CÔNG THỨC TOÁN 10 và 11

Đặng Minh Thế x A  x B  xC  xG  Trọng tâm G :  y A  y B  yC yG         Trực tâm H: Giải hệ: AH.BC BH.AC   EB AB E chân phân giác trong:    , F chân AC EC  FB AB p.giác ngoài:   FC AC HÌNH HỌC 10 I Định lý:  a  (a1 , a2 ) Cho A( x A , yA ), B ( x B , yB ) ,  AB  (x B  x A , y B  y A ) ; (ngoïn – goác)  AB  AB  (x B  x A )2  (y B  y A )2  a  a12  a2 II Tính chất Vectơ:   Cho a  (a1 ,a2 ) , b  (b1 , b2 ) A   a  b  a1  b1 a2  b  ka  (ka1 , ka2 )   a  b  (a1  b1; a2  b )   ma  nb  (ma1  nb1; ma2  nb )  a.b  a1b1  a2 b      a  k.b a phương b    a1b2  a2 b1     10 a  b  a.b   a1b1  a2 b     a1b1  a2 b2 a.b 11 cos(a; b)     a b a12  a2 b12  b2   12 AB  (a1 ,a2 ) , AC  (b1 , b )  SABC  a1b2  a2 b1  F E C Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  Giải heä:  IA  IB2  IA  IC ĐƯỜNG THẲNG I Phương trình đường thẳng:  qua M(x ; y ) Phương trình tổng quát :    pvt : n = (A; B)  : A(x - x ) + B(y - y ) =  : Ax + By + C =  qua M(x ;y )   vtcp : a = (a1;a2 ) Phương trình tham số :  Các dạng tốn thường gặp   A, B, C thẳng hàng  AB phươngAC B  x = x + a1t (t  R)  y = y + a2 t  :  A, B, C laäp thành tam giác    AB không phương AC   A,B,C,D hình bình hành  AD  BC  qua M(x ;y )   vtcp : a = (a1;a2 ) Phương trình tắc :   x  xB yA  yB  M trung điểm AB: M  A ;     : M chia AB theo tỉ số k1:  x  kx B y A  ky B  M A ;  1 k   1 k x - x0 y - y0 = a1 a2 II Vi trí tương đối hai đường thẳng: Cho (D1 ) : A1x + B1y + C1 = vaø (D2 ) : A x + B2 y + C2 = (D1 )  (D )  Trang A1 B1  A B2 Đặng Minh Thế (Δ1 ) // (Δ )  (Δ1 )  (Δ )  A1 B1 C1   A2 B2 C2 ĐƯỜNG TRÒN I Phương trình đường tròn: A1 B1 C1   A2 B2 C2  taâm I(a; b) P.trình tắc đ.tròn (C): bán kính R  III Góc hai đường thẳng: cos    (C): ( x  a )  ( y  b)2  R A1 A2  B1 B2 P trình tổng quát đường.tròn (C): A12  B12 A22  B22 taâm I(a; b)  2  bán kính R = a2 + b2 - c (ĐK: a  b  c  )  IV Khoảng cách từ điểm đến đường thẳng:  (C): x  y  2ax  2by  c  Cho (Δ) : Ax  By  C  vaø M ( x0 ; y0 )  d(M, )  II Phương trình tiếp tuyến đường tròn: Ax0  By0  C Phương trình tiếp tuyến TẠI M ( x0 ; y0 ) : A2  B  qua M ( x0 ; y0 )  :   pvt : IM  ( x0  a; y0  b ) Chuù ý: ° Trục Ox có pttq : y   : ( x0  a )( x  x0 )  ( y0  b)( y  y0 )  ° Trục Oy có pttq : x  ° Đường thẳng song song trùng với Oy : ax  c   b   Điều kiện tiếp xúc: d ( I , )  R ° Đường thẳng song song trùng với Ox : by  c   a   I Định nghóa: ELÍP Cho F1 ,F2 cố định F1F2 = 2c (c > 0) ° Đường thẳng qua gốc tọa độ : ax  by  c  0 M  ( E )  MF1  MF2  2a (a  c  0) II Phương trình tắc: ° Đường thẳng cắt Ox A  a;  Oy taïi x y2   (a  b  0) a2 b2 B  0; b   a, b   : x y  1 a b III Hình dạng Elíp: y ° Đường thẳng qua điểm M  x0 ; y0  có hệ b B2 số góc k : y  y0  k  x  x0  A1  c  a F1 ° Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  song song với đường thẳng  : ax  by  c  có pttq : a  x  x0   b  y  y   O c  F2 A2 a x  b B1 IV Các vấn đề đặc biệt: ° Đường thẳng d qua điểm M  x0 ; y0  Tiêu điểm : F1 (c; o), F2 (c; o) vuông góc với đường thẳng  : ax  by  c  có pttq : Tiêu cự : F1 F2  2c b  x  x0   a  y  y0   Đỉnh trục lớn: A1 (a ;0), A2 (a ;0) ° Cho (Δ) : Ax  By  C  Đỉnh trục bé : B1 (0; b), B2 (0; b) ( d ) // (Δ)  ( d ) : Ax  By  m  Độ dài trục lớn: A1 A2  2a ( d )  (Δ)  ( d ) : Bx  Ay  m  Độ dài trục bé : B1 B2  2b Trang Đặng Minh Thế Tâm sai : e  c 1 a Bán kính qua tiêu điểm :  MF1  a  exM MF  a  ex M  Phương trình cạnh hình chữ nhật sở:  x  a y  b 10 Phương trình đường chuẩn x   a2 c V Phương trình tiếp tuyến Elíp: Phương trình tiếp tuyến TẠI M ( x0 ; y0 ) : x x y y  1 a2 b Điều kiện tiếp xúc: x y2   (a  b  0) vaø a2 b2 (Δ) : Ax  By  C  Cho:  (Δ) tieáp xuùc (E)  A2 a  B 2b  C * Chú ý: Cho (Δ) : Ax  By  C  (d ) // (Δ) : Ax  By  C   (d ) : Ax  By  m  (d )  (Δ) : Ax  By  C   (d ) : Bx  Ay  m  Trang Đặng Minh Thế    ° Pt có nghiệm phân biệt âm   P  S   ĐẠI SỐ 10 a    x   , ax  bx  c      a    x   , ax  bx  c      Các công thức baûn : A  B  A = B    A  B a    x   , ax2  bx  c      a    x   , ax2  bx  c       B   A = B   A  B  A  B   A  B  (A – B) (A + B) < Chú ý: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a  0)  f  x   vô nghiệm  f  x   0, x    A  A B   A  B  B  A B   A  B  A   A  B  B   A  B2   f  x   vô nghiệm  f  x   0, x    f  x   vô nghiệm  f  x   0, x    f  x   vô nghiệm  f  x   0, x   Cho phương trình : ax + bx + c = a  ° Pt có nghiệm phân biệt     a  ° Pt có nghiệm keùp     A  B  A A  B  A B    A  B ° Pt coù nghiệm trái dấu  P    ° Pt có nghiệm dấu   P    A  0( B  0) A = B  A  B ° Pt có nghiệm phân biệt dương  B  A =B   A  B  B   A  A >B   B     A  B     P  S   Đặng Minh Thế ĐẠI SỐ 11  sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb LƯỢNG GIÁC  sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb A.Các Hằng Đẳng Thức Lượng Giác Cơ Bản:  tan(a – b) = tan a  tan b  tan a.tan b  tan(a + b) = tan a  tan b  tan a.tan b  sin2   cos2   1   R      tan .cot      k ,k  Z          tan2      k,k  Z  2 cos       cot 2    k,k  Z  sin  B Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Bieät: cot        cot  Cung – Góc phụ nhau:   cos     = sin 2       = cot ; 2    cot     = tan 2   tan   cot 2a   sin3a = 3sina – 4sin3a  cos3a = 4cos3a – 3cosa  tan3a = 3tan a  tan3 a  3tan2 a  cot3a  cot a  3cot a 3cot a  Cung– Góc  :    vaø   sin        sin  cot a 1 cot a Công thức nhân ba:    vaø     sin     = cos ; 2  tan a  tan a  tan2a = Cung – Góc bù nhau:     tan        tan  ; cota.cotb  cotb  cota  cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – sin2a  tan      tan  ; cot      cot  cos        cos   cot(a + b) =  sin2a = 2sina.cosa sin      sin  sin       sin  ; cota.cotb  cotb  cota Công thức nhân đôi: Cung – Góc đối nhau:   :  cos     cos  ;  cot(a – b) = Công thức hạ bậc: ; tan       tan   cos        cos  ; cot       cot   cos2a =  cos 2a Cung – Goùc   :    2  sin2a =  cos 2a 2  tan a   cos2a  cos2a       cos  ;    sin         sin     sina.cosa   cos           cot  ; cot       tan  2  2   tan  C Công thức lượng giác CÔNG THỨC CỘNG sin 2a  sin a   s in3a  3sin a  cos a  cos3a  3cos a Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t = tan Với cung có số đo a, b ta có:  cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb (Giả sửû: x    k 2 , đặt t = tan  cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb x ) x Đặng Minh Thế  sinx =  tanx = x    k2 cos x  cos    ,k   x    k2 2t 1 t ,  cosx = 1 t2 1 t 2t 1 t2 (x  tan x  tan   x    k, k    k , k Z ) cot x  cot   x    k, k   Công thức biến đổi tổng thành tích * TH đặc biệt:  ab  ab  cos a  cos b  cos   cos       sin x   x   ab  ab  sin        cos a  cos b  2 sin  sin x  1  x   sin x   x  k  ab ab  sin       cos x  1  x    k2 cos x   x  k2  sin a  sin b  cos  cos x   x  sin(a  b)   tan a  tan b (a,b   k , k  Z) cos a.cosb với cos   cot x  1  x   A B ; sin   A B   k 10 Phương trình bậc hai hàm lượng giác B   k cot x   cos x   x  A2  B cos( x   )   k tan x   sin x   x  k A sin x  B cos x  A2  B sin( x   ) A   k tan x  1  x   sin(a  b) (a,b  k, k Z)  cot a  cot b sin a.sinb sin(a  b)  cot a  cot b  (a,b  k , k  Z ) sin a.sin b    k2  ab  ab  cos        sin a  sin b  sin     k2 a sin x  b sin x  c  (a  0) Đặt t  sin x (t  (1,1))  at  bt  c  Công thức biến đổi tích thành tổng Rồi từ PT sin x  t  x  cos( a  b )  cos( a  b )  sin a.sin b   cos( a  b )  cos( a  b )  sin a.cos b  sin( a  b )  sin( a  b )  cos a.cos b  Tương tự cho phương trình: a cos x  b cos x  c  a tan x  b tan x  c  a cot x  b cot x  c  11 Phương trình bậc nhất: a sin x  b cos x  c a  b được: Chia hai vế PT cho Các đẳng thức khác : sin x  cos4 x   2sin x.cos2 x a sin x  cos6 x   3sin x.cos x a b 2 sin x  b a b 2 cos x  c a  b2  sin x cos   cos x sin   t  sin( x   )  t     sin x  cos x  sin  x    cos  x   4 4       sin x  cos x  sin  x     cos  x   4 4   phương trình 12 Phương trình nhất: a sin x  b sin x cos x  c cos x  d TH1: cos x   sin x  pt có dạng a  d     cos x  sin x   sin  x    cos  x   4 4   Khi a  d (đúng)  x  Phương trình lượng giác :   k  nghiệm Khi a  d (sai) cos x  không thỏa  x    k2 sin x  sin    , k   x      k2 TH2: cos x  Chia vế cho cos x ta được: Đặng Minh Thế a tan x  b tan x  c  d (1  tan x )   tan x  t  x  2 Quy tắc cộng Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án: Giả sử cơng việc tiến hành theo k phương án, phương án thực ni cách (i = 1,…, k ) Khi cơng việc thực n1 + n2 + …+ nk cách * CÔNG THỨC ĐẠO HÀM: (kx)'  k  (ku)'  k.u' (x  )'  .x 1  (u  )'  .u '.u  ( u)'  ( x ) '  x ' 1 u (cos x)'   sin x 1 sin2 x Quy tắc nhaâân:  Quy tắc nhân cho cơng việc có nhiều cơng đoạn: Giả sử công việc bao gồm k công đoạn, cơng đoạn thực theo ni cách (i = 1,…,k ) Khi cơng việc thực theo n1n2…nk cách u' (tan u)'  cos2 u  u' sin2 u (cot u)'   x (e u )'  u'.e u u'  (ln u)'  u 11 (loga x)’ = x ln a u'  (loga u)’ = u ln a 12 (ax )'  ax ln a  AB  A  B  AB (cos u)'  u'.sin u  (e x )'  e x Nếu A B hai tập hợp hữu hạn số phần tử A  B (sin u)'  u'.cos u  (tan x)'  cos2 x (ln x)'  A B  A  B u' 1    u  u  (sin x)'  cos x  10 Chú ý: Nếu A B hai tập hợp hữu hạn khơng giao số phần tử A  B ' 1     x x (cot x)'  u'  Giai thừa: Với n, p  ℕ n! = 1.2.3…(n-1).n Qui ước: 0! = n! = (n–1)!n (au )'  u '.au ln a n! = (p+1).(p+2)…n p! * TIẾP TUYẾN CỦA (C): y  f ( x ) Gọi M ( x , y0 )  (C ) (với n>p) n! = (n–p+1).(n–p+2)…n (n  p)! a) PT tiếp tuyến M: y  f '( x )( x  x )  y0 b) PTTT có hệ số góc k: Giải phương trình f '( x )  k  x , y0 ?  PTTT (với n>p) Tiếp tuyến (t)//(d)  kt  kd Hoán vị: Kết xếp n phần tử khác theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Kí hiệu Pn Ta có cơng thức tính sau: Pn = n.(n- 1) .2.1= n! (n  N*) Tiếp tuyến (t )  (d )  kt kd  1 Chú ý: Hốn vị vịng quanh: HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP Cho tập A gồm n phần tử Một cách xếp n phần tử tập A thành dãy kín gọi hốn vị vịng quanh n phần tử y  f '( x )( x  x )  y0 Số phần tử tập hợp Số phần tử tập hợp A = { a, b, c, d} Số hốn vị vịng quanh n phần tử là: Qn = (n – 1)! n(A) = A = A  B = { a, b, c, d, g, h, k } Chỉnh hợp: Cho A tập hợp gồm n phần tử, tập A gồm k (1  k  n) phần tử khác xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử, kí hiệu Ank , tính theo cơng thức: n( A  B )  A  B  Ank  n( n  1).( n  2) .( n  k  1) B = { a, c, g, h, k} n(B) = B = A  B = {a, c} n( A  B )  A  B  A\ B = { b, d } n(A\B)= |A\B| (1) Đặng Minh Thế Ank  n! ,  n  k ! Liên hệ Ann  Pn  n ! (1  k  n) chỉnh hợp tổ (2) CẤP SỐ CỘNG hợp: (3) Định nghĩa: Cấp số cộng dãy số (hữu hạn hay vơ hạn), kể từ số hạng thứ hai, số hạng số hạng đứng trước cộng với số không đổi d Tổ hợp: Cho A tập hợp gồm n phần tử, tập A gồm k (0  k  n) phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử, kí hiệu n! C nk , tính theo công thức: Cnk  k ! n  k  ! * Số d gọi công sai cấp số cộng Ta có tính chất sau: Số hạng tổng quát:  Cnk  Cnn  k Tính chất số hạng cấp số cộng: U  U k 1 với k  U k  k 1 U n  U  n  1 d  d  U n 1  U n   Cnk  Cnk11  Cnk1 (0  k  n)  Cn0  Cnn  , Cn1  Cnn 1  n Tổng n số hạng đầu cấp số cộng n n Sn  U1  U n  hay S n  2U  n  1d  2 * Công thức liên hệ chỉnh hợp tổ hợp Ank  k !Cnk CẤP SỐ NHÂN Công thức Newton: ( a  b) n  Cn0 a n  Cn1 a n 1b   Cnk a n  k b k   Cnn b n Tính chất: + Trong khai triển (a+b)n có n+1 số hạng * Số q gọi công bội + Số mũ a giảm dần từ n đến + Số mũ b tăng dần từ đến n U n 1  U n q Ta có : + Tổng số mũ a b số hạng n k n Định nghĩa: Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn vơ hạn ), kể từ số hạng thứ hai, số hạng tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q với n  N * Số hạng tổng quát : U n  U q n 1 nk n + Các hệ số có tính đối xứng C  C (Hệ số số hạng cách hai biên nhau) Tính chất số hạng cấp số nhân U k2  U k 1.U k 1 hay U k  U k 1 U k 1 + Số hạng tổng quát khai triển, kí hiệu Tổng n số hạng đầu cấp số nhân: Cho cấp số nhân có cơng bội q khác Tk + 1, có dạng Ta có : Tk 1  Cnk an  k bk , k = 0, …, n (chỉ số k + số thứ tự tính từ trái qua phải số hạng tương ứng khai triển) S n  U1  U   U n  U1 + Tổng hệ số khai triển (a+b)n : Cn0  Cn1  Cn2   Cnn  n q n  1 q 1 Đặng Minh Thế HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC Hệ thức lượng tam giác vuông: Cho ABC vng A ta có : a) Định lý Pitago : BC  AB  AC 2 b) BA  BH BC ; CA  CH CB c) AB AC = BC AH d) e) f) A 1   2 AH AB AC b c AH  HB.HC BC = 2AM b c b c g) sin B  , cosB  , tan B  , cot B  a a c b h) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a = M H B C a b b , b = c tanB = c.cot C  sin B cos C Hệ thức lượng tam giác thường: a  b  c  2bc cos A * Định lý hàm số Côsin: a b c    2R sin A sin B sin C * Định lý hàm số Sin: A MN // BC Định lý Talet N M a) AM AN MN   ; AB AC BC b) AM AN  MB NC B C Diện tích hình phẳng Tam giác thường: a) S = ah p(p  a)(p  b)(p  c) (Công thức Hê-rông) b) S = c) S = pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác) Tam giác cạnh a: a) Đường cao: h = a ; b) S = a2 c) Đường cao đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Tam giác vuông: a) S = ab (a, b cạnh góc vng) b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm cạnh huyền Tam giác vng cân (nửa hình vng) a) S = a (2 cạnh góc vng nhau) b) Cạnh huyền a Đặng Minh Thế Nửa tam giác đều: A a) Là tam giác vng có góc 30o 60o a c) AC = b) BC = 2AB Tam giác cân: a) S = a2 d) S = B 60 o 30 o C ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) b) Đường cao hạ từ đỉnh đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực Diện tích hình thang: S  S = ab (a, b kích thước) Hình chữ nhật: Hình thoi: (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao S  d1d ( d1 , d2 đường chéo) 10 Hình vng: a) S  a b) Đường chéo a 11 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy) 12 Đường tròn: a) C  2 R ; R: bán kính đường trịn) b) S   R (R: bán kính đường trịn) A Các đường tam giác Đường trung tuyến: G trọng tâm tam giác a) Giao điểm đường trung tuyến tam giác gọi trọng tâm B b) BG = BN; BG = 2GN; GN = BN 3 N M G P C Đường cao: Giao điểm của đường cao tam giác gọi trực tâm Đường trung trực: Giao điểm đường trung trực tam giác tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác Đường phân giác: Giao điểm đường phân giác tam giác tâm đường tròn nội tiếp tam giác 10 Đặng Minh Thế HÌNH HỌC KHƠNG GIAN 11 A QUAN HỆ SONG SONG §1.ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: a Đường thẳng mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung a / / (P)  a  (P)   (P) II Các định lý: d ĐL1: Nếu đường thẳng d không nằm mp(P) song song với đường thẳng a nằm mp(P) đường thẳng d song song với mp(P) ĐL2: Nếu đường thẳng a song song với mp(P) mp(Q) chứa a mà cắt mp(P) cắt theo giao tuyến song song với a ĐL3: Nếu hai mặt phẳng cắt song song với đường thẳng giao tuyến chúng song song với đường thẳng d  (P)  d / /a  d / /(P) a  (P)  a/ /(P)   d / /a a  (Q) (P)  (Q)  d  a (P) (Q) a d (P) (P)  (Q)  d   d / /a (P)/ /a (Q)/ /a  11 d a Q P Đặng Minh Thế §2 HAI MẶT PHẲNG SONG SONG I Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi song song với chúng khơng có điểm chung (P)/ /(Q) (P) (Q)  P Q II.Các định lý: ĐL1: Nếu mp(P) chứa hai đường thẳng a, b cắt song song với mặt phẳng (Q) (P) (Q) song song với a,b  (P)   (P)/ /(Q) a  b  I a / /(Q),b / /(Q)  ĐL2: Nếu đường thẳng nằm hai mặt phẳng song song song song với mặt phẳng (P) / /(Q)  a / /(Q)  a  (P) P a b I Q a P Q R ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) song song mặt phẳng (R) cắt (P) phải cắt (Q) giao tuyến chúng song song (P) / /(Q)  (R)  (P)  a  a / / b (R)  (Q)  b  a P b Q B QUAN HỆ VNG GĨC §1 ĐƯỜNG THẲNG VNG GÓC VỚI MẶT PHẲNG I.