Logic mệnh đề miền giá trị chân lý dựa trên đại số gia tử mịn hóa

Trần Đức Khánh, luậnvăn với đề tài: “Logic mệnh đề với miền giá trị chân lýdựa trên Đại số gia tử mịn hóa” được hoàn thành với sự nhận thức của riêng tác giả, không phải là saochép toàn

LỜI CẢM ƠN

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu, phòng Sauđại học và các GS, TS giảng dạy tại Viện công nghệ thông tin và truyềnthông - Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội đã giúp đỡ, tạo điều kiện thuậnlợi cho em trong quá trình học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn.Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy giáo TS TrầnĐức Khánh, người đã chỉ bảo, giúp đỡ, tạo điều kiện cho em trong quátrình nghiên cứu luận văn và hoàn chỉnh luận văn này

Tôi cũng chân thành cảm ơn hai bạn làm cùng nhóm Logic là: Vũ ViệtTrung và Đoàn Thế Vinh lớp Kỹ sư tài năng K54 đã đồng hành, giúp đỡ

và động viên tôi trong quá trình làm luận văn

Trong quá trình thực hiện công tác nghiên cứu không tránh khỏi nhữnghạn chế và thiếu sót, em xin chân thành cảm ơn những ý kiến đóng góp củacác Thầy giáo, Cô giáo và các bạn học viên để bản luận văn hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 09 năm 2012

Tác giả

Vũ Thị Khánh Vân

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan, dưới sự hướng dẫn của TS Trần Đức Khánh, luậnvăn với đề tài:

“Logic mệnh đề với miền giá trị chân lýdựa trên Đại số gia tử mịn hóa”

được hoàn thành với sự nhận thức của riêng tác giả, không phải là saochép toàn văn của bất kỳ công trình nào khác

Trong quá trình làm luận văn, tôi đã kế thừa những thành tựu củacác nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, tháng 09 năm 2012

Tác giả

Vũ Thị Khánh Vân

Mục lục

Chương 1 Đặt vấn đề và định hướng

1.1 Suy luận ngôn ngữ theo tiếp cận tập mờ và Đại số gia tử 8

1.2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài 10

Chương 2 Cơ sở lý thuyết chung 11 2.1 Đại số gia tử 11

2.1.1 Sơ lược về đại số gia tử 11

2.1.2 Định nghĩa 13

2.2 Đại số gia tử mịn hóa 21

2.2.1 Cấu trúc dàn 21

2.2.2 Đại số gia tử mịn hóa 29

2.2.3 Cấu trúc dàn của đại số gia tử mịn hóa 32

2.3 Đại số gia tử mịn hóa đối xứng hữu hạn 33

Chương 3 Logic mệnh đề với miền giá trị chân lý sinh bởi đại số gia tử mịn hóa 37 3.1 Cú pháp 39

3.2 Ngữ nghĩa 41

3.2.1 Miền giá trị chân lý của logic 41

3.2.2 Thông dịch 44

3.2.3 Thỏa được, chân lý, sai, mâu thuẫn, tương đương logic 47 3.3 Dạng hội chính quy 49

Kết luận 52

MỞ ĐẦU

Ngày nay, với rất nhiều công nghệ mới được nghiên cứu để phục vụ tốthơn nữa trong nghiên cứu khoa học cũng như trong đời sống Cùng với sựphát triển của khoa học và công nghệ, logic học ngày càng được ứng dụngrộng rãi

Người ta sử dụng logic học để giúp giải quyết các vấn đề nan giải của toánhọc, của điều khiển học, của các khoa học máy tính, Chẳng hạn nhưngười ta sử dụng logic vị từ để làm các ngôn ngữ lập trình cho trí tuệ nhântạo (ví dụ ngôn ngữ lập trình PROLOG - Programing in Logic); ứng dụnglogic mờ (Fuzzy logic) để phát triển công nghệ mờ,

Logic là một đề tài không phải là quá mới, nó đã xuất hiện từ rất lâu,nhưng như một hệ quả tất yếu, cái gì phù hợp với thực tế thì nó sẽ đượcduy trì và phát triển Sự phát triển khá mạnh của Logic với sự đa dạngcủa nó thì sự ứng dụng của Logic ngày càng nhiều và quan trọng trongmọi lĩnh vực Cùng với sự phát triển không ngừng của tất cả các ngành,công nghệ thông tin đang là một trong những ngành phát triển mạnh nhất.Ngày nay, việc tạo ra một vi mạch không phải quan trọng nhất trong phầncứng, mà đó là kiểm tra sự hoạt động của vi mạch đó Phần mềm khôngphải quan trọng nhất là xây dựng chương trình, mà là kiểm thử chươngtrình Nhưng sự vi mô, tinh xảo của phần cứng không thể dùng mắt người

để kiểm tra xem nó có lỗi hay không Một hệ thống phần mềm phức tạpvới số lượng dòng code lên tới triệu dòng, con người cũng không dễ dàngkiểm tra lỗi Logic ngôn ngữ là một trong những cách phù hợp giúp chúng

ta kiểm tra phần mềm, phần cứng một cách tự động và cho kết quả kháchính xác

Hiện nay, khoa học máy tính có rất nhiều hướng tiếp cận để mô hìnhhóa quá trình sử dụng ngôn ngữ trong tư duy và suy luận của con người

như hướng tiếp cận lý thuyết tập mờ, mạng neuron nhân tạo, học máy Tuy nhiên, các hướng tiếp cận này hầu như không thể vận dụng được trựctiếp với các giá trị ngôn ngữ trong quá trình suy luận.

