Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017Đáp án Olympic Gặp Gỡ Toán Học 2017
Trần Nam Dũng (Chủ biên) ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 TP.HCM - Tháng 7/2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Nhóm thực gồm huấn luyện viên Gặp gỡ Toán học IX - 2017 Huỳnh Phước Trường Phạm Tiến Kha, Nguyễn Văn Huyện, Tống Hữu Nhân, Nguyễn Trần Hữu Thịnh, Phạm Quốc Thắng, Phạm Thị Hồng Nhung, Chu Thị Thu Hiền, Trần Dương Việt Hoàng, Lương Văn Khải Trong trình biên tập tài liệu có nhận lời giải, nhận xét quý giá hai anh Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Phúc Lữ phương trình hàm đa thức Chân thành cảm ơn hai anh Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Phần I Đề Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Đề thi khối 10 Bài An Bình hai bạn học lớp chuyên toán Khi Bình hỏi địa nhà An, để thử tài bạn, An cho thông tin sau “Nhà tớ đường Trần Hưng Đạo Số nhà tớ số có chữ số khác Từ chữ số tạo số có chữ số khác khác điều thú vị tổng số 2017” Em giúp Bình tìm số nhà An Bài Cho a; b; c số thực dương thoả mãn điều kiện a2 C b C c D Chứng minh ta có bất đẳng thức a b c C C : b.a C c/ c.b C a/ a.c C b/ Bài Cho tam giác ABC vuông C Gọi F chân đường cao hạ từ C xuống AB Đường tròn !/ tiếp xúc với đoạn FB điểm P , đường cao CF điểm Q đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm R Chứng minh điểm A; Q; R thẳng hàng AP D AC Bài Người ta tô màu m ô vuông bảng ô vuông 1001 1001 cho (a) Trong hai ô vuông kề có ô tô màu; (b) Cứ ô vuông liên tiếp hàng cột lại có hai ô kề tô màu Tìm giá trị nhỏ m để thực cách tô thoả mãn hai điều kiện — HẾT — Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Đề thi khối 11 Bài Cho ba số thực không âm x; y; z Chứng minh p xy yz zx 6 minfx; y; zg/ : Bài Tìm tất hàm f W R ! R thoả mãn điều kiện f x / C f xy/ D f x/f y/ C yf x/ C xf x C y/; 8x; y R: Bài Chứng minh với số nguyên dương n 2, tồn số nguyên x cho x C 2017 chia hết cho 3n không chia hết cho 3nC1 Bài Cho tam giác ABC điểm P di động cạnh BC Trên AC , AB lấy Q, R cho PQ song song với AB, PR song song với AC a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR qua điểm cố định X khác A P di động BC b) Kéo dài AX cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai K Chứng minh X trung điểm AK — HẾT — Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Đề thi khối 12 Bài Cho số thực a xét dãy số fxn g thoả mãn x1 D 1; x2 D 0; xnC2 D xn2 C xnC1 C a; 8n 1: a) Chứng minh với a D dãy fxn g hội tụ b) Tìm số thực a lớn cho dãy fxn g hội tụ Bài Cho hai đa thức P x/ D x 4x C 39x 46 Q.x/ D x C 3x C 4x a) Chứng minh P x/; Q.x/ có nghiệm dương nhất, đặt nghiệm ˛; ˇ b) Chứng minh f˛g > fˇg2 , ký hiệu fxg phần lẻ số thực x Bài Cho đường tròn O/ dây cung BC khác đường kính Điểm A thuộc cung lớn BC: Lấy điểm S đối xứng với O qua BC: Lấy điểm T OS cho AT; AS đối xứng qua phân giác góc BAC a) Chứng minh T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC b) TB; T C cắt O/ điểm thứ hai E; F tương ứng AE; AF cắt BC M; N Giả sử SM cắt tiếp tuyến O/ C X , SN cắt tiếp tuyến O/ B