lịch sử khoa học thế giớ
Lch s toỏn hc Nhng cng hin ca Hy Lp c i vi toỏn hc, nhỡn chung c coi l mt nhng cng hin quan trng nht, ó phỏt trin rc r c v phng phỏp v cht liu ch ca toỏn hc.[2] Mt c im ỏng chỳ ý ca lch s toỏn hc c v trung i l theo sau s bựng n ca cỏc phỏt trin toỏn hc thng l s ngng tr hng th k Bt u vo i kỡ Phc Hng ti í vo th k 16, cỏc phỏt trin toỏn hc mi, tng tỏc vi cỏc phỏt hin khoa hc mi, ó c thc hin vi tc ngy cng tng, v iu ny cũn tip din cho ti hin ti Toỏn hc thi s khai 1.1 Ngun gc Rt lõu trc nhng t c nht, ó cú nhng bc v cho thy mt kin thc v toỏn hc v o thi gian da trờn tri Vớ d cỏc nh c sinh vt hc ó khỏm phỏ cỏc mnh t th hong mt hang ng Nam Phi c trang trớ bi cỏc hỡnh khc hỡnh hc vi thi gian khong 70.000 TCN.[3] Cng cỏc di kho tin s c tỡm thy chõu Phi v Phỏp, thi gian khong gia 35000 TCN v 20000 TCN,[4] cho thy cỏc c gng s khai nhm nh lng thi gian.[5] Cỏc bng chng cũn tn ti cho thy vic m thi s khai ch yu l ph n, nhng ngi gi cỏc vt ỏnh du chu kỡ sinh hc hng thỏng; vớ d hai mi tỏm, hai mi chớn, hoc ba mi vch trờn xng hoc T toỏn hc cú ngha l "khoa hc, tri thc hoc hc tp" Ngy nay, thut ng toỏn hc ch mt b phn c hũn ỏ, theo sau l mt vch cỏch bit khỏc Hn na, cỏc th sn ó cú khỏi nim v mt, hai v nhiu cng th ca tri thc - ngnh nghiờn cu suy lun v lng, nh khụng xem xột s by thỳ.[6][7] [1] cu trỳc, v s thay i; l ngụn ng ca v tr Lnh vc ca ngnh hc v L s Toỏn hc phn ln l s Xng Ishango c tỡm thy thng ngun sụng nghiờn cu ngun gc ca nhng khỏm phỏ mi Nil (phớa bc Cng hũa Dõn ch Congo), thuc thi kỡ toỏn hc, theo ngha hp hn l nghiờn cu cỏc phng 20.000 TCN Bn dch thụng dng nht ca hũn ỏ cho phỏp v ký hiu toỏn hc chun quỏ kh ta thy nú l bng chng sm nht[4] th hin mt dóy Trc thi kỡ hin i v s ph bin rng rói tri thc cỏc s nguyờn t v phộp nhõn Ai Cp c i Ngi Ai trờn ton th gii, cỏc vớ d trờn bn ca cỏc phỏt Cp vo thiờn niờn k th TCN ó v cỏc bc tranh trin mi ca toỏn hc ch ta sỏng nhng vựng, v thit k hỡnh hc v khụng gian Ngi ta ó khng c th Cỏc bn toỏn hc c nht t Lng H c nh cỏc hũn ỏ t thn Anh v Scotland t thiờn i (Mesopotamia) khong 1900 TCN (Plimpton 322), niờn k th TCN, bao gm c cỏc ý tng hỡnh hc trũn, hỡnh elớp v b ba Pythagore thit Ai Cp c i khong 1800 TCN (Rhind Mathematical nh hỡnh [8] k ca nú Papyrus), Vng quc Gia Ai Cp khong 1300-1200 Cun cm nang v tớnh toỏn bng hon thin v cõn i TCN (Berlin 6619) v n c i khong 800 TCN (Shulba Sutras) Tt c cỏc t ny cú nhc n nh lý Pythagore; õy cú l l phỏt trin toỏn hc rng nht v c nht sau s hc c i v hỡnh hc Nn toỏn hc sm nht tng bit n c i nm vo khong 3000 TCN - 2600 TCN nn minh thung lng Indus (nn minh Harappan) ca Bc n v Pakistan, ó phỏt trin mt h thng cỏc n v TON HC THI S KHAI 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Ch s ca ngi Maya, cú s v h ng phõn (xem ch s Maya) H ng phõn trờn c s so sỏnh vi s ngún tay ca mt bn tay, cũn nh thp phõn l ton b s ngún tay v ngún chõn Trong ting iche, t ch s 20 l huvinak, cú ngha l ton thõn Ngoi ra, ngi Maya ó phỏt trin khỏi nim "s 0" vo nm 357, sm hn chõu u khong gn 900 Xng Ishango nm Vn bn c cho thy, nhng ngi Maya, cú nhu Phng tin liờn quan ti Xng Ishango ti Wikimedia cu cụng vic cng vo hng trm triu v s ngy ln Commons ũi hi phi cú phng cỏch chớnh xỏc thc hin chỳng Kt qu tớnh toỏn v thiờn hc theo mt o ung lng Indus c i s dng h c s 10, mt khụng gian v thi gian di l cc k chớnh xỏc; bn cụng ngh gch ỏng ngc nhiờn s dng cỏc t l, cỏc v s ng ca Mt Trng v cỏc hnh tinh l ng i c t trờn mt gúc vuụng hon ho, v mt ngang bng hoc vt xa cỏc minh khỏc quan sỏt s cỏc hỡnh hỡnh hc v thit k, bao gm hỡnh hp ch v tr bng mt thng nht, thựng phi, hỡnh nún, hỡnh tr v cỏc bc v cỏc hỡnh trũn v hỡnh tam giỏc ct v ng qui Cỏc dng c toỏn hc tỡm c bao gm mt thc o c s 10 vi chia nh v chớnh xỏc, mt dng c v sũ hot ng nh mt chic com pa o gúc trờn mt phng Ngi Maya xỏc nh chớnh xỏc di ca mt nm hoc theo cỏc bi ca 40-360 , mt dng c v sũ gm 365 ngy, thi gian Trỏi t quay ht mt vũng o 8-12 phn ca ng chõn tri v bu tri, v mt quanh Mt Tri, chớnh xỏc hn rt nhiu lch c chõu dng c o v trớ ca cỏc nhm mc ớch nh u s dng vo thi ú (lch Gregory) Cú gi thit cho hng Bn vit tay Indus cha c gii ngha; rng ngi Maya ó k tha cỏch tớnh lch t cỏc nn ú ta bit c rt ớt v cỏc dng vit ca toỏn hc minh c Zapotecs ( Mont Alban) v Olmecs ( La Harappan Cỏc bng chng kho c ó lm cỏc nh s venta v Tres Zapotes) Tuy th, ngi Maya li khụng hc tin rng nn minh ny ó s dng h m c s dng di tớnh toỏn thi gian mt nm vo lch ca s v t c cỏc kin thc v t l gia chu vi ca h Ngi Maya s dng lch (gi l lch Maya) trờn c ng trũn i vi bỏn kớnh ca nú, ú tớnh c s s nm Mt Tri vi 365 ngy Mt nm Mt Tri c chia thnh 18 thỏng, mi thỏng cú 20 ngy (dựng h .[9] m c s 20), nm ngy cũn li c a vo cui nm Cỏc ngy thỏng c ghi bng s th t t n 19 trc tờn thỏng (0 n cho thỏng thiu, cui nm 1.2 Toỏn hc ca ngi Maya cú ngy) eo lch ny, cỏc nm ni tip khụng Cựng phỏt trin vi cỏc nn minh Trung M khỏc, ngng, khụng cú nm nhun Nh vy kt qu l lch ngi Maya s dng h m nh thp phõn (vigesimal) s b sai lch lựi v mt ngy vũng nm Khi so Lng H Lch Maya sỏnh vi lch Julius, dựng chõu u t thi quc La Mó cho n tn th k 16, thỡ sai s cho mt ngy l mi 128 nm; vi lch Gregory hin i, thỡ sai s sp x mt ngy mi 3.257 nm Bng tớnh vch trờn t sột YBC 7289 vi chỳ gii ch s hin i 30 2.1 L ca thy búi Ngy xa, nhng ngi da iche, Ixil v Mam dựng lch Maya truyn thng vi mt nm cú 260 ngy d oỏn tng lai gii thớch vỡ b lch li gm 260 ngy, ngi ta ó phng nhiu thy búi Chichicastenango v Momstenango v phỏt hin rng: Vic chn di ca nm ny khụng phi ngu nhiờn m l phự hp vi thi gian mang thai ca ngi H m 20 cho phộp chia mt nm 260 ngy thnh 13 thỏng, mi thỏng 20 ngy, kt hp vi mt 20 tờn gi cỏc vt, cỏc lc lng t nhiờn, cỏc quan nim hay khỏi nim m ý ngha khụng cũn lu truyn n ngy 2.1 Cn ụng c i Lng H Toỏn hc Babylon l ỏm ch bt kỡ nn toỏn hc no thuc v c dõn Lng H (Iraq ngy nay) t bui u Sumer cho n u thi kỡ Hy Lp húa Nú c t tờn l toỏn hc Babylon l vai trũ trung tõm ca Babylon l ni nghiờn cu, ni ó khụng cũn tn ti sau thi kỡ Hy Lp húa Cỏc nh toỏn hc Babylon ó trn vi cỏc nh toỏn hc Hy Lp phỏt trin toỏn hc Hy Lp Sau ú di ch Arab, Iraq/Lng H, c bit l Baghdad, mt ln na tr thnh trung tõm nghiờn cu quan trng cho toỏn hc Hi giỏo 24 51 10 42 25 35 i lp vi s thiu thn ngun ti liu ca toỏn hc Hy Lp, s hiu bit v toỏn hc Babylon ca chỳng ta l t hn 400 ming t sột khai qut c t nhng nm 1850 Vit bng ký t Cuneiform, cỏc ming t sột ny c vit t sột cũn m, v c nung cng lũ hoc bng nhit t Mt Tri Mt s ú cú v l bi v nh Bng chng sm nht v cỏc t toỏn hc l t thi nhng ngi Sumer c i, nhng ngi ó xõy nờn nn minh sm nht Lng H H ó phỏt trin mt h o lng phc t 3000 TCN Khong 2500 TCN tr v trc, ngi Sumer ó vit nhng bng nhõn trờn t sột v gii cỏc bi hỡnh hc v cỏc bi toỏn chia Du vt sm nht ca h ghi s Babylon cng l khong thi gian ny.[10] Mt lng ln cỏc tm t sột ó c phc hi l vo khong 1800 TCN ti 1600 TCN, v bao gm cỏc ch CN ễNG C I v phõn s, i s, phng trỡnh bc ba v bc bn, cỏc tớnh toỏn v cỏc b ba Pythagore (xem Plimpton 322).