Các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định

Nói cách khác, người ra quyết định cần so sánh các phương án ứng với một tiêu chuẩn đơn và tạo ra quan hệ ưu tiên, sau đó tính được vector ưu tiên bằng một vài kỹ thuật.. Những phương ph

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

LÊ THỊ NHUNG

CÁC KỸ THUẬT GIẢI BÀI TOÁN RA QUYẾT

ĐỊNH

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

HÀ NỘI – 2010

MỤC LỤC

MỤC LỤC 1

LỜI CAM ĐOAN 4

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT 5

DANH MỤC CÁC BẢNG 6

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ 7

MỞ ĐẦU 8

Chương 1 – TỔNG QUAN VỀ RA QUYẾT ĐỊNH VÀ CÁC KỸ THUẬT GIẢI BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH 10

1.1 Tổng quan về ra quyết định 10

1.1.1 Định nghĩa ra quyết định 10

1.1.2 Các bước ra quyết định 10

1.2 Ra quyết định đa thuộc tính 11

1.3 Các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định 12

1.3.1 Giới thiệu 12

1.3.2 Kỹ thuật Weighted Sum Model 12

1.3.3 Kỹ thuật Weighted Product Model 14

1.3.4 Kỹ thuật Analytic Hierarchy Process 15

1.3.4.1 Kỹ thuật AHP 15

1.3.4.2 Kỹ thuật AHP sửa đổi 16

1.3.5 Kỹ thuật ELECTRE 18

1.3.6 Kỹ thuật TOPSIS 22

1.3.7 Kỹ thuật Simple Additive Weighting (SAW) 24

Chương 2 – RA QUYẾT ĐỊNH ĐA THUỘC TÍNH DỰA TRÊN QUAN HỆ ƯU TIÊN 26

2.1 Giới thiệu 26

2.2 Ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên bội 27

2.2.1 Đánh giá trọng số dựa trên quan hệ ưu tiên bội 27

2.2.2 Đánh giá trọng số dựa trên thông tin ma trận quyết định 28

2.2.3 Kết hợp quan hệ ưu tiên bội và thông tin ma trận quyết định 29

2.2.4 Ví dụ minh họa 30

2.3 Ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên mờ 32

2.3.1 Giới thiệu về quan hệ ưu tiên mờ 32

2.3.2 LDM với quan hệ ưu tiên mờ và ma trận quyết định, LDM-1 35

2.3.3 LDM với vector ưu tiên và ma trận quyết định, LDM-2 36

2.3.4 LDM với thứ tự ưu tiên và ma trận quyết định, LDM-3 37

2.3.5 Ví dụ minh họa 40

2.4 Ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên mờ và quan hệ ưu tiên bội 42

2.4.1 Cách tiếp cận chung 42

2.4.2 Cách tiếp cận dạng độ lệch tối thiểu, WLDN 43

2.4.3 Cách tiếp cận dạng độ lệch bình phương tối thiểu, WLSDN 44

2.4.4 Cách tiếp cận dạng độ lệch nhỏ nhất, WMDN 45

2.4.5 Lựa chọn các tham số 46

2.4.6 Ví dụ minh họa 49

Chương 3 – RA QUYẾT ĐỊNH ĐA THUỘC TÍNH MỜ TRÊN NHÓM 54

3.1 Giới thiệu 54

3.2 Phương pháp giải 54

3.2.1 Đồng dạng ưu tiên 55

3.2.2 Kết hợp ưu tiên 55

3.2.3 Xấp xỉ ưu tiên 56

3.3 Ví dụ minh họa 58

Chương 4 – XÂY DỰNG CHƯƠNG TRÌNH 61

4.1 Giới thiệu phần mềm LINGO 61

4.1.1 Cấu trúc của chương trình 62

4.1.2 Giải mô hình bài toán quy hoạch 62

4.1.3 Sử dụng tập 63

4.1.3.1 Khai báo tập 64

4.1.3.2 Khai báo dữ liệu cho tập 64

4.1.3.3 Các hàm lặp 65

4.1.4 Giao tiếp với ứng dụng khác 66

4.1.4.1 Hàm @POINTER 66

4.1.4.2 Hàm @STATUS 67

4.1.4.3 Các hàm DLL của LINGO 68

4.2 Xây dựng chương trình 69

4.2.1 Về môi trường lập trình 69

4.2.2 Về chương trình 69

Chương 5: KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 72

5.1 Các kết quả đạt được trong luận văn 72

5.1.1 Về lý thuyết 72

5.1.2 Về thực nghiệm 72

5.2 Hướng nghiên cứu tiếp theo 72

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 73

TÀI LIỆU THAM KHẢO 74

PHỤ LỤC 76

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, luận văn tốt nghiệp Thạc sỹ này là công trình nghiên cứu của bản thân tôi dưới sự hướng dẫn của thầy giáo PGS.TS Trần Đình Khang Các kết quả trong luận văn tốt nghiệp là trung thực, không phải sao chép toàn văn của bất kỳ công trình nào khác Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm về nội dung của quyển luận văn này

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

MADM Ra quyết định đa thuộc tính (Multiple Attribute Decision Making) WSM Weighted Sum Model

WPM Weighted Product Model

TOPSIS Technique for Order Preference by Similarity to Ideal Solution

SAW Simple Additive Weight

AHP Analytic Hierarchy Process

ELECTRE ELimination and Choice Expressing Reality

LDM Phương pháp độ lệch tối thiểu (Least Deviation Method)

DLL Thư viện liên kết động (Dynamic Link Library)

EM Phương pháp vector trị riêng (Eigenvector Method)

MDS Multidimensional Scaling

WLDN Dạng độ lệch tối thiểu (Weighted Least Deviation Norm)

WLSDN Dạng độ lệch bình phương tối thiểu (Weighted Least-square

Deviation Norm)

WMDN Dạng độ lệch nhỏ nhất (Weighted Minimax Deviation Norm)

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 2.1 Bảng giá trị các trọng số