Y Chứng minh AX; AY đối xứng qua phân giác góc BAC Bài Có nhóm n > người thỏa mãn điều kiện (i) người quen người quen chung; (ii) người không quen có người quen chung a) Chứng minh 8n số phương b) Tìm n nhỏ thỏa đề — HẾT — Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Phần II Lời giải Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Khối 10 Bài An Bình hai bạn học lớp chuyên toán Khi Bình hỏi địa nhà An, để thử tài bạn, An cho thông tin sau “Nhà tớ đường Trần Hưng Đạo Số nhà tớ số có chữ số khác Từ chữ số tạo số có chữ số khác khác điều thú vị tổng số 2017” Em giúp Bình tìm số nhà An Lời giải Gọi số nhà An abc, a; b; c đôi khác thuộc tập hợp f1; 2; : : : ; 9g Khi đó, số có chữ số tạo từ chữ số a; b; c khác với abc acb, bca, bac, cab, cba Theo giả thiết, ta có điều tương đương với bca C acb C C cba D 2017; (1) 222.a C b C c/ D abc C 2017: Mặt khác, ta có 2017 19 mod 222/ nên abc D 222k 100 < abc < 999, ta suy k f1; 2; 3; 4g 19; k Z Với ý Với k D 1, ta có abc D 203, không thoả (1) Tương tự, ta có k D 3; k D không thoả (1) Khi k D 2, ta có abc D 425, thoả (1) Vậy số nhà An 425 Bài Cho a; b; c số thực dương thoả mãn điều kiện a2 C b C c D Chứng minh ta có bất đẳng thức a b c C C : b.a C c/ c.b C a/ a.c C b/ Lời giải Sử dụng bất đẳng thức AM–GM cho số dương, ta có s b c abc a C C 33 b.a C c/ c.b C a/ a.c C b/ b.a C c/c.b C a/a.c C b/ D p : a C b/.b C c/.c C a/ Lại có p a C b/ C b C c/ C c C a/ a C b/.b C c/.c C a/ 2p 2 3.a C b C c /; D a C b C c/ 3 (2) Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 kết hợp với giả thiết a2 C b C c D 3, ta p a C b/.b C c/.c C a/ 2: (3) Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Từ (2) (3), ta có b c a C C : b.a C c/ c.b C a/ a.c C b/ Bất đẳng thức chứng minh Đẳng thức xảy a D b D c D Lời giải Áp dụng bất đẳng thức Cauchy Schwarz kết hợp với AM-GM ta r r r !2 a b c a b c C C b c a b C c C a : aCc bCa cCb a C b C c/ 2.a C b C c/ Mặt khác aCbCc Do p 3.a2 C b C c / D 3: b c a C C : b a C c/ c b C a/ a c C b/ Đẳng thức xảy a D b D c D Bài Cho tam giác ABC vuông C Gọi F chân đường cao hạ từ C xuống AB Đường tròn !/ tiếp xúc với đoạn FB điểm P , đường cao CF điểm Q đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm R Chứng minh điểm A; Q; R thẳng hàng AP D AC Lời giải Gọi I tâm !/ Do !/ tiếp xúc CF Q nên IQ song song AB I trung điểm OR Mặt khác, ta có IQ D OR=2 D OA=2 nên suy A; Q; R thẳng hàng C R Q I A F O P B Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Ta có FQRB tứ giác nội tiếp †QFB D †QRB D 90ı , 4AQF 4ABR Điều cho ta AQ AR D AF AB Mặt khác, ta lại có AC D AF AB AP D AQ AR, AC D AP , suy AC D AP Bài Người ta tô màu m ô vuông bảng ô vuông 1001 1001 cho (a) Trong hai ô vuông kề có ô tô màu; (b) Cứ ô vuông liên tiếp hàng cột lại có hai ô kề tô màu Tìm giá trị nhỏ m để thực cách tô thoả mãn điều kiện Lời giải Ta chứng minh rằng, ô vuông liên tiếp hàng cột, có ba ô tô màu Thật vậy, từ (a) suy có hai ô không tô màu kề Trong ô liên tiếp có nhiều ba ô không tô màu, trường hợp nhiều xảy ô không tô màu rơi vào vị trí thứ 1; Như ô liền trước ô thứ ô liền sau