Đại số gia tử được đề xuất năm 1990 bởi Nguyễn Cát Hồ và WolfgangWechler từ ý tưởng về biến ngôn ngữ của lý thuyết mờ đã đưa ra mộthướng tiếp cận mới dựa trên cấu trúc tự nhiên của ngôn ngữ Đại số gia tửcòn được cho là mô hình đại số của ngôn ngữ tự nhiên Dựa trên lý thuyết

đó miền giá trị ngôn ngữ đã được mô hình hóa và các phương pháp suydiễn được xây dựng bằng cách vận dụng trực tiếp các giá trị ngôn ngữ.Tuy nhiên, hầu như tất cả các phương pháp trình bày đều chưa nói về tínhđúng đắn và đầy đủ của suy diễn Để có thể xây dựng rõ ràng được tínhđúng đắn và đầy đủ ta cần xây dựng một logic hình thức mà miền giá trịchân lý của nó là miền giá trị ngôn ngữ

Chính vì tầm quan trọng của Logic trong khoa học máy tính như vậy vàđược sự định hướng của TS Trần Đức Khánh nên em chọn đề tài cho luậnvăn:

‘Logic mệnh đề với miền giá trị chân lý dựa trên đại số gia tử mịn hóa.’Nội dung của luận văn được bố cục như sau:

Chương 1 Đặt vấn đề và định hướng giải pháp

Có đề cập đến vấn đề suy luận ngôn ngữ theo các hướng tiếp cận khácnhau và từ đó đưa ra mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Chương 2 Cơ sở lý thuyết chung

Chương này trình bày các kiến thức cơ sở của đại số gia tử, đại số gia tửđối xứng tuyến tính, mở rộng sang trường hợp tổng quát hơn đó là đại sốgia tử mịn hóa và đại số gia tử mịn hóa đối xứng hữu hạn Từ đó mở ramột tiềm năng lớn là xây dựng một logic mệnh đề đa trị với miền giá trịchân lý là miền giá trị của đại số gia tử mịn hóa

Chương 3 Logic mệnh đề với miền giá trị chân lý sinh bởi đại số gia tửmịn hóa

Trong phần này, ta trình bày những thành phần cơ bản của logic kể trên

đó là cú pháp, ngữ nghĩa và dạng hội chính qui.

Mục đích nghiên cứu của luận văn:

Luận văn nghiên cứu về logic mệnh đề với miền giá trị chân lý dựa trênđại số gia tử mịn hóa Thông qua việc trình bày lý thuyết cơ bản về đại

số gia tử, đại số gia tử mịn hóa dựa trên các dàn phân phối tự do sinh bởicác gia tử, sau đó chỉ ra sự tương ứng giữa logic có miền chân lý là đại sốgia tử đối xứng tuyến tính và logic có miền chân lý là đại số gia tử mịnhóa đối xứng

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Nghiên cứu, trình bày về một kiểu miền chân lý đa trị: Miền chân lý sinhbởi đại số gia tử mịn hóa đối xứng, hữu hạn

Phương pháp nghiên cứu:

- Đọc sách, nghiên cứu tài liệu

- Tổng hợp: Kiến thức, các kết quả nghiên cứu đã có để lựa chọn hướngtiếp cận phù hợp với nội dung nghiên cứu và vận dụng cho mục đích nghiêncứu

do và đưa ra quyết định Hơn nữa, trong ngôn ngữ tự nhiên, các trạng từnhấn rất thường được sử dụng để nhấn mạnh các cấp độ khác nhau Ví dụnhư: Very High, More High, Possible High, Very Low, More Low, PossibleLow Vì vậy rất là cần thiết để nghiên cứu các hệ thống logic mà có thểlàm việc trực tiếp với các từ và sử dụng các trạng từ nhấn đó (Gia tử ngônngữ) để dễ dàng miêu tả kiến thức được thể hiện trong tự nhiên.

Logic mờ mà bắt nguồn từ lý thuyết tập mờ được giới thiệu bởi L.A Zadehđược đưa ra từ năm 1965 với ý tưởng là ‘gần đúng’ hơn là ‘chính xác’ nhưtrong logic truyền thống Trong logic mờ, miền giá trị chân lý không phải

là tập cổ điển True, False hay 0,1 mà là toàn bộ đơn vị trong khoảng [0,1]

Lý thuyết tập mờ đã được phát triển mạnh mẽ và xây dựng nên cơ sở tínhtoán để mô hình hóa quá trình tư duy của con người Một trong nhữngmục tiêu chính của lý thuyết tập mờ là mô phỏng các phương pháp lậpluận của con người dựa trên cơ sở các mô hình và phương pháp toán họcnhằm đưa ra cách tiếp cận tính toán đến lĩnh vực suy luận của con người.Hiệu quả của lý thuyết tập mờ trên cả phương diện lý thuyết và ứng dụng

là không thể phủ nhận, nhưng do đặc điểm mỗi phần tử trong tập mờ đềuđược gán một hàm thuộc tương ứng và các phép toán trong tập mờ thườngđược thực hiện qua hàm thuộc của các phần tử, việc xây dựng hàm thuộccho từng ứng dụng cụ thể lại gặp rất nhiều khó khăn, bởi tính phức tạp

và đa dạng của thực tiễn, ngoài ra lý thuyết tập mờ chưa có một cấu trúctính toán nhất quán Vì vậy việc xây dựng các hàm mờ đều thuộc vào từngứng dụng cụ thể và phụ thuộc vào từng bài toán

Như vậy, lý thuyết tập mờ truyền thống không thể vận dụng trực tiếp cácgiá trị ngôn ngữ vào trong suy luận được Logic ngôn ngữ hay logic phi cổđiển mà bắt nguồn từ lý thuyết tập mờ được đưa ra bởi L A Zadeh để sửdụng cho quá trình suy diễn của con người

