Các bài toán tích phân liên kết

 Nguyễn Đức Thụy  Tích phân liên kết Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích phân liên kết, có quan hệ với I) sao cho ta tính được mI+nJ và nI-mJ (thường là I+J, I-J) tương đối dễ dàng, từ đó suy ra I. Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào? Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết: 1. 3 6 cos sinx cos xdx I x π π = + ∫ 2. 4 4 4 0 cos sin x cos xdx T x π = + ∫ 3. 1 0 x x x e dx M e e − = + ∫ 4. 2 1 x x x e dx G e e − = − ∫ 5. 2 ax 0 osb ( ; 0) b R e c xdx a b π = ≠ ∫ 6. 2 2 0 os x U e c xdx π = ∫ 7. 4 2 0 os . os2A c x c xdx π = ∫ 8. 2 4 0 os x E e c xdx π − = ∫ 9. 2 1 sin(ln ) e P x dx π = ∫ 10. 2 6 0 cos cos2 x W dx x π = ∫ HD: Tích phân liên kết của các tích phân trên là: 1. 3 6 sin sinx cos xdx J x π π = + ∫ , I+J=pi/6 và I-J=0; 2. 4 4 4 0 sin sin x cos xdx P x π = + ∫ , T P π + = và 0T P − = ; 3. 1 0 x x x e dx M e e − = + ∫ , M+N=1 và 2 1 ln 2 e M N e + − = ; 4. 2 1 x x x e dx H e e − − = − ∫ , 2 ln( 1) 1; 1G H e G H+ = + − − = ; 5. Đặt ax cosu bx dv e dx =   =  rồi dẫn đến 2 ax 0 sinb b S e xdx π = ∫ , khi đó aI-bJ=-1, lại đặt ax sinu bx dv e dx =   =  lại có aJ+bI= 2 a b e π ; 10. 2 6 0 sin cos2 x Z dx x π = ∫ khi đó 1 ¦W ln tan ;¦W 2 4 6 Z x Z π π   + = + − =  ÷   11. Xét hai tích phân: 1 0 0 os .sin x ; os .cos .sin x ; n n I c x dx J c x nx dx n N π π − = = ∀ ∈ ∫ ∫ a. Chứng minh rằng: I + J = 0. b. Tính: 1 0 os .sin( 1)x n K c x n dx π − = + ∫ 12. (ĐH QG TP. HCM A01- 02): Đặt 2 6 sin sin 3 cos 0 xdx I x x π = ∫ + và 2 6 cos sin 3 cos 0 xdx J x x π = ∫ + a. Tính I-3J và I+J. b. Từ các kết quả trên hãy tính các giá trị của I, J và: T = 5 3 cos2 cos 3 sin 3 2 xdx x x π π ∫ − 13. (ĐH Cần Thơ A99- 00) a. Cho hàm số f liên tục trên (0 ; 1). CMR: 2 2 (sin ) (cos ) 0 0 f x dx f x dx π π = ∫ ∫ b. Sử dụng kết quả trên để tính: 3 2 cos sin cos 0 xdx I x x π = ∫ + và 3 2 sin sin cos 0 xdx J x x π = ∫ +  Written by Thuy Nguyen Duc  Lien Son High School  Email: Vuongsonnhi@yahoo.com . Vấn đề là lúc nào thì dùng tích phân liên kết và liên kết đến tích phân nào? Tính các tích phân sau nhờ sử dụng tích phân liên kết: 1. 3 6 cos sinx cos xdx. Đức Thụy  Tích phân liên kết Trong nhiều trường hợp việc tính tích phân I phức tạp, ta tìm cách xét thêm tích phân J (gọi là tích phân liên kết, có quan