn lm iu gỡ trc?, lm iu gỡ sau?, s dng cỏi ó cú nh th no v lm khc phc c cỏi cũn thiu? Nhng nh hng ny s dn kt ni vi v hỡnh thnh nờn mt mng li lụgic cú tờn gi l bn k hoch d kin, giỳp chỳng ta gii quyt trit ang gp phi III.2 Kin ngh Gii hn ca ti mi dng li vic ỏp dng phộp suy lun phõn tớch ngc t c hiu qu cao hn, chỳng ta cú th s dng kt hp thờm phng phỏp suy lun phõn tớch i xung v sau ú chng minh tng hp h thng t ca hc sinh c phỏt trin y ngh BGH, t chuyờn mụn to iu kin, giỳp tụi tip tc trin khai thc hin ti ny nh trng Rt mong nhn c nhng phn hi tớch cc v li gúp ý chõn thnh ca bn bố v ng nghip Tụi xin cm n! XC NHN CA TH TRNG N V Thanh Húa, ngy 10 thỏng nm 2017 Tụi xin cam oan õy l SKKN ca mỡnh vit, khụng chộp ni dung ca ngi khỏc Nguyn Hu Dng 12 TI LIU THAM KHO Sỏch giỏo khoa toỏn 1, 2 Sỏch bi toỏn 1, V thờm yu t ph gii mt s bi toỏn hỡnh hc - Nguyn c Tn ễn hỡnh hc - Nguyn Ngc m, V Dng Thy Phng phỏp suy lun phõn tớch gii toỏn hỡnh hc THCS Khai thỏc v phỏt trin mt s bi toỏn THCS Nguyn Tam Sn, Phm L Hng Nõng cao v phỏt trin Toỏn 1, V Hu Bỡnh 8.ễn cui tun mụn Toỏn 1, Hong Xuõn Vinh, Mai Cụng Món 9.Cỏc kin thc, ti liu cú c quỏ trỡnh hc i hc s phm 13 ... (7) BM = NE (6) v E T (4) v (5) suy ra: CM > ME >C à3 Vy CME cú: E à1 >C à2 T (1) v (7) suy ra: E ( ) ( ã à1+E > ECN ã +C à3 CEN =E =C ) CN > EN (8) Từ (6) (8) suy CN > BM (trái giả thiết) Điều... SNG KIN KINH NGHIM II.1 C s lớ lun II.1.1 Suy lun Suy lun l quỏ trỡnh suy ngh i t mt hay nhiu mnh cho trc rỳt mnh mi Mi mnh ó cho trc gi l tin ca suy lun Mnh mi c rỳt gi l kt lun hay h qu... thy nh ỏp dng phng phỏp suy lun phõn tớch ngc m cht lng hc sinh c nõng lờn ỏng k Vic hc ca hc sinh mt nm hc ó thu c nhiu kt qu kh quan, cha cao nhng cú nhng chuyn bin rừ rt theo chiu hng i lờn iu