Xuất phát từ lý do như vậy mà năm 1990, Nguyễn Cát Hồ và WolfgangWechler đã đề xuất cách tiếp cận dựa trên cấu trúc tự nhiên của ngôn ngữ.Các tác giả đã chỉ ra rằng, những giá trị ngôn ngữ trong thực tế đều cóthứ tự nhất định về mặt ngữ nghĩa Chúng ta hoàn toàn có thể cảm nhậnđược rằng “trẻ” là nhỏ hơn “già” hoặc “nhanh” luôn lớn hơn “chậm” Xuấtphát từ quan hệ ngữ nghĩa đó, các tác giả đã xây dựng cấu trúc đại số gia

tử để mô hình hóa miền giá trị ngôn ngữ, từ đó có thể vận dụng trực tiếpcác giá trị ngôn ngữ vào suy luận

Đại số gia tử sau khi ra đời đã thay đổi cách tiếp cận tính toán cũ, do đãxây dựng được cấu trúc tính toán ngay trong miền giá trị ngôn ngữ, nócho ta một cấu trúc toán học rõ ràng, đơn giản hơn, và quan trọng hơn là

nó đã mô hình hoá quan hệ thứ tự ngữ nghĩa đúng đắn, tự nhiên hay nóicách khác nó cho phép biểu diễn toán học mô hình mờ mang nhiều thôngtin hơn, dễ hiểu hơn hay trực quan hơn

Mặt khác, việc xây dựng quan hệ thứ tự ngữ nghĩa một cách tự nhiên đãcảm sinh ra các phép toán cơ bản và tạo nên cấu trúc dàn phân phối đầy

đủ và do đó rất thuận tiện trong phát triển các phương pháp tính toán vàsuy diễn trên ngôn ngữ

Trong các công trình nghiên cứu về luật xấp xỉ, cơ chế suy diễn mờ hầu

hết được quan tâm nghiên cứu phát triển là mở rộng qui tắc modus kinhđiển Tuy nhiên, để có thể nói về tính đúng đắn và đầy đủ của suy diễn,

ta cần phải xây dựng được một logic hình thức mà miền giá trị chân lý làmiền giá trị ngôn ngữ

1.2 Mục tiêu nghiên cứu của đề tài

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài gồm những nội dung sau:

• Hệ thống một số kiến thức liên quan đến hướng nghiên cứu của luậnvăn: Đại số gia tử, đại số gia tử mịn hóa, đại số gia tử mịn hóa đốixứng hữu hạn

• Tiếp cận với logic ngôn ngữ dựa trên nền tảng là logic mệnh đề

• Xây dựng logic mệnh đề có miền giá trị chân lý tổng quát, là miềngiá trị dựa trên đại số gia tử mịn hóa đối xứng

Chương 2

Cơ sở lý thuyết chung

2.1 Đại số gia tử

2.1.1 Sơ lược về đại số gia tử

a) Suy diễn trên ngôn ngữ tự nhiên

Ngôn ngữ tự nhiên là cơ sở để con người chúng ta giao tiếp cũng nhưsuy luận để đưa ra quyết định Suy diễn trên ngôn ngữ tự nhiên là phươngpháp mô hình hóa quá trình tư duy của con người dựa trên các lý thuyếttoán học chặt chẽ và chính xác Với một tập mệnh đề mô tả sự kiện chotrước, suy diễn đưa ra các kết luận theo kiểu: nếu các tiền đề là đúng thìkết luận cũng phải đúng Ví dụ sau đây minh họa quá trình suy diễn trênngôn ngữ Tiếng Việt: ta biết rằng "Hình vuông là hình bình hành mà hìnhbình hành có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường", do đó cóthể kết luận rằng "Hình vuông có 2 đường chéo cắt nhau tại trung điểmmỗi đường"

Logic mệnh đề là phương pháp tiếp cận mà chúng ta sẽ sử dụng trong bàiviết này Mỗi đơn vị tri thức của con người được biểu diễn bằng một mệnh

đề và giá trị chân lý tương ứng với nó Thông qua việc sử dụng các mệnh

đề này, ta sẽ biểu diễn được phần nào thế giới khách quan Khi nói đếnmột logic mệnh đề, ta xem xét các khái niệm cơ bản sau:

Miền giá trị chân lý: là tập hợp tất cả các giá trị chân lý mà một mệnh

đề có thể nhận được Tập hợp này có thể là hữu hạn hoặc vô hạn.Cấu trúc của miền giá trị chân lý, như ta sẽ thấy sau này, là yếu tốquyết định đến các đặc điểm logic mệnh đề

Cú pháp: là tập các quy tắc để ghép nối các ký hiệu hình thức tạo thànhmột xâu ký tự Mỗi ngôn ngữ tự nhiên đều có các quy tắc riêng hayngữ pháp, ví dụ câu trong Tiếng Việt của chúng ta cần có chủ ngữđứng trước vị ngữ chẳng hạn.

