chuyên đề quỹ tích dựng hình toán học THCS

CH 1: BI TON QU TCH I H thng kin thc c bn Khỏi nim v qu tớch Khi hình X xác định tập hợp tất điểm có tính chất , ta nói X quĩ tích điểm có tính chất hay Quĩ tích điểm có tính chất hình X Theo lý thuyết tập hợp điều có nghĩa là: - Nếu điểm M có tính chất M X - Nếu M X M có tính chất Cỏch gii bi toỏn qu tớch Để giải toán này, ta phải chứng minh hai phần: Phần thuận phần đảo Phần thuận: Nếu điểm M có tính chất M X Phần đảo: Nếu M X M có tính chất Có thể thay phần thuận mệnh đề tương đương: Nếu M X M tính chất Có thể thay phần đảo mệnh đề tương đương: Nếu M tính chất M X Ngoai ra, ap dụng phép biến hình, tọa độ để giải toán quĩ tích Một số quĩ tích - Quĩ tích điểm cách hai điểm A, B cho đường trung trực đoạn thẳng - Quĩ tích điểm cách hai cạnh góc tia phân phân giác góc - Quĩ tích điểm cách đường thẳng cho hai đường thẳng song song với đường thẳng - Quĩ tích điểm cách hai đường thẳng song song đường thẳng song song cách hai đường thẳng - Quĩ tích điểm cách điểm O cố định đường tròn - Quĩ tích điểm nhìn đoạn thẳng AB góc không đối hai đường tròn chứa góc qua A, B đối xứng với qua AB - Quĩ tích điểm cách có tỉ số khoảng cách tới hai điểm cố định A, B cho trước số k 1, k>0, đường tròn có bán kính PQ (P, Q chia đoạn thẳng AB theo tỉ số k -k nghĩa PA k PB QA k QB - Quĩ tích điểm có hiệu bình phương khoảng cách từ đến hai điểm A, B cố định số k không đổi đường thẳng vuông góc với AB H cho AB.IH k , I trung điểm AB Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN II Cỏc vớ d bi VD1: Tỡm qu tớch cỏc im M cho AMB 900 , ú AB l mt on thng cho trc Gii: * Phn thun: M Gi s M l mụt im tha iu kin bi toỏn AMB 900 Gi I l trung im ca on thng AB, tam giỏc vuụng AMB ta cú trung tuyn MI AB im M cỏch im I c nh mt khong cỏch khụng i bng A I AB AB Vy qu tớch im M nm trờn ng trũn I , * Phn o: AB AB Ly M l mt im bt kỡ trờn ng trũn I , Tam giỏc thỡ M I AM B cú trung tuyn M I xut phỏt t nh M bng na cnh i din AB nờn AM B 900 Gii hn: Khi M A ta cú AMB 900 v M B ta cú AMB 900 nờn qu tớch AB cỏc im M l ng trũn I , v M A, M B Kt lun: Vy qu tớch cỏc im M cho AMB 900 , ú AB l mt AB on thng cho trc l ng trũn I , , vi I l trung im ca AB ú chớnh l ng trũn ng kớnh AB tr hai im A, B VD2: Cho on thng AB a Hai tia A x, By nm cựng phớa i vi AB v cựng vuụng gúc vi AB Hai im M , N di ng ln lt trờn A x v By cho MN AM BN Tỡm qu tớch hỡnh chiu vuụng gúc ca trung im on AB lờn ng thng MN Gii: Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN B y x M' N H H' M *Phn thun: - Gi O l trung im on AB N' AB K na ng trũn O; cựng phớa i vi A x, By A B O - Ly H thuc na ng trũn ú; H A, B AB - Qua H k tip tuyn vi O; ct A x, By ln lt ti M , N Ta cú: MH MA; NH NB MN MH NH MA NB OH MN H l hỡnh chiu ca trung im on AB lờn MN Qu tớch im H l na ng trũn tõm O , bỏn kớnh R AB khụng i, nm cựng phớa i vi A x, By , b l AB tr hai im