ô thứ 5, có, chắn phải tô màu; ta có ô liên tiếp tô màu xen kẽ, trái giả thiết (b) Nhận xét chứng minh Ta dễ dàng chia bảng ô vuông thành hình chữ nhật 5, ô vuông dư Giả sử ô dư không tô màu, ta có m 601200 Ta chứng minh m nhỏ 601200 cách cách tô màu thỏa yêu cầu toán sau: Vậy giá trị m nhỏ thoả yêu cầu đề 601200 Bài toán giải Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Khối 11 Bài Cho ba số thực không âm x; y; z Chứng minh p xy yz zx 6 minfx; y; zg/ : Lời giải Giả sử x > y > z Bất đẳng thức (1) trở thành p xy yz zx 6 z/: Từ giả thiết dễ thấy xy C yz C zx 3z nên ta cần chứng minh p 3z 6 z/; p 3z C (1) (2) p > 0; zC5 p 3z C 3/2 > 0: q Đẳng thức xảy x D y D z D : Chứng minh hoàn tất Bài Tìm tất hàm f W R ! R thoả mãn điều kiện f x / C f xy/ D f x/f y/ C yf x/ C xf x C y/; 8x; y R: (3) Lời giải Thay x D vào (3), ta 2f 0/ D f 0/ f y/ C y/ ; ı Nếu f 0/ ¤ ta có f y/ D toán 8y R: y; 8y R Hàm thoả mãn yêu cầu ı Xét trường hợp f 0/ D Thay y D vào (3), ta f x / D xf x/; (4) 8x R: Từ đây, ta có xf x/ D f x / D xf x/, suy f x/ D ta có f 0/ D nên f hàm lẻ f x/ với x ¤ Hơn Tiếp theo, thay y y vào (3), ta f x / f xy/ D f x/f y/ yf x/ C xf x y/; Cộng hai kết (5) (3) lại, kết hợp với (4), ta 2xf x/ D xf x C y/ C xf x y/; 8x; y R: (5) Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 suy Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên 2f x/ D f x C y/ C f x y/; 8x ¤ 0; 8y R: (6) Do f 0/ D f lẻ nên 2f 0/ D D f C y/ C f y/ Từ đây, ta suy (6) với x D Bây giờ, thay x D y vào (6), ta f 2x/ D 2f x/ Do đó, với x; y R, ta có xCy xCy xCy x y x y f xCy/ D 2f Df Cf D f x/Cf y/: C 2 2 Như f cộng tính Kết hợp với (4), ta có f x C 1/2 D x C 1/f x C 1/ D x C 1/ Œf x/ C f 1/ f x C 1/2 D f x C 2x C 1/ D f x / C 2f x/ C f 1/ D xf x/ C 2f x/ C f 1/: Đối chiếu hai kết quả, ta có f x/ D xf 1/ với x R Thay trở lại (3), ta f x/ D x f x/ D Tóm lại, ta có ba hàm số thoả mãn yêu cầu f x/ D x, f x/ D f x/ D x Bài Chứng minh với số nguyên dương n 2, tồn số nguyên x cho x C 2017 chia hết cho 3n không chia hết cho 3nC1 Lời giải Ta chứng minh quy nạp Với n D 2, ta chọn x D cho y C 2017 chia hết cho 3n không chia hết cho 3nC1 Giả sử tồn y Trước hết, ta có nhận xét sau Nhận xét Giả sử a không chia hết cho m Khi đó, a C 3m /3 a3 C 3m a2 C 32m a C 33m a3 C 3m mod 3mC1 /: Do y C2017 chia hết cho 3n nên y C2017 đồng dư 0; 3n 23n modulo 3nC1 Do 2017 không chia hết y không chia hết cho Áp dụng nhận xét cho hai a; m/ D y; n/ a; m/ D y C 3n ; n/, suy y C 3n /3 C 2017 y C 3n /3 C 2017 phải chia hết cho 3nC1 Như tồn x0 không chia hết cho cho x03 C2017 chia hết cho 3nC1 Nếu x03 C2017 không chia hết cho 3nC2 toán giải Nếu x03 C 2017 chia hết cho 3nC2 , ta chứng minh x1 D x0 C 3n thoả mãn Ta có ( x3 mod 3nC1 / x03 C 3n /3 x03 C 3nC1 x02 C 32nC1 x0 C 33n 03 : x0 C 3nC1 6 x03 mod 3nC2 / Do x13 C 2017 chia hết cho 3nC1 không chia hết cho 3nC2 Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều cần chứng minh 11 Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Bình luận Phần lớn bạn học sinh không làm toán này, có lẽ bạn tập trung vào câu lại thuộc