Ngữ nghĩa: là nội dung của một câu mà con người hiểu được Ngữ nghĩa

là sự đảm bảo cho tính phù hợp giữa miền giá trị chân lý và các kýhiệu mệnh đề trên các kết nối logic

Suy diễn: xuất phát từ những phát biểu có trên logic, một logic sau khi

đã có cú pháp và ngữ nghĩa liệu rằng có thể đưa ra những kết luậnkhác được không? Vậy suy diễn trên logic là quá trình áp dụng cácluật suy diễn để xây dựng những phát biểu mới Suy diễn trên logicmệnh đề là sự mô hình hóa toán học suy diễn trên ngôn ngữ tự nhiên,

do đó nó cần phải có tính đúng đắn Ví dụ, nếu ta có hai phát biểu:

"Nếu An học chăm thì An học tốt"

"Mà An học chăm"

Thì ta có thể đưa ra kết luận là: "An học tốt"

b) Logic hai trị và đại số Boolean

Logic hai trị hay ta quen gọi là logic cổ điển có quan hệ mật thiết với đại

số Boolean Rất nhiều khái niệm trên đại số Boolean hai trị được ánh xạtrực tiếp đến logic mệnh đề này Miền Boolean gồm hai phần tử {0,1} đượcxem tương đương với miền chân lý {False,True} Các phép kết nối logic

∧(và), ∨(hoặc) tương ứng với phép (hội), +(tuyển) Phép ¬(phủ định) ở

cả logic cổ điển và đại số Boolean mang nghĩa giống nhau Từ đó, ta thấyrằng một mệnh đề Boolean là hoàn toàn tương đương với một công thứcmệnh đề logic, một biến Boolean tương đương với một biến ngôn ngữ Rất nhiều khái niệm quan trọng trong logic mệnh đề nữa được mô tả tươngứng trong đại số Boolean mà ta sẽ không đi sâu thêm Việc sử dụng cáctính chất đã biết của đại số Boolean trên logic mệnh đề mang lại nhiều kết

quả khả quan và giúp dễ dàng hơn trong việc tiếp cận logic này Chẳnghạn, đại số Boolean là một dàn phân phối đầy đủ cho ta các tương đươnglogic như luật giao hoán, kết hợp, đồng nhất

c) Logic đa trị và đại số gia tử

Logic đa trị là sự mở rộng của logic cổ điển Miền chân lý với các giátrị trung gian nằm giữa True và False chính là điểm khác biệt lớn nhấtgiữa 2 loại logic này Rõ ràng ta cần các định nghĩa phức tạp hơn cho phépkết nối logic cũng như các công thức mệnh đề Rất nhiều khái niệm nhưthông dịch, thỏa được, chân lý, đúng, sai cũng cần được định nghĩa lạitrên miền giá trị mới này Có rất nhiều cấu trúc đại số mới ra đời nhằm môphỏng logic đa trị, giống như những gì mà đại số Boolean có được với logichai trị, như đại số Heyting, đại số Lukasewicz 3-trị hay đại số Kleene Năm 1965, Lotfi A Zadeh và Dieter Klaua đã đưa ra lý thuyết tập mờ,qua đó đặt nền móng cho sự phát triển mạnh mẽ của logic ngôn ngữ saunày Lý thuyết tập mờ được xem là sự mở rộng của lý thuyết tập hợp và cónhiều ứng dụng rộng rãi trong logic mờ (một phần của logic đa trị) Tuynhiên, sự đánh giá quan hệ thành viên nhờ hàm liên thuộc (membershipfunction) trên tập mờ lại không thích hợp đối với miền giá trị chân lý vớicác phần tử là giá trị ngôn ngữ Năm 1990, Nguyễn Cát Hồ và WolfgangWechler đề xuất cách tiếp cận dựa trên cấu trúc tự nhiên của ngôn ngữ.Các tác giả đưa ra một cấu trúc đại số mới, gọi là đại số gia tử, mô hìnhhóa miền giá trị ngôn ngữ, từ đó có thể vận dụng trực tiếp các giá trị ngữnghĩa vào suy diễn

Dưới đây ta sẽ nêu định nghĩa về biến ngôn ngữ của L.A.Zadeh

Định nghĩa 2.1 Theo L.A.Zadeh biến ngôn ngữ là loại biến mà miền giátrị của nó không phải là các số mà bao gồm các từ hoặc câu ở ngôn ngữ tựnhiên hoặc ngôn ngữ nhân tạo (Gọi chung là giá trị ngôn ngữ) Một cách

tổng quát, biến ngôn ngữ được đặc trưng bởi bộ gồm các thành phần (X, T,

H, U, G, M) Trong đó:

• X: Tên biến ngôn ngữ, chẳng hạn như Tuổi, Màu sắc

• T: Tập các giá trị của biến ngôn ngữ X , chẳng hạn như trẻ, trungniên, già, khá trẻ

• H: Tập các gia tử, chẳng hạn như khá, hơi, rất

• U: Tập cơ sở hay tập sinh của biến X

• G: Tập các qui tắc sản sinh ra các phần tử của X

• M: Tập các qui tắc ngữ nghĩa gán cho mỗi giá trị ngôn ngữ của biến

X một ý nghĩa là tập mờ trên U

Trong định nghĩa trên ta thấy tập gia tử H bao gồm các trạng từ chỉmức độ, chúng tác động lên các giá trị ngôn ngữ để tạo ra các giá trị ngônngữ mới Chẳng hạn như biến Tuổi ở trên, chúng ta có các giá trị mới: Rấttrẻ, Hơi già, Khá già, Các trạng từ chỉ mức độ này được gọi là các gia

tử ngôn ngữ, chúng được định nghĩa một cách hình thức như sau:

Định nghĩa 2.2 [3] Gia tử ngôn ngữ (gọi tắt là gia tử) là các phép toánmột ngôi tác động lên một giá trị ngôn ngữ nhằm làm thay đổi ngữ nghĩacủa giá trị ngôn ngữ đấy

Xét χ là một biến giá trị chân lý (Truth value) và miền chân lý của χ(Truth domain) là X= Dom(χ) = {true, false, very true, very false, moretrue, more false, approximately true, approximately false, little true, littlefalse, less true, less false, very more true, very more false, very possibletrue, very possible false, very more true, very more false }, sinh bởitập các gia tử H = {V ery, M ore, P ossible, Approximate, M ore − or −Less, Little, Less, } Vì bản chất tự nhiên của gia tử ngôn ngữ khá phứctạp, rất khó để định nghĩa một cách chính xác gia tử là gì cũng như các

tính chất toán học của nó Tuy nhiên, ta có thể đưa ra một số đặc điểmrất trực quan của gia tử ngôn ngữ trên tập chân lý vừa nêu.