A, B AB *Phn o: - Ly im H thuc na ng trũn O; cựng phớa i vi A x , By v H A, B - V t d qua H v d OH H ; d A x M ; d By N - Ta chng minh: M N AM BN Ta cú: M N OH H M N l tip AB tuyn ca na ng trũn O; A x AB A x, By ln lt l tip tuyn ca By AB Li cú: AB O; ti A, B M H M A; N H N B AM BN M H N H M N Vy qu tớch hỡnh chiu vuụng gúc H ca trung im O ca on AB lờn ng thng MN l na ng trũn tõm O , bỏn kớnh R AB khụng i, nm cựng phớa i vi A x, By , b l AB tr hai im A, B VD3: Cho ng trũn C tõm O P l mt im c nh nm ngoi C Mt ng thng d thay i qua P ct C ti A v B Tỡm qu tớch trung im M ca on AB d quay quanh P P Gii: 90 *Phn thun: Ni OM OAB cõn ti O OMP A O M B Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN d OP M luụn nhỡn OP c nh di mt gúc vuụng M *Phn o: Ly mt im M bt kỡ thuc ng trũn ng kớnh OP Qua M k d OM , d C A, B 900 nờn d i qua P Vỡ OAB cõn ti O v OM AB nờn Do OMP M l trung im ca AB Vy M l mt im thuc qu tớch *Gii hn: Do M AB M nm phớa C nờn qu tớch im M ch l phn ng trũn ng kớnh OP nm bờn C VD4: Cho hai ng thng a, b ct ti I v mt im O cỏch u a v b Cỏc im A, B l hỡnh chiu ca O ln lt trờn a v b Ly cỏc im M a, N b cho MN AM BN Tỡm qu tớch hỡnh chiu H ca im O lờn ng thng MN Gii: *Phn thun: - K O; OA tip xỳc vi a , b ln lt ti A, B D C - Ly I O, OA ; I A, B - Qua I k tip tuyn vi O; OA ct a , b ln lt ti M , N A Ta cú: MA MI ; NB NI MN MI NI MA NB Li cú: OI MN I H qu tớch H l O, OA , vi OA R cost P M B *Phn o: - Ly H O; OA - V d qua H , d OH H , d a M , d b N - Ta cm: M N AM BN VD5: Cho mt hỡnh vuụng c nh ABCD v mt im P di ng trờn cnh AB Trờn tia CP v bờn ngoi on thng CP ta ly mt im M cho: PCB MAB Tỡm hp cỏc im M Gii: * Phn thun: Ta cú: MAB PCB ; P1 P2 (i nh) Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN P PCB P 900 MAB AMP 900 hay AMC 900 im M nhỡn hai im c nh A,C di cựng mt gúc vuụng nờn M nm trờn ng trũn ng kớnh AC (cng l ng trũn ngoi tip hỡnh vuụng ABCD) * Phn o: Ly mt im P bt kỡ thuc cnh AB ca hỡnh vuụng Tia CP ct cung nh AB ca ng trũn ng kớnh AC ti im M Ta cú AM ' C 90 (gúc ni tip chn na ng trũn) v P '1 P '2 suy M ' AB P ' CB Gii hn qu tớch: Khi P B thỡ M B Khi P A thỡ M A Vy M ch di chuyn trờn cung nh AB thuc ng trũn ng kớnh AC Kt lun: Tp hp cỏc im M l cung AB (khụng cha nh C) ca ng trũn VD6: Cho na ng trũn ng kớnh AB, M l mt im di ng trờn na ng trũn ú Gi H l chõn ng cao h t M xung AB (H AB), trờn OM ly im N cho ON = MH Tỡm qu tớch im N Gii: * Phn thun: Gi C l im chớnh gia cung AB Ni O, C ta cú C CO AB ti O ONC MHO (c-g-c) Vỡ M OC = MO (bỏn kớnh (O)) N ON = MH (gt) A OMH O H B CON (cựng ph vi gúc MOB ) Suy CON OHM 90 khụng i AB c nh nờn OC c nh Vy N nm trờn ng trũn ng kớnh OC * Phn o: Ly N thuc ng trũn ng kớnh OC K tia ON ct na ng trũn ng kớnh AB ti M t M k MH vuụng gúc vi AB (H thuc AB), ta chng minh ON = MH Tht vy: Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN ON ' C 90 (gúc ni tip chn na ng trũn) ON'C