Bảng 2.2 Bảng xếp hạng các phương án

Bảng 2.3 Bảng các đỉnh của đa giác Ω và các trọng số

Bảng 2.4 Bảng giá trị các trọng số theo cách tiếp cận WLDN

Bảng 2.5 Bảng các giá trị đánh giá trọng số và xếp hạng theo cách tiếp cận

WLDN

Bảng 2.6 Bảng giá trị các trọng số theo cách tiếp cận WLSDN

Bảng 2.7 Bảng các giá trị đánh giá trọng số và xếp hạng theo cách tiếp cận

WLSDN

Bảng 2.8 Bảng giá trị các trọng số theo cách tiếp cận WMDN

Bảng 2.9 Bảng các giá trị đánh giá trọng số và xếp hạng theo cách tiếp cận

WMDN

Bảng 4.1 Bảng giới hạn cho các phiên bản khác nhau của LINGO

Bảng 4.2 Bảng các hàm lặp trong LINGO

Bảng 4.3 Bảng các mã của hàm @STATUS

MỞ ĐẦU

Ra quyết định đa thuộc tính là một phần quan trọng trong khoa học ra quyết định hiện đại Nó đã được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: phân tích kinh tế, quy hoạch đô thị và dự báo,… Trong quá trình ra quyết định, người ra quyết định cần đưa ra ưu tiên của họ trên một tập m các phương án quyết định Nói cách khác, người ra quyết định cần so sánh các phương án ứng với một tiêu chuẩn đơn và tạo ra quan hệ ưu tiên, sau đó tính được vector ưu tiên bằng một vài kỹ thuật Trong trường hợp chung, quan hệ ưu tiên có dạng của mối quan hệ ưu tiên bội A mà thành phần aij đánh giá ưu thế của phương án i hơn j và có aij thuộc [1/9 ;9], aji = 1/aij, hoặc có dạng của quan hệ ưu tiên mờ P mà thành phần pij biểu diễn mức độ ưu tiên của phương án i với j và có pij thuộc [0,1], pij + pji = 1 Nhiều phương pháp được đưa ra để đánh giá vector ưu tiên của quan hệ ưu tiên bội, chẳng hạn như phương pháp vector trị riêng [9], phương pháp bình phương tối thiểu [6], phương pháp vector trị riêng gradient [2], phương pháp bình phương tối thiểu logarit [3], phương pháp chi-bình phương [10]… Những phương pháp trên đóng góp rất lớn vào việc giải bài toán ra quyết định, nhưng trong thực tế không phải lúc nào các quan hệ ưu tiên của người ra quyết định cũng rõ ràng Đôi lúc bản thân người ra quyết định cũng không chắc chắn rằng quan hệ ưu tiên bội đáng tin hơn hay quan hệ ưu tiên

mờ đáng tin Điều này rất quan trọng đối với các ứng dụng thực Vậy cần phải nghiên cứu về một hướng tiếp cận khác để giải bài toán ra quyết định với quan hệ

ưu tiên mờ kết hợp với quan hệ ưu tiên bội Vì vậy tôi chọn đề tài “Các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định” để làm đề tài nghiên cứu cho luận văn của mình Luận

văn trình bày hệ thống về các kỹ thuật ra quyết định đa thuộc tính khi đã biết các trọng số trên các thuộc tính Đặc biệt, luận văn tập trung vào mô hình ra quyết định

đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên mờ giữa các phương án, quan hệ ưu tiên giữa các thuộc tính (quan hệ ưu tiên bội) và các mô hình kết hợp quan hệ ưu tiên mờ trên các phương án và quan hệ ưu tiên bội Ngoài ra, luận văn còn đưa ra mô hình giải bài toán ra quyết định đa thuộc tính mờ trên nhóm, khi một bài toán có nhiều người

tham gia ra quyết định nhưng mỗi người lại đưa ra ý kiến chủ quan của mình dưới các dạng khác nhau

Luận văn được bố cục như sau:

Chương 1 tập trung trình bày tổng quan về ra quyết định và các kỹ thuật cơ

bản để giải bài toán ra quyết định khi biết đầy đủ các trọng số trên các thuộc tính

Chương 2 trình bày về các mô hình ra quyết định đa thuộc tính trên quan hệ

ưu tiên bội và quan hệ ưu tiên mờ

Chương 3 trình bày về một mô hình cho bài toán ra quyết định đa thuộc tính

mờ trên nhóm

Chương 4 thực hiện cài đặt minh họa các mô hình đã trình bày ở trong

chương 2 và đưa ra nhận xét đánh giá cho các mô hình đó

Chương 5 trình bày tóm tắt về các nội dung đã thực hiện trong luận văn này,

đồng thời đưa ra những vấn đề nghiên cứu tiếp theo cho tương lai

Phần kết luận và kiến nghị trình bày về kết luận của luận văn Phần phụ lục trình bày một số mô đun chương trình cài đặt trong chương 4

Chương 1 – TỔNG QUAN VỀ RA QUYẾT ĐỊNH VÀ CÁC KỸ THUẬT

GIẢI BÀI TOÁN RA QUYẾT ĐỊNH 1.1 Tổng quan về ra quyết định

1.1.1 Định nghĩa ra quyết định

Định nghĩa: “Ra quyết định là một nghiên cứu về việc xác định và lựa chọn

các phương án dựa trên các giá trị và các quan hệ ưu tiên của người ra quyết định Ra quyết định có nghĩa rằng có rất nhiều phương án được xem xét nhưng ta chỉ chọn một phương án phù hợp nhất với mục đích mong muốn” [5]

1.1.2 Các bước ra quyết định

Theo [1], ra quyết định được bắt đầu với việc xác định những người ra quyết định và các bên liên quan trong quyết định, nhằm giảm bớt sự bất đồng có thể về định nghĩa vấn đề, các yêu cầu, các mục tiêu và các tiêu chuẩn Do đó, một tiến trình ra quyết định chung có thể được chia thành các bước sau đây:

Bước 1: Xác định vấn đề

Quá trình này xác định nguyên nhân chính, các giả thiết giới hạn và bất kỳ vấn đề có liên quan nào Mục đích là để trình bày vấn đề một cách rõ ràng, mô tả cả điều kiện ban đầu và điều kiện mong muốn Bước này rất quan trọng và cần thiết phải được thực hiện trước khi tiếp tục sang bước tiếp theo

Bước 2: Xác định các yêu cầu

Các yêu cầu là những điều kiện mà bất kỳ phương án được chấp nhận nào cũng phải đáp ứng Trong toán học, các yêu cầu này là các ràng buộc mô tả một tập các phương án khả thi của vấn đề quyết định Bước này rất quan trọng ngay cả khi các đánh giá chủ quan hay phán xét có thể xảy ra trong các bước tiếp theo, các yêu cầu phải được thể hiện dưới dạng định lượng chính xác, tức là với bất kỳ phương án nào thì yêu cầu cũng phải rõ ràng cho dù có đáp ứng các yêu cầu hay không

Bước 3: Thiết lập mục tiêu

Mục tiêu là phát biểu của các giá trị mong muốn Trong toán học, các mục tiêu là trái ngược khách quan với các yêu cầu Các mục tiêu có thể mâu thuẫn nhưng đây là tình huống quyết định tự nhiên trong thực tế

