CÔNG THỨC TOÁN 10 và 11

Phương trình tiếp tuyến của đường tròn: 1.. Phương trình tiếp tuyến của Elíp: 1... Quy tắc cộng Quy tắc cộng cho cơng việc với nhiều phương án: Giả sử một cơng việc cĩ thể tiến hành the

Đặng Minh Thế

Trang 1

HÌNH HỌC 10

I Định lý: Cho A x( A,y A), (B x B,y B),

1 2

( , )

a a a



AB (x x , y y ) ; (ngọn – gốc)

AB AB  (x x ) (y y )



a  a a

II Tính chất Vectơ:

Cho a (a ,a ) 1 2

, b (b , b ) 1 2

2 2

ab a b

 

5 ka (ka , ka ) 1 2



6 a b  (a1b ; a1 2b )2

7 ma nb (ma1nb ; ma1 2nb )2

8 a.ba b1 1a b2 2

 

9

1 2 2 1

a k.b

a cùng phương b

10 aba.b 0a b1 1a b2 2 0

a b a b a.b

cos(a; b)



 

 

 

12 AB (a ,a ) 1 2

,AC(b , b )1 2



1

2

 

Các dạng tốn thường gặp

1 A, B, C thẳng hàng AB cùng phươngAC

2 A, B, C lập thành tam giác

AB không cùng phương AC



3 A,B,C,D là hình bình hành AD BC. 

4 M trung điểm AB:    

5 M chia AB theo tỉ số k1:

6 Trọng tâm

G

G

x

3

y

3









7 Trực tâm H: Giải hệ: AH.BC 0

BH.AC 0







 

 

8 E chân phân giác trong: EB AB

AC

EC 



 , F chân

p.giác ngoài: FB AB

AC

FC





9 Tâm đường tròn ngoại tiếp ABC Giải hệ: IA22 IB22

 ĐƯỜNG THẲNG

I Phương trình đường thẳng:

1 Phương trình tổng quát : 



qua M(x ; y ) pvt : n = (A; B)  : A(x - x ) + B(y - y ) = 0 0 0

 : Ax + By + C = 0

2 Phương trình tham số :

2







1

qua M(x ;y ) vtcp : a = (a ;a )



0 1

x = x + a t

y = y + a t

3 Phương trình chính tắc :

2







1

qua M(x ;y ) vtcp : a = (a ;a )

=

II Vi trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho (D ) : A x + B y + C = 0 và 1 1 1 1 (D ) : A x + B y + C = 0 2 2 2 2

(D ) (D

A

C

F B E

Đặng Minh Thế

(Δ ) // (Δ ) A B C

III Góc của hai đường thẳng:

IV Khoảng cách từ một điểm đến một

đường thẳng:

Cho (Δ) :Ax By C  0 và M x y ( ;0 0)

2 2

d(M, ) Ax By C

 Chú ý:

° Trục Ox có pttq : y 0

° Trục Oy có pttq : x 0

° Đường thẳng song song hoặc trùng với Oy :

ax c 0b 0

° Đường thẳng song song hoặc trùng với Ox :

by c 0a 0

° Đường thẳng đi qua gốc tọa độ : ax by 0

c 0

° Đường thẳng cắt Ox tại A a ; 0và Oy tại

0; 

B b

a b , 0 :x y 1

ab

° Đường thẳng qua điểm M x y 0; 0 và có hệ

số góc k là : yy0 k x x0

° Đường thẳng d qua điểm M x y 0; 0 và

song song với đường thẳng :ax by c  0

có pttq là :

a x x0b y y00

° Đường thẳng d qua điểm M x y 0; 0 và

vuông góc với đường thẳng :ax by c  0

có pttq là :

b x x0a y y0 0

° Cho (Δ) :Ax By C  0

1 ( ) // (Δ) d  ( ) : d Ax  By  m  0

2 ( ) d  (Δ)  ( ) : d Bx  Ay  m  0

ĐƯỜNG TRÒN

I Phương trình đường tròn:

1 P.trình chính tắc đ.tròn (C): 



tâm I(a; b) bán kính R  (C): (x a )2(y b )2 R2

2 P trình tổng quát đường.tròn (C):







tâm I(a; b)

bán kính R = a + b - c (ĐK: 2 2

0

a b  c )  (C): 2 2

x y  ax by c 

II Phương trình tiếp tuyến của đường tròn:

1 Phương trình tiếp tuyến TẠI M x y : ( ;0 0)

( ; )



 qua M x y pvt IM x a y b  : ( x0 a x )(  x0)  ( y0  b y )(  y0)  0

2 Điều kiện tiếp xúc: d I( , ) R

ELÍP

I Định nghĩa:

ChoF ,F cố định và F F = 2c (c > 0) 1 2 1 2

M( )E MF1MF2 2a (a c 0)

II Phương trình chính tắc:

a b

III Hình dạng Elíp:

IV Các vấn đề đặc biệt:

1 Tiêu điểm : F1(c o; ), F c o2( ; )

2 Tiêu cự : F F1 2 2c

3 Đỉnh trục lớn: A1(a;0), A a2( ;0)

4 Đỉnh trục bé : B1(0;b), B2(0; )b

5 Độ dài trục lớn: A A1 2 2a

6 Độ dài trục bé : B B1 2 2b

O y

x

1

A

1

B

2

B

2

A

1

a

b



b c c

Đặng Minh Thế

Trang 3

7 Tâm sai : e c 1

a

 

8 Bán kính qua tiêu điểm : 1

2

 

 







M

M

9 Phương trình cạnh hình chữ nhật cơ sở:

 

 

10 Phương trình đường chuẩn

2

a x c

 

V Phương trình tiếp tuyến của Elíp:

1 Phương trình tiếp tuyến TẠI M x y : ( ;0 0)

0 0

1

x x y y

a  b 

2 Điều kiện tiếp xúc:

Cho:

a b

a b    và

(Δ) :AxByC 0

(Δ)

 tiếp xúc (E) 2 2 2 2 2

* Chú ý: Cho (Δ) :Ax By C  0

( ) // (Δ) :d Ax By C   0 ( ) :d Ax By m  0 ( )d (Δ) :Ax By C   0 ( ) :d BxAy m 0

Đặng Minh Thế

ĐẠI SỐ 10

 x , 2

0

ax bx c   0

0

a 





 



 x , 2

0

ax bx c   0

0

a 





 



  x , 2

0

ax bx c   0

0

a 





 



 x , 2

0

0

a 





 

 Chú ý: Cho f(x) = ax2 + bx + c (a  0)

 f x   0 vô nghiệm f x 0,   x

 f x   0 vô nghiệm f x 0,   x

 f x   0 vô nghiệm f x 0,   x

 f x   0 vô nghiệm f x 0,   x

Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0

° Pt có 2 nghiệm phân biệt 0

0

a 



 

 



° Pt có nghiệm kép 0

0

a 



 

 



° Pt vô nghiệm

0

0 0

0 0

a

a b

c











 



 

 ° Pt có 2 nghiệm trái dấu P0

° Pt có 2 nghiệm cùng dấu 0

0

P

 



 



 ° Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng dương

0 0 0

P S

 





 



° Pt có 2 nghiệm phân biệt cùng âm

0 0 0

P S

 





 

 Các công thức cơ bản :

 A = B  A B





  



 A = B 

0

B

A B



















 A  B  (A – B) (A + B) < 0

 A B  A 0

A B











 A B  B 0

A B











 AB 

2

0 0

A B

A B

 







 



 A < B  A B







 



 A  B  (A – B) (A + B) > 0

 A B   

 



A B

 A = B  A 0(B 0)

A B









 A = B  B 02

A B











 A > B 

2

0 0 0

 











 









B A B

A B

Đặng Minh Thế

5

ĐẠI SỐ 11

LƯỢNG GIÁC

A.Các Hằng Đẳng Thức Lượng Giác Cơ Bản:



2 2

2 2

2 1

2 cos

1

sin

B Giá Trị Các Cung Góc Liên Quan Đặc Biệt:

1 Cung – Góc đối nhau:  và :

 cos  cos; sin   sin

 tan   tan ; cot   cot

2 Cung – Góc bù nhau:    và 

sin    sin; cos     cos

     

tan tan ; cot     cot 

3 Cung – Góc phụ nhau: và

2



2



2



   



2

4 Cung– Góc hơn kém :    và 

 sin     sin ; tan    tan

 cos     cos ;cot    cot 

5 Cung – Góc hơn kém

2



: và 2



2



2



    

     



2

C Công thức lượng giác

1 CÔNG THỨC CỘNG

Với mọi cung có số đo a, b ta có:

 cos (a – b) = cosa.cosb + sina.sinb

 cos (a + b) = cosa.cosb – sina.sinb

 sin (a – b) = sina.cosb – cosa.sinb

 sin (a + b) = sina.cosb + cosa.sinb

 tan(a – b) = tan tan

1 tan tan





a b

 tan(a + b) = tan tan

1 tan tan





a b

 cot(a – b) = . 1



cota cotb cotb cota

 cot(a + b) = . 1



cota cotb cotb cota

2 Công thức nhân đôi:

 sin2a = 2sina.cosa

 cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – 1 = 1 – 2 sin2a

 tan2a = 2 tan2

1 tan

a a



2

cot a 1 cot 2a

2 cot a





3 Công thức nhân ba:

 sin3a = 3sina – 4sin3a

 cos3a = 4cos3a – 3cosa

 tan3a = 



3 2

3tan a tan a

1 3tan a



3 2

cot a 3cot a cot3a

3cot a 1

4 Công thức hạ bậc:

 cos2a = 1 cos 2

2

a



 sin2a = 1 cos 2

2

a







2 1 cos2a tan a

1 cos2a

 sina.cosa 1

sin 2a 2



 3 s in3a 3sin a sin a

4



 3 cos3a 3cos a cos a

4





5 Công thức tính sinx, cosx,tanx theo t = tan

2

x

(Giả sửû: x k2 , đặt t = tan

2

x

)

Đặng Minh Thế

 sinx = 2 2

1

t t

 ,  cosx =

2 2

1 1

t t





 tanx = 2 2

1

t t

 (x 2k ,kZ)





6 Công thức biến đổi tổng thành tích

cos a cos b 2 cos cos

cos a cos b 2 sin sin

sin a sin b 2 sin cos

sin a sin b 2 cos sin



a b





sin sin



sin sin

 AsinxBcosx A2B2.sin(x)

 A B x

với

7 Công thức biến đổi tích thành tổng

1

2 1

2 1

2

8 Các hằng đẳng thức khác :

sin x cos x 1 2 sin x.cos x

sin x cos x 1 3sin x.cos x

sin x cos x 2 sin x 2 cos x

9 Phương trình lượng giác cơ bản :

sin xsin x k2 , k

   



     





cos xcos x k2 ,k

   



   





tan xtan x   k , k 

cot xcot x   k , k 

* TH đặc biệt:

2



2



sin x 0 x k cos x 1 xk2 cos x  1 x  k2

2



4



      

tan x0sin x0x k

4



      

2



10 Phương trình bậc hai đối với một hàm lượng giác 2

a xb x c a Đặt tsinx (t ( 1,1))at2   bt c 0

Rồi từ PT cơ bản sin x  t x

Tương tự cho các phương trình:

2

11 Phương trình bậc nhất: sina xbcosx c

Chia hai vế PT cho a2b2 được:

sin cosx  cos sinx  t sin(x ) t

là phương trình cơ bản

12 Phương trình thuần nhất:

a xb x xc x d

TH1: cosx 0 sin2x  pt cĩ dạng a d1 

Khi a (đúng) d

2



   là nghiệm

Khi a (sai) thì cosd x  khơng thỏa 0 TH2: cosx  Chia 2 vế cho 0 2

cos x ta được:

Đặng Minh Thế

7

x

 

* CÔNG THỨC ĐẠO HÀM:

1 (kx)' k  (ku)' k.u'

(x )' x  (u )' u '.u 1

 

3 ( x ) ' 1

2 x

  ( u ) ' u '

2 u



4

'

2

 

 

 

 



' 2

 

 

 

 

5 (sin x)' cos x  (sin u)' u'.cos u

6 (cos x)' sin x  (cos u)' u'.sin u

(tan x)'

cos x   2

u' (tan u)'

cos u

(cot x)'

sin x 



 u'2 (cot u)'

sin u

9 (e )'x  ex  (e )'u u'.eu

10 (ln x)' 1

x

  (ln u)' u'

u



11 (loga x)’ = 1

x ln a  (loga u)’ = u '

u ln a

(a )'a ln a (a )'u u '.a ln a u

* TIẾP TUYẾN CỦA (C): y f x( )

Gọi M x y( 0, 0)( )C

a) PT tiếp tuyến tại M: y f x'( 0)(xx0)y0

b) PTTT cĩ hệ số gĩc k: Giải phương trình

f x  k x y ?PTTT

y f x xx y

Tiếp tuyến (t)//(d)  k t k d

Tiếp tuyến ( )t ( )d k k t d  1

HỐN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP

1 Số phần tử của tập hợp

Số phần tử của tập hợp A = { a, b, c, d} là

n(A) = A= 4

B = { a, c, g, h, k} là n(B) = B = 5

B

A  = {a, c} là n ( AB ) AB 2

B

A  = { a, b, c, d, g, h, k }

là n ( AB ) AB 7

A\ B = { b, d } là n(A\B)= |A\B|

2 Quy tắc cộng

Quy tắc cộng cho cơng việc với nhiều phương án: Giả sử một cơng việc cĩ thể tiến hành theo một trong k phương án, mỗi phương án cĩ thể được thực hiện bởi ni cách (i = 1,…, k ) Khi đĩ cơng việc cĩ thể thực hiện bởi n1 + n2 + …+ nk cách

Chú ý: Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn khơng giao nhau thì số phần tử của A  B là

B A B

Nếu A và B là hai tập hợp hữu hạn bất kì thì số phần tử của A  B là

AB  A  B  AB

3 Quy tắc nhâân:

Quy tắc nhân cho cơng việc cĩ nhiều cơng đoạn:

Giả sử một cơng việc bao gồm k cơng đoạn, mỗi cơng đoạn cĩ thể được thực hiện theo ni cách (i =

Khi đĩ cơng việc cĩ thể thực hiện theo n1n2…nk

cách

4 Giai thừa: Với n, p ℕ

n! = 1.2.3…(n-1).n Qui ước: 0! = 1 n! = (n–1)!n

!

!

n

p = (p+1).(p+2)…n (với n>p)

! ( )!

n

n p = (n–p+1).(n–p+2)…n (với n>p)

5 Hốn vị: Kết quả của sự sắp xếp n phần tử

khác nhau theo một thứ tự nào đĩ gọi là một hốn

vị

của n phần tử đĩ Kí hiệu Pn Ta cĩ cơng thức tính như sau: Pn = n.(n- 1) .2.1= n! (n N*)

Chú ý: Hốn vị vịng quanh:

Cho tập A gồm n phần tử Một cách sắp xếp n phần

tử của tập A thành một dãy kín được gọi là một hốn vị vịng quanh của n phần tử

Số các hốn vị vịng quanh của n phần tử là:

Qn = (n – 1)!

6 Chỉnh hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần

tử, một tập con của A gồm k (1kn)phần tử

khác nhau và được sắp xếp theo một thứ tự nào đĩ

gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử,

kí hiệu k

n

A , được tính theo cơng thức:

( 1).( 2) ( 1)

k n

A n n n n k (1)

Đặng Minh Thế

!

!

k

n

n

n k

Liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ hợp:

!

n

n n

7 Tổ hợp: Cho A là một tập hợp gồm n phần

tử, một tập con của A gồm k (0kn)phần tử

gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử, kí hiệu

k

n

C , được tính theo công thức:

!

k n

n C

k n k





Ta có các tính chất sau:

 k n k

n n

C C 

 0

1

n

n n

C C  , C1n C n n1n

* Công thức liên hệ giữa chỉnh hợp và tổ

hợp A n k k C! n k

8 Công thức Newton:

(a b )nC a n nC a n nb C a n k n k b k  C b n n n

Tính chất:

+ Trong khai triển của (a+b)n có n+1 số hạng

+ Số mũ của a giảm dần từ n đến 0

+ Số mũ của b tăng dần từ 0 đến n

+ Tổng số mũ của a và b trong mỗi số hạng luôn

bằng n

+ Các hệ số có tính đối xứng k n k

n n

C C  (Hệ số các số hạng cách đều hai biên thì bằng nhau)

+ Số hạng tổng quát của sự khai triển, kí hiệu

là

Tk + 1, có dạng

k n k k

k 1 n

T C a  b

  , k = 0, …, n

(chỉ số k + 1 là số thứ tự tính từ trái qua phải của

số hạng tương ứng trong sự khai triển)

+ Tổng các hệ số trong khai triển (a+b)n là :

0 1 2 n 2n

C C C  C 

CẤP SỐ CỘNG

1 Định nghĩa: Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng số hạng đứng ngay trước nó cộng với một số không đổi d

* Số d được gọi là công sai của cấp số cộng

d U n1U n

2 Số hạng tổng quát:

3 Tính chất các số hạng của cấp số cộng:

2

1

 

k

U U

4 Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

n n U U

2 hayS n n2U n 1d



CẤP SỐ NHÂN

1 Định nghĩa: Cấp số nhân là một dãy số ( hữu hạn hoặc vô hạn ), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều là tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q

* Số q được gọi là công bội

Ta có : U n1 U n.q với n  N*

2 Số hạng tổng quát :

1

1 

n U q U

3 Tính chất các số hạng của cấp số nhân

1 1 2





U hay U k  U k1.U k1

4 Tổng n số hạng đầu của cấp số nhân: Cho cấp

số nhân có công bội q khác 1

Ta có :

1

1

2 1















q

q U U U

U S

n n

n

n d U

U n  1 1

Đặng Minh Thế

9

a

M

B A

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

1 Hệ thức lượng trong tam giác vuông: Cho  ABCvuông ở A ta có :

a) Định lý Pitago : BC2  AB2AC2

b) BA2  BH BC ; CA2  CH CB

c) AB AC = BC AH

AC AB

AH HB HC

f) BC = 2AM

g) sinB b, c Bos c, tanB b, cotB c

h) b = a sinB = a.cosC, c = a sinC = a.cosB, a =

sin cos

B  C, b = c tanB = c.cot C

2 Hệ thức lượng trong tam giác thường:

* Định lý hàm số Côsin: a2b2c22bc cos A

* Định lý hàm số Sin: 2

R

A B C

3 Định lý Talet MN // BC

AB  AC  BC ; b)

MB NC

3 Diện tích trong hình phẳng

1 Tam giác thường:

a) S = 1

ah

2 b) S = p(p a)(p b)(p c)   (Công thức Hê-rông)

c) S = pr (r: bán kính đường tròn nội tiếp tam giác)

2 Tam giác đều cạnh a: a) Đường cao: h = a 3

2 ; b) S =

2

a 3 4

c) Đường cao cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

3 Tam giác vuông: a) S = 1

2ab (a, b là 2 cạnh góc vuông)

b) Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền

4 Tam giác vuông cân (nửa hình vuông)

a) S = 1

2a

2 (2 cạnh góc vuông bằng nhau) b) Cạnh huyền bằng a 2

N M

C B

A

Đặng Minh Thế

5 Nửa tam giác đều:

a) Là tam giác vuông có một góc bằng 30o hoặc 60o

b) BC = 2AB c) AC = a 3

2 d) S =

2

a 3 8

6 Tam giác cân: a) S = 1

ah

2 (h: đường cao; a: cạnh đáy)

b) Đường cao hạ từ đỉnh cũng là đường trung tuyến, đường phân giác, đường trung trực

7 Diện tích hình thang:

1 2

S  (đáy lớn + đáy nhỏ) x chiều cao

8 Hình chữ nhật: S = ab (a, b là các kích thước)

9 Hình thoi: 1 1 2

2

S d d (d d1, 2là 2 đường chéo)

10 Hình vuông: a) 2

Sa b) Đường chéo bằng a 2

11 Hình bình hành: S = ah (h: đường cao; a: cạnh đáy)

12 Đường tròn: a) C2 R; R: bán kính đường tròn)

b) 2

S R (R: bán kính đường tròn)

4 Các đường trong tam giác

1 Đường trung tuyến: G là trọng tâm của tam giác

a) Giao điểm của 3 đường trung tuyến của tam giác gọi là trọng tâm

b) BG = 2

3BN; BG = 2GN; GN =

1

3BN

2 Đường cao: Giao điểm của của 3 đường cao của tam giác gọi là trực tâm

3 Đường trung trực: Giao điểm của 3 đường trung trực của tam giác là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác

4 Đường phân giác: Giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác là tâm đường tròn nội tiếp tam giác

60 o 30 o

C B

A

G P

N M

C B

A