Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh giải toán tích phân

Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân Phần I: đặt vấn đề Mục tiêu giáo dục đào tạo học sinh thành ngời mới, ngời độc lập, tự chủ, sáng tạo, ngời phát triển toàn diện trí tuệ, tâm hồn, nhân cách lực Để đào tạo đợc ngời có phẩm chất, lực , vừa hồng vừa chuyên, đòi hỏi ngành, nhà trờng phải có chiến lợc hợp lí Mỗi giáo viên, muốn nâng cao chát lợng giảng dạy phải tìm phơng pháp giảng dạy phù hợp với kiểu bài, đối tợng học sinh Phơng pháp giảng dạy yếu tố quan trọng định đến kết giáo dục Bởi vậy, đổi phơng pháp giảng dạy giúp cho học sinh tích cực, chủ động chiếm lĩnh kiến thức Tuy vậy, việc áp dụng phơng pháp đối tợng học sinh khó khăn, đòi hỏi ngời giáo viên phải có kiến thức, kinh nghiệm, thờng xuyên nghiên cứu, đặc biệt phải có nghệ thuật s phạm Nhng hình thành có đợc thông qua đờng chuyển biến chuyển hoá tự thân chủ thể học sinh dới tác động nhà trờng, gia đình xã hội Ngời học sinh tích cực tham gia cách tự giác có ý thức vào trình học kết việc giáo dục vững chắc, sâu sắc nhiêu Song học môn khoa học tự nhiên nói chung học môn toán nói riêng học sinh gặp phải vấn đề khó khăn giải tập Mà tập toán có ý nghĩa vai trò vô quan Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân trọng, lẽ giúp học sinh củng cố kiến thức cách chắn Trong thực tế giảng dạy Trung tâm GDTX thị xã thấy học đến chơng Đạo Hàm Tích Phân em học sinh tỏ lúng túng Có lẽ nguyên nhân em cha nắm lý thuyết em hầu hết cha đợc va chạm với nhiều dạng tập Điều gây nhiều khó khăn cho học sinh, học sinh khối 12 cần tập trung kiến thức cho kỳ thi tốt nghiệp thi đại học, cao đẳng Chính để nâng cao hiệu giảng dạy, đề tài xin đợc bàn vấn đề:Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân" Phần II : Nội dung I Cơ sở khoa học: Nguyên hàm tích phân nội dung quan trọng chơng trình Toán lớp 12 Những toán phần tích phân vừa vừa khó loại toán lại đa dạng nên gây không khó khăn cho học sinh Mặt khác nội dung sách giáo khoa lớp 12 dừng lại nội dung ba phơng pháp để tính tích phân Phần kỹ dừng lại mức minh hoạ, từ kiến thức kỹ tới kiến thức kỹ để giải toán thi vào trờng mà em có nhu cầu học lên khoảng cách xa Chính giảng chơng cần : Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân -Xác định kiến thức kỹ cần khắc sâu giảng dạy lý thuyết: 1/ Định lý Lagrang: Là định lý quan trọng phép tính vi phân Tuy ta công nhận không chứng minh song phải làm cho học sinh nắm vững điều kiện định lý từ áp dụng toán về: a) Chứng minh bất đẳng thức b) Chứng minh tồn nghiệm khoảng (a;b) c) Chứng minh hàm số y=f(x) không đổi khoảng (a;b) 2/ Bảng nguyên hàm bản: Ngoài công thức sách giáo khoa Chúng ta thêm bổ xung thêm công thức tối thiểu là: c) dx = ln x + x a x a dx xa = ln +c d) 2 2a x + a x a 2 +c (a 0) (a 0) 3/ Tính tích phân xác định theo định nghĩa a) Học sinh cần nắm vững bớc để tính giới hạn tổng LimS n từ tính đợc tích phân n b) Ngợc lại phải hớng dẫn học sinh làm toán tìm giới hạn tổng ta đa toán tích phân đơn giản I= f ( x)dx Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân rèn cho học sinh biết đa tổng Sn n i f ( n ) n , từ tìm hàm i =1 f(x) tơng ứng 4/ Các định lý tích phân: Ngoài định lý có sẵn sách giáo khoa ta cần bổ sung thêm số định lý thờng đợc áp dụng tập: b a) a b f ( x)dx = f (u )du a b) Nếu y= f(x) liên tục [-a; a] thì: Nếu f(x) hàm số lẻ đoạn [-a;a] a a a f ( x )dx = f ( x)dx Nếu f(x) hàm số chẵn đoạn [-a;a] c) Nếu f(x) hàm tuần hoàn với chu kỳ T thì: b +T b f ( x)dx = f ( x)dx a +T a b d) x [a;b]: a b f ( x )dx f ( x) dx a e) x [a;b] m f(x) Mthì: b m(b-a) f ( x)dx M(a-b) a 5/Dùng vi phân để tìm nguyên hàm Giúp cho học sinh trình bày toán tích phân ngắn gọn a) dy= y dx b) f [u ( x ) ].u ' ( x ) dx = f (u )du c) Nếu u = ax+b (a 0) f (ax + b)dx = a f (u )du II Nội dung A- Một số kiến thức kỹ bổ xung rèn luyện trình giải loại tập: Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân Ta phân loại tập sách giáo khoa( sách tham khảo ) Tiến hành rèn luyện kỹ theo loại Trớc làm ta nêu kiến thức kỹ riêng biệt cần nắm vững cho loại 1/ Tích phân hàm hữu tỷ; a) Các nguyên hàm cần nhớ: dx ax + b = a ln ax + b + c x (a 0) dx xa = ln +c 2a x + a a (a 0) (n 1) +c a (n 1)( ax + b) n 1 Chú ý: + Khi gặp dạng m ta chuyển thành X-m X + ) ax2+ bx+ c= a[(x+m)2+ n] (a 0) b) Phơng pháp tính: P( x) dx I= Q( x) dx (a 0) ( ax + b) n = * Trờng hợp 1: Nếu bậc P(x) lớn bậc Q(x) ta thực phép chia P(x) cho Q(x) ta đợc: P( x) R( x) = A( x ) + với bậc R(x) nhỏ bậc Q(x) Q( x) Q( x) R( x) dx dạng Việc tính A( x )dx trở nên đơn giản, ta biến đổi I = Q( x) nguyên hàm Dạng 1: Với Q(x) =ax2+bx=c(a 0) bậc R(x) R( x) Mx + N = Vậy Q( x) ax + bx + c Khả 1:Q(x) có nghiệm phân biệt x1;x2 R( x) Mx + N A B = = + Q( x) a ( x x1 )( x x ) x x1 x x Khả 2: Q(x) có nghiệm kép x0 Q(x) = a(x-x0)2 Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân R( x) Mx + N A B = = + Q( x) a ( x x ) x x0 ( x x2 ) Khả 3: Q(x) vô nghiệm ta phân tích: P( x) A.Q ' ( x ) B = + Q( x) Q( x) Q( x) Từ : Dạng II:Với Q(x) = ax +bx +cx+d (a 0) bậc R(x) Khả 1: Q(x) có nghiệm x0 q(x) = (x-x0)(ax2+ x + ) Từ R ( x) Mx + Nx + S A mx + n = = + 2 Q ( x ) ( x x0 )( ax + x + ) x x0 (ax + x + ) (m,n, , số) Khả 2: Q(x) có dạng Q(x) = (x-a)3 Ta phân tích R(x) = A(x-a)2+B(x-a) +C từ R ( x) A B C = + + Q( x) x