chủ đề “gần gũi” Bạn đọc thử sức với toán tổng quát sau: Tìm tất số nguyên dương k cho với n 2, tồn số nguyên x cho x C k chia hết cho 3n không chia hết cho 3nC1 Bài Cho tam giác ABC điểm P di động cạnh BC Trên AC , AB lấy Q, R cho PQ song song với AB, PR song song với AC a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AQR qua điểm cố định X khác A P di động BC b) Kéo dài AX cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC điểm thứ hai K Chứng minh X trung điểm AK Lời giải a) Dễ thấy P trùng C AQR/ qua A; A C , tức đường tròn !1 / qua A; C tiếp xúc AB Tương tự P trùng B AQR/ biến thành đường tròn !2 / qua A; B tiếp xúc AC A R Q X B C P Gọi X giao điểm !1 / !2 / X cố định Ta chứng minh AQR/ qua X Do 4ABX 4AXC nên AX=BX D AC =BC Mặt khác, AC PR AQ D D AB BR BR nên AX=BX D AQ=BR Kết hợp với việc BR; BX/ AC; AX/ mod /; suy 4BRX 4AQX, RB; RX/ QA; QX/ mod /: 12 Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Vậy tứ giác AQXR nội tiếp, tức AQR/ qua điểm X cố định P thay đổi b) Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên A X C B K Cách Ta có sin.AB; AX / BX AB sin.AB; AX / D D D ; sin.AX; AC / sin.BX; BA/ AX AC nên AX đường đối trung 4ABC Theo kết câu (a) 4ABX 4AXC nên XA2 D XB XC Hơn nữa, XB; XK/ XB; AX / AX; XC / XK; XC / mod /: Ta có KB; KX / CB; CA/ CB; CX / C CX; CA/ CB; CX / C AK; AB/ CB; CX / C CK; CB/ CK; CX / mod /: Do 4XBK 4XLC nên XK D XB XC Như XA2 D XK hay XA D XK Vậy X trung điểm AK Bài toán giải xong Cách Do X cố định nên ta cần xét trường hợp P trung điểm BC Khi đó, Q; R trung điểm AC; AB Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Ta có AQOR tứ giác nội tiếp Theo câu (a), ta có AQXR tứ giác nội tiếp, †AXO D †AQO D 90ı Như ta có OX ? AK, hay X trung điểm AK Bình luận Đa số bạn không xác định điểm cố định xác định sai dẫn đến không giải toán Ở dạng toán này, tinh ý di chuyển điểm P phía B hay C 13 Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên ta có đường tròn qua A tiếp xúc với AB đường tròn qua A tiếp xúc với AC , giao chúng điểm cố định cần tìm Có số bạn sử dụng kiến thức mà không phép vị tự quay, tọa độ barycentric, Các bạn suy nghĩ theo hướng đơn giản trước, đừng áp dụng công cụ phức tạp dễ dẫn đến bế tắc Sau nhóm xin đưa số tập đề nghị dành cho bạn đọc: Bài toán Cho 4ABC điểm P di động cạnh BC Trên AC , AB lấy Q, R cho PQ đối song AB PR đối song AC (a) Chứng minh AQR/ qua điểm Y cố định P thay đổi (b) AY đường đẳng giác AY 4ABC cắt BC L, M Chứng minh Y LM / tiếp xúc YBC / (c) Chứng minh điểm X đề cập Bài liên hợp đẳng giác với điểm Y 4ABC Bài toán Cho 4ABC điểm P di động cạnh BC Trên AC lấy Q, Q0 cho PQ đối song AB PQ0 song song AB Trên AB lấy R, R0 cho PR song song AC PR0 đối song AC (a) Chứng minh đường tròn AQR/, AQ0 R0 / qua điểm cố định T , T P thay đổi (b) Khi P di động BC , gọi AX điểm cố định đề cập Bài Gọi P P 00 di động CA AB, ta định nghĩa điểm tương tự BX CX Chứng minh điểm AX , BX , CX , T , T thuộc đường tròn 14 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Khối 12 Bài Cho số thực a xét dãy số fxn g thoả mãn xn2 C xnC1 C a; 8n 1: x1 