• Gia tử ngôn ngữ có tính độc lập ngữ cảnh, nghĩa là tác động làmtăng giảm ngữ nghĩa của nó không phụ thuộc vào giá trị ngữ nghĩa

mà nó tác động vào Đặc điểm này trái ngược với các giá trị ngữnghĩa, là giá trị phụ thuộc ngữ cảnh Chẳng hạn, V eryT rue > T rue

và V eryF alse < F alse, trong cả hai trường hợp, Very đều làm tănggiá trị ngữ nghĩa của giá trị chân lý mà nó tác động vào

• Tồn tại một quan hệ thứ tự ngữ nghĩa giữa các gia tử, quan hệ nàyđược xác định dựa trên tác động làm tăng giảm ngữ nghĩa khi gia

tử đặt trước một giá trị ngôn ngữ Chẳng hạn dễ thấy LessT rue <

T rue < V eryT rue Hơn nữa, một gia tử ngôn ngữ còn có thể làmtăng giảm đến chính tác động của một gia tử ngôn ngữ khác lêncác giá trị ngữ nghĩa Ví dụ như M oreV eryF alse < V eryF alse <

P ossibleV eryF alse < F alse Ta nói rằng gia tử More dương với Very

vì nó làm tăng ảnh hưởng của Very lên False, ngược lại gia tử Possible

âm với Very

• Quan hệ thứ tự trên tập gia tử là thứ riêng phần (không đầy đủ) Tồntại các gia tử không so sánh được với nhau, ví dụ Approximate,

P ossible và M ore − or − Less

• Mỗi gia tử ngôn ngữ chỉ tác động tăng giảm chút ít lên ngữ nghĩacủa giá trị ngôn ngữ Nghĩa là nó bảo tồn ngữ nghĩa ban đầu chomỗi mệnh đề Chẳng hạn, ta có LittleT rue < M oreT rue, do đó

P ossbileLittleT rue < LessM oreT rue Đây là tính chất rất đặc trưngcủa gia tử ngôn ngữ

Năm 1990, Nguyễn Cát Hồ và Wolfgang Wechler đã đề xuất mô hìnhđại số có khả năng tính toán với tập các giá trị của biến ngôn ngữ và cácgia tử Khi đó miền ngôn ngữ X có thể xem như là một tập nền của cấu

trúc đại số AX - mô hình đại số của ngôn ngữ tự nhiên Xét đại số trừutượng (abstract algebra) AX = (X, G, H, ≤), X thường được xem là tậpmệnh đề, hay miền giá trị chân lý (cấu trúc của miền này là điều mà chúng

ta quan tâm), quan hệ thứ tự ≤ chính là quan hệ trên X, ta sẽ xem xét kỹhơn trong các phần sau Ta xét đến tập sinh G, là tập chứa các phần tử

sơ cấp, gồm phần tử sinh âm và phần tử sinh dương, thường thêm vào cáchằng số >, ⊥ và W Trước hết hãy nói về phần tử sinh trung hòa W, làphần tử nằm giữa, phân tách hai miền âm và dương trong các miền giá trịchân lý đối xứng Phần tử > và ⊥ được xem như các giá trị lớn nhất vànhỏ nhất của miền giá trị chân lý, không tồn tại các giá trị ngữ nghĩa nằmngoài khoảng giá trị của hai phần tử sinh này Với miền chân lý Truth, cóthể hiểu các hằng số tương ứng là các từ "Neutral", "Absolutely True" và

"Absolutely False" Các hằng số này được đặc trưng bởi tính dừng, nghĩa

là mọi gia tử tác động lên chúng đều "vô nghĩa"

Bây giờ, ta sẽ xem xét kỹ hơn tập gia tử H Các gia tử trong H là cáctoán tử thứ tự, nghĩa là (∀h ∈ H, h : X → X), (∀x ∈ X){hx ≥ x hoặc là

hx ≤ x} Ký hiệu h(x) thường viết gọn là hx nếu không có gì nhầm lẫn

Dễ thấy các toán tử một ngôi trong H có thể tác động liên tiếp lên cácphần tử trong X để cho các giá trị ngữ nghĩa mới, hn h1x Ta gọi chuỗicác toán tử như vậy là một xâu gia tử hn h1, hi ∈ H Ký hiệu H∗ là tậptất cả các xâu gia tử Đối với mỗi giá trị ngôn ngữ x ∈ X, ký hiệu H(x)

là tập hợp các giá trị ngôn ngữ sinh ra từ x bằng cách tác động các xâugia tử trong H∗ : H(x) = {σx|σ ∈ H∗} Trên thực tế, ta quan tâm tới cácxâu gia tử có độ dài hữu hạn, thường không vượt quá 3 Dưới đây là một

số tính chất của gia tử ngôn ngữ đã được hình thức hóa, chúng được dựatrên những đặc điểm trực quan ở trên

Ngược nhau Với h, k ∈ H, h và k được gọi là ngược nhau nếu phát biểusau là đúng: ∀x ∈ X thì x ≤ hx nếu và chỉ nếu x ≥ kx

Tương thích Với h, k ∈ H, h và k được gọi là tương thích nếu phát biểu

sau là đúng: ∀x ∈ X thì x ≤ hx nếu và chỉ nếu x ≤ kx.

