Bài tập lũy thừa Toán lớp 6 hay

Bài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hayBài tập lũy thừa Toán lớp 6 hay

Luỹ thừa với số mũ tự nhiên a.a .a an = (n N*) n thừa số b Một số tính chất : Với a, b, m, n N am an = am+n, am an ap = am+n+p (p N) am : an = am-n (a 0, m > n) (a.b)m = am bm (m 0) (am)n = am.n (m,n 0) Quy ớc: a1 = a a0 = (a 0) Với : x, y Q; m, n N; a, b Z x.x x xn = (x N*) n thừa số n an a = n b b (b 0, n 0) xo = xm xn = xm+n xm = x mn xn x-n = (x 0) xn (x 0) (xm)n = xm.n (x.y)m = xm ym n x xn = n y y c (y 0) Kiến thức bổ sung * Với x, y, z Q: x < y x + z < y + z Với z > thì: x < y x z < y z z < thì: x < y x z > y z * Với x Q, n N: (-x)2n = x2n (-x)2n+1 = - x2n+1 * Với a, b Q; a > b > => an > bn a>b a2n +1 > b2n + a > , m > n > => am > an < a < , m > n > => am > an Dạng 1: Tìm số cha biết 2.1.1 Tìm số, thành phần số luỹ thừa *Phơng pháp: Đa hai luỹ thừa số mũ Bài 1: Tìm x biết rằng: a, x3 = -27 b, (2x 1)3 = c, (x 2)2 = 16 d, (2x 3)2 = Đối với toán này, học sinh cần nắm vững kiến thức dễ dàng làm đợc, lu ý với số mũ chẵn, học sinh cần xét hai trờng hợp a, x3 = -27 b, (2x 1)3 = x3 = (-3)3 (2x 1)3 = (-2)3 x = -3 => 2x = - Vậy x = - 2x = -2 + 2x = - => x = Vậy x = c, (2x 3)2 = => (2x 3)2 = (-3)2 = 32 => 2x -3 =3 2x -3 = -3 2x = 2x = x=3 x=0 Vậy x = x = d , (x - 2)2 = 16 => (x - 2)2 = (-4)2 = 42 => x = -4 x = -2 x2=4 x=6 Vậy x = -2 x = Bài Tìm số hữu tỉ x biết : x2 = x Nếu học sinh làm thấy nhẹ nhàng đến không tránh khỏi băn khoăn , lúng túng : hai lũy thừa số- cha biết , số mũ- biết- lại khác Vậy phải làm cách ? Nhiều học sinh tìm mò ằ đợc x = o x = 1, nhng cách không thuyết phục số x thỏa mãn đề ? Giáo viên gợi ý : x =x x = => x x = => x (x - 1) = => x = 2 x = => x = x = => x = Đến giáo viên cho học sinh làm tập sau : Bài Tìm số hữu tỉ y biết : (3y - 1)10 = (3y - 1)20 Hớng dẫn : Đặt 3y = x Khi (*) trở thành : x 10 = Giải tơng tự ta đợc : 10 x = (*) x10 = x20 x = x = => 10 => x = x = x = Rất học sinh dừng lại , tìm đợc x Nhng đề yêu cầu tìm y nên ta phải thay trở lại điều kiện đặt để tìm y +) Với x = ta có : 3y -1 = => 3y = => y = +) Với x = ta có : 3y -1 = 1 => 3y = => y = +) Với x = -1 ta có : 3y = -1 => 3y = => y = Vậy y= ; ;0 3 Bài : Tìm x biết : (x - 5)2 = (1 3x)2 Bài nàyngợc với , hai lũy thừa có số mũ -đã biết- giống nhng số cha biết lại khác Lúc ta cần sử dụng tính chất : bình phơng hai lũy thờa hai số đối Ta cố : (x - 5)2 = (1 3x)2 => x = 3x x = 3x => 4x = 2x = -4 => x= = x= -2 Bài : Tìm x y biết : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 (*) Với toán , số số mũ hai lũy thừa không giống , lại phải tìm hai số x y bên cạnh dấu , thật khó ! Lúc cần gợi ý nhỏ giáo viên em giải đợc vấn đề : so sánh (3x - 5)100 (2y +1)200 với x Q Ta thấy : (3x - 5)100 x Q (2y +1)200 => Biểu thức (*) , nhỏ Vậy : (3x - 5)100 + (2y + 1)200 = (3x - 5)100 = (2y + 1)200 = 3x = 2y + =0 => x = Bài :Tìm số nguyên x y cho : y= (x + 2)2 + 2(y 3)2 < x Z (x + 2)2 Theo , học sinh nhận : (1) 2(y 3)2 x Z (2) Nhng nảy sinh vấn đề < , học sinh làm Giáo viên gợi ý : Từ (1) (2) suy ra, để : (x + 2)2 + 2(y 3)2 < xảy trờng hợp sau : +) Trờng hợp : (x + 2)2 = (y 3)2 = => x = -2 +) Trờng hợp : => (x + 2)2 = => +) Trờng hợp : y=3 (y 3)2 = y = => y = x = -2 (x + 2)2 = (y 3)2 = x + = => x + = => y=3 x = => x = +) Trờng hợp : (x + 2)2 = (y 3)2 = x = y = => => x = y = Vậy ta có bảng giá trị tơng ứng x y thỏa mãn đề : x y -2 -2 -2 -1 -3 -1 4 -3 -3 -1 Thật toán phức tạp ! Nếu không cẩn thận xét thiếu trờng hợp ,bỏ sót cặp giá trị x y thỏa mãn điều kiện đề Bây giáo viên cho học sinh làm toán tơng tự sau : Tìm x biết : a, (2x 1)4 = 81 b, (x -2)2 = c, (x - 1)5 = - 32 d, (4x - 3)3 = -125 Tìm y biết : a, y200 = y b, y2008 = y2010 c, (2y - 1)50 = 2y d, ( y y -5 )2000 = ( -5 )2008 3 Tìm a , b ,c biết : a, (2a + 1)2 + (b + 3)4 + (5c - 6)2 b, (a - 7)2 + (3b + 2)2 + (4c - 5)6 c, (12a - 9)2 + (8b + 1)4 + (c +19)6 d, (7b -3)4 + (21a - 6)4 + (18c +5)6 3.1.2 Tìm số mũ , thành phần số mũ lũy thừa Phơng pháp : Đa hai lũy thừa có số Bài : Tìm n N biết : a, 2008n = c, 32-n 16n = 1024 b, 5n + 5n+2 = 650 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 Đọc đề học sinh dễ dàng làm đợc câu a, a, 2008n = => 2008n = 20080 => n = Nhng đến câu b, em vấp phải khó khăn : tổng hai lũy thừa có số nhng không số mũ Lúc cần có gợi ý giáo viên : b, 5n + 5n+2 = 650 5n + 5n.52 = 650 5n.(1 + 25) = 650 => 5n = 650 : 26 5n = 25 = 52 => n = Theo hớng làm câu b, học sinh có cách làm câu c, d, c, 32-n 16n = 1024 (25)-n (24)n = 1024 2-5n 24n = 210 2-n = 210 => n = -10 d, 3-1.3n + 5.3n-1 = 162 3n-1 + 3n-1 = 162 =>6 3n-1 = 162 3n-1 = 27 = 33 => n = n=4 Bài : Tìm hai số tự nhiên m , n biết : 2m + 2n = 2m+n Học sinh thực thấy khó gặp , phải làm nh để tìm đợc hai số mũ m n Giáo viên gợi ý : 2m + 2n = 2m+n 2m+n 2m 2n = => 2m.2n -2m -2n + = 2m(2n - 1) (2n - 1) = (2m - 1)( 2n - 1) = m,n N Vì 2m , 2n m = Nên từ (*) => n = (*) m = => n = m = => n = Vậy : m = n = Bài : Tìm số tự nhiên n cho : a, < 3n 234 b, 8.16 2n Đây dạng toán tìm số mũ lũy thừa điều kiện kép Giáo viên hớng dẫn học sinh đa số lũy thừa có số a, < 3n 234 31 < 3n 35 => n { 2;3;4;5} b, 8.16 2n 23.24 2n 22 27 n 2 => n { 2;3;4;5;6;7} Bài : Tìm số tự nhiên n biết : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 Với , giáo viên gợi ý học sinh quan sát , nhận xét số mũ lũy thừa tích học sinh nghĩ hớng giải toán : 415 915 < 2n 3n < 1816 216 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2)16 3615 < 6n < 3616 630 < 6n < 632 => n = 31 Bây giờ, học sinh biết làm toán tơng tự mà tự toán dạng tơng tự Tìm số nguyên n cho a 27n = 35 b c 3-2 34 3n = 37 d (23 : 4) 2n = 2-1 2n + 2n = 25 Tìm tất số tự nhiên n cho : a 125.5 5n 5.25 b (n54)2 = n c 243 3n 9.27 d 2n+3 2n =144 Tìm số tự nhiên x, y biết a 2x+1 3y = 12x b 10x : 5y = 20y Tìm số tự nhiên n biết a 411 2511 2n 5n 2012.512 b 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2n 35 + 35 + 25 + 25 Hớng dẫn: a 2x+1 3y = 12x 2x+1 3y = 22x.3x => 3y 22x = x x +1 3y-x = 2x+1 => y-x = x-1 = Hay x = y = b 10x : 5y = 20y 10x = 20y 5y 10x = 100y 10x = 1002y => x = 2y b 45 + 45 + 45 + 45 65 + 65 + 65 + 65 + 65 + 65 = 2n 5 5 +3 +3 +2 4.4 6.6 = 2n 3.3 2.2 46 66 = 2n => 46 = 2n => 212 = 2n => n = 12 3.1.3 Một số trờng hợp khác Bài 1: Tìm x biết: (x-1) x+2 = (x-1)x+4 (1) Thoạt nhìn ta thấy toán phức tạp, số cần tìm có mặt số mũ số Vì thế, học sinh khó xác định cách giải Nhng đa toán quen thuộc phép biến đổi sau : Đặt x-1 = y ta có: x+2=y+3 x+4=y+5 Khi (1) trở thành : yy+3 = yy+5 yy+5 - yy+3 = yy+3(y2 1) = => yy+3 = y2 = * Nếu: yy+3 = => y = Khi : x = hay x = * Nếu : y2 = => y2 = (1)2 => y = y = -1 Với y = ta có : x = hay x = Với y = -1 ta có : x = -1 hay x = Vậy : x { 0;1;2} Bài : Tìm x biết : x(6-x)2003 = (6-x)2003 Với này, x xuất số (không phải số mũ nh trên) Học sinh lúng túng gặp khó khăn tìm lời giải, giáo viên hớng dẫn x (6-x)2003 = (6-x)2003 x (6-x)2003 - (6-x)2003 = (6-x)2003 (x-1) = => (6-x)2003 = (x-1) = * Nếu (6-x)2003 = => (6-x) = x=6 * Nếu (x-1) = => x = Vậy : x {1;6} Bài : Tìm số tự nhiên a, b biết : a 2a + 124 = 5b b 10a + 168 = b2 Với toán này, học sinh sử dụng cách làm vào đờng bế tắc lời giải Vậy phải làm cách làm nh nào? Ta cần dựa vào tính chất đặc biệt lũy thừa tính chất chia hết tổng để giải toán : a) 2a + 124 = 5b (1) * Xét a = 0, (1) trở thành 20 + 124 = 5b Hay 5b = 125 5b = 53 Do a= b = * Xét a Ta thấy vế trái (1) số chẵn vế phải (1) số lẻ với a , a,b N, điều vô lý Kết luận : Vậy : a = b = b) 10a + 168 = b2 (2) Tơng tự câu a * Xét a = 0, (2) trở thành 100 + 168 = b2 169 = b2 (13)2 => b = 13 (vì b N) = b2 Do a = b = 13 * Xét a Chúng ta biết với số tự nhiên a 10a có chữ số tận nên suy 10a + 168 có chữ số tận 8, theo (2) b2 có chữ số tận Điều vô lý Kết luận : Vậy : a = b = 13 Giáo viên cho học sinh làm số tập tơng tự sau : Tìm số tự nhiên a , b để : a 3a + 9b = 183 b 5a + 323 = b2 c 2a + 342 = 7b d 2a + 80 = 3b 3.2 Dạng : Tìm chữ số tận giá trị lũy thừa 3.2.1 Tìm chữ số tận * Phơng pháp : cần nắm đợc số nhận xét sau : +) Tất số có chữ số tận : ; ; ; nâng lên lũy thừa ( khác 0) có chữ số tận số +) Để tìm chữ số tận số ta thờng đa dạng số có chữ số tận chữ số +) Lu ý : số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận số có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc chẵn có chữ số tận nâng lên lũy thừa bậc lẻ có chữ số tận +) Chú ý : 24 = 16 74 = 2401 34 = 81 84 = 4096 Bài : Tìm chữ số tận số : 20002008 , 11112008 , 987654321 , 204681012 Dựa vào nhận xét học sinh dễ dàng tìm đợc đáp án : 20002008 có chữ số tận chữ số 11112008 có chữ số tận chữ số 987654321 có chữ số tận chữ số 204681012 có chữ số tận chữ số Bài : Tìm chữ số tận số sau : 20072008 , 1358 2008 , 23456 , 5235, 204208, 20032005 , 9 , 56 ,996, 81975 , 20072007 , 10231024 Hớng dẫn : Đa lũy thừa dạng lũy thừa số có chữ số tận : ; ; ; +) 20072008 = (20074)502 = ( )502 = nên 20072008 chữ số tận +) 13 5725 = 135724.1357 = (13574)6.1357 = 1357 = =>13 5725 có chữ số tận 10 thể gợi ý : chứng tỏ 263> 527 263 < 528 Ta có : 263 = (27)9 = 1289 527 =(53)9 = 1259 => 263 > 527 (1) => 263 < 528 (2) Lại có : 263 = (29)7 = 5127 528 = (54)7 = 6257 Từ (1) (2) => 527 < 263 < 52 Bài So sánh : a, 10750 7375 b, 291 535 Nếu trớc so sánh trực tiếp lũy thừa cần so sánh sử dụng lũy thừa trung gian áp