D 1; x2 D 0; xnC2 D a) Chứng minh với a D dãy fxn g hội tụ b) Tìm số thực a lớn cho dãy fxn g hội tụ Lời giải a) Với a D 0, ta có dãy số x1 D 1; x2 D 0; xnC2 xn2 C xnC1 ; 8n 1: D Bằng quy nạp, ta chứng minh xn Œ0; 1; 8n 1, xn2 C xnC1 xnC1 C xn ; 8n 1: 4 xnC2 D Ta chứng minh quy nạp xn 3=2/n ; 8n (1) Thật vậy, với n D 1; bất đẳng thức Giả sử (1) đến n D k 2, 1 27 1 xk C xkC1 D C < ; xkC2 4 3=2/k 3=2/k 3=2/kC1 32 3=2/kC1 (1) với n D k C Như ta có < xn 3=2/ n 1/ ; 8n 1, dãy fxn g hội tụ với giới hạn L D b) Giả sử dãy fxn g hội tụ Gọi L giới hạn dãy số L nghiệm phương trình xD x2 C a , x2 2x C 2a D 0: Phương trình có nghiệm 0 D Khi a D 1=2, ta có x1 D 1; x2 D 0; xnC2 D 2a 0, tức a 1=2 xn2 C xnC1 C ; 8n 1: Bằng quy nạp, ta chứng minh xn Œ0; 1; 8n Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Xét dãy số fun g xác định Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên u1 D 0; unC1 D u2n C ; 8n 1: Khi đó, fun g dãy tăng un 1; 8n nên hội tụ Giới hạn dãy fun g L D Ta chứng minh (2) un minfx2n ; x2n g; 8n 1: Thật vậy, với n D (2) Giả sử bất đẳng thức với n D k Khi đó, 2 x2k C x2k u2 C u2k 1 C k C D ukC1 ; 4 2 2 u C uk x C x2k u2 1 C kC1 C k C D ukC1 ; D 2kC1 4 2 x2kC1 D x2kC2 ukC1 minfx2kC1 ; x2kC2 g, nghĩa (2) với n D k C Vậy ta có (2) với n Điều cho ta un x2n ; x2n 1; 8n 1: Với ý lim un D nên theo định lý kẹp, ta có lim x2n D lim x2n lim xn D Vậy 1=2 giá trị lớn để dãy số hội tụ Bài Cho hai đa thức P x/ D x 4x C 39x D 1, suy 46 Q.x/ D x C 3x C 4x a) Chứng minh P x/; Q.x/ có nghiệm dương nhất, đặt nghiệm ˛; ˇ b) Chứng minh f˛g > fˇg2 , ký hiệu fxg phần lẻ số thực x Lời giải a) Trước hết, dễ thấy P x/; Q.x/ hàm đồng biến R 101 > 0; 8x R; C P x/ D 3x 8x C 39 D x 3 Q0 x/ D 3x C 6x C D 3.x C 1/2 C > 0; 8x R: Hơn nữa, P x/; Q.x/ đa thức bậc lẻ nên chúng phải có nghiệm Ta có P 1/ P 2/ < Q.0/ Q.1/ < nên nghiệm P x/ ˛ 1; 2/ Tương tự, ta có ˇ 0; 1/ b) Ta có ˛ 1; 2/ nên b˛c D 1, f˛g D ˛ Xét đa thức R.x/ D P x C 1/ D x a D ˛ D f˛g Mặt khác, ta có x C 34x Tương tự, ta có fˇg D ˇ 10 rõ ràng R.x/ có nghiệm Q.x/ D , x C 4x D 3x ; suy x x C 4/2 D 3x /2 Khai triển thu gọn, ta x x C 34x D Như đa thức S.x/ D x x C 34x có nghiệm b với b D fˇg2 16 Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Ta cần chứng minh a > b Thật vậy, xét hàm số f t/ D t t C 34t với t R Vì f t/ D 3t 2t C 34 > f a/ D 0; f b/ D nên suy a > b Vậy fag > fbg2 ta có điều phải chứng minh Bài Cho đường tròn O/ dây cung BC khác đường kính Điểm A thuộc cung lớn BC: Lấy điểm S đối xứng với O qua BC: Lấy điểm T OS cho AT; AS đối xứng qua phân giác góc BAC a) Chứng minh T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC b) TB; T C cắt O/ điểm thứ hai E; F tương ứng AE; AF cắt BC M; N Giả sử SM cắt tiếp tuyến O/ C X , SN cắt tiếp tuyến O/ B Y Chứng minh AX; AY đối xứng qua phân giác góc BAC Lời giải a) Gọi I trung điểm BC , K giao tiếp tuyến B C O/ Gọi P; Q giao điểm OK với O/, Q thuộc cung lớn BC Ta có I trung điểm OS Q A O N I M C B S E F P T X Y K Dễ thấy IKPQ/ D nên OI OK D OP Mặt khác OP; OQ phân giác †SAT OP ?OQ nên S TPQ/ D 1, OS OT D OP 17 Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Như ta có OI OK D OS OT , OS D 2OI nên OK D 2OT hay T trung điểm OK Từ dễ dàng có T tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC b) Ta có S TPQ/ D suy T S TO D TP TQ D TE TB nên S; O; E; B nằm đường tròn Mặt khác, †TES D †TOB D †TBO Suy ES k OB mà CS k OB nên C; S; E thẳng hàng Tương tự B; S; F thẳng hàng Ta có TB; T C đối xứng với qua trung trực BC nên E; F đối xứng qua OT , suy AE; AF đẳng giác Theo định lý Pascal ta có X thuộc AF , Y thuộc AE Mà AE; AF đẳng giác góc BAC nên ta có điều phải chứng minh Bình luận Hình vẽ câu (a) toán tương đối quen thuộc, nhiên dễ dàng nhìn cách giải Có vài cách giải khác biến đổi góc hay sử dụng định lí sin, dễ phụ thuộc vào hình vẽ Câu (b) toán đòi hỏi vẽ hình xác để nhận điểm thẳng hàng Khi việc sử dụng định lí Pascal tự nhiên Bài Có nhóm n > người thỏa mãn điều kiện (i) người quen người quen chung; (ii) người không quen có người quen chung a) Chứng minh 8n số phương b) Tìm n nhỏ thỏa đề Lời giải a) Xét người A A quen k người không quen n k người Khi đó, người quen A quen chung người, không kể A Hơn nữa, có k.k 1/=2 người mà A không quen, người C D mà quen A không quen (vì quen có A người quen chung, vô lý) Khi đó, tồn người B quen C D B không quen A, B quen A có người quen chung C D Ta chứng minh n k D k.k 1/=2 Thật vậy, ta có n k k.k 1/=2 Nếu n k > k.k X không quen A mà người quen chung với A, vô lí Vậy ta có 8n 8k D 4k 4k, hay 8n 1/=2 có người D 2k C 1/2 số phương b) Ta chứng minh người có số người quen Thật vậy, giả sử hai người A A0 tuỳ ý có số người quen k k Khi đó, theo câu a), ta có 2k C 1/2 D 2k C 1/2 , suy k D k Vậy người có số người quen ı Xét trường hợp k D 3, hay n D Khi đó, người quen với người khác nên số cặp quen 3:7=2, vô lí ı Xét trường hợp k D 4, hay n D 11 Giả sử A1 quen người A2 ; A3 ; A4 ; A5 Khi A2 quen với người A6 ; A7 ; A8 Do A3 không quen A2 nên giả sử A3 quen A6 ; A9 ; A10 Do A4 quen A1 có bạn chung với A2 ; A3 nên giả sử A4 quen A7 ; A9 ; A11 Do A5 quen A1 có bạn chung với A2 ; A3 ; A4 nên A5 quen A8 ; A10 ; A11 18 Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Như A6 cần quen thêm hai người số A7 ; A8 ; : : : ; A11 mà không quen A7 ; A8 ; A9 ; A10 , có quen chung với A2 ; A3 Điều vô lí Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên ı Xét trường hợp k D 5, hay n D 16 Ta mô hình thoả mãn đề A16 A15 A14 A13 A12 A11 A10 A9 A8 A7 A6 A5 A4 A3 A2 A1 A1 A2 A3 A4 A5 A6 A7 A8 A9 A10 A11 A12 A13 A14 A15 A16 Vậy giá trị nhỏ n 16 19 ... hai anh Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Phần I Đề Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Đề thi khối 10 Bài An Bình hai bạn học lớp chuyên toán Khi Bình... điểm cố định xác định sai dẫn đến không giải toán Ở dạng toán này, tinh ý di chuyển điểm P phía B hay C 13 Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên ta có đường tròn... giác ABC điểm thứ hai K Chứng minh X trung điểm AK — HẾT — Olympic Gặp gỡ Toán học 2017 Gặp gỡ Toán học IX - Nhóm huấn luyện viên Đề thi khối 12 Bài Cho số thực a xét dãy số fxn g thoả mãn x1