Dương Với h, k bất kỳ thuộc H, h được gọi là dương đối với k (possitivew.r.t) nếu phát biểu sau là đúng: với x ∈ X thì hoặc (kx ≥ x) ⇒(hkx ≥ kx) hoặc (kx ≤ x) ⇒ (hkx ≤ kx)

Âm Với h, k bất kỳ thuộc H, h được gọi là âm đối với k (negative w.r.t)nếu phát biểu sau là đúng: với x ∈ X thì hoặc (kx ≥ x) ⇒ (hkx ≤ kx)hoặc (kx ≤ x) ⇒ (hkx ≥ kx)

Kế thừa ngữ nghĩa Ký hiệu h là một gia tử, x là giá trị ngữ nghĩa, khi

đó hx kế thừa ngữ nghĩa từ x Nghĩa là, nếu y /∈ H(x) và y ≤ x (hay

y ≥ x) thì ta có y ≤ hx (hay y ≥ hx) Một cách tổng quát, nếu tácđộng một xâu gia tử δ ∈ H∗ vào x ∈ X thì cũng thu được giá trị ngônngữ δx ∈ X có giá trị ngữ nghĩa kế thừa từ x Tập hợp tất cả cácgiá trị ngôn ngữ kế thừa ngữ nghĩa từ x chính là H(x), do đó, nếu

hx ≤ kx thì ta cũng có H(hx) ≤ H(kx)

Tiếp theo, chúng ta sẽ định nghĩa mối quan hệ giữa tập giá trị X và tậpgia tử H Một cách tự nhiên, đó phải là sự ràng buộc về mặt ngữ nghĩa mà

ta sẽ biểu diễn một cách hình thức như sau:

Định nghĩa 2.3 [1] (Sự phù hợp ngữ nghĩa) Cho AX = (X, G, H, ≤) làmột cấu trúc đại số trừu tượng nào đó Tập H được phân chia thành 2 tậpcon rời nhau H+, H− sao cho H++ I và H−+ I là các dàn hữu hạn vớiphần tử không là I X và H được gọi là phù hợp ngữ nghĩa nếu những điềukiện sau thỏa mãn:

1 X được sinh từ các phần tử sinh trong G bằng sự tác động các gia tửtrong H, cụ thể một phần tử thuộc X có dạng h1 hna với hi ∈H,i=1, ,n và a∈G

2 ∀h, k ∈ Hc + I(ký hiệu c thay cho cả dấu + và −), h < k trong Hc + Inếu và chỉ nếu ∀ x ∈ X((hx > x hoặc kx > x kéo theo hx < kx) và

(hx < x hoặc kx < x kéo theo hx > kx)) Trường hợp h, k không sosánh được trong Hc+ I nếu và chỉ nếu (∀ x ∈ X)(hx 6= x hoặc kx 6= x)kéo theo hx và kx là không so sánh được.

Ví dụ 2.1 Cho X là một tập có thứ tự các giá trị của biến chân lý

T ruth biểu diễn ở hình 2.1 Trong đó H = {V, M, A, P, M L, S} là tậpcác gia tử ngôn ngữ, tương ứng là các ký hiệu của các gia tử Very, More,Approximately, Possibly, More or Less, Less Có thể thấy rằng H+={V, M }

và H−={S, A, P, M L}, H+ + I và H− + I là những dàn cấu trúc như

ở hình 2.1 Miền ngôn ngữ X có thể biểu thị như một cấu trúc đại số

AX = (X, G, H, ≤) trong đó G = {T rue, F alse}, quan hệ thứ tự riêngphần ≤ trên tập X và trên dàn Hc + I được cho trên hình 2.1 Khi tácđộng gia tử h lên giá trị ngôn ngữ x có thể sẽ thu được giá trị ngôn ngữ

có dạng hT rue và hF alse được xác định bởi các phần tử trong hình 2.1;

và ta giả thiết rằng khx = hx với ∀ h, k ∈ H, x ∈ X, nghĩa là các xâu gia

tử có độ dài bằng 1 Theo định nghĩa ở trên, dễ thấy X và H là phù hợpngữ nghĩa

Hình 2.1 Tập có thứ tự các giá trị của biến chân lý Truth

Dựa vào những tính chất trên, chúng ta đi đến định nghĩa chính thứccho đại số gia tử tổng quát

Định nghĩa 2.4 [2] (Đại số gia tử) Một đại số gia tử AX tương ứng của

X là một bộ gồm 4 thành phần AX = (X, G, H, ≤) trong đó X là tập cácgiá trị ngữ nghĩa, G là tập các phần tử sinh, H là tập các toán tử một ngôi,gọi là các gia tử và ≤ biểu thị quan hệ thứ tự trên X - nó được ‘cảm sinh’

từ ngữ nghĩa tự nhiên hay còn gọi là quan hệ thứ tự ngữ nghĩa Theo đó,đại số gia tử AX thỏa mãn lần lượt các điều kiện sau:

1 Mỗi gia tử trong H có tác động làm tăng hoặc giảm mức độ nhấn đốivới các gia tử khác và chính nó Khi đó, gia tử được gọi là dương hay

âm đối với gia tử mà nó tác động vào

2 Nếu 2 giá trị u, v độc lập với nhau, nghĩa là u /∈ H(v) và v /∈ H(u) thì

với ∀x ∈ H(u) ta có x /∈ H(v) và ngược lại Ngoài ra nếu u, v không

so sánh được với nhau thì với bất kỳ x ∈ H(u) cũng không so sánhđược với bất kỳ y ∈ H(v)

3 Nếu x 6= hx thì x /∈ H(hx) Với h 6= k và hx < kx thì h0hx ≤ k0kx,với mọi h, k, h0, k0 ∈ H Hơn nữa, nếu hx 6= kx thì hx và kx độc lậpvới nhau

4 Nếu u /∈ H(v) và u ≤ v (hoặc u ≥ v) thì u ≤ hv (hoặc u ≥ hv), vớimọi gia tử h

Có nhiều lớp đại số gia tử khác nhau, tùy thuộc vào cấu trúc miền giátrị ngữ nghĩa X mà ta xem xét Để minh họa điều này, ta hãy xem địnhnghĩa của đại số gia tử tuyến tính đối xứng, khi mà tập X được xem như

là có thứ tự toàn phần

Định nghĩa 2.5 [3] (Đại số gia tử đối xứng tuyến tính) Một đại số gia

tử đối xứng là một đại số gia tử A = (X, G, H, ≤), trong đó:

rằng: nếu H 6= Ø thì chúng tương ứng là inf (c−) = 0 (AbsolutelyFalse),sup(c+) = 1 (AbsolutelyTrue) và inf (c+) = sup(c−) = W Ở đây inf ,sup là các toán tử inf imum và supremum và inf (c), sup(c) tương ứngvới các giá trị ngôn ngữ nhỏ nhất và lớn nhất có phần tử sinh c, ta có

Như vậy: X = {T rue, F alse, M oreT rue, M oreF alse, M oreM oLT rue, },

dễ thấy M oreT rue và M oreF alse là hai giá trị ngữ nghĩa đối xứng nhau.Bên cạnh đó ta cũng có Little và P ossibly là so sánh được với nhau vàLittle > P ossibly lý do là vì LittleU ncrowded > P ossiblyU ncrowded >

đó lý thuyết dàn xuất hiện cả trong lý thuyết tập hợp và lý thuyết đại số.Các tập hợp thường gặp, ví dụ như tập số thực với quan hệ nhỏ hơn trên

nó, có tính chất là tất cả các phần tử trong tập hợp đều so sánh được vớinhau Nói cách khác, ta có thể sắp các phần tử này lên một trục số theothứ tự tăng dần Những tập hợp như vậy được gọi là tập thứ tự đầy đủ,hay tập được sắp thứ tự tuyến tính Sau đây, ta sẽ trình bày định nghĩatổng quát hơn cho những tập hợp như vậy.

Định nghĩa 2.6 Thứ tự riêng phần (partial order)

Quan hệ hai ngôi "≤" trên tập P được gọi là một thứ tự riêng phần nếuthỏa mãn các tính chất phản xạ, phản đối xứng và bắc cầu tương ứng sauđây:

• a ≤ a

• Nếu a ≤ b và b ≤ a thì a = b

• Nếu a ≤ b và b ≤ c thì a ≤ c

Định nghĩa 2.7 Tập có thứ tự riêng phần (partially ordered set)

Tập hợp P với quan hệ thứ tự riêng phần trên nó được gọi là một tập cóthứ tự riêng phần hay một poset

Một ví dụ về poset là tập số nguyên với quan hệ chia hết trên nó Dễthấy rằng, 2 phần tử bất kỳ trong một poset không nhất thiết phải so sánhđược với nhau Một tập thứ tự đầy đủ là trường hợp đặc biệt thường gặpcủa một poset, được gọi là một chuỗi(chain) Ngược lại, ta có một phảnchuỗi, khi 2 phần tử bất kỳ trong tập không so sánh được với nhau, trườnghợp này quan hệ thứ tự trên tập hợp không mang nhiều ý nghĩa

Tiếp theo, chúng ta cũng đưa thêm các khái niệm về phần tử lớn nhất,phần tử cực đại và cận trên của một poset Định nghĩa các phần tử nhỏnhất, cực tiểu và cận trên được xác định tương tự

• Phần tử lớn nhất trong poset là phần tử mà mọi phần tử khác trongposet đều nhỏ hơn nó Một poset chỉ có một phần tử lớn nhất và cũng

có thể không có phần tử nào

• Phần tử cực đại trong poset là phần tử mà không có phần tử nàotrong poset lớn hơn nó Một poset có thể có nhiều cực đại.

• Với tập con A của poset P , phần tử x trong P được gọi là cận trêncủa A nếu mọi phần tử trong A đều không lớn hơn x Ký hiệu là

x = sup(A)

Định nghĩa 2.8 Dàn (lattice)

Một poset (L,≤) là một dàn nếu nó thỏa mãn 2 tiên đề sau:

• Sự tồn tại của phép join Với 2 phần tử a và b bất kỳ trong L, tậpcon a,b có join, hay tồn tại cận trên, a ∨ b

• Sự tồn tại của phép meet Với 2 phần tử a và b bất kỳ trong L, tậpcon a,b có meet, hay tồn tại cận dưới, a ∧ b

Qui ước: a ∨ b=sup(a, b) ; a ∧ b=inf (a, b)

Từ định nghĩa trên, suy ra join và meet của a và b tồn tại duy nhất

Ta thấy rằng ∨ và ∧ là các phép toán hai ngôi, tương ứng tạo thành cácbán dàn join và meet Chúng đều có tính đơn điệu, nghĩa là bảo toàn quan

hệ thứ tự Hơn nữa, từ định nghĩa trên, ta có thể mong đợi một tính chấttốt hơn của dàn, đó là mọi tập con hữu hạn phần tử của nó đều có join vàmeet Dễ thấy điều này xảy ra khi và chỉ khi tập L có phần tử lớn nhất vàphần tử nhỏ nhất

