Khai thác tỉ số hình học không gian cổ điển GV: Trần Lê Quyền1, Bùi Hùng Vương2 Một hướng tiếp cận xử lí nhanh toán hình không gian việc ý đến tỉ số đối tượng loại Thông qua việc lập tỉ số, chuyển toán ban đầu giải toán đơn giản quen thuộc Ngoài ra, số thao tác sử dụng MTCT đôi lần nhắc đến Để tính tỉ số diện tích hai tam giác, ta chuyển tính tỉ số độ dài cạnh đáy đường cao Ý tưởng tương tự áp dụng cho tỉ số thể tích hai khối chóp Sau số nhận xét đơn giản: (1) Nếu M trung điểm cạnh BC ∆ABC ta có SABM = SACM = SABC (2) Nếu ABCD hình bình hành ta có SABC = SBCD = SCDA = SDAB = SABCD (3) Đối với hình thang ABCD mà AB (4) Đối với hình thang ABCD mà AB SABCD CD, ta có SACD = SBCD CD, AB = 2CD, ta có SACD = (5) Tỉ số diện tích hai tam giác đồng dạng bình phương tỉ số đồng dạng (6) Xét ∆ABC với B , C điểm thuộc cạnh AB, AC Khi ta có SABC AB AC = SAB C AB AC (7) Xét hình chóp S.ABC với A , B , C điểm thuộc cạnh SA, SB, SC Khi ta có VABC SA SB SC = VAB C SA SB SC TP HCM - 0122 667 8435 TP HCM - 0908 939 004 Luyện giải nhanh tự luận, trắc nghiệm Toán - Casio & tư mạnh nhất! (8) Giả sử đường thẳng qua hai điểm A, B cắt mặt phẳng (P ) I Khi ta có AI d(A; (P )) = d(B; (P )) BI Riêng với trường hợp AB (P ) ta có d(A; (P )) = d(B; (P )) Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang nội tiếp đường tròn (C) tâm I, cho biết AB CD, CD = 2AB, ∠CDA = 60◦ Giả sử thể tích khối chóp S.ABCD v , tính thể tích khối nón có đỉnh S đáy hình tròn (C) Giải Do hình chóp hình nón cho có đường cao nên tỉ số thể tích khối chóp khối nón tỉ số diện tích hai đáy, tức k= (AB + AC).AH π.r2 Dễ thấy tâm I trung điểm CD, đơn giản cho AB = ta có √ (1 + 2) k= 2π.12 √ 3 = 4π 4π 3 Vậy thể tích khối nón √ v Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = √ a, SB = a (SAB) ⊥ (ABCD) Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính thể tích khối chóp S.BM DN Giải Độ dài ba cạnh cho thấy ∆SAB vuông S Kẻ SH ⊥ AB H ta có SH ⊥ (ABCD) Trong ∆SAB ta có √ 3a √ 3a (2a)2 = SH.AB = SA.SB ⇒ SH = Theo (1), VBM DN = 12 VABCD , VABCD Ví dụ (Câu 40 ĐMH) Từ tôn hình chữ nhật kích thước 50 cm × 240 cm, người ta làm thùng đựng nước hình trụ có chiều cao 50cm, theo hai cách sau (xem hình minh họa đây): • Cách 1: Gò tôn ban đầu thành mặt xung quanh thùng • Cách 2: Cắt tôn ban đầu thành hai nhau, gò thành mặt xung quanh thùng Kí hiệu V1 thể tích thùng gò theo cách V2 tổng thể tích hai thùng gò theo cách Tính tỉ số V1 V2 Giải Vì hai thùng có chiều cao nên tỉ số thể tích tỉ số diện tích đáy, bình phương tỉ số hai bán kính Ta có r1 = 240 120 V1 r1 , r2 = ⇒ = ( )2 = 2π 2π V2 r2 Ví dụ Cho hình chóp tam giác S.ABC với SA = 2a, AB = a Gọi H hình chiếu vuông góc A lên cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABH theo a Giải Vì AB ⊥ (SM C) nên thu SC ⊥ (AHB) Ta có theo (8) k= VH.SAB HS d(H, (SAB)) = = VC.SAB d(C, (SAB)) CS √ √ √ = Xem a = 1, nhờ AH.CS = 2.S = 215 nên AH = 415 ⇒ SH = SA2 − AH √SAC √ 11 hợp với k = 78 thu VS.ABH = 1611 Dễ tính VS.ABC = 12 , kết √ Kết tính theo a VS.ABH = 1611 a3 Ví dụ (Câu 38 ĐMH) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy hình √ vuông cạnh 2a Tam giác SAD cân S mặt bên (SAD) vuông góc với mặt phẳng đáy Biết thể tích khối chóp S.ABCD a Tính khoảng cách h từ B đến mặt phẳng (SCD) Giải Gọi H trung điểm AD, ta có SH ⊥ AD ⇒ SH ⊥ (ABCD) Khi h = d(B, (SCD)) = d(A, (SCD)) = 2.d(H, SCD) Để ý d(H, (SCD)) cho công thức1 1 = + 2 d(H, (SCD)) d(H, CD) SH √ 34 X = d(H, SCD)2 Xem a = 1, ta có SH = √ = 2, d(H, CD) = HD = 2 nghiệm pt 1 solve = + −−−→ X = X Vậy h = a Ví dụ Cho lăng trụ ABCD.A B C D có đáy hình thoi cạnh a, cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Biết A ABD hình chóp đều, tính theo a thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BB D D) Giải Gọi H trọng tâm tam giác ABD ta có A H ⊥ (ABD) A ABD hình chóp Gọi E = AC ∩ BD lấy K ∈ AC cho Có thể tổng quát công thức sau: Gọi H hình chiếu vuông góc S lên mặt phẳng (P ) Với ∆ đường thẳng chứa (P ) cho H ∈ ∆, khoảng cách từ H đến mặt phẳng (S; ∆) cho bởi: 1 = + d(H, (S; ∆))2 d(H, ∆)2 SH (S; ∆) mặt phẳng qua S chứa ∆, có mặt phẳng có đặc điểm áp dụng công thức A EKH hình chữ nhật, ta có AO = 32 KO EK ⊥ (ABCD) Ta có d(A, (BB D D)) = d(A , (BB D D)) AA (BB D D) Mà theo (8), AO d(A, (BB D D) = = d(K, (BB D D) KO Tương tự trên, xem a = để tính d(K, (BB D D) ta cần có √ 2 store d(K, BD) = KO = AH = AO = −−−−→ Y 3 store Tiếp tục EK = A H = Y tan 60◦ −−−−→ M , solve pt 1 12 = + X M Y thu X = 14 Khoảng cách cần tìm tính theo a a Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với BC = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc 30◦ Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng SA BD Giải Gọi H trung điểm AB , ta có SH ⊥ (ABCD) Xem a = đặt BH = x ta có √ √ x store SH ⇒ x = √ −−−−→ A tan 30 = ⇔ =√ CH 2 + x2 ◦ Với E điểm cho AEBO hình bình hành, ta có d(SA, BD) = d(B, (SAE)) = 2.d(H, (SAE)) √ SABD store Ta có d(H, AE) = d(H, BD) = = −−−−→ B , d(H, (SAE))2 = X BD cho Vậy d(SA, BD) = 12 solve = +√ −−−→ X = X B 17 3A a 17 Ví dụ Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, tâm O Cạnh bên SA ⊥ (ABCD), SA = a M trung điểm cạnh SD Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng OM BC Giải Gọi N trung điểm CD, ta có BC (OM N ) nên d(BC, OM ) = d(BC, (M N O)) = d(C, (M N O)) = 3.VM.ON C SM N O Trong đó, VS.ABCD = 16.VM ON C SD SABCD 1 VS.ABCD = = VM ON C M D SON C SM N O = 14 SSBC ∆M N O ∼ ∆CSB với tỉ số đồng dạng Bạn đọc tự tính lấy VS.ABCD SSBC để kết thúc toán Bài tập BT Cho hình chóp S.ABCD, có đáy hình thang cân với BC AD Biết √ SA = a 2, AD = 2a, AB = BC = CD = a Hình chiếu vuông góc S mặt phẳng (ABCD) trùng với trung điểm cạnh AD Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD √ 3 A .a √ 3 B .a √ 3 C .a √ 3 D .a BT Cho hình chóp S.ABCD có (SAC) ⊥ (ABCD) Biết B D cách (SAC) thể tích khối chóp S.ABCD Tính thể tích V khối tứ diện SABC A V = B V = C V = D V = BT Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C có đáy ABC tam giác vuông cân B Biết thể tích khối lăng trụ ABC.A B C Tính thể tích khối tứ diện B ABC A B C D BT Nếu tăng chiều dài tất cạnh tứ diện lên lần thể tích tứ diện tăng lần? A lần B lần C 16 lần D 24 lần BT Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vuông B, SA = SC = a SA ⊥ (ABC) Gọi M trung điểm SC, tính khoảng cách hai đường thẳng MB AC A √ 3.a √ B .a C √ 2.a √ D .a BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang nội tiếp đường tròn (C) tâm I Cho biết AB CD, AB = 2CD ∠BAD = 45◦ Gọi V thể tích khối chóp S.ABCD, V thể tích khối nón có đỉnh S đáy hình tròn (C) Tính tỉ số A 5π B V V 5π C 5π D 5π BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a, ∠BAD = 60◦ Hình chiếu vuông góc đỉnh S lên (ABCD) trùng với hình chiếu vuông góc C lên đường thẳng AD Góc SA (ABCD) 60◦ , tính thể tích V khối chóp S.AHCB A .a3 B .a3 C .a3 D .a3 BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình chữ nhật với BC = a Tam giác SAB nằm mặt phẳng vuông góc với mặt đáy Cạnh bên SC tạo với mặt phẳng đáy góc 30◦ Tính theo a thể tích V khối chóp S.ABCD √ 3 a A V = √ 3 B V = a √ 3 C V = a √ 3 D V = a BT Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = √ a, SB = a (SAB) ⊥ (ABCD) Tính khoảng cách từ C đến mặt phẳng (SAD) √ A .a √ B .a C a D a BT 10 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, AB = a Các mặt bên tam giác cân đỉnh S Hai mặt phẳng (SAB) (SAC) tạo với mặt phẳng đáy góc 60◦ Tính khoảng cách d hai đường thẳng SA BC A d = a 10 √ B d = a √ C d = a D d = √ 3.a BT 11 Cho hình trụ (T ) mặt phẳng (P ) cố định, hỏi có mặt phẳng (Q) thõa mãn: • (Q) song song trùng với (P ) • (Q) chia hình trụ (T ) thành hai phần tích nhau, A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng BT 12 Cho hình nón (N ) đường thẳng ∆ không phương với trục hình nón (N ) Hỏi có mặt phẳng (P ) thỏa mãn: • (P ) song song chứa ∆ • (P ) chia hình nón (N ) thành hai phần tích A mặt phẳng B mặt phẳng C mặt phẳng D mặt phẳng BT 13 Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vuông có độ dài cạnh 2a Tam giác SAB vuông S (SAB) ⊥ (ABCD) Biết ∠(SC, (ABCD)) = ∠(SD, (ABCD)) Tính thể tích khối chóp S.ABCD A 4.a3 C .a3 B 2.a3 D a3 BT 14 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông Tam giác SAB cân S (SAB) ⊥ (ABCD) Cho biết góc SC mặt phẳng (ABCD) 60◦ , tính góc (SCD) (ABCD) √ 15 A arctan B arctan √ 15 C arctan D arctan