a ( x a) ( x a) Dạng III: Với Q(x) có bậc lớn thông thờng ta xét Q(x) đơn giản * Trờng hợp 2: Bậc P(x) nhỏ bậc Q(x) ta coi nh R(x) tiến hành bớc nh dạng I,II,III trờng hợp *Phần tập: 1,2 (128) Bài làm thêm : Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số: 1 x4 a) ; b) ; c) x( x + 1) ex +1 x4 2x x6 + x5 + x2 + e) ; h) x 2x + x6 + Bài 2: Tính tích phân xdx xdx a) ; b) ; c) x +4 x + x + ; d) dx ; x + 2x x2 ; ( x 1)( x + 1) 2 d) x dx x + 2x + Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân e) xdx ( x + 1) ; f) ( x + 1)dx x4 +1 ; g) x x dx ; l) dx ( x a )( x b) 2/ Tích phân hàm vô tỷ: A Nhấn mạnh cho học sinh công thức nguyên hàm: dx x a 2 = ln x + x a Từ áp dụng tính + c (a 0) x a dx B Những dạng đổi biến thờng gặp: a) R[ x; a x ]dx Đặt x=acost( asint) R[ x; a + x ]dx Đặt x = atgt (Vì : a2 x2=a2- a2cos2t= a2sin2t khử đợc thức) b) (Vì : a2 +x2= a2+ a2tg2t= a2 cos t khử đợc thức) a c) R[ x; x a ]dx Đặt x = cos t 2 a a (Vì : x2 a2= a2 = sin t = a tg t khử đợc thức) 2 cos t cos t dx d) Đặt x = t ( x a ) ax + bx + c e) Chú ý phơng pháp nhân tử mẫu với biểu thức liên hợp * Bài tập áp dụng: 3,4(141,142) * Bài tập bổ xung : Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số sau: a) x x + ; b) a x + a x + ; c) x + 2x + 1 e) ; f) ( x + 1) x + 3x + 2x x Bài 2: Tính tích phân: ; d) 3x x2 + Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân 1 a) x x dx 2 b) x x dx ; ; c) + x dx ln( x + d) + x ) 99 dx e) Cho f(x) xác định liên tục [-1;1] f(x) + f(-x) = x Tính f ( x)dx 1 f) y dy y6 + g) x+ ydx x2 +1 h) x+ xdx x2 3/ Tích phân hàm lợng giác : * Hớng dẫn học sinh số thuật giải tập lợng giác : a) Đối với dạng R(sin x, cos x)dx Nếu (R hàm số hữu tỷ) R ( sin x, cos x) = R (sin x, cos x) Đặt cosx = t ( Hàm lẻ dối với sinx) Nếu : R( sinx,- cosx) = - R(sinx,cosx) Đặt sinx = t (Hàm lẻ cosx) Nếu : R( -sinx,- cosx) = R(sinx, cosx) Đặt tgx = t (Hàm chẵn sinx cosx) Nếu : R(sinx, cosx ) Hàm bậc sinx cosx x Thì đặt tg = t ( phép vạn năng) b) Đối với dạng : p= 2n+1 Đặt cosx= t ( n N*) p q q= 2n+1 đặt sinx = t sin x cos x.dx p= 2n; q= 2m Dùng công thức hạ bậc (m,n N*) p+q = - 2n Đặt tgx = t c) Hạ bậc : Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân b b cos xdx ; a b sin xdx ; a b ; sin xdx cos xdx a a d)Biến tích thành tổng dạng: b sin Ax cos Bxdx b sin Ax sin Bxdx ; a b cos Ax cos Bxdx ; a e)Đổi biến : x = sint ; x= cost ; tg a x = t ; t = tgx ; x= - t f) Đối với dạng : 2dt 1+ t2 2t sin x = 1+ t2 dx = dx a cos x + b sin x + c ta đặt tg x =t cos x = g) Nếu gặp t2 1+ t2 a sin x + b cos x c sin x + d cos x dx ta phân tích tử số : asinx +bcosx= A( csinx + dcosx)+ B( ccosx- dsinx) h) m sin x + n cos x + p dx a sin x + b cos x + c Đặt msinx+ncosx+p = A( asinx + bcosx+c) + B(acosx bsinx)+C Chú ý: d(tgx)=(1+tg2x)dx; d(cotgx)=-(1+cotg2x)dx Bài tập:1,3,5,6(141,142) *Bài tập bổ xung: Bài 1: Tìm nguyên hàm cuả hàm số sau: a) cos2x ; b) tg2x e)sin3xcos2x ; ; f) c) sin2xcosx sin x cos x + sin x ; Bài 2: Tính tích phân: ; d) g) sin x + tgx cos x Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân a) cot gxdx ; b) sin x + cos x dx ; c) dx d) a cos x + b sin x f) (a + b 0) ; e) + sin x dx 100 cos x dx sin x cos x + sin x dx Bài 3: Tính tích phân: a) tg ; b) sin x + sin x dx cos x xdx d) 3 c) sin x + cos x sin x cos x + dx sin x cos x ; cos x dx ; e) cos x + cos x dx sin x + sin x ; g) sin x cos xdx 4/ Tính diện tích thể tích tích phân: a) Chú ý đến công thức tính thể tích : b V = S ( x ) dx a b) b V = S ( y ) dy a Biết tách phơng trình đờng khép kín thành hai hàm tơng ứng với hai nửa hình để áp dụng công thức: b S = f ( x) f ( x) dx a b 2 ; V = y1 ( x) y ( x ) dx a b 2 V = x1 ( y ) x ( y ) dy a * Bài tập sách giáo khoa: Bài tập trang 154,155 * Bài tập bổ xung: 10 Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân Tính diện tích hình phẳng giới hạn :y=x2 y2=x Tính diện tích hình e-lip : x2 y2 + =1 a2 b2 x2 y2 + < quay quanh Ox a2 b2 Tính thể tích gây nên e-lip : Tính thể tích khối tròn xoay gây nên hình chắn đờng : Y= 2x-x2 ; y=0 quay quanh Ox 5/Bất đẳng thức tích phân: b c dx b a a a) Vận dụng định lý Lagrang: Chú ý: C = b b) Nếu f(x) g(x) x [a;b] b g ( x)dx f ( x)dx a a b Nếu x0 [a;b] mà f(x0)0 16 =1/4 diện tích hình tròn tâm Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân Bán kính R=1 I= R = 4 x3 x + dx (Giải phơng pháp) Bài 2: J = *Trực tiếp: 3 3 x3 ( x + x) x d ( x + 1) J= dx = dx = xdx = ln 2 x +1 x2 +1 x +1 0 *Đổi biến: Đặt x=tgt dx=(1+tg t)dt 3 J = tg tdt = tgt (tg t + 1)dt = tgtd (tgt ) + 0 d (cos t ) = ln cos t *T.P phần: xdx dv = v = ln( x + 1) x +1 J = ln x ln( x + 1)dx u=x2 du= 2xdx 1 = ln ln( x + 1)d ( x + 1) = ln ln tdt = = ln 2 21 2 Bài 3: Tính K = x dx x2 t *Đặt t = x tdt = xdx K = dt = arctgt +1 2 dt dt = arcsin t *Đặt t = = dx K = x t t2 = 2 = *Đặt x = 4 sin tdt sin tdt dx = K = = dt = cos t 12 cos t sin t (vì t [ ; ] sin t > 0) dx sin x Bài 4: Tính N = *C1:Dùng phép (vạn năng): tg x 2dt = t dx = 1+ t2 17 12 Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân N= 3 2dt dt 1+ t =2 = 2 2t t (t 1) 1+ t 3 = = + x d( + ) dx dx x = = = tg ( + ) = + *C2: x x sin x x (cos sin ) cos ( + ) 2 *C3: Nhân tử mẫu với 1+sinx dx d (cos x) ta đợc N = (1 + sin x)dx = cos x cos x cos x = (tgx + cos x ) 03 = + Bài 5: Tính K= dx e +1 x dt t dt 1 t ex K = = ( ) dt = ln + C = ln