M 'H'O (cnh huyn gúc nhn) Vỡ OC = MH, CON ' OM ' H ' (cựng ph vi M ' OB ) Suy ON = MH Kt lun:Qu tớch nhng im N l ng trũn ng kớnh OC (C l im chớnh gia na ng trũn ng kớnh AB) VD7: Cho na ng trũn (O) ng kớnh AB, C l im chớnh gia ca cung AB M l mt im chuyn ng trờn cung BC Gi H l hỡnh chiu ca C trờn AM Cỏc tia OH v BM ct ti I Tỡm qu tớch cỏc im I Gii: * Phn thun: I 0 Ta cú ACB 90 nờn AMC 45 Do ú tam giỏc CMH C vuụng cõn ti H HC = HM M Ta li cú OC = OM nờn OH l ng trung trc ca CM im I thuc tia OH nờn IC = IM ú ICM cõn ti I H Ta cú AMI 90 , AMC 45 nờn A B O 0 IMC 45 CMI vuụng cõn CIM 90 im I nhỡn on BC c nh di mt gúc vuụng nờn I nm trờn ng trũn ng trũn ng kớnh BC Gii hn: Khi M B thỡ I B Khi M C thỡ I C im I nm trờn na ng trũn ng kớnh BC phn nm ngoi ung trũn tõm O * Phn o: Ly im I bt kỡ thuc na ng trũn ng kớnh BC IB (O) = M 0 K CH AM Ta cú AMI' 90 ,AMC 45 I'MC 45 T giỏc CHMI cú gúc vuụng nờn l hỡnh ch nht li cú MC l ng phõn giỏc ca gúc M nờn CHMI l hỡnh vuụng HC = HM, IC = IM M OC = OM nờn cỏc im H, I, O u nm trờn ng trung trc ca CM OH v BM ct ti I Kt lun: Qu tớch cỏc im I l na ng trũn ng kớnh BC phn nm ngoi ng trũn (O) VD8: Cho ng trũn (O) cú ng kớnh AB c nh Mt im C chy trờn ng trũn K CD vuụng gúc vi AB Trờn OC t mt on OM = CD Tỡm qu tớch cỏc im M Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN Gii: * Phn thun: K ng kớnh EE AB E' Gi s C chuyn ng trờn na ng trũn AEB Ni E vi M Xột hai tam giỏc EOM v OCD, chỳng cú D EO = OC (bỏnkớnh); EOM OCD (gúc so le trong); A O OM = CD (gt) M Do ú EOM = OCD (c.g.c) C Suy EMO ODC 90 E Vy M nm trờn ng trũn ng kớnh OE Khi C chuyn ng trờn na ng trũn AEBcng chng minh tng t, M nm trờn ng trũn ng kớnh OE * Phn o: Ly M l mt im bt kỡ trờn ng trũn ng kớnh OE hoc OE K bỏn kớnh OMC ca (O) Ta phi chng minh khong cỏch CD t C n AB bng OM D thy EMO = ODC, suy OM = CD Kt lun: Qu tớch cỏc im M l hai ng trũn ng kớnh OE v ng kớnh OE (EE l ng kớnh vuụng gúc vi ng kớnh AB ca ng trũn (O)) VD9: Cho tam giỏc ABC vuụng ti A Tia Bx nm gúc ABC Tia Cy vuụng gúc vi tia Bx ti E Tỡm qu tớch im E tia Bx quột gúc ABC Gii: * Phn thun: y Do tia Bx luụn vuụng gúc vi tia Cy ti E nờn A 900 BEC khụng i, E nm trờn ng trũn ng E kớnh BC Gii hn qu tớch: Khi Bx BA thỡ E A, Bx BC thỡ E C Vy B O E AC ca ng trũn ng kớnh BC * Phn o: Ly bt kỡ E thuc cung AC, d nhiờn BE nm gia BA v BC Gi O l trung im ca BC, ta cú: OB = OC = OE Suy BE ' C 90 hay BE EC Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN B x E' C Kt lun: Qu tớch im E l AC ca ng trũn ng kớnh BC VD10: Cho ng trũn ng kớnh AB Gi C l mt im chy trờn ng trũn ú Trờn AC ly im D cho AD=CB Qua A k tip tuyn vi ng trũn ri ly AE=AB (E v C cựng thuc mt na mt phng b AB) Tỡm qu tớch im D Gii: * Phn thun: Ni D vi E Xột ADE v BCA cú: E AE=AB (gi thit) ABC EAD (cựng ph CAB ) AD=BC (gt) ADE BCA (c.g.c) C C = 90 D D A Khi C di chuyn trờn na ng trũn ng kớnh AB thỡ D luụn nhỡn on thng AE di mt gúc bng 90 , nờn D nm trờn na ng trũn ng kớnh AE * Phn o: Ly im D bt kỡ trờn ng trũn ng kớnh AE ng thng AD ct ng trũn ng kớnh AB ti C Ni C vi B, ni D vi E Xột ADE v BCA cú: D C 90 AE=AB EAD ABC (gúc cú cnh tng ng vuụng gúc) ADE BCA AD BC (pcm) Kt lun: Khi im C chy trờn na ng trũn ng kớnh AB thỡ qu tớch im D l na ng trũn ng kớnh AE ( C trựng vi B thỡ D trựng vi A, C trựng vi a thỡ D trựng vi E) VD11: Trong mặt phẳng cho hai đường tròn (O1, R) (O2, R), O1 O2 Gọi C trung điểm đoạn thẳng O1O2 Trên hai đường tròn lấy hai điểm A B, gọi M trung điểm AB Chứng minh quĩ tích điểm M A, B thay đổi hình tròn tâm C bán kính R Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN B Giải: Phần thuận: Gọi M trung điểm đoạn thẳng AB (trong A, B nằm đường tròn (O1, R) (O2, R) Ta phải chứng minh CM R Thật vậy, ta gọi N trung điểm đoạn thẳng CN O2A R O1 A 2 MN d C K A K' j I O O R O2 B ; 2 Từ suy CM MN+CN =R Phần đảo: Giả sử M điểm thuộc hình tròn tâm C bán kính R (tức CM R) Ta phải chứng minh M trung điểm thẳng AB đó, vói A, B nằm hai đường tròn cho Ta gọi (O3, R) đường tròn đối xứng với (O1, R) qua điểm M Hai đường tròn (O2, R) (O3, R) cắt O2O3 = 2CM 2R Nếu gọi B điểm chung chúng A điểm đối xứng B qua M ta có m trung điểm AB A (O1, R) B (O2, R) Nhận xét: Phần thuận phần đảo nhiều gộp lại thành phần chúng dùng phép lập luận tương đương VD12: Cho tam giác ABC cạnh a Chứng minh quĩ tích điểm M mặt phẳng cho MA2+ MB2+ MC2 = 2a2 đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Giải: Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, bán kính đường tròn R a Với điểm M tùy ý ta có: 2 2 MA MB MC MA MB MC (OA OM ) (OM ) (OC OM ) 2 3R 3OM 2OM (OA OB OC ) 3R 3OM ( (OA OB OC ) ) 3a 3OM Từ suy MA2+ MB2+ MC2 = 2a2 3a 3OM 2a 3OM2 = a2 OM a R M nằm đường tròn (O, R) Qu tớch Dng hỡnh GV ng Th Hu-KHTN VD13: Cho hình tứ diện ABCD Một điểm M thay đổi cạnh AB, điểm N thay đổi cạnh CD Tìm quĩ tích trung điểm I đoạn thẳng MN Giải: Vì M nằm cạnh AB CD nên: AM AB ( ) B CN CD ( ) Phần thuận: R Gọi O trung điểm AC, ta có: OA OC M Vì I trung điểm MN nên: 1 OI (OM ON) (OA AM OC CN) ( AB CD) 2 A Gọi P, Q, R trung điểm BC, AD, BD OP 1 AB ; OQ CD 2 P I D Q N O Suy ra: OI OP OQ ( ; 1) C Vậy I thuộc miền hình bình hành OPRQ( I nằm hình bình hành đó) Phần đảo: Nếu I thuộc miền hình bình hành OPRQ có số , cho OI OP OQ ( ; ) Gọi M, N điểm cho AM AB ; CN CD 1 OI ( AM CN) (OM OA ON ON) (OM ON) 2 Từ suy I trung điểm đoạn MN, M, N nằm hai cạnh AB, CD VD14: Cho hai đường tròn đồng tâm (O, R) (O, R), R>R Hai điểm A, B thay đổi hai đường tròn Tìm quĩ tích trung điểm M đoạn AB Giải: Phần thuận: Vì M trung điểm đoạn AB nên A ta có: M OA OB OM OA OB R R' R R' hay OM 2 B O Vậy M thuộc hình vành khăn giới hạn hai Qu tớch Dng hỡnh 10 GV ng Th Hu-KHTN đường tròn đồng tâm bán kính R R' R R' 2 Phần đảo Lấy điểm M thuộc hình vành khăn nói Lấy (O, R) đường