Bước 4: Xác định các phương án

Các phương án xuất hiện dựa vào các cách tiếp cận khác nhau với sự thay đổi điều kiện đầu vào thành điều kiện mong muốn

Bước 5: Xác định các tiêu chuẩn

Tiêu chuẩn quyết định, mà phân biệt giữa các phương án, phải dựa trên các mục tiêu Điều này cần thiết để xác định tiêu chuẩn như là phương pháp khách quan của các mục tiêu để tính toán mỗi phương án đạt được các mục tiêu như thế nào

Bước 6: Lựa chọn một kỹ thuật ra quyết định

Có nhiều kỹ thuật để giải quyết bài toán ra quyết định Việc lựa chọn một kỹ thuật thích hợp không phải dễ dàng và nó phụ thuộc vào bài toán ra quyết định cụ thể, cũng như phụ thuộc vào mục tiêu của người ra quyết định Đôi khi “kỹ thuật càng đơn giản thì càng tốt”, nhưng với các bài toán ra quyết định phức tạp thì đòi hỏi các kỹ thuật phức tạp

Bước 7: Đánh giá các phương án so với tiêu chuẩn

Tùy thuộc vào tiêu chuẩn, đánh giá có thể khách quan hoặc có thể là chủ quan Khi đánh giá, kỹ thuật ra quyết định đã lựa chọn ở bước 6 có thể được áp dụng để xếp hạng các phương án và chọn ra một tập con của các phương án mong muốn nhất

Bước 8: Xác nhận lại lời giải

Các phương án sau khi lựa chọn ở bước 7 sẽ được xác nhận lại xem có phù hợp với các yêu cầu và mục tiêu của bài toán ra quyết định hay không

1.2 Ra quyết định đa thuộc tính

Thuộc tính (attribute) ở đây muốn nói đến là những đặc điểm, hệ số, phẩm chất, chỉ số hoặc những tham số của các bài toán ra quyết định Một thuộc tính có thể được xem như một tiêu chuẩn đánh giá bởi giá trị của nhiều biến quyết định

Ra quyết định đa thuộc tính (MADM) là việc đưa ra một quyết định có hai thuộc tính trở lên Chúng ta có thể mô tả việc ra quyết định đa thuộc tính như sau:

Chọn: phương án A1, phương án A2,….,phương án Am theo từng thuộc tính: G1, G2,…,Gn Trong đó, A = (A1, A2,…,Am) tập m phương án và G = (G1, …,Gn) tập n thuộc tính

1.3 Các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định

1.3.1 Giới thiệu

Như ta đã biết, có rất nhiều kỹ thuật để giải bài toán ra quyết định Mỗi kỹ thuật có các đặc điểm riêng của nó Chúng ta cũng có nhiều cách để phân loại các

kỹ thuật giải bài toán ra quyết định Cách thứ nhất là phân loại chúng theo dạng của

dữ liệu mà chúng sử dụng Đó là, các kỹ thuật có tính xác định, tính ngẫu nhiên, hoặc có tính mờ Tuy nhiên, ta cũng có thể kết hợp các dạng dữ liệu trên

Một cách khác để phân loại các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định là phụ thuộc vào số người ra quyết định Vì thế, ta có ra quyết định đơn và ra quyết định dựa trên nhóm Trong phần này, ta tập trung vào các kỹ thuật ra quyết định đơn và

có tính xác định Kỹ thuật loại này cũng được phân chia theo dạng của thông tin và các đặc trưng nổi bật của thông tin Các kỹ thuật WSM, AHP, AHP sửa đổi, WPM, TOPSIS và SAW là các kỹ thuật được sử dụng ngày nay

Kỹ thuật WSM ra đời sớm nhất và được sử dụng rộng rãi Kỹ thuật WPM được xem như là kỹ thuật được sửa đổi từ WSM để khắc phục một vài yếu điểm của

nó Kỹ thuật AHP, được đưa ra bởi Saaty, là sự phát triển sau đó và trở nên phổ biến Belton và Gear đã đưa ra một sửa đổi cho kỹ thuật AHP mà nó tốt hơn kỹ thuật gốc Một vài kỹ thuật được sử dụng rộng rãi khác là ELECTRE, TOPSIS và SAW

1.3.2 Kỹ thuật Weighted Sum Model

Kỹ thuật WSM được sử dụng thông thường nhất, đặc biệt là trong các bài toán một chiều Nếu có m phương án và n thuộc tính thì phương án tốt nhất thỏa mãn công thức sau [4]:

=

j j ij i

A

1

* max ; với i = 1, 2, 3,…, m (1.1) Trong đó: A*WSM là giá trị WSM của phương án tốt nhất, n là số thuộc tính quyết định, xij là giá trị thực tế của phương án thứ i trong giới hạn của thuộc tính thứ j, và wj là trọng số của thuộc tính thứ j

Trong trường hợp đơn chiều, tất cả các thuộc tính là giống nhau, kỹ thuật WSM sử dụng không khó khăn Khó khăn với mô hình này là khi nó được áp dụng với bài toán ra quyết định nhiều chiều Khi đó, với sự kết hợp nhiều chiều khác nhau và các đơn vị khác nhau, kỹ thuật này không sử dụng được

Ví dụ 1: Giả sử rằng bài toán ra quyết định đa mục tiêu liên quan tới 4 thuộc

tính, mà được biểu diễn bởi chính xác cùng đơn vị, và 3 phương án Các trọng số tương đối của 4 thuộc tính được xác định là: w1=0.20, w2=0.15, w3 = 0.40 và

w4=0.25 Các giá trị xij tương ứng đã được giả định như sau:

30 20 30 10

30 15 20 25

X

Do đó, dữ liệu cho bài toán ra quyết định như sau:

Thuộc tính G1 G2 G3 G4 0.20 0.15 0.40 0.25 A1 25 20 15 30

1.3.3 Kỹ thuật Weighted Product Model

Kỹ thuật WPM gần giống với kỹ thuật WSM Sự khác nhau ở đây là thay vì phép cộng kỹ thuật này sử dụng phép nhân Mỗi phương án được so sánh với các phương án khác bởi việc nhân các tỷ số của mỗi thuộc tính với nhau Mỗi tỷ số được lũy thừa với số mũ tương đương với trọng số tương đối của thuộc tính tương ứng Nhìn chung, để so sánh phương án Ak với AL, ta tính kết quả sau [4]:

' '

1

1 /

/

Lj

Kj N

i Li Lj

N

Kj Lj

Kj

x

x x x

x x

Do đó, phương án tốt nhất là A1 và thứ tự của các phương án này như sau :