Định nghĩa: a Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt a  mp(P)  a  c, c  (P) P 12 c Đặng Minh Thế phẳng II Các định lý: ĐL1: Nếu đường thẳng d vng góc với hai đường thẳng cắt a b nằm mp(P) đường thẳng d vng góc với mp(P) ĐL2: (Ba đường vng góc) Cho đường thẳng a khơng vng góc với mp(P) đường thẳng b nằm (P) Khi đó, điều kiện cần đủ để b vng góc với a b vng góc với hình chiếu a’ a (P) d d  a ,d  b  a ,b  mp(P) d  mp(P) a,b caét  b a P a a  mp(P), b  mp(P) b  a  b  a' a' P b §2 HAI MẶT PHẲNG VNG GĨC I.Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 II Các định lý: ĐL1: Nếu mặt phẳng chứa đường thẳng vng góc với mặt phẳng khác hai mặt phẳng vng góc với ĐL2: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với đường thẳng a nằm (P), vng góc với giao tuyến (P) (Q) vng góc với mặt phẳng (Q) Q a a  mp(P)  mp(Q)  mp(P)  a  mp(Q) P P (P)  (Q)  (P)  (Q)  d  a  (Q)  a  (P),a  d  a d 13 Q Đặng Minh Thế P ĐL3: Nếu hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với A điểm (P) đường thẳng a qua điểm A vng góc với (Q) nằm (P) ĐL4: Nếu hai mặt phẳng cắt vng góc với mặt phẳng thứ ba giao tuyến chúng vng góc với mặt phẳng thứ ba  ( P )  (Q )   A  (P )  a  (P )  A  a   a  (Q ) a A Q P  (P)  (Q)  a   a  (R)  (P)  (R)  (Q)  (R)  R §3 KHOẢNG CÁCH Khoảng cách từ điểm tới đường thẳng , đến mặt phẳng: Khoảng cách từ điểm M đến đường thẳng a (hoặc đến mặt phẳng (P)) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu điểm M đường thẳng a ( mp(P)) O O a H P d(O; a) = OH; d(O; (P)) = OH Khoảng cách đường thẳng mặt phẳng song song: a Khoảng cách đường thẳng a mp(P) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mp(P) O H P d(a;(P)) = OH Khoảng cách hai mặt phẳng song song: O P khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng Q d((P);(Q)) = OH 14 H H Q a Đặng Minh Thế Khoảng cách hai đường thẳng chéo nhau: a độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng A b B d(a;b) = AB §4 GĨC a a' Góc hai đường thẳng a b b' góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm phương với a b b Góc đường thẳng a khơng vng góc với mặt phẳng (P) a góc a hình chiếu a’ mp(P) a' P Đặc biệt: Nếu a vng góc với mặt phẳng (P) ta nói góc đường thẳng a mp(P) 900 Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng b a Hoặc góc đường thẳng nằm mặt phẳng vng góc với giao tuyến điểm b Q P Diện tích hình chiếu: Gọi S diện tích đa giác (H) mp(P) S’ diện tích hình chiếu (H’) (H) mp(P’) a Q P S S'  Scos  A  góc hai mặt phẳng (P),(P’) C  B 15 ...  ; cot       tan  2  2   tan  C Công thức lượng giác CÔNG THỨC CỘNG sin 2a  sin a   s in3a  3sin a  cos a  cos3a  3cos a Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t = tan Với cung... Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án: Giả sử công việc tiến hành theo k phương án, phương án thực ni cách (i = 1,…, k ) Khi cơng việc thực n1 + n2 + …+ nk cách * CÔNG THỨC ĐẠO HÀM: (kx)''... Pt coù nghiệm phân biệt âm   P  S   ĐẠI SỐ 10 a    x   , ax  bx  c      a    x   , ax  bx  c      Các công thức : A  B  A = B    A  B a    x  