tròn đối xứng với (O, R) qua điểm M Ta dễ thấy hao đường tròn (O, R) và(O, R) cắt Thật OO = 2OM mà R R' R R' hay R-R OO R+R OM 2 Gọi A giao điểm hai đường tròn đó, B điểm đối xứng với A qua M M trung điểm AB A (O, R), B (O, R) Bi dng: Bi 16 Cho ng trũn (O,R) v im A c nh trờn ng trũn v im B di ng trờn ng trũn ú Cỏc tip tuyn ti A v B ct ti C Tỡm hp tõm ng trũn ni tip ABC Hng dn: Qu tớch im E l ng trũn (O,R) vi E khỏc A v B Bi 17 Cho (O,R) cú AB = CD = 2R, AB CD M bt kỡ trờn cung nh BC Trờn tia i ca MA ly E cho EM = MB Tỡm hp im E M thay i trờn cung BC ỏp s: Gii hn Khi M B thỡ E M Khi M C thỡ E F ( F l im i xng ca A qua C) Qu tớch im E l cung nh BF ca ( C; R) Bi 18 Cho na ng trũn tõm O, ng kớnh AB Gi C l im chớnh gia cung AB, M l mt im bt kỡ trờn cung BC ng phõn giỏc ca gúc COM ct AM ti I Tỡm qu tớch im I M di ng trờn cung BC Hng dn: Chng minh CIM cõn ti I, ng thng AC c nh Qu tớch: M di ng trờn cung BC thỡ I thuc ng trũn ng kớnh AC Bi 19 Cho hai ng trũn (O) v (O) ct ti A v B Mt ng thng d bt kỡ luụn i qua A ct (O) v (O) theo th t C v D Tỡm qu tớch trung im M ca CD ỏp s: Qu tớch trung im M ca CD l ng trũn ng kớnh AI Bi 20 Trên đường tròn (O) cho hai điểm B, C cố định điểm A thay đổi Gọi H trực tâm tam giác ABC, H điểm cho tứ giác HBHC hình bình hành Chứng minh H nằm đường tròn (O), từ suy quĩ tích điểm H Qu tớch Dng hỡnh 11 GV ng Th Hu-KHTN Bi 21 Một hình bình hành ABCD có hai đỉnh A, B cố định, đỉnh C thay đổi đường tròn (O) Tìm quĩ tích đỉnh D Bi 22 Tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định, đỉnh A chạy (O) Tìm quĩ tích trọng tâm tam giác ABC Bi 23 Cho đương tròn tâm O đường kính AB Gọi C điểm đối xứng với A qua B, PQ đường kính thay đổi cỏa (O), CQ cắt PA, PB M, N a) Chứng minh QC = QM, NC = NQ b) Tìm quĩ tích điểm M, N Bi 24 Cho đường tròn (O) điểm P cố định nằm (O) Một dây cung BC thay đổi (O) có độ dài không đổi Tìm quĩ tích tâm tam giác PBC Qu tớch Dng hỡnh 12 GV ng Th Hu-KHTN CH 2: BI TON DNG HèNH I H thng kin thc c bn Khái niệm dựng hình Khi ta nói: dựng hình H điều có nghĩa là: dùng số dụng cụ để vẽ hình H Các dụng cụ là: bút, thước thẳng( để vẽ đường thẳng), compa (để vẽ đường tròn), Thước chữ T( để vẽ đường vuông góc), thước đo độ (để vẽ góc có số đo cho trước) Các tiên đề phép dựng hình (bằng thước compa) Ta thừa nhận tiên đề sau: Tiên đề 1: Đương thẳng qua hai điểm dựng dựng Tiên đề 2: Đường tròn dựng có tâm dựng bán kính độ dài đoạn thẳng dựng Tiên đề 3: Nếu H1 H2 hình dựng giao H1 H2 hình dựng Tiên đề 4: Nếu hinh H dựng dựng điểm M tùy ý thuộc hình H, điểm N tùy ý không thuộc hình H Tiên đề 5: Các hình cho xem dựng Bài toán dựng hình Bài toán dựng hình yêu cầu phi dựng hình H thảo mãn số tính chất Giải toán dựng hình nêu phép dựng tiên đề, phải thực cho cuối ta hình phải dựng Các toán dựng hình Các toán sau thường gọi toán dựng hình Khi giải toán dựng hình phức tạp, ta sử dụng toán