Định nghĩa 2.9 Dàn đóng(bounded lattice)

Một dàn được gọi là dàn đóng nếu nó có phần tử lớn nhất và phần tử nhỏnhất Ký hiệu là >(top) và ⊥(bottom)

Dàn đóng là một tính chất quan trọng trong rất nhiều chứng minh Mộtdàn bất kỳ có thể chuyển thành dàn đóng nếu thêm vào phần tử > và ⊥(với tập L hữu hạn, ta có thể lấy join và meet của L) Trong một dànđóng, các phép meet và join trên tập rỗng cũng được định nghĩa Do đódàn đóng gần với cấu trúc tự nhiên hơn là định nghĩa dàn tổng quát

Theo cách tiếp cận khác, dàn cũng có thể xem như một cấu trúc đại số (L,

∨, ∧) thỏa mãn các tiên đề sau:

1 Luật giao hoán

Đến đây, ta có thể chứng minh tập số nguyên không âm với phép toánmax, min tạo thành một dàn với quan hệ thứ tự chính là ≤ trong toánhọc Dàn mà chũng ta gặp trong đại số gia tử tuyến tính đối xứng cũng

có những tính chất tương tự dàn này Tập số tự nhiên với hai phép toánlấy ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất cũng tạo thành một dàn với

quan hệ chia hết Trong trường hợp này, 1 là bottom và 0 là top.

Tiếp theo, hãy xem một số tính chất của dàn mà ta sẽ dùng sau này.Tính đầy đủ: Một poset được gọi là một dàn có tính đầy đủ nếu mọi tậpcon của nó đều có join và meet Mọi dàn đầy đủ đều là dàn đóng.Nhưng dàn có tính đầy đủ mở rộng hơn, cho cả các tập con vô hạnphần tử Trong trường hợp tập con rỗng, meet là phần tử lớn nhấtcủa poset (1), join là phần tử nhỏ nhất của nó (0) Ta cũng có cáckhái niệm về bán dàn đầy đủ và dàn con đầy đủ Trong đại số gia tửmịn hóa, tính đầy đủ của dàn đảm bảo phép toán meet và join làđóng trên miền giá trị chân lý

Tính phân phối: Một dàn có tính phân phối nếu nó thỏa mãn một tronghai tiên đề sau:

• Tính phân phối của phép join với phép meet:

Tính phân cấp: Một dàn có tính phân cấp (modularity) nếu nó có tínhchất sau: (a ∧ c) ∨ (b ∧ c) = [(a ∧ c) ∨ b] ∧ c Tính chất này còn đượcphát biểu theo quan hệ thứ tự trên dàn, gọi là luật phân cấp: a < cngụ ý rằng a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ c Dàn modular là một phiên bảnyếu hơn của dàn phân phối, nó thường là điều kiện thay thế khi tínhphân phối không thể được đảm bảo

Tính bù: Xét dàn đóng L với phần tử 0 và 1, hai phần tử x và y gọi là

bù nhau nếu và chỉ nếu x ∨ y = 1 và x ∧ y = 0 Ký hiệu là y = ¬x

Nếu mọi phần tử x trong L đều có phần tử bù với nó thì L được gọi

là một dàn có tính bù (complementedlattice) Phép toán ¬ là phéptoán một ngôi trên L, nhưng kết quả của nó không phải luôn là duynhất vì một phần tử có thể có nhiều phần tử bù với nó Ta có tínhchất quan trọng sau: trên một dàn phân phối thì phần tử bù của x,nếu tồn tại, là duy nhất Bên cạnh đó, ta cũng có khái niệm giả bù(pseudo − complement) Phần tử y gọi là giả bù của x nếu với mọi zsao cho x ∧ z = 0, ta có z ≤ y

Bên cạnh quan hệ thứ tự trên poset, người ta cũng đưa ra khái niệmchặt hơn giữa hai phần tử so sánh được liền kề nhau Điều đó giúp biểudiễn các poset một cách tường minh

Định nghĩa 2.10 Quan hệ phủ (Covering relation)

Với x, y nào đó thuộc poset L thì x < y nếu và chỉ nếu x ≤ y và x 6= y.Phần tử y được gọi là phủ của x, ký hiệu x l y, nếu x < y và không tồntại z sao cho x < z < y

Trong lý thuyết thứ tự, lược đồ Hasse là đồ thị có hướng dùng để biểudiễn các tập có thứ tự riêng phần (poset) hữu hạn Mỗi poset (L, ≤) cócác phần tử là các đỉnh trong không gian và hai đỉnh được nối với nhaunếu chúng có quan hệ phủ (cover) Phép sinh dàn tự do nhằm xây dựngcấu trúc dàn dựa trên một tập bất kỳ cho trước

Lược đồ Hasse trên tập gia tử (hình 2.2) minh họa phép sinh này cho tậpcác gia tử dương H+ và tập các gia tử âm H−

Chú ý rằng trong cả hai trường hợp, ta đều thêm vào phần tử đồng nhất

I là phần tử nhỏ nhất của mỗi tập, tuy nhiên quan hệ thứ tự trên chúng

là khác nhau

Với tập gia tử Hc, các phần tử trên lược đồ Hasse được sắp theo thứ

tự nhỏ dần tương ứng theo chiều từ trên xuống, phần tử lớn nhất ở trêncùng và phần tử nhỏ nhất ở đáy Ta thấy rằng có thể phân lớp các phần tửnày theo độ cao của chúng so với đáy, nghĩa là tồn tại một quan hệ tương