A1 > A2 > A3

Một hướng tiếp cận khác là chỉ sử dụng phép nhân mà không có tỷ số Do vậy, ta có công thức sau:

Ma trận này được xây dựng bởi việc sử dụng sự quan trọng tương đối của các phương án trong giới hạn của mỗi thuộc tính Vector (xi1, xi2, xi3,…,xiN) với mỗi i là vector trị riêng chính của ma trận nghịch đảo nxn mà được xác định bởi sự so sánh từng đôi của sự tác động của m phương án trên thuộc tính thứ i

Một vài chứng minh đã được trình bày trong [9] cung cấp kỹ thuật ước lượng định tính từ các chuyên gia và người ra quyết định Tuy nhiên, chúng ta không quan tâm về những thuận lợi và không thuận lợi về cách sử dụng của so sánh từng đôi một và phương pháp vector trị riêng cho các giá trị xác định xij Thay vào đó, ta xem xét phương pháp được sử dụng trong AHP để tính lại giá trị xij sau khi chúng được xác định Các giá trị xij trong ma trận mxn, tương ứng với giá trị tương đối của phương án Ai khi nó được xem xét trong giới hạn của thuộc tính Gj Trong kỹ thuật AHP gốc ta có tổng ∑

=

N i ij

A

1

* max , với i = 1, 2, 3,…,M (1.5)

Kỹ thuật AHP sử dụng các giá trị tương đối thay vì sử dụng các giá trị thực

Do vậy, nó có thể được sử dụng trong bài toán ra quyết định một chiều và nhiều chiều

Ví dụ 3:

Kỹ thuật AHP sử dụng một dãy các so sánh từng đôi để xác định sự thực hiện tương đối trong giới hạn của mỗi thuộc tính quyết định Mặt khác, thay vì giá trị tuyệt đối, kỹ thuật AHP sử dụng dữ liệu tương đối sau:

Thuộc tính G1 G2 G3 G4 0.20 0.15 0.40 0.25

1.3.4.2 Kỹ thuật AHP sửa đổi

Belton và Gear đã cải tiến kỹ thuật AHP Họ đã chứng minh rằng có mâu thuẫn xảy ra khi kỹ thuật AHP được sử dụng Họ trình bày một ví dụ mà liên quan tới 3 thuộc tính và 3 phương án Trong ví dụ này, phương án tốt nhất thay đổi khi một phương án đồng nhất với một trong các phương án không tối ưu được thêm vào Theo tác giả, thực chất của mâu thuẫn này là trường hợp các giá trị tương đối cho mỗi thuộc tính cộng lại bằng 1 Thay vì có các giá trị tương đối của các phương

án A1, A2, A3,…,Am cộng lại bằng 1, chúng ta chia mỗi giá trị tương đối với giá trị lớn nhất của các giá trị tương đối Ta trình bày chi tiết hơn trong ví dụ dưới đây

Ví dụ 4: Giả sử rằng dữ liệu thực của bài toán ra quyết định đa mục tiêu với

3 phương án và 3 thuộc tính như sau :

Thuộc tính

G1 G2 G31/3 1/3 1/3 A1 1 9 8

A3 1 1 1

Quan sát thấy rằng trong các bài toán thực tế người ra quyết định có thể không bao giờ biết dữ liệu thực tế trước đó Thay vào đó, họ có thể sử dụng phương pháp so sánh từng đôi để nhận được dữ liệu tương đối Khi kỹ thuật AHP được áp dụng với dữ liệu trên, ma trận quyết định với dữ liệu tương đối đã nhận được như sau :

Thuộc tính

G1 G2 G31/3 1/3 1/3 A1 1/11 9/11 8/18

ma trận quyết định mới như sau:

Thuộc tính

G1 G2 G31/3 1/3 1/3

A1 1/20 9/12 8/27

A2 9/20 1/12 9/27

A3 1/20 1/12 1/27

A4 9/20 1/12 9/27

Tương tự, ta có thể tính được vector AHP là (0.37, 0.29, 0.06, 0.29) Vì vậy, thứ tự với 4 phương án như sau: A1 > A2 > A4 > A3 Kết quả này mâu thuẫn với kết quả trước đó vì A2 > A1

Khi sử dụng kỹ thuật AHP cải tiến với dữ liệu này, ma trận quyết định được tính như sau:

Thuộc tính

G1 G2 G31/3 1/3 1/3

Kỹ thuật ELECTRE bắt đầu với việc so sánh các phương án từng đôi một dưới mỗi thuộc tính Sử dụng các giá trị có tính vật lý hoặc tiền tệ gi(Aj) và gi(Ak) của phương án Aj và Ak tương ứng, và đưa vào ngưỡng cho sự khác nhau gi(Aj) – gi(Ak), người ra quyết định có thể tuyên bố rằng họ không quan tâm giữa các phương án thay thế đang được xem xét, rằng họ có sự ưu tiên yếu hoặc nghiêm ngặt

cho một trong hai phương án đó, hoặc họ không thể diễn tả được bất kỳ mối quan

hệ ưu tiên nào Do đó, một tập mối quan hệ nhị phân giữa các phương án, gọi là mối quan hệ xếp hạng có thể là đầy đủ hoặc không đầy đủ Tiếp theo, người ra quyết định được yêu cầu để gán các trọng số hoặc các nhân tố quan trọng cho thuộc tính

để thể hiện tầm quan trọng tương đối của chúng

Qua một loạt các đánh giá liên tiếp của mối quan hệ xếp hạng của các phương án, kỹ thuật ELECTRE suy ra những mục lục chỉ dẫn, được xác định như là tổng số dấu hiệu để đưa ra kết luận rằng Aj cao hơn Ak, cũng như sự bất hòa, một phần đối lập của mục lục chỉ dẫn

Cuối cùng, kỹ thuật ELECTRE sinh ra một hệ thống đầy đủ của mối quan hệ xếp hạng nhị phân giữa các phương án Bởi vì hệ thống là không cần thiết đầy đủ,

kỹ thuật ELECTRE thỉnh thoảng không thể nhận biết được phương án tốt hơn Nó chỉ tạo ra một cốt lõi của các phương án chính Phương pháp này có một cái nhìn rõ ràng hơn về các phương án bằng việc loại bỏ các phương án kém thuận lợi, đặc biệt thích hợp trong khi gặp một vài tiêu chuẩn với số lượng lớn các phương án trong bài toán ra quyết định Sự tổ chức của kỹ thuật ELECTRE được minh họa tốt nhất qua các bước sau [4]:

Bước 1: Chuẩn hóa ma trận quyết định

Thủ tục này biến đổi các đơn vị khác nhau trong ma trận quyết định thành các đơn vị không có thứ nguyên có thể so sánh được bằng cách sử dụng công thức sau:

∑

=

=

M i ij

ij ij

x

x z

1 2

Do đó, ma trận chuẩn hóa Z được xác định như sau:

N N

z z z z

z z z z

z z z z

2 23 22 21

1 13 12 11

Trong đó, m là số phương án và n là số thuộc tính, và zij là giá trị mới không

có thứ nguyên của phương án thứ i trong thuộc tính thứ j

Bước 4: Xây dựng các ma trận phù hợp và không phù hợp

Giá trị tương đối của các thành phần trong ma trận phù hợp C được tính toán bởi trung bình của các chỉ số phù hợp Chỉ số phù hợp ckl là tổng của các trọng số kết hợp với tiêu chuẩn bao gồm trong tập phù hợp Đó là:

∑

∈

=

C j

2 23 21

1 13 12

M M M

M M

c c c

c c c

c c c

C

Cần lưu ý rằng các phần tử của ma trận C không được định nghĩa khi k = l

Ma trận không phù hợp D thể hiện mức độ mà một phương án Ak nào đó là tồi hơn một phương án cạnh tranh Al Thành phần dkl của ma trận này được định nghĩa như sau:

|

| max

|

| max

lj kj

D j lj kj

y y d

2 23 21

1 13 12

M M M

M M

d d d

d d d

d d d

D

Các phần tử của ma trận D không được xác định khi k = l Và ma trận C và

D là không đối xứng

Bước 5: Xác định các ma trận ưu thế phù hợp và không phù hợp

Ma trận ưu thế phù hợp được xây dựng bởi trung bình của một giá trị ngưỡng với chỉ số phù hợp Ví dụ, Ak sẽ có ưu thế hơn Al nếu chỉ số phù hợp tương ứng ckl lớn hơn hoặc bằng một giá trị c’ nào đó Đó là, ckl >= c’

Giá trị ngưỡng c’ có thể được xác định như là trung bình của các chỉ số phù hợp Đó là:

c M

M

c

1 1 )

1 (

1

Dựa vào giá trị ngưỡng, ma trận ưu thế phù hợp F được xác định như sau:

d M

M

d

1 1 )

1 (

Bước 7: Loại bỏ các phương án có ít triển vọng

Từ ma trận ưu thế tổng hợp, chúng ta có thể có được một trật tự ưu tiên một phần của các phương án Nếu ekl = 1 thì điều này có nghĩa là Ak là thích hợp hơn Al bằng cách sử dụng cả tiêu chuẩn phù hợp và không phù hợp

Nếu bất cứ cột nào của ma trận ưu thế tổng hợp có ít nhất một phần tử bằng

1, cột đó là “ELECTREally” trội hơn bởi hàng tương ứng đó Do đó, chúng ta loại

bỏ bất cứ cột nào mà có một thành phần bằng 1 Sau cùng, lựa chọn tốt nhất là phương án mà trội hơn tất cả toàn bộ phương án khác theo cách đó

1.3.6 Kỹ thuật TOPSIS

Kỹ thuật TOPSIS đã được phát triển bởi Hwang và Yoon vào năm 1981 như

là một sự thay thế kỹ thuật ELECTRE Khái niệm cơ bản của kỹ thuật này là phương án được chọn có khoảng cách ngắn nhất từ phương án lý tưởng và khoảng cách xa nhất từ phương án không lý tưởng trong ý nghĩa hình học

TOPSIS giả sử rằng mỗi thuộc tính có xu hướng đơn điệu tăng hoặc đơn điệu giảm Do đó, rất dễ dàng để tìm ra phương án lý tưởng và không lý tưởng Khoảng cách Euclid được sử dụng để ước lượng sự giống nhau tương đối của các phương án với phương án lý tưởng Do vậy, thứ tự ưu tiên của các phương án đã được đưa ra qua sự so sánh giữa các khoảng cách tương đối của chúng

Kỹ thuật TOPSIS ước lượng ma trận quyết định như sau:

M M

N N

x x

x x

x x

x x

x x

x x

2 23

22 21

1 13

12 11

Trong đó xij ký hiệu là số đo của phương án thứ i trong tiêu chuẩn thứ j Kỹ thuật TOPSIS được trình bày ở dưới đây theo từng bước [4]:

Bước 1: Xây dựng ma trận quyết định chuẩn hóa

Một thành phần zij của ma trận quyết định chuẩn hóa Z có thể được tính toán như sau:

∑

=

=

M i ij

ij ij

x

x z

1 2

Bước 2: Xây dựng ma trận trọng số chuẩn hóa

Một tập các trọng số W = (w1, w2, w3,…,wn) trong đó: ∑w i = 1 được định nghĩa bởi người ra quyết định đã được chứa trong ma trận quyết định để sinh ra ma trận trọng số chuẩn hóa V như sau:

M

N N

N N

z w z

w z w

z w z

w z w

z w z

w z w

2 22

2 21 1

1 12

2 11 1

Bước 3: Xác định phương án lý tưởng và không lý tưởng

Phương án lý tưởng A* và không lý tưởng A- được định nghĩa như sau:

A*i = {(max vij| j thuộc J), (min vij|j thuộc J’) | i = 1,2,3, ,m} = {v1*, v2*,

J’ = {j = 1,2,3,…,n | j là thuộc tính giá}

Với thuộc tính lợi ích, người ra quyết định muốn có một giá trị lớn nhất giữa các phương án Với thuộc tính giá, người ra quyết định muốn có một giá trị nhỏ nhất trong số các phương án Một cách rõ ràng, A* chỉ ra phương án ưu thế nhất hoặc phương án lý tưởng Tương tự A- chỉ ra phương án ít ưu thế hay phương án không lý tưởng

Bước 4: Tính toán các số đo khoảng cách

Phương pháp khoảng cách Euclid n chiều được áp dụng để tính toán các khoảng cách của mỗi phương án với phương án lý tưởng và không lý tưởng

m i

v v

v v

S i− = (∑( ij − j− ) 2 ) 1 / 2 ; = 1 , 2 , 3 , , (1.17) Trong đó Si- là khoảng cách của mỗi phương án từ phương án không lý tưởng

Bước 5: Tính toán sự giống nhau tương đối với phương án lý tưởng

Sự giống nhau tương đối của một phương án Ai với phương án lý tưởng A*được định nghĩa như sau:

Ci* = Si- / (Si* + Si-), 0 <= Ci* <=1, i = 1,2,3,…,m (1.18)

Rõ ràng, Ci* = 1 nếu Ai = A* và Ci- = 0 nếu Ai = A-

Bước 6: Xếp thứ tự ưu tiên

Lựa chọn tốt nhất được thỏa mãn có thể được quyết định theo thứ tự xếp thứ

ưu tiên của Ci* Do đó, lựa chọn tốt nhất là phương án mà có khoảng cách ngắn nhất

so với phương án lý tưởng Mối quan hệ giữa các phương án tiết lộ rằng bất kỳ phương án nào mà có khoảng cách ngắn nhất so với phương án lý tưởng đã được bảo đảm để có khoảng cách dài nhất so với phương án không lý tưởng

1.3.7 Kỹ thuật Simple Additive Weighting (SAW)

Giả sử rằng bài toán ra quyết định đa thuộc tính có m phương án quyết định A1, …,Am và n thuộc tính G1, …,Gn Mỗi phương án được đánh giá với các thuộc tính n, có giá trị tạo thành một ma trận quyết định ký hiệu là X = (xij)mxn Do tính

không thể so sánh được với nhau giữa các thuộc tính, ma trận quyết định X = (xij)mxn cần được chuẩn hóa Phương pháp chuẩn hóa thường sử dụng nhất như sau:

2 min

max

max

1 min

max

min

;, ,1

;

;, ,1

x x

x x

z

j m i

x x

x x

z

j j

ij j ij

j j

j ij ij

Trong đó, xjmin = min1<=i<=m{xij}, xjmax = max1<=i<=m{xij}, zij là giá trị thuộc tính đã được chuẩn hóa, và Ω1 và Ω2 tương ứng là tập các thuộc tính lợi ích và thuộc tính giá Các thuộc tính lợi ích là những thuộc tính cho giá lớn nhất, trong khi

đó các thuộc tính giá ứng với thuộc tính cho giá trị nhỏ nhất

Đặt Z = (zij)mxn là ma trận chuẩn hóa và W = (w1, …, wn)T là vector chuẩn hóa của các trọng số thuộc tính thỏa mãn:

Trong đó, eT = (1,…,1) là vector với tất cả các thành phần bằng 1 Theo kỹ thuật SAW [12], tổng giá trị đánh giá trọng số của phương án Ai (i = 1,….,m) có thể được thể hiện như sau:

m i

w z

d m

j

j ij

Trong đó, D = (d1, d2,….,dm)T là vector của các giá trị đánh giá trọng số của tất cả các phương án

Chương 2 – RA QUYẾT ĐỊNH ĐA THUỘC TÍNH DỰA TRÊN QUAN

HỆ ƯU TIÊN 2.1 Giới thiệu

Trong chương trước, ta đã khảo cứu các kỹ thuật giải bài toán ra quyết định khi biết rõ các trọng số trên mỗi thuộc tính Nhưng trong thực tế không phải lúc nào người ra quyết định cũng biết rõ các trọng số đó, mà họ chỉ có được thông tin ưu tiên hoặc là trên thuộc tính (quan hệ ưu tiên bội) hoặc là giữa các phương án Và quan hệ ưu tiên của người ra quyết định được sử dụng để đánh giá các trọng số và xếp hạng các phương án Trong chương này, ta nghiên cứu cách tiếp cận giải bài toán ra quyết định đa thuộc tính khi biết quan hệ ưu tiên bội và quan hệ ưu tiên mờ giữa các phương án

Có rất nhiều phương pháp tiếp cận để đánh giá các trọng số dựa vào quan hệ

ưu tiên bội như phương pháp vector trị riêng (eigenvector method), phương pháp bình phương tối thiểu, và phương pháp Delphi Trong chương này ta sử dụng phương pháp bình phương tối thiểu để đánh giá trọng số dựa trên quan hệ ưu tiên bội Thêm nữa, ta cũng đề cập tới một cách tiếp cận khác dựa trên thông tin ma trận quyết định Với cách tiếp cận này, ta có các phương pháp để đánh giá các trọng số như phương pháp phân tích thành phần chính, phương pháp entropy và phương pháp quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Với thông tin ma trận quyết định, ta đánh giá trọng số sử dụng phương pháp quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu Sau khi có được các trọng số của các thuộc tính, ta sử dụng kỹ thuật SAW để xếp hạng các phương án

Ngoài ra, trong chương này ta cũng khảo cứu cách tiếp cận với quan hệ ưu tiên mờ trên các phương án Có rất nhiều phương pháp để giải bài toán ra quyết định đa thuộc tính với quan hệ ưu tiên trên các phương án như: phương pháp SAW, phương pháp MDS với điểm lý tưởng và kỹ thuật quy hoạch tuyến tính cho phân tích nhiều chiều của ưu tiên Tuy nhiên, những phương pháp này không đề cập tới vấn đề khi mà quan hệ ưu tiên trên các phương án được cho trong tập mờ Vì vậy, chương này ta nghiên cứu cách tiếp cận giải bài toán ra quyết định đa thuộc tính với

quan hệ ưu tiên mờ trên các phương án, đồng thời có kết hợp với quan hệ ưu tiên bội và ma trận quyết định

Nội dung chương bao gồm các phần sau: Mục 2.2, trình bày về ra quyết định

đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên bội Mục 2.3, ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên mờ Mục 2.4, ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên bội và quan hệ ưu tiên mờ

2.2 Ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên bội

2.2.1 Đánh giá trọng số dựa trên quan hệ ưu tiên bội

Để xác định các trọng số, giả sử người ra quyết định cung cấp ma trận thông tin ưu tiên bội A = [aij]nxn Các thành phần của ma trận A thỏa mãn:

(

1 1

2 1

w

z

T

n i

n j

i j ij

a n

k ki

ii 2 ; 1 , ,

1

2 = +

−

=

fij = -(aij+aji) ; i,j=1,…,n ; i khác j (2.3)

F là một ma trận xác định dương nếu với bất kỳ i,j và k mà ở đó có ít nhất aijkhác aikakj

Có 1 ràng buộc nữa cho mô hình (2.1) là w>0 Tuy nhiên, bài toán trên có thể được giải để thu được w>0 mà ko có ràng buộc này

Mô hình (2.1) là mô hình quy hoạch phi tuyến Để tối thiểu z1, hàm Lagrange

có dạng như sau:

L1 = wTFw + 2λ1(eTw – 1) (2.4) Trong đó λ1 là hệ số nhân Lagrange Đạo hàm công thức (2.4) đối với w và