[11] Cỏc tm ny cng bao gm c bng nhõn, bng lng giỏc v cỏc phng phỏp gii phng trỡnh tuyn tớnh v phng trỡnh bc hai Tm t sột YBC 7289 ó a mt xp x ca s chớnh xỏc ti nm ch s thp phõn Toỏn hc Babylon c vit bng h c s 60 Do vic ny m ngy ta s dng 60 giõy mt phỳt, 60 phỳt mt gi v 360 (60 ì 6) mt vũng trũn Cỏc tin b ca ngi Babylon toỏn hc phỏt trin d dng bi s 60 cú rt nhiu c s Cng vy, khụng ging ngi Ai Cp, Hy Lp v La Mó, ngi Babylon cú mt h ghi s vi cỏch vit s chia theo hng, ú cỏc ch s vit ct bờn trỏi th hin giỏ tr ln hn, ging nh h thp phõn nhng h li thiu mt ký hiu tng ng ca du thp phõn, v ú hng cỏch vit s thng c suy t ng cnh 2.2 Ai Cp Giy c Rhind Giy cúi Moskva bit: mt hỡnh chúp ct cú chiu cao 6, din tớch ỏy ln 4, din tớch ỏy nh Bn s bỡnh phng s ny, c 16 Bn s nhõn ụi 4, c Bn s bỡnh phng 2, c Bn s cng 16, 8, v c 28 Bn s ly mt phn ba ca 6, c Bn nhõn 28 vi c 56 V 56 l s bn cn tỡm. Toỏn hc Ai Cp l ỏm ch toỏn hc c vit di ting Ai Cp Giy c Rhind (khong 1650 TCN) l mt bn toỏn hc Ai Cp quan trng khỏc, mt hng dn s Toỏn hc Ai Cp c i c ỏnh du bi nhõn vt hc v hỡnh hc Cựng vi vic a cỏc cụng thc truyn thuyt oth, ngi c coi l ó t mu din tớch v phng phỏp nhõn, chia v lm vic vi t Ai Cp, h thng ch s, toỏn hc v thiờn hc, phõn s n v, nú cng cha cỏc bng chng v cỏc kin thc toỏn hc khỏc (xem Egyptian Unit Fractions) l v thn ca thi gian T thi kỡ Hy Lp húa, ting Hy Lp ó thay th ting bao gm hp s v s nguyờn t; trung bỡnh cng, trung Ai Cp ngụn ng vit ca cỏc nh hc gi Ai Cp, bỡnh nhõn v trung bỡnh iu hũa; v hiu bit s b v v t thi im ny, toỏn hc Ai Cp hp nht vi toỏn sng Eratosthenes v s hon ho Nú cng ch cỏch hc Hy Lp v Babylon phỏt trin toỏn hc Hy Lp gii phng trỡnh tuyn tớnh bc mt cng nh cp s Nghiờn cu toỏn hc Ai Cp sau ú c tip tc di cng v cp s nhõn ch Arab nh l mt phn ca toỏn hc Hi giỏo, Cng vy, ba thnh phn hỡnh hc cú giy c ting Rp tr thnh ngụn ng vit ca cỏc nh Rhind núi n nhng kin thc n gin nht ca hỡnh hc gi Ai Cp hc gii tớch: (1) u tiờn v quan trng nht, lm th Vn t toỏn hc c nht tỡm c cho ti l giy no xp x s chớnh xỏc ti di mt phn trm; cúi Moskva, mt t bng giy cúi ca Vng quc (2) th hai, mt c gng c i vic cu phng gia Ai Cp vo khong 20001800 m ngy ta gi hỡnh trũn; (3) v th ba, s s dng sm nht tng bit l bi toỏn ch", rừ rng l ch gii trớ Mt bi toỏn v lng giỏc c coi l quan trng mc núi riờng bi nú a Cui cựng, giy c Berlin cng cho thy ngi Ai Cp phng phỏp tỡm th tớch ca mt hỡnh ct: Nu bn c i cú th gii phng trỡnh i s bc hai 5 Toỏn hc Hy Lp v Hy Lp húa c i (khong 550 TCN-300) Toỏn hc Hy Lp l ỏm ch toỏn hc c vit bng ting Hy Lp khong gia 600 TCN v 450.[12] Cỏc nh toỏn hc Hy Lp sng cỏc thnh ph ri rỏc trờn ton b a Trung Hi, t í ti Bc Phi, nhng li thng nht v húa v ngụn ng Toỏn hc Hy Lp ụi c gi l toỏn hc Hellenistic (Hy Lp húa) Toỏn hc Hy Lp ó tr nờn phc hn rt nhiu so vi cỏc nn húa trc ú Tt c cỏc ghi chộp cũn tn ti ca cỏc nn toỏn hc tin Hy Lp u cho thy vic s dng suy lun qui np, ngha l, cỏc quan sỏt liờn tc c s dng lp nờn cỏc phộp o da trờn kinh nghim Ngi Hy Lp s dng lý lun logic t c cỏc kt lun t cỏc nh ngha v tiờn [13] TCN) l vớ d sm nht ca mt khuụn mu m cũn c s dng cho n ngy nay, nh ngha, tiờn , nh lý, chng minh ễng cng nghiờn cu v cỏc ng conic Cun sỏch ca ụng, C bn, c tt c nhng ngi cú hc bit n phng Tõy cho n gia th k 20.[14] ờm vo cỏc nh lý quen thuc ca hỡnh hc, nh nh lý Pythagore, C bn cũn cú c chng minh rng cn bc hai ca hai l s vụ t v cú vụ hn s nguyờn t Sng Eratosthenes (khong 230 TCN) ó c s dng tỡm cỏc s nguyờn t Vi ngi Hy Lp, toỏn hc ó vt lờn c vic ghi chộp Nhng nh toỏn hc cú tờn tui ti ó li nhng nh lý, tiờn cú giỏ tr khỏi quỏt cao cuc sng v c bit i vi lnh vc toỏn hc Mt s ngi núi rng ngi v i nht cỏc nh toỏn hc Hy Lp, nu khụng mun núi l mi thi i, l Archimedes x Syracuse (287212 TCN) x Syracuse eo nh Lucius Mestrius Plutarchus, tui 75, ang v cỏc cụng thc toỏn hc trờn cỏt, ụng ó b mt tờn lớnh La Mó dựng giỏo õm cht Roma c i li ớt bng chng v s quan tõm vo toỏn hc lý thuyt Toỏn hc n c i (khong 1500 TCN-200 CN) Toỏn hc Vedic bt u vo u thi kỡ St, vi Shatapatha Brahmana (khong th k TCN), ú ales cú xp x s chớnh xỏc ti ch s thp phõn[15] v v nh lý ales-c s cho phộp o hỡnh hc v toỏn Sulba Sutras (khong 800-500 TCN) l cỏc bn hỡnh hc mờtric: DE AE AD hc s dng s vụ t, s nguyờn t, lut ba, v cn bc = = BC AC AB ba; tớnh cn bc hai ca ti nm ch s thp phõn; Toỏn hc Hy Lp dng nh bt u vi ales (khong a phng phỏp cu phng hỡnh trũn, gii phng 624 - khong 546 TCN) v Pythagoras (khong 582 trỡnh tuyn tớnh v phng trỡnh bc hai; phỏt trin b - khong 507 TCN) Mc dự tm nh hng khụng ba Pythagore theo phng phỏp i s, phỏt biu v cũn, h cú th phỏt trin ý tng t toỏn hc Ai nờu chng minh cho nh lý Pythagore Cp, Babylon, v cú th c n eo truyn thuyt, Pythagoras ó chu du ti Ai Cp hc toỏn hc, hỡnh Pini (khong th k TCN) ó lp cụng thc cho ng phỏp ca ting Phn Ký hiu ca ụng tng t vi ký hc, v thiờn t cỏc o s Ai Cp hiu toỏn hc, v s dng cỏc ngụn lut, cỏc phộp bin ales ó s dng hỡnh hc gii cỏc bi toỏn nh i, quy vi phc n mc ng phỏp ca ụng l tớnh chiu cao ca cỏc hỡnh chúp v khong cỏch t cú sc mnh tớnh toỏn ngang vi mỏy Turing Cụng cỏc tu ti b bin Pythagoras c coi l ngi u trỡnh ca Panini cng i trc c lý thuyt hin i tiờn a chng minh cho nh lý Pythagore, mc dự ng phỏp hỡnh thc (formal grammar) (cú vai trũ quan phỏt biu ca nh lý ó i qua mt chng ng lch trng in toỏn), dng Panini-Backus s di Trong li bỡnh lun v Euclid, Proclus phỏt biu c s dng bi nhng ngụn ng lp trỡnh hin i rng Pythagoras ó din t nh lý mang tờn ụng v nht li rt ging vi lut ng phỏp ca Panini Pingala dng nờn b ba Pythagore mt cỏch i s hn l hỡnh (khong th k th n th nht TCN) bn lun hc Trng hc ca Plato cú cõu khu hiu: Khụng thuyt ca mỡnh v thi phỏp ó s dng mt phng nhng th nụng cn hỡnh hc vo õy. phỏp ng vi h nh phõn o lun ca ụng v t hp Hc thuyt Pythagoras ó khỏm phỏ s tn ti ca ca cỏc phỏch, tng ng vi nh lý nh thc Cụng cỏc s hu t Eudoxus (408 - khong 355 TCN) ó phỏt trỡnh ca Pingala cng cha cỏc ý tng c bn ca cỏc minh phng phỏp vột cn, tin thõn ca khỏi nim s Fibonacci (c gi l mtrmeru) Vn bn Brhm hin i tớch phõn Aristotle (384 - khong 322 TCN) c phỏt trin ớt nht t thi triu Maurya vo th k ó ln u vit cỏc lut v logic Euclid (khong 300 TCN, vi nhng bng chng kho c hc cho thy nú 6 TON HC TRUNG HOA C IN (KHONG 400-1300) xut hin vo khong 600 TCN Ch s Brahmi vo khong th k TCN trm, sau ú l ký hiu cho s ri n ký hiu hng chc, sau ú l s õy l h c s tin b nht trờn Gia nm 400 TCN v 200 CN, cỏc nh toỏn hc Jaina th gii vo thi im ú v cho phộp tớnh toỏn c bt u nghiờn cu toỏn hc vi mc ớch nht thc hin bi bn tớnh i im phỏt minh bn tớnh cho toỏn hc H l nhng ngi u tiờn phỏt trin khụng rừ, nhng ti liu c nht vo 190 Lu ý transnite number, lý thuyt hp, logarit, cỏc nh v the Art of Figures vit bi Xu Yue Bn tớnh cú th ó lut c bn ca ly tha, phng trỡnh bc ba, phng c s dng trc thi im ny trỡnh bc bn, dóy s v dóy cp s, hoỏn v v t hp, Trung c, vo 212 TCN, vua Tn y Hong ó bỡnh phng v ly xp x cn bc hai, v hm m hu lnh t tt c sỏch nc Cho dự lnh ny hn v vụ hn Bn tho Bakshali c vit gia 200 khụng c tuõn th hon ton, nhng ta bit rt TCN v 200 bao gm cỏch gii h phng trỡnh tuyn ớt v toỏn hc Trung Hoa c i tớnh ti nm n, nghim phng trỡnh bc hai, cp s T triu Tõy Chu (t 1046), cụng trỡnh toỏn hc c nht cng v cp s nhõn, dóy phc hp, phng trỡnh vụ cũn tn ti sau cuc t sỏch l Kinh Dch, ú s nh bc hai, phng trỡnh khụng mu mc, v s s dng 64 qu ho cho mc ớch trit hc hay tõm linh dng s v s õm Cỏc tớnh toỏn chớnh xỏc cho s vụ Cỏc ho l cỏc b hỡnh v gm cỏc ng gch m lin t ó c tỡm ra, bao gm tớnh cn bc hai ca cỏc s hoc t nột, i din cho dng v õm ti bao nhiờu ch s sau du phy tựy thớch (t 11 ch Sau cuc t sỏch, nh Hỏn (202 TCN) - 220 ó lp cỏc s tr lờn) cụng trỡnh v toỏn hc cú th l phỏt trin da trờn cỏc cụng trỡnh m hin ó mt Phn quan trng nht Toỏn hc Trung Hoa c i s ú l Cu chng toỏn thut, tiờu ca nú xut hin trc 179 CN, nhng l nm cỏc tiờu (khong 1300 TCN-200 CN) khỏc tn ti trc ú Nú bao gm 264 bi toỏn ch, ch yu l nụng nghip, thng nghip, ỏp dng ca hỡnh hc o chiu cao v t l cỏc chựa chin, cụng trỡnh, thm dũ, v bao gm cỏc kin thc v tam giỏc vuụng v s Nú cng ỏp dng nguyờn lý Cavalieri (Cavalieris principle) v th tớch hn mt nghỡn nm trc Cavalieri xut phng Tõy Nú t chng minh toỏn hc cho nh lý Pythagore, v cụng thc toỏn hc cho phộp kh Gauss Cụng trỡnh ny ó c chỳ thớch bi Lu Huy (Liu Hui) vo th k th trc Cụng nguyờn Ngoi ra, cỏc cụng trỡnh toỏn hc ca nh thiờn hc, nh phỏt minh Trng Hnh (Zhang Heng, 78-139) ó cú cụng thc cho s pi, khỏc so vi tớnh toỏn ca Lu Huy Trng Hnh s dng cụng thc ca ụng cho s pi tớnh th tớch hỡnh cu V theo ng kớnh D V= 16 D3 + 16 D3 = D3 Ngi Trung c cng s dng biu t hp phc cũn gi l 'hỡnh vuụng thn kỡ', c mụ t cỏc thi kỡ c i v c hon chnh bi Dng Huy (12381398) Cu chng toỏn thut Bt u t thi nh ng (1600 TCN 1046 TCN), toỏn hc Trung c sm nht cũn tn ti bao gm cỏc s c khc trờn mai rựa.[16][17] Cỏc s ny s dng h c s 10, vỡ vy s 123 c vit (t trờn xung di) bng mt ký hiu cho s ri n mt ký hiu hng Toỏn hc Trung Hoa c in (khong 400-1300) T Xung Chi (Zu Chongzhi) (th k 5) vo thi Nam Bc Triu ó tớnh c giỏ tr ca s chớnh xỏc ti by ch s thp phõn, tr thnh kt qu chớnh xỏc nht ca s gn 1000 nm 7 Toỏn hc n c in (khong 400-1600) Tam giỏc Pascal Trong hng nghỡn nm sau nh Hỏn, bt u t nh ng v kt thỳc vo nh Tng, toỏn hc Trung c phỏt trin thnh vng, nhiu bi toỏn phỏt sinh v gii quyt trc xut hin chõu u Cỏc phỏt trin trc ht c ny sinh Trung c, v ch rt lõu sau mi c bit n phng Tõy, bao gm s õm, nh lý nh thc, phng phỏp ma trn gii h phng trỡnh tuyn tớnh v nh lý s d Trung c v nghim ca h phng trỡnh ng d bc nht S õm c cp n bng cu chng t thi nh Hỏn, 200TCN[18] nh lý nh thc v tam giỏc Pascal c Yang Hui nghiờn cu t th k 13 Aryabhata Cun Surya Siddhanta (khong 400) gii thiu cỏc hm lng giỏc nh sin, cosin, v sin ngc, v a cỏc lut xỏc nh chuyn ng chớnh xỏc ca cỏc thiờn th, tuõn theo v trớ tht ca chỳng trờn bu tri i Ngi Trung c cng ó phỏt trin tam giỏc Pascal gian v tr tun hon c gii thớch cun sỏch, v lut ba rt lõu trc nú c bit n chõu u c chộp t mt cụng trỡnh trc ú, tng ng Ngoi T Xung Chi ra, mt s nh toỏn hc ni ting vi nm thiờn vi 365,2563627 ngy, ch di hn 1,4 Trung c thi kỡ ny l Nht Hnh, Shen Kuo, Chin giõy so vi giỏ tr hin i Cụng trỡnh ny ó c dch Chiu-Shao, Zhu Shijie, v nhng ngi khỏc Nh khoa ting Rp v Latin thi Trung C hc Shen Kuo s dng cỏc bi toỏn liờn quan n gii Aryabhata vo nm 499 gii thiu hm versin, a tớch, lng giỏc, khớ tng hc, hoỏn v, v nh ú tớnh bn sin u tiờn, phỏt trin cỏc k thut v thut toỏn toỏn c lng khụng gian a hỡnh cú th s dng ca i s, vụ cựng nh, phng trỡnh vi phõn, v t vi cỏc dng trn ỏnh c th, cng nh doanh tri gi c li gii hon chnh cho cỏc phng trỡnh tuyn c lõu nht cú th vi lng phu cú th mang lng tớnh bng mt phng phỏp ng vi phng phỏp hin cho chớnh h v binh s i, cựng vi cỏc tớnh toỏn thiờn chớnh xỏc da trờn Ma trn c ngi Trung c nghiờn cu v thnh lp bng ma trn t nhng nm 650 TCN[19] m sau toỏn hc chõu u bt u n r thi kỡ Phc hng, toỏn hc chõu u v Trung c khỏc v truyn thng, vi s st gim ca toỏn hc Trung c, cho ti cỏc nh truyn o iờn Chỳa giỏo mang cỏc ý tng toỏn hc ti v i gia hai nn húa t th k 16 n th k 18 thuyt nht tõm Mt bn dch ting Rp ca cun Aryabhatiya cú t th k 8, sau ú l bn Latin vo th k 13 ễng cng tớnh giỏ tr chớnh xỏc ti bn ch s sau du phy Madhava sau ú vo th k 14 ó tớnh giỏ t ca s chớnh xỏc ti ch s thp phõn th mi mt l 3.14159265359 8 TON HC RP V O HI (KHONG 800-1500) Toỏn hc Rp v o Hi (khong 800-1500) B E A M C F D Chng minh ca Brahmagupta rng AF = F D Vo th k 17, Brahmagupta ó a nh lý Brahmagupta, ng thc Brahmagupta v cụng thc Brahmagupta ln u tiờn, cun Brahma-sphutasiddhanta, ụng ó gii thớch mt cỏch rừ rng cỏch s dng s va l ký hiu thay th va l ch s thp phõn v gii thớch h ghi s Hindu-Arabic eo mt bn dch ca bn ting n v toỏn hc ny (khong Muammad ibn Ms al-wrizm 770), cỏc nh toỏn hc Hi giỏo ó c gii thiu h ghi s ny, m h gi l h ghi s Rp Cỏc nh hc gi Hi giỏo ó mang kin thc v h ghi s ny ti chõu u trc th k 12, v nú ó thay th ton b cỏc h ghi s c hn trờn ton th gii Vo th k 10, bỡnh lun ca Halayudha v cụng trỡnh ca Pingala bao gm mt nghiờn cu v dóy Fibonacci v tam giỏc Pascal, v ch Rp o Hi c thit lp trờn ton b Trung mụ t dng ca mt ma trn ụng, Trung , Bc Phi, Iberia, v mt s phn ca n Vo th k 12, Bhaskara ln u tiờn t ý tng v th k ó to nờn nhng cng hin quan gii tớch vi phõn, cựng vi khỏi nim v o hm, h s trng cho toỏn hc Mc dự phn ln cỏc bn o vi phõn v phộp ly vi phõn ễng cng ó chng minh Hi c vit bng ting Rp, chỳng khụng hon nh lý Rolle (mt trng hp c bit ca nh lý giỏ tr ton c vit bi nhng ngi Rp, rt cú th trung bỡnh), nghiờn cu phng trỡnh Pell, v xem xột v th ca Hy Lp th gii Hellenistic, ting o hm ca hm sin T th k 14, Madhava v cỏc nh Rp c s dng nh l ngụn ng vit ca cỏc hc toỏn hc khỏc ca Trng Kerala, phỏt trin thờm cỏc ý gi khụng phi ngi Rp th gii o Hi tng ca ụng H ó phỏt trin cỏc khỏi nim v thng thi by gi Mt s nhng nh toỏn hc o kờ toỏn hc v s du phy ng, v khỏi nim cn bn Hi quan trng nht l ngi Ba T cho vic phỏt trin ca ton b gii tớch, bao gm nh lý giỏ tr trung bỡnh, tớch phõn tng phn, quan h gia din tớch di mt ng cong v nguyờn hm ca nú, kim tra tớnh hi t, phng phỏp lp gii nghim phng trỡnh phi tuyn, v mt s chui vụ hn, chui hm m, chui Taylor v chui lng giỏc Vo th k 16, Jyeshtadeva ó cng c thờm rt nhiu nh lý v phỏt trin ca Trng Kerala cun Yuktibhasa, bn v o hm u tiờn trờn th gii, cng a khỏi nim tớch phõn Phỏt trin toỏn hc n chng li t cui th k 16 cỏc rc ri v chớnh tr Muhammad ibn Ms al-Khwrizm, mt nh toỏn hc v thiờn hc Ba T th k th 9, ó vit mt vi cun sỏch quan trng v h ghi s Hindu-Arabic v v cỏc phng phỏp gii phng trỡnh Cun sỏch ca ụng V tớnh toỏn vi h ghi s Hindu, c vit khong nm 825, cựng vi cụng trỡnh ca nh toỏn hc Rp Al-Kindi, l nhng cụng c vic truyn bỏ toỏn hc n v h ghi s Hindu-Arabic ti phng Tõy T algorithm (thut toỏn) bt ngun t s Latin húa ca tờn ụng, Algoritmi, v t algebra (i s) t tờn ca mt nhng cụng trỡnh ca ụng, Al-Kitb al-mukhtaar hsb al-abr wal-muqbala (Cun cm nang v tớnh toỏn bng hon thin v cõn i) Al-Khwarizmi thng c gi l cha ca i s", bi s bo tn cỏc phng phỏp i s c i ca ụng v cỏc cng hin ca ụng i vi lnh vc ny.[20] Cỏc phỏt trin thờm ca i s c thc hin bi Abu Bakr al-Karaji (9531029) hc thuyt ca ụng al-Fakhri, ú ụng m rng cỏc quy tc thờm c ly tha s nguyờn v nghim nguyờn vo cỏc i lng cha bit Vo th k 10, Abul Wafa ó dch cụng trỡnh ca Diophantus thnh ting Rp v phỏt trin hm tang Chng minh u tiờn bng quy np toỏn hc xut hin mt cun sỏch vit bi Al-Karaji khong 1000 CN, ngi ó s dng nú chng minh nh lý nh thc, tam giỏc Pascal, v tng ca cỏc lp phng nguyờn.[21] Nh nghiờn cu lch s toỏn hc, F Woepcke,[22] ó ca ngi Al-Karaji l ngi u tiờn gii thiu cỏc nh lý ca cỏc phộp tớnh i s. Ibn al-Haytham l ngi u tiờn bt ngun s dng cỏc cụng thc tớnh tng ca ly tha bc bn s dng phng phỏp quy np, t ú phỏt trin thnh phng phỏp tớnh tớch phõn.[23] Omar Khayyam, nh th th k 12, cng l mt nh toỏn hc, vit Bn lun v nhng khú khn ca Euclid, mt cun sỏch v cỏc thiu sút ca cun C s ca Euclid, c bit l tiờn v ng thng song song, v ú ụng t nn múng cho hỡnh hc gii tớch v hỡnh hc phi Euclid ễng cng l ngi u tiờn tỡm nghim hỡnh hc ca phng trỡnh bc ba ễng cng cú nh hng lún vic ci t lch Nh toỏn hc Ba T Nasir al-Din Tusi (Nasireddin) vo th k 13 ó to nờn nhng bc tin lng giỏc hỡnh cu ễng cng vit cỏc cụng trỡnh cú nh hng ln ti tiờn v ng thng song song ca Euclid Vo th k 15, Ghiyath al-Kashi ó tớnh giỏ tr s ti ch s thp phõn th 16 Kashi cng cú mt thut toỏn cho phộp tớnh cn bc n, l trng hp c bit ca cỏc phng phỏp ó a hng th k sau bi Runi v Horner Cỏc nh toỏn hc Hi giỏo ỏng lu ý khỏc bao gm al-Samawal, Abu'l-Hasan al-Uqlidisi, Jamshid al-Kashi, abit ibn rra, Abu Kamil v Abu Sahl alKuhi n thi ch Ooman (t th k 15), s phỏt trin ca toỏn hc Hi giỏo b chng li iu ny song song vi s chng li ca toỏn hc ngi Roma chinh phc c th gii Hellenistic John J O'Connor v Edmund F Robertson vit cun MacTutor History of Mathematics archive: Nhng nghiờn cu gn õy v mt bc tranh mi v nhng th m ta n toỏn hc o Hi Hin nhiờn rt nhiu cỏc ý tng ngh trc ú ó tr thnh nhng khỏi nim tuyt vi toỏn hc chõu u ca th k mi sỏu, mi by, mi tỏm theo ta bit l ó c phỏt trin bi cỏc nh toỏn hc Rp/o Hi bn th k trc ú Trong nhiu khớa cnh, toỏn hc c nghiờn cu ngy cũn gn hn v phong cỏch i vi nhng th ú ca toỏn hc o Hi hn l nhng thc ca toỏn hc Hellenistic. Toỏn hc chõu u Trung c (khong 300-1400) Nasir al-Din Tusi v bng Ilkhanic Mi quan tõm n toỏn hc ca chõu u Trung c l nhiu lý rt khỏc so vi ca cỏc nh toỏn hc hin i Mt lý ú l nim tin rng toỏn hc l chỡa khúa hiu c th bc t nhiờn, thng c ỏnh giỏ cuc i thoi Timaeus ca Plato v chuyn i ln m Chỳa ó sp xp tt c mi th theo kớch thc, s lng, v cõn nng (Wisdom 11:21) 9.1 Thi kỡ Trung c s khai (khong 3001100) Bỳt tớch ca Jamshd al-Ksh Boethius (480524) ó dnh mt ni cho toỏn hc mụn hc ụng a khỏi nim quadrivium (ting Latinh: bn ng) ch cỏc mụn s hc, hỡnh hc, thiờn hc, v õm nhc ễng vit De institutione arithmetica, dch thoỏng ngha t ting Hy Lp tiờu ca cun Introduction to Arithmetic ca Nicomachus; De institutione musica, cng phỏt trin t gc Hy Lp; v mt lot cỏc on ly t cun C s ca Euclid Cụng 10 TON HC CHU U TRUNG C (KHONG 300-1400) toỏn hc Fibonacci, vo u th k 13, a cụng trỡnh toỏn hc quan trng u tiờn chõu u k t thi ca Eratosthenes, mt khong thi gian hn mt nghỡn nm k mi bn ó chng kin s phỏt trin ca cỏc khỏi nim toỏn hc mi gii quyt mt lot bi toỏn.[28] Mt lnh vc quan trng cng hin cho s phỏt trin ca toỏn hc ú l phõn tớch cỏc chuyn ng a phng Boethius v cỏc hc trũ omas Bradwardine a rng tc (V) tng theo t l s hc t s ca lc (F) vi lc cn (R) tng theo s m Bradwardine din t iu ny bng mt lot cỏc vớ d c th, nhng mc dự lụgarớt thi ú cha xut hin, ta cú th biu din kt lun ca ụng di dng V = log (F/R).[29] Phõn tớch ca Bradwardine l mt vớ d ca vic chuyn i k thut toỏn hc c s dng bi al-Kindi v Arnald of Villanova nh tớnh bn cht ca thuc trn thnh mt bi toỏn vt lý khỏc.[30] trỡnh ca ụng mang tớnh lý thuyt hn l thc hnh, v l cụng trỡnh nn tng ca toỏn hc cho n cỏc L mt ngi nhúm Oxford Calculators vo th cụng trỡnh toỏn hc ca Hy Lp v A Rp c phc k 14, William Heytesbury, thiu gii tớch vi phõn v khỏi nim gii hn, ó a vic o tc tc thi hi.[24][25] bng ng m cú th c mụ t bi mt vt th nu nú c dch chuyn i theo cựng mt tc 9.2 S hi sinh ca toỏn hc ti chõu u m vi iu ú nú c di chuyn thi khc ó (1100-1400) cho.[31] Heytesbury v nhng ngi khỏc ó xỏc nh bng toỏn hc khong cỏch i c ca mt vt th chuyn ng cú gia tc khụng i (m ta cú th gii d dng bng Tớch phõn), núi rng mt vt th chuyn ng m nhn tc gim hoc tng khụng i s i mt thi gian no ú cho trc mt khong cỏch hon ton bng vi khong cỏch y m s i c nu nú ang chuyn ng liờn tc cựng mt thi gian vi tc trung bỡnh.[32] Nicole Oresme ti i hc Paris v Giovanni di Casali ngi Italia c lp vi a biu din th ca quan h ny, thờm vo din tớch di ng thng biu th gia tc khụng i, th hin tng quóng ng i c.[33] Trong mt bui tho lun sau ú v cun Hỡnh hc ca Euclid, Oresme a mt phõn tớch chi tit tng quỏt ú ụng núi rng mt vt th s nhn c mi s gia ca thi gian mt s gia ca bt kỡ tớnh cht no m tng nh s l Do Euclid ó chng minh tng ca cỏc s l l cỏc s chớnh phng, tng cỏc tớnh cht t c bi vt th tng theo bỡnh phng thi gian.[34] Fibonacci Vo th k 12, cỏc nh hc gi chõu u ó chu du n Tõy Ban Nha v Sicilia tỡm cỏc bn ting A Rp, s chỳng l cun Al-Jabr wa-al-Muqabilah ca Al-Khwarizmi, c dch thnh ting Latinh bi Robert of Chester v bn y ca cun C s ca Euclid, c dch thnh rt nhiu phiờn bn bi Adelard of Bath, Herman of Carinthia, v Gerard of Cremona.[26][27] Nhng ngun mi ny lúe lờn mt thi kỡ hi sinh ca 11 10 Toỏn hc hin i s khai chõu u Peuerbach vo 1472, theo sau l mt cun sỏch v s hc thng mi Treviso Arithmetic nm 1478 v cun sỏch toỏn hc thc s ca Euclid, cun C s c in v xut bn bi Ratdolt nm 1482 Do nhu cu cp thit v nh hng v v bn chớnh xỏc cho nhng khu vc rng ln, lng giỏc ó phỏt trin thnh mt ngnh ln ca toỏn hc Bartholomaeus Pitiscus l ngi u tiờn s dng t Trigonometria (lng giỏc) cun sỏch cựng tờn ca ụng vo nm 1595 Bng sin v cosin ca Regiomontanus c xut bn vo 1533.[35] Isaac Newton Cun sỏch ca Georg von Peuerbach chõu u vo bui bỡnh minh ca thi kỡ Phc Hng, toỏn hc cũn b hn ch bi cỏc ký hiu cng knh s dng h ghi s La Mó v din t cỏc quan h bng t ng, hn l bng ký hiu: khụng cú du cng, khụng cú du bng, v khụng s dng x thay cho i lng cha bit Vo th k 16 cỏc nh toỏn hc chõu u bt u to nờn nhng bc tin mi m khụng cn bit n nhng ni khỏc trờn th gii, ti mc nh ngy Bc tin u tiờn s ú l nghim tng quỏt ca phng trỡnh bc ba, thụng thng c ghi cụng cho Scipione del Ferro vo khong 1510, nhng xut bn ln u tiờn bi Johannes Petreius Nỹrnberg cun Ars magna ca Gerolamo Cardano, ú cng cú nghim tng quỏt ca phng trỡnh bc bn t hc trũ ca Cardano Lodovico Ferrari Regiomontanus, c Franỗois Viốte, Phỏp n cui th k, nh cú Johannes Mỹller von Kửnigsberg (1436-1476) v Franỗois Viốte (1540-1603), cựng vi nhng ngi khỏc, m toỏn hc ó c vit bng h ghi s Hindu-Arabic v theo mt dng m khụng quỏ khỏc xa so vi cỏc ký hiu s dng ngy 11 Th k 17 k 17 chng kin s bựng n cha tng thy ca cỏc ý tng toỏn hc v khoa hc trờn ton chõu u Galileo, mt ngi Italia, ó quan sỏt cỏc Mt Trng ca Sao Mc trờn qu o quanh hnh tinh ú, s dng kớnh vin vng da trờn mt chi nhp khu t H Lan Tycho Brahe, vng quc an Mch, ó thu thp mt lng ln cỏc d liu toỏn hc mụ t cỏc v trớ ca cỏc hnh tinh trờn bu tri Hc trũ ca ụng, nh toỏn hc ngi c Johannes Kepler, bt u lm vic vi cỏc d liu ny Mt phn bi vỡ mun giỳp Kepler vic T thi im ny, toỏn hc phỏt trin nhanh chúng, b tớnh toỏn, John Napier, Scotland, l ngi u tiờn tr cho v ly li ớch t cỏc tin b mi cựng thi ca nghiờn cu logarit t nhiờn Kepler thnh cụng vt lý hc ỏ trỡnh ny cng c thỳc y bi nhng vic lp cụng thc toỏn hc cỏc nh lut ca chuyn tin b ngnh in Cun sỏch toỏn hc sm nht ng hnh tinh Hỡnh hc gii tớch c phỏt trin bi c in l cun eoricae nova planetarum ca G v Renộ Descartes (1596-1650), mt nh toỏn hc v trit 12 12 TH K 18 Mụ t ca Tychoo v qu o ca Mt Trng, Mt Tri v cỏc hnh tinh hc ngi Phỏp, ó cho phộp nhng qu o ny cú th v c trờn th, h to Descartes Xõy dng da trờn nhng cụng trỡnh i trc bi rt nhiu nh toỏn hc, Isaac Newton, ngi Anh, ó khỏm phỏ cỏc nh lut ca vt lý gii thớch nh lut Kepler, v cựng a n mt khỏi nim bõy gi ta gi l gii tớch Mt cỏch c lp, Gofried Wilhelm Leibniz, c, ó phỏt trin gii tớch v rt nhiu cỏc ký hiu gii tớch cũn c s dng cho n ngy Khoa hc v toỏn hc ó tr thnh mt n lc quc t, nhanh chúng lan ton th gii.[36] ờm vo ng dng ca toỏn hc i vi ngnh thn hc, toỏn hc ng dng bt u m rng cỏc lnh vc mi khỏc, vi cỏc lỏ th gia Pierre de Fermat v Blaise Pascal Pascal v Fermat ó t nn múng cho vic nghiờn cu lý thuyt xỏc sut v cỏc nh lut t hp tng ng cỏc tho lun ca h v trũ ỏnh bc Pascal, vi Pascals Wager, ó c gng s dng lý thuyt xỏc sut mi ca mỡnh tranh lun v mt cuc sng theo tụn giỏo, thc t l dự xỏc sut thnh cụng cú nh i na, phn li l vụ cựng Trong hon cnh ny, iu ú ó d bỏo trc s phỏt trin ca lý thuyt tha dng na sau th k 18-19 12 Th k 18 Nh ta ó thy, s hiu bit v cỏc s t nhiờn 1, 2, 3, cũn trc bt kỡ bn vit no Nhng nn minh sm nht - Lng H, Ai Cp, n v Trung c - u ó bit n s hc Leonhard Euler hỡnh v ca J E Handmann nhõn vi 3, thỡ c kt qu l n v Trung c, v rt lõu sau c, cỏc s õm c phỏt trin tr li cõu hi: bn nhn c kt qu l gỡ ly mt s nh tr i s ln Vic phỏt minh s khụng cú th l tr li cõu hi: bn nhn c kt qu l gỡ tr mt s cho chớnh nú Mt cõu hi t nhiờn khỏc l: cn bc hai ca s hai l kiu s gỡ? Ngi Hy Lp ó bit rng nú khụng phi mt phõn s, v cõu hi ny ó úng vai trũ quan trng vic phỏt trin liờn phõn s Nhng mt cõu tr li tt hn xut hin cựng vi s phỏt minh ch s thp phõn, phỏt trin bi John Napier (1550-1617) v c hon chnh sau ú bi Simon Stevin S dng cỏc ch s thp phõn, v mt ý tng m tiờn oỏn trc c khỏi nim v gii hn, Napier cng ó nghiờn cu mt hng s mi, m Leonhard Euler (1707-1783) ó t tờn l s e.[37] Euler cú rt nhiu nh hng ti vic chun húa cỏc ký hiu v thut ng toỏn hc ễng ó t tờn cn bc hai ca õm mt bng ký hiu i ễng cng ph bin vic s dng ch cỏi Hy Lp ch t s ca chu vi mt ng trũn i vi ng kớnh ca nú Sau ú ụng cũn phỏt trin thờm mt nhng cụng thc ỏng chỳ ý nht ca toỏn hc: Mt cỏch xem xột s phỏt trin ca rt nhiu h toỏn hc hin i khỏc l xem cỏc h mi c nghiờn cu tr li cỏc cõu hi v s hc ca cỏc h c hn Trong thi tin s, phõn s tr li c cõu hi: s no, ei + = 13 13 Th k 19 Janos Bolyai Riemann Carl Friedrich Gauss Nh toỏn hc Nga Nikolai Ivanovich Lobachevsky v i th ca ụng, nh toỏn hc Hungary Janos Bolyai, c lp vi sỏng lp hỡnh hc hyperbolic, ú s nht ca cỏc ng thng song song khụng cũn ỳng na, m qua mt im ngoi ng thng cú th k c vụ s ng thng song song vi ng thng ó cho Trong hỡnh hc ny tng cỏc gúc ca mt tam giỏc cú th nh hn 180 Xuyờn sut th k 19 toỏn hc nhanh chúng tr nờn tru tng Trong th k ny ó sng mt nhng nh toỏn hc v i nht mi thi i, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) Khụng k n rt nhiu cng hin cho khoa hc, toỏn hc lý thuyt ụng ó lm nờn cỏc cụng trỡnh cú tớnh cỏch mng v hm s vi bin phc hỡnh hc v v s hi t ca cỏc chui ễng ó a chng minh u tiờn ca nh lý c bn ca i s v ca lut tng h bc hai Cỏc hỡnh hc mi xut hin th k 19: Hỡnh hc Hyperbolic ca Lobachevsky Hỡnh hc c in Euclid Hỡnh hc Elliptic k ny chng kin s phỏt trin ca hai dng hỡnh hc phi Euclid, ú tiờn v ng thng song song ca hỡnh hc Euclid khụng cũn ỳng na Trong hỡnh hc Euclid, cho mt ng thng v mt im khụng nm trờn ng thng ú, thỡ ch cú mt v ch mt ng thng song song vi ng thng ó cho v i qua im ú m thụi Hỡnh hc Elliptic ó c phỏt trin sau ú vo th k 19 bi nh toỏn hc ngi c Bernhard Riemann; õy khụng th tỡm thy ng thng song song v tng cỏc gúc ca mt tam giỏc cú th ln hn 180 Riemann cng phỏt trin hỡnh hc Riemann, ú hp nht v tng quỏt húa cao ba loi hỡnh hc, v ụng nh ngha khỏi nim mt a tp, ú tng quỏt húa khỏi nim v ng v mt Cỏc khỏi nim ny rt quan trng uyt tng i ca Albert Einstein Cng th k 19 William Rowan Hamilton ó phỏt trin noncommutative algebra, nn múng ca lý thuyt vũng Lobachevsky ờm vo nhng hng mi toỏn hc, cỏc nn toỏn hc c hn c a vo cỏc nn tng logic mnh hn, c bit l trng hp ca gii tớch vi cỏc cụng trỡnh ca Augustin Louis Cauchy v Karl Weierstrass 14 14 William Rowan Hamilton Cauchy TH K 20 i s vi bc ln hn bn Cỏc nh toỏn hc th k 19 khỏc ỏp dng kt qu ny chng minh ca h rng thc k v compa l khụng chia ba mt gúc, dng cnh ca mt hỡnh lp phng m th tớch ca nú gp ụi th tớch mt hỡnh lp phng cho trc, hay dng mt hỡnh vuụng cú din tớch bng din tớch hỡnh trũn cho trc (cũn gi l phộp cu phng hỡnh trũn) Cỏc nh toỏn hc ó tn cụng vụ ớch gii tt c cỏc bi toỏn ny t thi Hy Lp c i Cỏc nghiờn cu ca Abel v Galois v nghim ca rt nhiu loi phng trỡnh a thc khỏc ó t nn múng cho cỏc phỏt trin sõu hn v lý thuyt nhúm, v cỏc lnh vc liờn quan ca i s tru tng Trong th k 20 cỏc nh vt lý va cỏc nh khoa hc khỏc ó thy lý thuyt nhúm l mt cỏch lý tng nghiờn cu symmetry k 19 cng chng kin s thnh lp ca cỏc hi toỏn hc u tiờn: Hi toỏn hc London vo nm 1865, Hi toỏn hc Phỏp vo nm 1872, Hi toỏn hc Palermo vo nm 1884, Hi toỏn hc Edinburgh vo nm 1864 v Hi toỏn hc M vo nm 1888 Trc th k 20, cú rt ớt cỏc nh toỏn hc tht s sỏng to trờn th gii bt kỡ thi im no Phn ln vỡ cỏc nh toỏn hc hoc sinh gia ỡnh giu cú, nh Napier, hoc c hu thun bi cỏc nhõn vt giu cú, Karl Weierstrass nh Gauss Cú rt ớt ngi cm thy cuc sng nghốo nn dy hc trng i hc, nh Fourier Niels Henrik Abel, khụng th nhn c mt v trớ no, ó cht vi Mt dng i s mi c phỏt trin vo th k 19 gi ti sn l s suy dinh dng l i s Boole, c phỏt minh bi nh toỏn hc ngi Anh George Boole Nú l mt h ch gm cỏc s v 1, mt h m ngy cú nhng ng dng quan trng khoa hc mỏy tớnh 14 Th k 20 Niels Henrik Abel Tớnh chuyờn nghip ca nh toỏn hc ngy cng tr nờn quan trng vo th k 20 Mi nm, hng trm bng tin s toỏn hc c trao, v cỏc ngnh ngh u cú ging dy v cụng nghip Phỏt trin toỏn hc ó tng vi mt tc cc nhanh, vi quỏ nhiu phỏt trin mi v kho sỏt thm ng chm ti hu ht cỏc lnh vc quan trng nht Vo 1900, David Hilbert a danh sỏch 23 bi toỏn cha cú li gii toỏn hc ti Hi ngh cỏc nh toỏn hc quc t Cỏc bi toỏn ny bao trựm rt nhiu lnh vc ca toỏn hc v ó to nờn s chỳ ý c bit toỏn hc th k 20 Hin mi bi toỏn ó cú li gii, by ó gii c mt phn v hai bi cũn m Bn bi cũn li quỏ lng núi rng liu ó gii c cha Hilbert cng ó t nn múng cho vic tiờn ẫvariste Galois húa hỡnh hc vi cun sỏch "Grundlagen der Geometrie" (Nn tng ca Hỡnh hc) bao gm 21 tiờn , thay cho cỏc tiờn Euclid truyn thng Chỳng trỏnh i nhng Cng ln u tiờn, cỏc gii hn ca toỏn hc ó c im yu ó c ch cỏc tiờn Euclid, m khỏm phỏ Niels Henrik Abel, mt ngi Na Uy, v cỏc tỏc phm ca ụng (Euclid) lỳc ú c xem nh ẫvariste Galois, mt ngi Phỏp, ó chng minh c sỏch giỏo khoa ễng mong mun h thng húa toỏn hc rng khụng cú phng phỏp i s gii phng trỡnh trờn mt nn tng logic vng chc v y , tin rng: 15 Trong nhng nm 1900, Srinivasa Aiyangar Ramanujan (1887-1920) ó phỏt trin hn 3000 nh lý, bao gm lý thuyt v tớnh cht ca cỏc siờu hp s (highly composite number), hm phn chia (partition function) v cỏc tim cn ca nú, ri cỏc hm theta Ramanujan ễng cng to nờn nhng t phỏ v phỏt hin lnh vc hm gamma, dng modular, chui phõn kỡ, chui siờu hỡnh hc v lý thuyt s nguyờn t Nm 1947, tỏc phm C s phõn tớch kinh t" ca Paul Samuelson cụng b c xem l u ca toỏn kinh t ng i.[38] Nm 1952, Sir John Anthony Pople (31/10/192515/3/2004) nh húa hc ngi Anh ti i hc Cambridge ó dng toỏn hc húa hc, lp cụng thc cho mt s c bn phỏt trin nhng mụ hỡnh toỏn hc phc v nghiờn cu phõn t m khụng cn tin hnh thớ nghim ễng ó s dng mỏy tớnh phc v cho vic kim tra v xỏc nh cu trỳc húa hc cng nh cỏc chi tit ca vt cht Walter Kohn ngi o (9/3/1923-?), lm vic ti i hc Santa Barbara (M) ngi nghiờn cu lý thuyt v mt , ó n gin húa mụ t toỏn hc v s liờn kt gia cỏc nguyờn t to nờn phõn t David Hilbert Tt c toỏn hc cú th suy t mt h thng hu hn cỏc tiờn c chn mt cỏch ỳng n Nhng nm 60-70 ca th k 20, vic giỏo dc toỏn hc ó bt u s dng cỏc phng phỏp mi, ú nghiờn cu toỏn c bt u t nhng lnh vc c s nh lý thuyt hp, logic s cp, h thng s v h thng m, s hc ng nht mụ-un (modular consistency arithmetic).[39] Rng mt h thng tiờn nh vy l cú th chng minh c tớnh nht quỏn (tớnh khụng mõu thun) Cỏc phng oỏn ni ting quỏ kh to nờn cỏc k ca nú thut mi v mnh Wolfgang Haken v Kenneth Appel ó s dng mt chic mỏy tớnh chng minh nh lý Cng chớnh Hilbert ó a khỏi nim khụng gian bn mu vo nm 1976.[40] Hilbert, mt c s cho gii tớch hm Andrew Wiles, lm vic mt mỡnh phũng nhiu nm tri, cui cựng ó chng minh c nh lý ln Fermat vo nm 1995, kt thỳc hn 300 nm i tỡm li gii Ton b cỏc lnh vc mi ca toỏn hc nh logic toỏn, topo hc, lý thuyt phc tp, v lý thuyt trũ chi ó thay i cỏc th loi cõu hi m cú th tr li c bi cỏc phng phỏp toỏn hc Kurt Gửdel Nhúm Bourbaki ca Phỏp ó c gng a ton b toỏn hc thnh mt th thng nht chung, xut bn di bỳt danh Nicolas Bourbaki Cụng trỡnh khng l ca h ó gõy rt nhiu tranh lun giỏo dc toỏn hc Nhng nm 1930, Kurt Gửdel ó a nh lý bt ton (en:Gửdel{}s incompleteness theorems) khng nh rng bt kỡ mt h tiờn hỡnh thc c lp no mnh n cui th k, toỏn hc ó thm thõm nhp vo miờu t s hc cng hm cha nhng mnh khụng ngh thut, nh hỡnh hc fractal ó to nờn nhng hỡnh th khng nh m cng khụng th ph nh; tớnh nht thự p cha tng thy bao gi quỏn ca mt h thng tiờn khụng th c chng minh bờn h thng ú M rng ra, khụng th i tỡm tớnh chõn lý ca toỏn hc (v ca khoa hc núi chung) bờn cu trỳc lý ca bn thõn toỏn hc hay ca khoa hc ú; cỏi ỳng ca toỏn hc phi tỡm ngoi toỏn hc 16 15 17 XEM THấM 16.1 By bi toỏn thiờn niờn k Th k 21 Ngy 24/5/2000, Vin Toỏn hc Clay cụng b danh sỏch Vo bui bỡnh minh ca th k 21, rt nhiu nh giỏo by bi toỏn cha gii c vi gii thng cho vic gii dc ó by t quan ngi v mt lp ngi nghốo, khụng quyt mu cht vic gii mi bi l triu ụ la [41][42] c hc hnh v toỏn hc v khoa hc Trong M:[45] ú toỏn hc, khoa hc, cụng trỡnh s v cụng ngh ó cựng to nờn nhng tri thc, kt ni, v ti sn Gi thuyt Poincarộ m cỏc trit gia c i khụng dỏm m n Nm 2005, Peter David Lax (1/5/1926, Vin Khoa hc Toỏn Courant, i hc New York) ó nghiờn cu thnh cụng lý thuyt v ng dng ca phng trỡnh vi phõn riờng phn cng nh tớnh toỏn nghim ca chỳng Bi toỏn P=NP Gi thuyt Hodge Phng trỡnh Navier-Stokes Vo gia thỏng nm 2007, mt i cỏc nh nghiờn cu khp Bc M v chõu u ó s dng cỏc mng mỏy tớnh Gi thuyt Riemann v s E8 thuc nhúm Lie.[43] Mc dự ta cha th bit chớnh xỏc vic ny cú ng dng gỡ, nhng khỏm Gi thuyt Birch v Swinnerton-Dyer phỏ ny ỏnh du mt mc quan trng v c tinh thn hp tỏc v cụng ngh mỏy tớnh toỏn hc hin Lý thuyt Yang-Mill i, xõy dng mụ hỡnh vt th phc nht m ngi tng bit n vi 248 chiu, vi dung lng th hin ln hn c b gen ngi.[44] 16.2 Cỏc bi toỏn ca Hilbert 23 bi toỏn c nh toỏn hc ngi c David Hilbert a Hi ngh c t v Toỏn hc (International Congress of Mathematicians ICM) ln th hai nm 1900 ti Paris, ú mt s ó c gii quyt th k 20.[46] Cu trỳc E8 hai chiu, thc hin bi Peter McMullen 17 Xem thờm Toỏn hc Vit Nam Niờn biu toỏn hc (ting Anh) Danh sỏch cỏc xut bn toỏn hc quan trng Lch s i s E8 ba chiu Lch s hỡnh hc Lch s cỏc ký hiu toỏn hc Lch s cỏc hm lng giỏc Lch s ch s Bartel Leendert van der Waerden E8 Danh sỏch cỏc nh toỏn hc Lch s hỡnh hc 16 Nhng toỏn hc cũn ch i tng lai Lch s s hc Lch s i s V p ca toỏn hc 17 18 Tham kho [1] Adelphi University Mathematics (bng ting Anh) Adelphi University Truy cp ngy 22 thỏng nm 2017 Mathematics is the art and science of abstraction; it is the systematic study of quantity, structure, space, and change; to paraphrase Newton, it is the language in which the universe is wrien [2] Sir omas L Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, In the case of mathematics, it is the Greek contribution which it is most essential to know, for it was the Greeks who rst made mathematics a science. [3] Henahan, Sean (2002) Art Prehistory Science Updates e National Health Museum Truy cp ngy thỏng nm 2006 [4] Williams, Sco W (2005) An Old Mathematical Object MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA SUNY Bualo mathematics department Truy cp ngy thỏng nm 2006 [5] Mathematics in (central) Africa before colonization (PDF) (ụng cỏo bỏo chớ) Dirk HUYLEBROUCK, 2006 Truy cp ngy 24 thỏng 10 nm 2011 [6] Kellermeier, John (2003) How Menstruation Created Mathematics Ethnomathematics Tacoma Community College Bn gc lu tr ngy 23 thỏng 12 nm 2005 Truy cp ngy thỏng nm 2006 [7] Williams, Sco W (2005) e Oledet Mathematical Object is in Swaziland MATHEMATICIANS OF THE AFRICAN DIASPORA SUNY Bualo mathematics department Truy cp ngy thỏng nm 2006 [8] om, Alexander and Archie om, e metrology and geometry of Megalithic Man, pp 132-151 in C.L.N Ruggles, ed., Records in Stone: Papers in memory of Alexander om, (Cambridge: Cambridge Univ Pr., 1988) ISBN 0-521-33381-4 [9] Pearce, Ian G (2002) Early Indian culture - Indus civilisation Indian Mathematics: Redressing the balance School of Mathematical and Computational Sciences University of St Andrews Truy cp ngy thỏng nm 2006 [10] Duncan J Melville (2003) ird Millennium Chronology, ird Millennium Mathematics St Lawrence University [11] Aaboe, Asger (1998) Episodes from the Early History of Mathematics New York: Random House tr 3031 [12] Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 [13] Martin Bernal, Animadversions on the Origins of Western Science, pp 72-83 in Michael H Shank, ed., e Scientic Enterprise in Antiquity and the Middle Ages, (Chicago: Nh in i hc Chicago) 2000, v cỏc chng minh toỏn hc xem trang 75 [14] Howard Eves, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p 141 No work, except e Bible, has been more widely used. [15] Indian Mathematics: Redressing the balance - 4: Mathematics in the service of religion: I Vedas and Vedangas Ian G Pearce [16] Development of Mathematics in Ancient China bn lu 30/1/1998 [17] e use of the decimal system Je [18] Struik, page 32-33 "In these matrices we nd negative numbers, which appear here for the rst time in history. " [19] Swaney, Mark History of Magic Squares, bn lu ngy 16/1/2006 [20] e History of Algebra Louisiana State University [21] Victor J Katz (1998) History of Mathematics: An Introduction, p 255-259 Addison-Wesley ISBN 0-32101618-1 [22] F Woepcke (1853) Extrait du Fakhri, traitộ d'Algốbre par Abou Bekr Mohammed Ben Alhacan Alkarkhi Paris [23] Victor J Katz (1995) Ideas of Calculus in Islam and India, Mathematics Magazine 68 (3), p 163-174 [24] Caldwell, John (1981) e De Institutione Arithmetica and the De Institutione Musica", pp 135-154 in Margaret Gibson, ed., Boethius: His Life, ought, and Inuence, (Oxford: Basil Blackwell) [25] Folkerts, Menso, Boethius Geometrie II, (Wiesbaden: Franz Steiner Verlag, 1970) [26] Marie-ộrốse d'Alverny, Translations and Translators, pp 421-462 in Robert L Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelh Century, (Cambridge: Harvard Univ Pr., 1982) [27] Guy Beaujouan, e Transformation of the adrivium, pp 463-487 in Robert L Benson and Giles Constable, Renaissance and Renewal in the Twelh Century, (Cambridge: Harvard Univ Pr., 1982) [28] Grant, Edward and John E Murdoch (1987), eds., Mathematics and its applications to science and natural philosophy in the Middle Ages, (Cambridge: Cambridge University Press) ISBN 0-521-32260-X [29] Clage, Marshall (1961) e Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ of Wisconsin Pr.), pp 421440 [30] Murdoch, John E (1969) "Mathesis in Philosophiam Scholasticam Introducta: e Rise and Development of the Application of Mathematics in Fourteenth Century Philosophy and eology, pp 215-254 in Arts libộraux et philosophie au Moyen ge (Montrộal: Institut d'ẫtudes Mộdiộvales), at pp 224-227 [31] Clage, Marshall (1961) e Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ of Wisconsin Pr.), pp 210, 214-15, 236 18 20 LIấN KT NGOI [32] Clage, Marshall (1961) e Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ of Wisconsin Pr.), p 284 [33] Clage, Marshall (1961) e Science of Mechanics in the Middle Ages, (Madison: Univ of Wisconsin Pr.), pp 33245, 382-91 Boyer, C B., A History of Mathematics, 2nd ed rev by Uta C Merzbach New York: Wiley, 1989 ISBN 0-471-09763-2 (1991 pbk ed ISBN 0-471-54397-7) Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, [34] Nicole Oresme, estions on the Geometry of Euclid Q 14, pp 560-5 in Marshall Clage, ed., Nicole Oresme and the Medieval Geometry of alities and Motions, (Madison: Univ of Wisconsin Pr., 1968) Homan, Paul, e Man Who Loved Only Numbers: e Story of Paul Erds and the Search for Mathematical Truth New York: Hyperion, 1998 ISBN 0-7868-6362-5 [35] Graan-Guinness, Ivor (1997) e Rainbow of Mathematics: A History of the Mathematical Sciences W.W Norton ISBN 0-393-32030-8 Graan-Guinness, Ivor (2003) Companion Encyclopedia of the History and Philosophy of the Mathematical Sciences e Johns Hopkins University Press ISBN 0-8018-7397-5 [36] Eves, Howard, An Introduction to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0, p 379, "the concepts of calculus(are) so far reaching and have exercised such an impact on the modern world that it is perhaps correct to say that without some knowledge of them a person today can scarcely claim to be well educated. [37] J J O'Connor & E F Robertson (thỏng nm 2001) History topic: e number e (bng ting Anh) MacTutor History of Mathematics archive Truy cp ngy 22 thỏng nm 2017 e number e rst comes into mathematics in a very minor way is was in 1618 when, in an appendix to Napiers work on logarithms, a table appeared giving the natural logarithms of various numbers [38] Lch s ca toỏn kinh t hc ca Trn Nam Bỡnh [39] Dy toỏn - suy ngh t kinh nghim ca cỏc nc Phm Vit Hng 11/05/2007 [40] Four Colors Suce: How the Map Problem Was Solved Robin Wilson, 11/6/2011 [41] Estela A Gavosto, Steven G Krantz, William McCallum, Editors, Contemporary Issues in Mathematics Education, Cambridge University Press, 1999, ISBN 0-521-65471-8 [42] VLOS-it lp thnh cụng bn E8 khỏc thng thuc nhúm Lie [43] Mathematicians Map E8 (ụng cỏo bỏo chớ) Harminka, Hareyan Publishing LLC 20 thỏng nm 2007 [44] Mathematicians Map E8 [45] Videos of 2000 Millennium Event [46] Hilberts Problems mathacademy.com 19 c thờm Aaboe, Asger (1964) Episodes from the Early History of Mathematics New York: Random House van der Waerden, B L., Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer, 1983, ISBN 0-38712159-5 O'Connor, John J and Robertson, Edmund F e MacTutor History of Mathematics Archive (See also MacTutor History of Mathematics archive.) is website contains biographies, timelines and historical articles about mathematical concepts; at the School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Scotland (Or see the alphabetical list of history topics.) Stigler, Stephen M (1990) e History of Statistics: e Measurement of Uncertainty before 1900 Belknap Press ISBN 0-674-40341-X Bell, E.T (1937) Men of Mathematics Simon and Schuster Gillings, Richard J (1972) Mathematics in the time of the pharaohs Cambridge, MA: M.I.T Press Heath, Sir omas (1981) A History of Greek Mathematics Dover ISBN 0-486-24073-8 Menninger, Karl W (1969) Number Words and Number Symbols: A Cultural History of Numbers MIT Press ISBN 0-262-13040-8 Burton, David M e History of Mathematics: An Introduction McGraw Hill: 1997 Katz, Victor J A History of Mathematics: An Introduction, 2nd Edition Addison-Wesley: 1998 Toỏn hc l gỡ? ca Richard Courant v Herbert Robbins xut bn nm 1941, tỏi bn nm 1996 cú sa cha ca Ian Stewart 20 Liờn kt ngoi 20.1 Ting nc ngoi MacTutor History of Mathematics archive (John J O'Connor and Edmund F Robertson; University 20.2 Ting Vit 19 of St Andrews, Scotland) Mt website ó t mt s gii thng cú cha cỏc tiu s chi tit v rt nhiu nh toỏn hc lch s v cựng thi, cng nh cỏc thụng tin v cỏc ng cong ni ting v rt nhiu ch v lch s toỏn hc History of Mathematics Home Page (David E Joyce; Clark University) Bi bỏo v rt nhiu ch lch s toỏn hc vi mt danh sỏch ti liu liờn quan phong phỳ e History of Mathematics (David R Wilkins; Trinity College, Dublin) Tp hp cỏc bi v toỏn hc gia th k 17 v 19 History of Mathematics (Simon University) Bn lu tr 29/4/2001 Fraser Mathematics Pages (Je Miller) Cha cỏc thụng tin v s s dng cỏc ký hiu v thut ng thi kỡ s khai toỏn hc cng nh hp cỏc tem th cú hỡnh cỏc nh toỏn hc Bn lu Biographies of Women Mathematicians (Larry Riddle; Agnes Sco College) Mathematicians of the African Diaspora (Sco W Williams; University at Bualo) Fred Rickeys History of Mathematics Page A Bibliography of Collected Works and Correspondence of Mathematicians (Steven W Rockey; Cornell University Library) Bn lu Links to Web Sites on the History of Mathematics (e British Society for the History of Mathematics) History of Mathematics Math (University of Tennessee, Knoxville) Archives History/Biography e Math Forum (Drexel University) History of Mathematics (Courtright Memorial Library) History of Mathematics Web Sites (David Calvis; Baldwin-Wallace College) Science: Math: History (DMOZ) Historia de las Matemỏticas (Universidad de La Laguna) bn lu 22/7/2011 Histúria da Coimbra) Matemỏtica (Universidade de Using History in Math Class bn lu 19/7/2011 Mathematical Resources: History of Mathematics (Bruno Kevius) 20.2 Ting Vit Lch s toỏn hc trờn Din n toỏn hc VN Lch s toỏn hc trờn Toỏn hc v Tui tr 20 21 NGUN, NGI ểNG GểP, V GIY PHẫP CHO VN BN V HèNH NH 21 21.1 Ngun, ngi úng gúp, v giy phộp cho bn v hỡnh nh Vn bn L s toỏn hc Ngun: https://vi.wikipedia.org/wiki/L%E1%BB%8Bch_s%E1%BB%AD_to%C3%A1n_h%E1%BB%8Dc?oldid=26355106 Ngi úng gúp: Mekong Bluesman, Vng Ngõn H, Nguyn anh ang, Lu Ly, Vinhtantran, Newone, DHN-bot, Dung005, JAnDbot, CommonsDelinker, TXiKiBoT, Dcoetzee, Hoang448, Handyhuy, AlleborgoBot, SieBot, Conbo, TVT-bot, Qbot, Kayani, Alexbot, Jan Arkesteijn, Luckas-bot, Pq, ngMnng, Ptbotgourou, ArthurBot, Xqbot, TobeBot, Trn Nguyn Minh Huy, Banhtrung1, Tnt1984, Namnguyenvn, TuHan-Bot, EmausBot, Yanajin33, WikitanvirBot, Mjbmrbot, Perhelion, Cheers!-bot, MerlIwBot, AvocatoBot, Makecat-bot, AlphamaBot, Hugopako, Earthshaker, Addbot, OctraBot, itxongkhoiAWB, Tuanminh01, TuanminhBot, ẫn bc AWB, Vothuong2015 v 24 ngi vụ danh 21.2 Hỡnh nh Tp_tin:2064_aryabhata-crp.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/af/2064_aryabhata-crp.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Abu_Abdullah_Muhammad_bin_Musa_al-Khwarizmi_edit.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/1/11/1983_CPA_5426_%281%29.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://www.muslimheritage com/topics/default.cfm?ArticleID=631, [1] Ngh s u tiờn: Khụng rừ Tp_tin:Akhlaq-i_Nasiri.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/97/Akhlaq-i_Nasiri.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://news.bbc.co.uk/2/hi/in_pictures/6903183.stm Ngh s u tiờn: en:Nasr al-Dn al-Ts Tp_tin:Andrew_wiles1-3.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/Andrew_wiles1-3.jpg Giy phộp: Aribution Ngi úng gúp: http://www.mozzochi.org/deligne60/Deligne1/_DSC0024.jpg Ngh s u tiờn: copyright C J Mozzochi, Princeton N.J Tp_tin:Animation_Sieb_des_Eratosthenes_(vi).gif Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Animation_ Sieb_des_Eratosthenes_%28vi%29.gif Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: Chuyn t vi.wikipedia sang Commons Ngh s u tiờn: Nhanvo ti Wikipedia Ting Vit Tp_tin:Augustin_Louis_Cauchy.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7f/Augustin_Louis_Cauchy.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Boethius_initial_consolation_philosophy.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/e/e1/Boethius_ initial_consolation_philosophy.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://special.lib.gla.ac.uk/exhibns/treasures/boethius html Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Brahmaguptra{}s_theorem.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/64/Brahmaguptra%27s_ theorem.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: No machine-readable source provided Own work assumed (based on copyright claims) Ngh s u tiờn: No machine-readable author provided Jitse Niesen assumed (based on copyright claims) Tp_tin:Carl_Friedrich_Gauss.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/9/9b/Carl_Friedrich_Gauss.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Gauò-Gesellscha Gửingen e.V (Foto: A Wimann) Ngh s u tiờn: Aer Christian Albrecht Jensen Tp_tin:Commons-logo.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4a/Commons-logo.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: is version created by Pumbaa, using a proper partial circle and SVG geometry features (Former versions used to be slightly warped.) Ngh s u tiờn: SVG version was created by User:Grunt and cleaned up by 3247, based on the earlier PNG version, created by Reidab Tp_tin:E8.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/E8.png Giy phộp: Aribution Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: JGMoxness Tp_tin:E8_graph.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fe/E8_graph.svg Giy phộp: CC BY 3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Claudio Rocchini Tp_tin:E8a.JPG Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/ca/E8a.JPG Giy phộp: Aribution Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Jgmoxness Tp_tin:Egyptian_A'h-mosố_or_Rhind_Papyrus_(1065x1330).png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4b/ Egyptian_A%27h-mos%C3%A8_or_Rhind_Papyrus_%281065x1330%29.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Eratosthenes.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bc/Eratosthenes.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Evariste_galois.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/53/Evariste_galois.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://www.win.tue.nl/~{}aeb/at/GaloisCorrespondence.html Ngh s u tiờn: Khụng rừ 21.2 Hỡnh nh 21 Tp_tin:Fibonacci2.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Fibonacci2.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Transferred from it.wikipedia Ngh s u tiờn: Original uploader was Deep also it at it.wikipedia Tp_tin:FourColorMapEx.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b4/FourColorMapEx.png Giy phộp: CCBY-SA-3.0 Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Francois_Viete.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2a/Francois_Viete.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Galileo-1638-173.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/08/Galileo-1638-173.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Georg_Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/82/Georg_ Friedrich_Bernhard_Riemann.jpeg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://www.sil.si.edu/digitalcollections/hst/ scientific-identity/explore.htm according to the German Wikipedia Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Hilbert.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/79/Hilbert.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Possibly Reid, Constance (1970) Hilbert, Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg Imprint Springer, p 230 ISBN: 978-3-66227132-2 Ngh s u tiờn: Khụng rừ Tp_tin:Image-Al-Kitb_al-mutaar_f_isb_al-abr_wa-l-muqbala.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/ commons/2/23/Image-Al-Kit%C4%81b_al-mu%E1%B8%ABta%E1%B9%A3ar_f%C4%AB_%E1%B8%A5is%C4%81b_al-%C4%9Fabr_ wa-l-muq%C4%81bala.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: John L Esposito e Oxford History of Islam Oxford University Press ISBN 0195107993 Ngh s u tiờn: Muhammad ibn Ms al-Khwrizm Tp_tin:JanosBolyai.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4c/JanosBolyai.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Johannes_Regiomontanus.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/b8/Johannes_Regiomontanus jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Smithsonian Institution Libraries Digital Collection Ngh s u tiờn: Smithsonian Print Artist: Braeht (wobei die Bildsignatur eher Brỹhl sculps[it] zeigt, evtl Johann Benjamin Brỹhl (1691-1763) ) Tp_tin:Karl_Weierstrass.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Karl_Weierstrass.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Kurt_Gửdel.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/vi/1/1f/Kurt_G%C3%B6del.jpg Giy phộp: ? Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Leonhard_Euler.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d7/Leonhard_Euler.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Kunstmuseum Basel Ngh s u tiờn: Jakob Emanuel Handmann Tp_tin:Maya.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/1/1b/Maya.svg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: Image:Maya.png Ngh s u tiờn: Bryan Derksen Tp_tin:MayanCalendar.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/33/MayanCalendar.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Truthanado Tp_tin:Moskou-papyrus.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/fd/Moskou-papyrus.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Struve, Vasilij Vasil'evi, and Boris Turaev 1930 Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schửnen Kỹnste in Moskau ellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: ellen Berlin: J Springer Ngh s u tiờn: Khụng rừ Tp_tin:Niels_Henrik_Abel.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/80/Niels_Henrik_Abel.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Originally uploaded to English wikipedia by en:User:Pladask, http://www.math.uio.no/div/ abelkonkurransen/ Ngh s u tiờn: Johan Gứrbitz Tp_tin:Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c5/Nikolay_Ivanovich_ Lobachevsky.jpeg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: en:Image:Nikolay_Ivanovich_Lobachevsky.jpeg Ngh s u tiờn: Khụng rừ Tp_tin:Noneuclid.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/6/68/Noneuclid.png Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: Chuyn t en.wikipedia sang Commons Ngh s u tiờn: e original uploader was Joshuabowman ti Wikipedia Ting Anh Tp_tin:Nuvola_apps_edu_mathematics_blue-p.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3e/Nuvola_apps_ edu_mathematics_blue-p.svg Giy phộp: GPL Ngi úng gúp: Derivative work from Image:Nuvola apps edu mathematics.png and Image:Nuvola apps edu mathematics-p.svg Ngh s u tiờn: David Vignoni (original icon); Flamurai (SVG convertion); bayo (color) Tp_tin:Oresme.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/35/Oresme.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? 22 21 NGUN, NGI ểNG GểP, V GIY PHẫP CHO VN BN V HèNH NH Tp_tin:Os_d'Ishango_IRSNB.JPG Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/42/Os_d%27Ishango_IRSNB.JPG Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Ben2 Tp_tin:PascalTriangleAnimated2.gif Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0d/PascalTriangleAnimated2.gif Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Hersfold on the English Wikipedia Tp_tin:Peuerbach-Theoricarum-1515.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f8/ Peuerbach-Theoricarum-1515.png Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Phuong_trinh_Fermat-Fermat_equation.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/21/Phuong_trinh_ Fermat-Fermat_equation.jpg Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: http://www.tmg.com.vn Ngh s u tiờn: Truong Tuan Nghia Tp_tin:Resaleye_mohitiye_end.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/b/bd/Resaleye_mohitiye_end.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Book:"Kashaniname Ngh s u tiờn: Ghiyath al-Kashi Tp_tin:Sir_Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller,_Bt.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/50/Sir_ Isaac_Newton_by_Sir_Godfrey_Kneller%2C_Bt.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: National Portrait Gallery: NPG 2881 Ngh s u tiờn: Godfrey Kneller Tp_tin:Thales.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/45/Thales.jpg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Thales_theorem_1.png Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/d5/Thales_theorem_1.png Giy phộp: CC-BY-SA-3.0 Ngi úng gúp: ? Ngh s u tiờn: ? Tp_tin:Tychonian_system.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/a/a6/Tychonian_system.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: User:Fastfission Tp_tin:WilliamRowanHamilton.jpeg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/81/WilliamRowanHamilton.jpeg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: http://mathematik-online.de/F77.htm Ngh s u tiờn: Khụng rừ Tp_tin:YBC_7289_sketch.svg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/2/2c/YBC_7289_sketch.svg Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Self-made using old crappy xg Ngh s u tiờn: Rộgis Lachaume Tp_tin:Ybc7289-bw.jpg Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/0/0b/Ybc7289-bw.jpg Giy phộp: CC BY 2.5 Ngi úng gúp: Tỏc phm chớnh ngi ti lờn to Ngh s u tiờn: Bill Casselman Tp_tin:.gif Ngun: https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/8/88/%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93 gif Giy phộp: Public domain Ngi úng gúp: Chuyn t en.wikipedia sang Commons Transfer was stated to be made by User:Otso Huuska Ngh s u tiờn: ? 21.3 Giy phộp ni dung Creative Commons Aribution-Share Alike 3.0 ... paraphrase Newton, it is the language in which the universe is wrien [2] Sir omas L Heath, A Manual of Greek Mathematics, Dover, 1963, p 1, In the case of mathematics, it is the Greek contribution... to the History of Mathematics, Saunders, 1990, ISBN 0-03-029558-0 p 141 No work, except e Bible, has been more widely used. [15] Indian Mathematics: Redressing the balance - 4: Mathematics in the. .. of Mathematicians (Steven W Rockey; Cornell University Library) Bn lu Links to Web Sites on the History of Mathematics (e British Society for the History of Mathematics) History of Mathematics