dựng hình xem biết Làm , cách trình bày toán đỡ cồng kềnh Bài toán 1: Dựng đoạn thẳng đoạn thẳng cho trước Bài toán 2: Dựng góc góc cho trước Bài toán 3: Dựng tam giác biết ba cạnh, hai cạnh góc xen giữa, hai góc cạnh Bài toán Dựng trung trực đoạn thẳng Dựng trung điểm đoạn thẳng Bài toán Dựng đường thẳng qua điểm vuông góc với đường thẳng cho Dựng đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng cho Qu tớch Dng hỡnh 13 GV ng Th Hu-KHTN Bài toán 6: Dựng điểm chia đoạn cho thành n đoạn thẳng tỉ lệ với n đoạn thẳng cho trước Bài toán 7: Dựng đường phân giác góc cho Bài toán 8: Dựng tiếp tuyến đường tròn qua điểm cho trước Dựng tiếp tuyến hai đường tròn cho trước (nếu có) Bài toán 9: Dựng đường trung bình nhân hai đoạn thẳng cho trước Bài toán 10: Dựng cung chứa góc cho trước có hai điểm mút A B Các bước giải toán dựng hình Để giải toán Dựng hình có tính chất , phải nêu cách dựng Đó kể phép dựng cần thiết để cuối hình H Sau dựng hình H, ta cần chứng minh hình H thỏa mãn yêu cầu toán, tức hình H thật có tính chất Phần gọi phần chứng minh Để lý giải phải lại nêu cách dựng trình bày, thường người ta yêu cầu thêm phần gọi phần phân tích Phần phân tích bắt đầu cách giải sử hình H dựng Từ suy muốn dựng hình H trước ta phải dựng hình H, trước dựng hình H, ta lại phải dựng hình H, ta giật lùi để tìm hình H pahir dựng Nếu phần phân tích ta cách dựng trình ngược lại phần phân tích Một phần cuối thiếu phần biện luận Với giải thiết cho, toán nghiệm hình (tức hình H) thỏa mãn điều kiện cho, có nghiệm có nhiều nghiệm Tóm lại ta có bước sau đâytrong lời giải toán dựng hình: 1) Phân tích 2) Cách dựng 3) Chứng minh 4) Biện luận II Vớ d bi VD1: Cho im A v hai ng thng song song a, b Hóy dng ng trũn tip xỳc vi a, b v i qua A Gii: - Phõn tớch: Gi s dng c ng trũn O qua A v tip xỳc vi a, b ng trũn O dng c nu dng c tõm O Vỡ a A O b Qu tớch Dng hỡnh 14 GV ng Th Hu-KHTN O tip xỳc vi ca a, b a, b nờn d O; a d O; b O c ; vi c l ng trung bỡnh (1) Mt khỏc, vỡ A O OA d O; a d O; b R , vi R d a, b -const O A; R (2) T (1) v (2) O c A; R Vỡ c v ng trũn A; R dng c nờn O dng c - Cỏch dng: + Dng ng thng c song song v cỏch u a , b + Dng ng trũn O A; R vi R d a, b + Dng O c A; R + Dng O; OA O; OA l hỡnh cn dng - Chng minh: + T bc A O; OA + T bc O c v O A; R d O; a d O; b v OA R d O; a OA d O; a d O; b O; OA tip xỳc vi a, b - Bin lun: Theo bc luụn dng c nht ng thng c Theo bc luụn dng c nht ng trũn A; R Theo bc thỡ c A; R hoc ti im hoc ti im Bc luụn dng c Kt lun: Nu A nm ngoi gii hn bi a, b thỡ bi toỏn vụ nghim Nu A a hoc A B thỡ bi toỏn cú mt nghim Nu A nm gii hn bi a , b thỡ bi toỏn cú hai nghim VD2: Cho on thng AB a Hóy dng hỡnh thang ABCD ng cao cú di h v hai ng chộo BD c v AC d Gii: - Phõn tớch: Gi s dng c hỡnh a A thang ABCD tha ycbt cú c AB a; AE h; BD c; AC d Hỡnh h thang ú dng c nu dng c im C , D B d D + im C dng c nu dng c Qu tớch Dng hỡnh AB CD , bit 15 C E GV ng Th Hu-KHTN A; d v ng thng cỏch AB mt khong h ng thng dng c nu dng c im E m AE h; AE AB + im D dng c nu dng c B;c v - Cỏch dng: + Dng ng trũn A; h + Dng ng thng qua A v vuụng gúc vi AB ; + Dng E A; h + Dng l ng thng qua E v song song vi AB + Dng B; c + Dng D B; c + Dng C A; d ABCD l hỡnh thang cn dng -Chng minh: + T bc 1,2,3 AE h vi AE l ng cao hỡnh thang ABCD + T bc 4,5,6 DB c vi DB l ng chộo hỡnh thang ABCD + T bc 1, 4, AC d vi AC l ng chộo hỡnh thang ABCD Do ú, hỡnh thang ABCD dng c tmycbt - Bin lun: Theo cỏch dng luụn dng c im E v tng ng dng c im C , D Kt lun: Vy cú hai hỡnh thang tha ycbt VD3: Cho hai đường tròn không đồng tâm (O, R) (O, R) có điểm chung A Dựng đường thẳng qua A cắt (O, R) (O, R) C C khác A, cho A trung điểm đoạn thẳng CC Giải: 1) Phân tích: Giả sử dựng đường thẳng d qua A cắt (O, R) (O, R) C C khác C K A, cho A trung điểm đoạn thẳng CC A Để dựng đường thẳng ta cần K' j I dựng điểm C Gọi (O, R) đường tròn đối O O xứng qua A với đường tròn (O, R) Khi có: OC = OC = R, nên điểm C nằm (O, R) Từ suy C giao điểm (khác A) hai đường tròn (O, R) (O, R) Từ ta có cách dựng: Qu tớch Dng hỡnh 16 GV ng Th Hu-KHTN 2) Cách dựng: - Dựng điểm O đối xứng với điểm O qua điểm A - Dựng đường tròn (O, R) - Dựng giao điểm C (khác A) hai đường tròn (O, R) (O, R) - Dựng đường thẳng AC Đó đường thẳng cần tìm 3) Chứng minh: Giải sử AC cắt (O, R) C Vì hai đường tròn (O, R) (O, R) đối xứng với qua A nên AC = AC 4) Biện luận: Theo cách dựng số nghiệm hình phụ thuộc vào số giao điểm C (khác A) hai đường tròn O, R) (O, R), từ dễ dàng suy ra: - Nếu hai đường tròn (O, R) (O, R) cắt hai điểm A, B A không nằm OO nên A, O, O không thẳng hàng Khi hai đường tròn (O, R) (O, R) cắt điểm C khác A Bài toán có nghiệm hình - Nếu hai đường tròn (O, R) (O, R) tiếp xúc A R R (O, R) (O, R) tiếp xúc A Bài toán nghiệm hình - Nếu hai đường tròn (O, R) (O, R) tiếp xúc A R = R (O, R) (O, R) trùng Bài toán có vô số nghiệm hình: đường thẳng qua A nghiệm hình VD4: Cho hai đường thẳng song song d1, d2 đường tròn (O, R) Hãy dựng đường tròn tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 tiếp xúc với đường tròn (O, R) Giải: 1) Phân tích: Giả sử đường tròn cần dựng có tâm I, bán kính r Ta có r nửa khoảng cách hai đường thẳng song song d1, d2 Bài toán qui dựng điểm I Vì đường tròn (I, r) tiếp xúc với hai đường thẳng d1, d2 nên quĩ tích I thỏa mãn tính chất đường thẳng song song cách d1, d2 Vì đường tròn (I, r) tiếp xúc với (O, R) nên IO = R+r hay IO R r Vậy quĩ tích cặp đường tròn (o, R+r) (O, R r ) 2) Cách dựng - Dựng đường thẳng song song cách d1, d2 - Dựng hai đường tròn (O, R+r) (O, R r ) Qu tớch Dng hỡnh 17 GV ng Th Hu-KHTN - Gọi I mộ giao điểm với cặp đường tròn nói đường tròn (I, r) đường tròn cần dựng 3) Chứng minh: Dành cho bạn đọc 4) Biện luận: Số nghiệm hình số giao điểm đường thẳng cặp đường tròn Vì toán có nhiều bốn nghiệm hình, nghiệm hình VD5: Cho góc xOy điểm A nằm góc Dựng tam giác ABC có chu vi nhỏ cho B nằm tia Ox C nằm tia Oy Giải: 1) Phân tích: Bài toán qui dựng hai điểm B, C (lần lượt nàm tia Ox, Oy) Gọi A điểm đối xứng A qua Ox A điểm đối xứng cảu A qua Oy Khi với điểm B Ox C Oy ta có AB = AB, AC=AC, chu vi tam giác ABC: C(ABC) = AB + BC + CA=AB+BC+CA, tức độ dài đường gấp khúc ABCA Để chu vi bé độ dài đường gấp khúc bé nhất, tức A, B, C, A thẳng hàng 2) Cách dựng - Dựng A A đối xứng với điểm A qua hai đường thẳng Ox Oy - Dựng đường thẳng AA - Dựng giao điểm B, C AA với tia Ox Oy - Tam giác ABC tam giác thỏa mãn điều kiện toán 3) Chứng minh: Hiển nhiên 4) Biện luận: Điểm A, A dựng đường thẳng AA dựng trừ xOy góc bẹt Nếu xOy khác góc bẹt, đường thẳng AA không cắt hai tia Ox Oy hai điểm phân biệt Từ đó, dễ thấy toán có nghiệm hình góc xOy nhọn Ngoài toán vô nghiệm VD6: Cho hai đường tròn (O,R) (O, R) tiếp xúc với A, (R >R) Hãy dựng đường tròn tiếp xúc tròn với hai đường tròn đồng thời tiếp xúc với đường thẳng OO Giải: 1) Phân tích: Giả sử dựng Hãy dùng phép nghịch đảo f cực A phương tích k = AB.AC O (trong AB AC đường kính hai đường d1 tròn (O,R) ' Qua f, đường tròn (O, R) biến I thành đường thẳng b vuông góc với OO B, l đường tròn (O, R) biến thành đường thẳng c d2 Qu tớch Dng hỡnh 18 GV ng Th Hu-KHTN vuông góc với OOtại C Đường thẳng OO biến thành Suy đường tròn biến thành đường tròn ' tiếp xúc với hai đường thẳng b, c, OO 2) Cách dựng: - Qua B C dựng đường thẳng vuông góc với OO - Dựng đường tròn ' tiếp xúc với b, c, OO Gọi M N tiếp điểm ' với b, c - Lấy giao điểm M AM (O, R), giao điểm N AN (O, R) - Giao điểm I ON OM tâm đường tròn cần dựng Đường tròn đường tròn (I, M) 3) Chứng minh: Dành cho bạn đọc 4) Biện luận: Bài toán có hai nghiệm hình ( có hai đường tròn ' ) VD7: Dựng tam giác biết cạnh 2c, tổng hai cạnh lại 2a đường trung tuyến ứng với cạnh 2c bẳng m Giải: 1) Phân tích: Giả sử dựng tam giác ABC có AB = 2c, AC+CB = 2a trung tuyến CO = m Vì AC + CB = 2a nên C nằm đường elip E có trục lớn 2a, hai tiêu điểm A, B Vì CO = m nên C nằm đường tròn (O, R) C giao điểm E (O, R) Ta chong hệ trục tọa độ xOy, Oy trung trực đoạn thẳng AB, A = (-c;0), B(c;0) Khi đường elip E đường tròn (O, m) có phương trình là: x2 y2 (b2 = a2 - c2) a2 b2 x2 +y2 = m Ta có phương trình hoành độ giao điểm: x2 m2 y2 a2 b2 x 2(a2 x1,2 a - b2) = a2(m2 - m2 b2 a2 b2 2) Cách dựng - Trước hết dựng đoạn thẳng x1 a m2 b2 a2 b2 - Dựng đường tròn (O, m) với O trung điểm AB Qu tớch Dng hỡnh 19 GV ng Th Hu-KHTN b 2) - Dựng đường thẳng song song với Oy cách Oy đoạn thẳng x1 Giao điểm C đường thẳng (O, m) với A, B tạo thành tam giác ABC thảo mãn điều kiện toán 3) Chứng minh: Dành cho bạn đọc 4) Biện luận: Để toán có nghiệm cần dựng x1, muốn cần có điều kiện m b a>b a (m b ) m2 m a a2 b2 Tóm lại để toán có nghiệm hình, điều kiện b m