λ1 tương ứng, ta thu được các công thức sau:

2.2.2 Đánh giá trọng số dựa trên thông tin ma trận quyết định

Ma trận quyết định ký hiệu là X, ma trận quyết định đã chuẩn hóa ký hiệu là

w z z d

d

j

j ij j n

j

ij j

i ( ) ( ) ; 1 , ,

1

2 2

* 1

, ,,

= g g g m

Thỏa mãn: eTw = 1 và w >=0

Bằng phương pháp tổng trọng số cân bằng tuyến tính, mô hình ở trên có thể được biến đổi thành mô hình tối ưu một mục tiêu sau [8]:

Hw w g

z z

h m

i

ij j

Để tối thiểu hóa z2, ta bỏ qua ràng buộc w>=0 và thiết lập hàm Lagrange sau: L2 = wTHw + 2λ2(eTw-1) (2.15) Trong đó, λ2 là hệ số nhân Lagrange Đạo hàm công thức (2.15) đối với w và

λ2 tương ứng, ta thu được công thức sau:

b b b

b

w

m i

ij j n

)()(

11

2.2.3 Kết hợp quan hệ ưu tiên bội và thông tin ma trận quyết định

Để kết hợp quan hệ ưu tiên bội và ma trận quyết định, ta đưa ra mô hình quy hoạch 2 mục tiêu sau [8]:

z

Fw w

z z a

n

k

ki i n

k ki

1

2

* 1

giá trị thấp cho các phương án mong muốn Ma trận quyết định cho bài toán ra quyết định đa thuộc tính như sau:

11 20 50 8

1

5 8 80 5 2

7 10 100 0 3

1

2 1 3 / 1 2 /

1

4 3 1 2

3 2 2 / 1 1

A

Để tìm ra phương án tốt nhất, trước tiên ta phải chuẩn hóa ma trận quyết định

X Ma trận quyết định đã chuẩn hóa Z như sau:

1 0 0 1

0 1 5 / 3 12 /

5

3 / 1 6 / 5 1 0

5 2 25 16 33333 3 5 2

25 4 33333 3 423611

3 5 2

33333 3 5 2 5 2 361111

1 0 0 0

0 138889

1 0 0

0 0 52 1 0

0 0 0 451389

0,6 0,4 0,270329 0,456151 0,164892 0,108628 0,5 0,5 0,272719 0,44709 0,169200 0,111003 0,4 0,6 0,275539 0,434907 0,175191 0,114363 0,2 0,8 0,281683 0,391240 0,198757 0,128321

0 1,0 0,240253 0,229408 0,306175 0,224164

Bảng 2.1: Bảng giá trị các trọng số Dựa vào công thức 1.22 ta có bảng xếp hạng các phương án như sau:

1,0 0 0,6412 0,5517 0,3674 0,5394 A1 > A2 > A4 > A3 0,8 0,2 0,6365 0,5515 0,3721 0,5417 A1 > A2 > A4 > A3 0,6 0,4 0,6298 0,5512 0,3790 0,5450 A1 > A2 > A4 > A3 0,5 0,5 0,6251 0,5511 0,3837 0,5474 A1 > A2 > A4 > A3 0,4 0,6 0,6190 0,5509 0,3899 0,5507 A1 > A2 > A4 > A3 0,2 0,8 0,5996 0,5509 0,4100 0,5623 A1 > A4 > A2 > A3

0 1,0 0,5593 0,5439 0,4644 0,6055 A4 > A1 > A2 > A3

Bảng 2.2: Bảng xếp hạng các phương án Dựa vào bảng trên ta thấy, hầu hết tất cả các trường hợp của α và β đều cho cùng một thứ tự A1 > A2 > A4 > A3 Vậy ta thấy, phương án tốt nhất là phương án A1

2.3 Ra quyết định đa thuộc tính dựa trên quan hệ ưu tiên mờ

2.3.1 Giới thiệu về quan hệ ưu tiên mờ

Giả sử rằng quan hệ ưu tiên mờ trên các phương án được cung cấp bởi người

ra quyết định cho bởi ma trận sau:

P = (pij)mxm Trong đó pij, i =1,…m và j = 1,…,m được cho bởi công thức sau:

i j

j i

j i

j i

j i P ij

A A if

A A if f

A A if

A A if c

A A if A

A p

0

)5.0,0(

5.0

)1,5.0(1),(

(3) pij + pji =1 với i,j = 1,…,m; j khác i

Quan hệ ưu tiên mờ P có thể được xem như là một ước lượng chủ quan của

ma trận so sánh cặp đôi sau đây:

+

+ +

+

+ +

m m

m m

m

m m

mm m

m

m m

d d

d d

d

d d d d

d d

d d

d

d d d d

d d

d d

d

d d d d

p p

p

p p

p

p p

p

P

.

2

2 2

2

2 1 2 2

1

1 2

1

1 1 1 1

2 1

2 22

21

1 12

+ + + + +

+ + +

−

= + +

+ + + +

+ + +

−

= + +

+ + + +

+ + +

−

−

m m

m m m

m m

m

m m

m

m

m m

m m

d m d

d d d

d d

d d d

d d

d d

d

d

d m d

d d d

d d

d d d

d d

d d

d

d

d m d

d d d

d d

d d d

d d

d d

d

d

) 1 ( ) (

) (

) (

.

.

.

) 1 ( ) (

) (

) (

) 1 ( ) (

) (

) (

1 1

2 2

1 1

2 2

2

2 3

2 3 2

2 1

2 1 2

2

1 1

1

1 3

1 3 1

1 2

1 2 1

++++

+

−

=++

+++

+

−

=++

+++

+

−

− m m m m

m m

m m

m

m m

m m

d m d

d p d

d p d d

p

d m d

d p d

d p d d

p

d m d

d p d

d p d d

p

)1()(

)(

)(

)1()(

)(

)(

)1()(

)(

)(

1 1

, 2

2 1 1

2 2

2 3

2 23 1 2

21

1 1

1 3

1 13 2 1

1

2 2

, 1 2 21

1 12

2 1

m

m m

j j j

m m

j

j

p p

p

p p

p

p p

p

Công thức (2.33) có thể được viết lại như sau: BD = (m-1)D (2.35)

Rõ ràng, D có thể được xem như là vector trị riêng chính của ma trận B Điều này đã được chứng minh rằng công thức (2.35) với bất kỳ quan hệ ưu tiên mờ nào là một ước lượng chính xác của P=(p ij)mxm Xếp hạng chủ quan của người ra quyết định cho các phương án có thể đạt được bằng việc giải bài toán trị riêng (2.35)