dụng cách khó tìm lời giải cho toán Với ta cần so sánh qua hai lũy thừa trung gian : a, Ta thấy : 10750 < 10850 = (4 27)50 = 2100 3150 7375 > 7275 = (8 9)75 = 2225 3150 (1) (2) Từ (1) (2) => 10750 < 2100 3150 < 2225 3150 < 7375 Vậy 10750 < 7375 b, 291 > 290 = (25)18 = 3218 535 < 536 = (52)18 = 2518 => 291 > 3218 > 2518 > 535 Vậy 291 > 535 Bài So sánh : a, (-32)9 (-16)13 b, (-5)30 (-3)50 c, (-32)9 (-18)13 d, ( Hớng dẫn : Đa so sánh hai lũy thừa tự nhiên a, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 (-16)13 = - 1613 = - (24)13 = - 52 Vì 245 < 252 nên -245 > - 252 Vậy (-32)9 > (-16)13 b, (-5)30 = 530 = (53)10 = 12510 (-3)50 = 350 = (35)10 = 243 10 Vì 12510 < 24310 nên (-5)30 < (-3)50 c, (-32)9 = - 329 = - (25)9 = - 245 mà 245 < 252 = 1613 < 1813 19 100 500 ) ( ) 16 => - 245 > - 1813 = (-18)13 Vậy (-32)9 > (-18)13 100 1 1100 d, Ta có : ( ) = = = 100 16 16 400 16100 = 500 (1) 500 ( ) = 2 500 500 Vì 2400 < 2500 nên Vậy ( 400 > 500 100 500 ) >( ) 16 Bài So sánh A B biết : A= 2008 2008 + 2008 2009 + ; B= 2008 2007 + 2008 2008 + Trớc tìm lời giải giáo viên cung cấp cho học sinh tính chất sau : * Với số tự nhiên a , b , c khác , ta chứng minh đợc : +) Nếu a > b +) Nếu a a+c > b b+c a < b a a+c < b b+c Ap dụng tính chất vào , ta có : Vì A = 2008 2008 + < nên 2008 2009 + 2008.(2008 2007 + 1) 2008 + 2008 2008 2008 + 2008 2008 + + 2007 A= < = = 2009 + 2008 2008.( 2008 2009 + 1) 2008 2009 + 2008 2009 + + 2007 2008 = 2008 2007 + =B 2008 2007 + Vậy A < B Giáo viên hớng dẫn học sinh giảỉ toán theo cách sau : Cách 1: Ta có : 2008.A = (2008 2008 + 1).2008 2008 2009 + + 2007 =1+ = 2008 2009 + 2008 2009 + 2007 2008 2009 + 20 2008.B = 2007 2008 2007 + 1).2008 2008 2008 + + 2007 =1+ = 2008 2008 2008 2008 + 2008 +1 2008 +1 Vì 20082009+1 >20082008+1 nên 2007 2007 < 2009 2008 +1 2008 2008 + => 2008.A < 2008 B => A < B Cách 2: 2008 2009 + 2008 2009 + 2008 2007 2008.(2008 2008 + 1) 2007 = = = A 2008 2008 + 2008 2008 + 2008 2008 + = 2008 - 2007 2008 2008 + 1 2008 2008 + 2008 2008 + 2008 2007 2008.(2008 2007 + 1) 2007 = = = B 2008 2007 + 2008 2007 + 2008 2007 + = 2008 Vì 20082008+1> 20082007 +1 nên => 2008 Vậy 1 > A B 2007 2008 2007 + 2007 2007 < 2008 2008 +1 2008 2007 + 2007 2007 > 2008 2008 2008 +1 2008 2007 + => A < B (vì A,B > 0) Bài So sánh M N biết: M= 100100 + 100 99 + ; N= 100101 + 100100 + Hớng dẫn : Cách : N = 100101 + >1 100100 + 100 100101 + 100101 + + 99 100101 + 100 (100 + 1).100 100100 + => N = > = = = =M 99 100100 + 100100 + + 99 100100 + 100 (100 + 1).100 100 99 + Vậy M < N Cách : 99 100100 + 100100 + 100 99 (100 99 + 1).100 99 M= = = = 100 100 99 + 100 99 + 100 99 + 100 99 + 99 100101 + 100101 + 100 99 (100100 + 1).100 99 N= = = = 100 100100 + 100100 + 100100 + 100100 + 21 99 99 99 > => 100 < 99 100 100 + 100 + 100 99 + Vì 10099 + < 100100 + nên 100 - 99 100100 + Vậy M < N Bây giáo viên cho học sinh làm số tập tơng tự sau : So sánh : a, 528 2614 b, 521 12410 d, 421 647 c, 3111 1714 e, 291 535 g, 544 2112 h, 230 + 330 + 430 2410 So sánh : a, 300 c, b, 200 1 d, 199 10 15 300 3 10 20 So sánh : 1315 + a, A = 1316 + 19991999 + b, A = 19991998 + 100100 + c, A = 100 99 + 1316 + B = 1317 + 1999 2000 + B = 19991999 + 100 69 + B = 100 68 + Gợi ý : c, A = 100100 + 100 99 + B = 100 69 + 100 68 + Bài không giống Học sinh lúng túng bắt tay làm bài, giáo viên cần hớng dẫn : Quy đồng mẫu A B , ta có : (100100 + 1).(100 68 + 1) A = (100 99 + 1).(100 68 + 1) (100 69 + 1).(100 99 + 1) B = (100 68 + 1).(100 99 + 1) Để so sánh A B lúc ta so sánh tử số A tử số B Xét hiệu tử số A trừ tử số B: (100100 + 1) (10068 + 1) - (10069 + 1) (10099 + 1) = 10068 + 100100 + 10068 + - 100168 10099 10069 = 100100 10099 10069 + 10068 22 = 100 10099 10099 100.10068 + 10068 = 99.10099 - 99.10068 = 99 (10099 - 10068) > 10099 > 10068 Vậy A > B 3.4 Dạng 4: Tính toán lũy thừa *Phơng pháp: Vận dụng linh hoạt công thức, phép tính lũy thừa để tính cho hợp lí nhanh Biết kết hợp hài hòa số phơng pháp tính toán biến đổi Bài 1: Tính giá trị biểu thức sau: 30.5 + 213.5 27 A = 27 + 210.5 27 a, b, M = ( x ) ( x 5)( x ) ( x +6 )( x +5 ) với x = Hớng dẫn : Với này, học sinh không nên tính giá trị lũy thừa thực phép tính khác theo thứ tự thực phép tính, mà làm nh khó đa đấp án Giáo viên hớng dẫn học sinh tìm thừa số chung đa ngoặc tử mẫu số, sau thực việc rút gọn việc tìm kết toán nhanh đến bất ngờ a, 213.5 (217 + 20 ) 30.5 + 213.5 27 A = 27 = 10 17 = 23 = 20 10 27 ( + ) + b, M = ( x ) ( x ) ( x ) ( x +6)( x +5) Học sinh dễ phát hoảng nhìn thấy câu b số mũ lũy thừa cao dần mà số lại cha cụ thể Nhng thay giá trị x vào M lại tìm đợc cách dễ dàng M = ( x ) ( x ) ( x ) 1312 M = 21 ( x +6)( x +5) = ( ) ( 5) ( ) = 21 = 32 = Bài 2: Chứng tỏ rằng: a, A = 102008 + 125 45 b, B = 52008 + 52007 + 52006 31 c, M = 88 + 220 17 d, H = 3135 299 3136 36 23 ( 7+6)(7+5) Với toán này, học sinh phải huy động kiến thức dấu hiệu chia hết, kĩ phơng pháp biến đổi, lu ý rằng: Nếu a m, a n, (m;n) = (a, m, n N*) a m.n a, A = 102008 + 125 45 Ta có: 102008 + 125 = + 125 = 100 0125 100 2008 số 2005 số A có tận => A Tổng chữ số A : 1+1+2+5 = => A Mà (5;9) = => A 5.9 hay A 45 b, B = 52008 + 52007 + 52006 31 Ta tính giá trị cụ thể lũy thừa thực phép chia Giáo viên gợi ý đặt thừa số chung B = 52008 + 52007 + 52006 B = 52006 ( 52 + 51 + 1) B = 52006 31 31 c, M = 88 + 220 17 Cách làm tơng tự nh câu b, nhng trớc tiên phải đa hai lũy thừa có số: M = 88 + 220 = (23)8 + 220 = 224 + 220 M = 220 (24 + 1) = 220 (16 + 1) = 220 17 17 d, H = 3135 299 3136 36 Với câu này, học sinh phải nhận cần đặt thừa số chung, nhng đặt thừa số chung lại vấn đề Nếu đặt 3135 làm thừa số chung buộc phải tính kết ngoặc, nh lâu dễ nhầm Khi đó, giáo viên hớng dẫn H = 3135 299 3136 36 H = 3135 299 3136 - 35 3136 H = 3135 (299 313) - 35 3136 H = 3135 14 - 35 3136 H = (3135 3136 ) Bài Cho A = 2+ 22 + 23 ++ 260 Chứng tỏ : A3 , A7 , A5 Với ,giáo viên hớng dẫn em nhóm lũy thừa thành nhóm 24 / / / .lũy thừa cho sau đặt thừa số chung nhóm xuất số cần chứng tỏ A chia hết cho Ví dụ : A = 2+ 22 + 23 ++ 260 = (2+22)+(23+24)+(25+26)+.+(257+258)+(259+260) = 2.(1+2)+23.(1+2)+25.(1+2)+.+257.(1+2)+259.(1+2) = (1+2).(2+23+25+ +257+259) = 3.( 2+23+25+ +257+259) => A3 Tơng tự ,ta có : A =(2+ 22 + 23)+(24+25+26)++(258+259+ 260 ) = 2.(1+2+22)+24.(1+2+22)+.+258.(1+2+22) = (1+2+22).(2+24+27+.+258) = 7.(2+24+27+.+258) => A7 A = (2+ 23)+(22+24)++(257+259)+(258+ 260 ) A = 2(1+22)+22(1+22)++257(1+22)+258(1+22) = (1+22).(2+22+25+26+.+257+258) = (2+22+25+26+.+257+258 => A5 Bài 4: Chứng tỏ : a, D = + 32 + 33 + 34 + + 32007 13 b, E = 71 + 72 + 73 + 74 + + 74n-1 + 74n 400 Hớng dẫn : a, Ta thấy : 13 = + + 32 nên ta nhóm số hạng liên tiếp tổng thành nhóm nh sau : D = (3 + 32 + 33) + (34 +35 + 36) +.+ (32005 + 32006.+ 32007) =3.(1 + + 32) +34.(1 + + 32) +.+ 32005.(1 + + 32) = 13 + 34 13 + + 32005 13 = (3 + 34 + + 32005) 13 => D 13 b, Tơng tự câu a, có : 400 = + + 72 + 73 nên : E = (71 + 72 + 73 + 74) + 74 (71 + 72 + 73 + 74) + + 74n-4 (71 25 + 72 + 73 + 74) = (71 + 72 + 73 + 74) (1+74 + 78 + +74n-4) = 7.(1 + 71 + 72 + 73 ) (1+74 + 78 + +74n-4) = 7.(1 + + 49 + 343 ) (1+74 + 78 + +74n-4) = 7.400 (1+74 + 78 + +74n-4) 400 => E 400 Bài : a, Tính tổng : Sn = + a + a2 + + an b, áp dụng tính tổng sau: A = + + 32+ + 32008 B = + + 22 + 23 + + 21982 C = 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n-1 + 7n a, Đây toán tổng quát , giáo viên gợi ý trực tiếp cho học sinh cách làm Để thu gọn tổng lũy thừa , ta nhân hai vế biểu thức với số lũy thừa * Xét a = ta có: * Xét a ta có : Sn = + + 12 + + 1n =( n +1).1 = n +1 Sn = + a + a2 + + an a Sn = a + a2 + + an+1 a Sn - Sn = an+1 => Sn = a n +1 a b, Học sinh dễ dàng tính đợc tổng A, B , C nhờ công thức Sn A = + + 32+ + 32008 = 2009 B = + + 22 + 23 + + 21982 = 21983 - C = 71 + 72 + 73 + 74 + + 7n-1 + 7n = Bài : Thu gọn tổng sau : n +1 M = - + 22- 23 + + 22008 Mặc dù có công thức tính tổng lũy thừa viết theo quy luật nhng tính tổng M học sinh không tránh khỏi lúng túng với dấu + , - xen kẽ Nếu vận dụng máy móc cách tính tổng B câu b, 4: lấy 2M - M không thu gọn đợc tổng M Giáo viên cần giải thích cho học sinh hiểu đợc : câu b-bài 4, ta tính hiệu hai biểu thức hai biểu thức có số hạng giống ; hai tổng 2M M lại có số hạng đối nên ta xét hiệu chúng : 26 M = - + 22- 23 + + 22008 2M= - 22 + 23 24 + + 22009 => 2M + M = 22009 + => M = 2009 + Bài Tính : a, A = 1 1 + + + + 100 2 2 1 1 + + + + 500 5 5 b, B = 1+ Hớng dẫn : làm tơng tự a, A= 1 1 + + + + 99 + 100 2 2 1 1 + + + + 99 2 2 2A = 1+ => 2A A =(1+ 1 1 1 1 + + + + 99 ) ( + + + + 100 ) 2 2 2 2 A = 1+ 1 1 1 1 + + + + 99 99 100 2 2 2 2 A=1- 2100 b, B = 1+ 1 1 + + + + 500 5 5 5B = 5+1+ 1 1 + + + + 499 5 5 => 5B B = (5+1+ = 5+1-1+ 4B = B = (5 - Bài Tính : 1 1 1 1 + + + + 499 ) (1+ + + + + 499 ) 5 5 5 5 1 1 1 1 + + + + 499 499 500 5 5 5 5 5 500 500 ):4 B = 1002 - 992 + 982 972 + +22 - Với học sinh nghĩ tới việc nhóm số 1002 , 982 , 27 22thành nhóm số lại thành nhóm Nhng nhóm nh không tính đợc nhanh để làm giáo viên cho học sinh chứng tỏ đẳng thức sau : Với số tự nhiên a b , ta có : (a - b).(a+b) = a2 + b2 Thật , ta có : (a - b).(a+b) =(a-b).a +(a-b).b = a2- ab+ab-b2 = a2+ b2 Vậy : (a - b).(a+b) = a2 + b2 Ap dụng đẳng thức vào ta đợc : B = 1002 - 992 + 982 972 + +22 = (100-99).(100+99)+(98-97).(98+97)+ +(2-1).(2+1) = 100+99+98+97+.+2+1 = 100.(100+1) : = 5050 Bài 8: Chứng tỏ a, H = b, K = 1 1 + + + + + 1 = n.(n 1) n n + (n N*) 1 < 1.2 , H= , 1 < 2.3 1 < , , 3.4 1 < 2007.2008 2008 1 1 1 1 + + + + + < + + + 2 1.2 2.3 2007.2008 2007 2008 (*) Mà 1 1 1 1 1 + + + = + + + + = H < Qua toán , giáo viên cho học sinh làm toán tổng quát sau : Bài Chứng tỏ : 28 a, H = 1 1 + + + + + + < 2 2003 n b, K = 1 1 1 1 + + + + + + < 2 10 12 14 (n N * , n 1) Hớng dẫn : a, H < 1 1 + + + = 1.2 2.3 ( n 1).n 1 1 1 1 + + + + = < 2 3 n n n Nên H < b, K = 1 1 1 1 1 + + + + + + ) < (1+1) = 2 = ( 2 2 (Vì theo câu a, Vậy K < 1 1 1 + + + + + < 1) 2 Bây giáo viên cho học sinh làm số tập luyện tập sau : Chứng tỏ biểu thức sau viết đợc dới dạng số phơng : M = 13+23 Q = 13+23+33+43+53 N = 13+23+33 R= 13+23+33+43+53+63 P = 13+23+33+43 K= 13+23+33+43+53+63+73 Tính A B hai cách trở lên: (n N*) A = 1+2+22+23+24+.+2n (n N) B = 70+71+72+73+74++7n+1 Viết tổng sau dới dạng lũy thừa 2; T = 22+ 22 + 23 +24+25++ 22008 So sánh : a, A = 1+2+ 22 + 23 +24+25++ 22008 B = 22009 b, P = + + 32+ + 3200 Q = 3201 c, E = + x + x2+ + x2008 F = x2009 29 (x N*) Chứng tỏ : a, 13+33+53+73 23 (n N*) b, 3+33+35+37++32n+1 30 c, 1+5+ 52 + 53 +.+ 5403+5404 31 d, 1+4+ 42 + 43 +44++ 499 B = 4100 Tìm số d chia A cho 7, biết A = 1+2+ 22 + 23 ++ 22008 + 22002 Tính: a, 3S 22003 biết S = + 22 - 23 ++ 22002 b, E = 2100 299 298 297 - - 22 - c, H K biết: H = + 3+ 32 + 33 ++ 320 K = 321 : Tìm : a, Số tự nhiên n biết: 2A + = 3n Với A = 3+ 32 + 33 ++ 3100 b, Chữ số tận M biết : M = 2+ 22 + 23 + + 220 Chứng tỏ : a, 87 218 14 h, 122n+1 + 11n+2 133 c, 817 279 - 913 405 i, 70+71+72+73+ +7101 b, 106 57 59 d, 1099+23 k, 4+ 42 + 43 +44 ++ 416 l, 2000+20002+20003 + +20002008 2001 e, 1028 + 72 m, 3+ 35 + 37 ++ 31991 13 41 g, 439+440+441 28 10 Chứng tỏ a, b, 1 1 + + + + < 2 2 100 1 1 1 < + + + + < 6 100 c, A > B với: A= + + + + + + + + 58 B= 30 + + + + 39 + + + + 38 3.5 Dạng 5: Toán đố với lũy thừa Dạng toán đố với lũy thừa có số chủ yếu liên quan đến số phơng Số phơng bình phơng số tự nhiên *Phơng pháp: Cần nắm đợc số kiến thức sau +) Số phơng tận 0, , 4, 5, 6, tận 2, 3, 7, +) Khi phân tích thừa số nguyên tố, số phơng chứa thừa số nguyên tố với số mũ chẵn, không chứa thừa số nguyên tố với số mũ lẻ +) Số lợng ớc số phơng số lẻ Ngợc lại số có số lợng ớc số lẻ số số phơng Bài 1: Trong buổi họp mặt đầu xuân Tân Mùi 1991, bạn Thủy đố bạn điền chữ số vào dòng chữ sau để đợc phép tính Mùi mùi = tân mùi (*) Bạn trả lời giúp Phân tích đề : Đề hay, nhng tìm câu trả lời thật khó Ta phải tìm câu trả lời thích hợp thay cho dòng chữ (*) Mùi số có chữ số Theo (*) (Mùi)2 có tận mùi có chữ số Đi tìm đáp án: Gọi Mùi = a Ta có: a2 = 1000 TÂN + a hay a2 a = 1000 TÂN => a.(a-1) 1000 Ta thấy a-1 a hai số liên tiếp 1000 = 125 với (125 ; ) = Vậy xảy : +) a 125 a => a = 625 +) a a-1 125 => a = 376 Do đó: 625 625 = 390625 376 376 = 141376 Vậy Mùi mùi = tân mùi (thỏa mãn) (không thỏa mãn ,vì chữ T khác chữ N) 625 625 = 390625 Bài 2: Đố bạn: số phơng có chữ số đợc viết chữ số: 3, 6, 8, Với toán này, ta phải sử dụng phơng pháp loại trừ để tìm đáp án: 31 Gọi số phơng phải tìm n2 Số phơng không tận 3, nên n2 có tận Số tận 86 chia hết cho 2, không chia hết số phơng Vậy n2 có tận 36 Do số phơng cần tìm 8836 Bài Bạn tìm số phơng có chữ cho hai chữ số đầu giống nhau, hai chữ số cuối giống Gợi ý : Gọi số cần tìm n => n2 = aabb = 11 a0b => a0b = 11k2 (k N ) Ta có 100 11k2 909 => k Thử giá trị k có số 704 có chữ số hàng chục Vậy k = số cần tìm 7744 Kết thực Trong năm học vừa qua , kết hợp với công tác giảng dạy chuyên đề cho học sinh giỏi, hớng dẫn em học sinh khối học chuyên đề , Kết cho thấy em giải tốt toán lũy thừa mà hào hứng với chuyên đề này, giúp em cảm thấy yêu thích môn toán nói chung phần toán lũy thừa nói riêng Tôi cho 50 em học sinh , giỏi khối lớp làm kiểm tra khảo sát trớc sau thực chuyên đề này, kết cho thấy : Khi không áp dụng chuyên đề Khi áp dụng chuyên đề Các em học sinh sau đợc học chuyên đề nắm vững đợc dạng tập lũy thừa để tìm phơng pháp giải hợp lý cho tập nâng cao bồi dỡng học sinh giỏi Đặc biệt số em đội tuyển học sinh giỏi em giải vận dụng linh hoạt , nhanh chọn đợc phơng pháp tối u giải toán IV Những vấn đề hạn chế hớng tiếp tục nghiên cứu Hạn chế - Do thời gian nghiên cứu hạn chế , kinh nghiệm cha nhiều nên chuyên đề chắn nhiều chỗ thiếu sót Mặt khác, phạm vi nghiên cứu chuyên đề tơng đối rộng nên gặp khó khăn cho việc phân loại kiến thức, phân dạng tập, hệ thống tập cha tốt, ch32 a sâu, cha kĩ, cha khoa học - Do yêu cầu giảm tải kiến thức học sinh Bộ GD - ĐT nên có nhiều kiến thức nâng cao phục vụ việc học chuyên đề cha đợc giới thiệu tới học sinh nên việc tiếp thu chuyên đề ban đầu gặp khó khăn với em học sinh Hớng tiếp tục nghiên cứu Do hạn chế nêu trên, để đề tài đợc hoàn chỉnh , tiếp tục nghiên cứu kỹ lỡng , hệ thống kiến thức khoa học để đạt hiệu giảng dạy cao Tôi mong nhận đợc ủng hộ , đóng góp ý kiến quý báu hội đồng khoa học , đồng nghiệp em học sinh để trình giảng dạy sau giúp em học sinh đợc nhiều việc tìm tòi , khám phá môn toán học nói chung , chuyên đề toán lũy thừa Q nói riêng V Điều kiện áp dụng Để thực đề tài : - Giáo viên cần soạn chu đáo , chọn lọc kiến thức , tập phù hợp với mức độ tiếp thu đối tợng học sinh , để gây đợc hứng thú cho học sinh với chuyên đề này.Giáo viên cần hớng dần học sinh khai thác kiến thức từ kiến thức , đơn giản mà em đợc học lớp em dễ dàng tiếp thu kiến thức nâng cao - Học sinh cần nắm vững kiến thức lũy thừa nắm đợc số kiến thức mở rộng lũy thừa, có ý thức tìm tòi , học hỏi 33 ... c, (Với n N, n > 1) 65 n = ( 65 )n = ( 76 )n 65 n+1 = ( 65 )n = ( 76 )n 66 66 66 , ta có 66 số có tận 6, => 66 66 có dạng 65 n+1 (n N, n > 1) => 66 66 = ( 76 )n Bài tập luyện tập: Tìm hai chữ số... 99 = 99 c, 66 66 = (65 )133 .6 = ( 76 )133 6= 76 = 56 d, 14101 161 01 = (14 16) 101 = 224101 = (2242)50 224 = ( 76 )50 224 14 = 76 224 = 24 Từ toán 2, cho học sinh làm toán tổng quát: Bài 3: Tìm... sinh nghĩ hớng giải toán : 415 915 < 2n 3n < 18 16 2 16 (4 9)15 < (2.3)n < (18.2) 16 361 5 < 6n < 361 6 63 0 < 6n < 63 2 => n = 31 Bây giờ, học sinh biết làm toán tơng tự mà tự toán dạng tơng tự Tìm