x +C t (t 1) t t t e +1 dt *Đổi biến 2: Đặt ex = t dx = t dt 1 t ex K = = ( )dt = ln + C = ln x +C t (t + 1) t t +1 t +1 e +1 *Đổi biến 1: Đặt ex+1 =t dx = *Liên hợp: e x dx = ln(e x + 1) + C1 x e +1 (e x + 1)dx Và K+K= = x + C2 ex +1 Xét K= Vậy K=x K+C= x-ln(e +1)+C = ln( x ex )+C ex +1 * Một số toán tơng tự: dx a) N = ; b) N = cos x cos xdx sin x ; c) 18 sin x sin x + cos x dx Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân d) sin x sin x + cos x dx Lời giải vắn tắt tập: Bài tập trang : Tích phân hàm hữu tỉ A B C Bài 1:a/ = x + x + + ( x + 1) A=1; B=-1 ; C=-1; b)Dùng tích phân cặp đôi (Đã giải phần trớc) x4 x4 + 1 1 b) = = 1+ ( ) x x x x +1 A B C + + c) = A= 1/4 ; B=3/4 ;C= -1/2 x x + ( x + 1) A( x 2) B + A = 1; B = ; f)Dùng vi phân d) = x 2x + x 2x + g) Nh câu c) x6 + + x5 + x4 x2 + + x2 x5 x2 h) = + + + x6 + x6 +1 x2 + x6 + Bài 2: a)Dùng vi phân b) = c) A(2 x + 2) B + A = ; B = 2 x + 2x + x + 2x + 1 x3 = = x2+ ; d) 2 x + x ( x 1) x + ( x + 1) ( x + 1) x 1 = f) Vì x [1;2] chia tử mẫu cho ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) x2 ta đợc: 1 1 1+ 1+ 1+ d (x ) 2 x + x x x = arctg x Phầ dx = 1 1 2 2x (x (x x2 + ( x )2 + ) +2 ) +2 x x x x n g,h làm tơng tự k) x x-x - + e) 1 2 k/= ( x x)dx + ( x x )dx + ( x x)dx * Tích phân hàm vô tỉ : Bài 1: 19 Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân x + = t ; b) a) Đặt d) 3x x +2 = 3( x + 2) x +2 a +a x x x +2 =a +a 3x x ; c) ( x + 1) + 2 dx dx = x + 2dx x +2 t2 = + t ; f) x2 + 1 x +1 = e)Đặt t 1 1 ( x + 1) ( + 1) t t t d ( x + x + 2) g) x2 + x + Bài 2: a) Dùng vi phân; b) Đặt x= sint 1 c) x x + + ln x + x + ; d/ dùng vi phân e) Dùng tính chất hàm lẻ kq=0 f) f ( x)dx = 1 f ( x)dx + f ( x)dx = 1 0 = [ f ( x) + f ( x)]dx = x dx = 1 0 f ( x) d ( x) + f ( x) dx = f ( x) dx + f ( x)dx Bài tập trang Bài 1:a/ hạ bậc; b / 2 tg xdx = (tg x + 1)dx dx = tgx x + C tg 2x=(tg2x+1)-1 c,d/ Dùng vi phân, e/ Biến tích thành tổng x g/ Dùng tích phân cặp đôi đặt tg = t ; h,k /đổi biến Bài 2: 1,2/ Dùng vi phân x 3/ Đặt tg = t dt dt b tgx = t dx = 4/ = = arctg 4/ a 1+ t b a 2 ab ( ) +t b 8/ sinx=A(cosx+2sinx)+B(-sinx+2cosx) A= 2/5;B= -1/5 Bài 3: a) tg7x= tg7x+ tg5x- tg5x- tg3x +tg3x + tgx tgx tg 0 0 xdx = (tg x + tg x)dx (tg x + tg x)dx + (tg x + tgx)dx tgxdx 20 Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân 0 0 = tg xdtgx tg xdtgx + tgxdtgx tgxdx t2 2t 1dt c) sinx+2cosx-3=A(sinx-2cosx+3)+B(cosx+2sinx)+C 3/4;B=1/2;C=-3/4 d) đặt cosx =t sinxdx=-dt ; e) hạ bậc; f) Đặt sinx = t b)Đặt cosx =t sinxdx=-dt b/= A=- Bài tập trang 9: 2/ Qn = 1 5 n n i ( ) + ( ) + + ( ) = f ( ) với f(x) = x5 Vậy n n n n i =1 n n n Lim Qn = Lim n n i =1 Phần III : 1 i x6 f ( ) = x dx = n n = kết luận chung đề xuất Qua giảng dạy, thân rút kinh nghiệm bớc đầu giáo viên phải giải thật kỹ tập sách giáo khoa, sách tập, sách tham khảo, sau xếp, phân loại tìm kiến thức kỹ Trên sở đối chiếu với sách giáo khoa thấy rõ kiến thức kỹ cần sâu, kiến thức kỹ cần bổ sung, kiến thức kỹ mà học sinh hay mắc sai lầm 1/ Khi giảng dạy định lý hay công thức yêu cầu học sinh phải nắm giả thiết, kết luận, điều kiện tồn định lý 21 Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân 2/ Khi thực tập cần phân loại dạng để học sinh dễ nhận dạng, dễ hiểu có hớng giải quyết, biết vận dụng vào loại tập cụ thể 3/ Phải chọn lọc loại tập điển hình, định hớng suy nghĩ hớng dẫn học sinh tìm lời giải giải nhiều cách Yêu cầu tập là: Củng cố kiến thức kỹ tính toán Phát huy tính t sáng tạo Có tác dụng phục vụ cho học sau 4/ Để nâng cao chất lợng dạy học nhà trờng thiết nghĩ không khác thân ngời giáo viên em học sinh phải nỗ lực thân, song để đạt đợc kết giáo dục tốt quan tâm cấp lãnh đạo ngành giáo dục cần thiết, xin có đề xuất nh sau: - Có thể đa đề tài SKKN có chất lợng lên trang web ngành để giáo viên đợc học tập kinh nghiệm đồng nghiệp khác - Tạo điều kiện để giáo viên trẻ đợc học tập kinh nghiệm đồng chí có thâm niên công tác - Do thời gian công tác cha nhiều nên đề tài chắn nhiều thiếu sót Kính mong đồng nghiệp đóng góp ý kiến để kinh nghiệm đạt hiệu Tôi xin chân thành cảm ơn 22 Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân Mục lục Trang Phần I: Đặt vấn đề Phần II: Nội dung 3 luận II Nội dung A Một số kiến thức kỹ bổ xung B Những sai lầm phổ biến giải toán C Một số toán tích phân giải nhiều III Hiệu sáng kiến kinh nghiệm Phần III Kết luận chung đề xuất Sách tham khảo 23 I Cơ sở lý 3 11 phơng pháp 21 20 Nguyễn Thị Hải Hiền-Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân Báo toán học tuổi trẻ Phơng pháp giảng môn toán Phơng pháp tính tích phân (Nguyễn Hữu Ngọc) 4.Sai lầm phổ biến giải toán ( Nguyễn Vĩnh Cận) 5.Đề thi tuyển sinh Bộ Giáo dục đào tạo 6.Giải tích lớp 12 24 ... f(x) C/ Một số toán tích phân giải nhiều phơng pháp: 15 Nguyễn Thị Hải Hiền -Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân Sau học sinh làm quen với phơng pháp ta đa số tập giải nhiều phơng... Hiền -Kinh nghiệm hớng dẫn học sinh giải toán tích phân trọng, lẽ giúp học sinh củng cố kiến thức cách chắn Trong thực tế giảng dạy Trung tâm GDTX thị xã thấy học đến chơng Đạo Hàm Tích Phân em học. .. hớng dẫn học sinh giải toán tích phân Báo toán học tuổi trẻ Phơng pháp giảng môn toán Phơng pháp tính tích phân (Nguyễn Hữu Ngọc) 4.Sai lầm phổ biến giải toán ( Nguyễn Vĩnh Cận) 5.Đề thi tuyển sinh