Ta thay thế (1.22) vào (2.35), sau đó ta nhận được mối quan hệ sau giữa các

ưu tiên mờ và vector trọng số: BZW = (m-1)ZW (2.36)

Mối quan hệ như thế có thể được sử dụng để ước lượng trọng số tương đối của các thuộc tính

2.3.2 LDM với quan hệ ưu tiên mờ và ma trận quyết định, LDM-1

Từ công thức (2.36), BZW = (m-1)ZW, trong đó, Z là ma trận quyết định đã chuẩn hóa và W là vector trọng số đã chuẩn hóa thỏa mãn điều kiện eTW = 1 Do sự tồn tại của tính mờ và tính chủ quan, tuy nhiên, một ước lượng chính xác là gần như không thể Bởi vậy, (2.36) không thể chính xác trong hầu hết các trường hợp Theo nhận xét này, ta định nghĩa vector độ lệch sau [11]:

) 1 ( [

min 1

W

W

e

W Z m BZ

và i i i

i i

γ

γi có thể được viết lại như sau:

m i

i i

=

= Γ + Γ

−

−

−

→ Γ + Γ

=

− +

− +

− +

0 , ,

1

0 ]

) 1 ( [

min )

Trong đó, T

m

T

m) và ( , , ) , ,

( 1+ + − 1− − + = Γ =

Γ γ γ γ γ Vector trọng số tối ưu, W* = (w1*,…,wn*)T, có thể dễ dạng có được bằng cách giải (2.41), mà kết hợp cả quan hệ

ưu tiên mờ và ma trận quyết định Với các trọng số thuộc tính đạt được bởi (2.41), giá trị để xếp hạng cho các phương án có thể được tính hoặc bằng (1.21) hoặc bằng (1.22), và quyết định cuối cùng có thể thu được Ta gọi phương pháp được mô tả ở trên là phương pháp độ lệch tối thiểu cho sự kết hợp quan hệ ưu tiên mờ và thông tin ma trận khách quan hoặc là LDM-1

2.3.3 LDM với vector ưu tiên và ma trận quyết định, LDM-2

Cách tiếp cận này sử dụng quan hệ ưu tiên mờ theo cách gián tiếp Nó kết hợp các giá trị để xếp hạng cho các phương án với thông tin ma trận quyết định Đặt

T m

d

d

Dˆ =(ˆ1, ,ˆ ) là giá trị để xếp hạng các phương án của người ra quyết định của D = (d1,…,dm)T, mà có thể được ước lượng sử dụng phương pháp vector trị riêng Ta mong muốn rằng Dˆvà D gần như giống nhau Dˆlà vector chuẩn hóa của các giá trị đánh giá nhưng D không phải Do đó:

m i

w z

w z w

z

w z d

i

) (

w z d

n

j ij j

, ,1

;0)(ˆ

1 1 1

m i

w z d z

n

j

j m k kj i ij

w

m i

w z d z

j

m k kj i ij

m

i

i

, , 1

; 0

1

, , 1

; 0 ˆ

(2.45)

Với phép đổi biến của (2.39), mô hình tối ưu trên có thể được biểu diễn như

mô hình quy hoạch tuyến tính sau, mà ta có thể gọi là LDM cho kết hợp vector ưu tiên chủ quan và thông tin ma trận quyết định hoặc là LDM-2:

=

− +

=

− +

= =

=

− +

∑

∑

m i

n j

w

w

m i

w z d z

J

i i

j

m k kj i ij

m

i

i i

, , 1

; , , 1

; 0 , ,

1

, , 1

; 0 ˆ

min )

γγ

γγ

(2.46)

2.3.4 LDM với thứ tự ưu tiên và ma trận quyết định, LDM-3

Một cách khác của việc sử dụng quan hệ ưu tiên mờ trên các phương án một cách gián tiếp là dùng thứ tự xếp hạng của chúng Giả sử rằng thứ tự xếp hạng thu được từ quan hệ ưu tiên mờ là Ai1 > Ai2>….>Aim, mà có thể có được bằng phương pháp vector trị riêng hoặc phương pháp khác và có thể được đặc trưng về các giá trị đánh giá trọng số tổng thể chủ quan như dˆi1≥dˆi2≥ ≥dˆim Nó được mong muốn rằng một trật tự xếp hạng là được đặc trưng bởi di1>=di2>=….>=dim được tạo ra dựa vào thông tin được nhúng vào ma trận quyết định khách quan Tuy nhiên, trật tự xếp hạng như thế không thể chính xác như trật tự được đặc trưng bởi dˆi1≥dˆi2 ≥ ≥dˆim, trong trường hợp thứ tự xếp hạng đặc trưng bởi di1 >= di2>=…>=dim là không hợp

lệ Chúng ta đưa ra các biến độ lệch không âm γi,…,γim-1 như sau:

00

1 1

2 3 2

1 2

1

≥+

−

≥+

−

≥+

i

i i

−

≥ +

−

≥ +

n

i n

j

j j j

m m

z

w z z

w z z

1

1

1

0 )

(

0 )

(

0 )

(

1 1

2 3

2

1 2

1

γ

γγ

−

→ +

+ +

; , , 1 , 0 ,

1

1 , , 1

; 0 )

(

min

1

1 1

1 2

1

m l

n j

w

w

m l

w z z

J

l

l l

i i

i

γ

γ

γγ

γ

Ta gọi phương pháp này là phương pháp độ lệch tối thiểu với sự kết hợp thứ

tự xếp hạng và thông tin ma trận quyết định hay là LDM-3 Nếu giá trị hàm mục tiêu tối ưu của (2.49) không bằng 0, đó là J* >0, thì vector trọng số tối ưu, W*, có thể được xác định duy nhất Bình thường, khi số lượng các phương án là lớn hơn số lượng các thuộc tính, m > n, rất có khả năng rằng J* > 0 Nếu, nói cách khác, J* = 0,

có tồn tại nhiều giải pháp tối ưu của (2.49) Trong trường hợp này, W* không thể được xác định duy nhất nhưng có thể đặc trưng bởi một vector khoảng Điều này thường là khi m <=n Cặp mô hình sau có thể sử dụng để tìm thấy khoảng trọng số:

w

m l

w z z

l l

, , 1

; 0

1

1 , , 1

; 0 ) (

max min/

w

w

m l

w z z

l

, ,1

;01

1, ,1

;0)(

có K0 đỉnh, ký hiệu bởi W(k) = (w(k)1,…,w(k)n)T, k = 1,…,K0 Khi đó trọng số trọng tâm của nó có thể được tính toán như sau: