Mục tiêu bài dạy: Kiến thức: Hiểu được cơ bản các loại phép chiếu cơ bản trong không gian, khái niệm và tính chất của các phép chiếuKỹ năng: Sinh viên rèn luyện kỹ năng biểu diễn các hình trong không gian lên một mặt bằng các phép chiếu
Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch BÀI GIẢNG 1: CÁC LOẠI PHÉP CHIẾU I Khái niệm phép chiếu .3 II Các loại phép chiếu tính chất chúng III Những u cầu vẽ kỹ thuật IV Phần tự học BÀI GIẢNG 2: BIỂU DIỄN ĐIỂM TRONG PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GĨC I Định nghĩa đồ thức điểm 10 II Đồ thức điểm đặc biệt 10 II.1 Đồ thức điểm hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu 10 II.2 Đồ thức điểm ba mặt phẳng hình chiếu 14 III Phương pháp tìm hình chiếu thứ ba 16 III.1 Bài tốn 16 III.2 Tọa độ điểm 18 IV Phần tự học 19 BÀI GIẢNG 3: ĐỒ THỨC CÁC ĐƯỜNG THẲNG 20 I Đồ thức đường thẳng 20 II Biểu diễn đường thẳng 20 II.1 Hình chiếu vng góc đường thẳng hai mặt phẳng hình chiếu 20 II.2 Hình chiếu vng góc đường thẳng ba mặt phẳng hình chiếu 21 III Đồ thức đường đặc biệt .21 III.1 Đường thẳng song song với mặt phẳng hình chiếu 21 III.2 Đường thẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu .23 IV Phần tự học: .27 Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch BÀI GIẢNG 4: ĐỒ THỨC CỦA MẶT PHẲNG 28 I Đồ thức mặt phẳng .28 II Vết mặt phẳng 30 II.1 Khái niệm 30 II.2 Xác định vết mặt phẳng 30 II.3 Các mặt phẳng đặc biệt 32 III Phần tự học 37 BÀI GIẢNG 5: SỰ LIÊN THUỘC TRONG PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GĨC 38 I Sự liên thuộc điểm đường thẳng 38 i.1 Sự liên thuộc điểm đường thẳng .38 I.2 Sự liên thuộc điểm đường thẳng cạnh 39 II Sự liên thuộc đường thẳng mặt phẳng 40 Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch BÀI GIẢNG 1: CÁC LOẠI PHÉP CHIẾU *Mục tiêu dạy: - Kiến thức: Hiểu loại phép chiếu khơng gian, khái niệm tính chất phép chiếu -Kỹ năng: Sinh viên rèn luyện kỹ biểu diễn hình khơng gian lên mặt phép chiếu I Khái niệm phép chiếu Giả thiết khơng gian, ta lấy mặt phẳng P điểm S ngồi mặt phẳng Từ điểm A khơng gian dựng đường thẳng SA, đường cắt mặt phẳng P điểm A’ S A Hình 1.1 Như ta thực gọi mặt phẳng P mặt đường thẳng SA tia chiếu phép chiếu phẳng hình chiếu, A' P điểm A' hình chiếu điểm A mặt phẳng P Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch II Các loại phép chiếu tính chất chúng 1/ Phép chiếu xun tâm: a Định nghĩa: Là phép chiếu mà tia chiếu xuất phát từ điểm (cố định) Điểm O cố định: tâm chiếu A', B', C': hình chiếu xun tâm hình ABC mặt phẳng hình chiếu P Hình 1.2: phép chiếu xun tâm Ví dụ: Trong thực tế ta thường thấy tượng giống phép chiếu Ánh sáng đèn chiếu đồ vật lên mặt đất giống phép chiếu xun tâm với đèn tâm chiếu, mặt đất mặt phẳng chiếu, bóng đồ vật mặt đất hình chiếu xun tâm đồ vật Chú ý: - Hình tập hợp điểm Vậy để chiếu hình ta chiếu số điểm thành phần hình đủ xác định hình - Nếu khơng gian Ơclic ta bổ sung thêm yếu tố vơ tận thì: + Hai đường thẳng song song xem cắt điểm vơ tận: a//b a∩b = M∞ + Hai mặt phẳng song song xem cắt theo đường thẳng vơ tận Mpα//mpβ =d∞ b Tính chất: - Hình chiếu xun tâm đường thẳng khơng qua tâm chiếu đường thẳng Khi chiếu đường thẳng a, tia chiếu SA, SB hình thành mặt Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch phẳng (SAB) gọi mặt phẳng chiếu Do hình chiếu a' (≡ A'B')=mp(SAB) ∩mp(P) Hình 1.3 - Hình chiếu xun tâm đường thẳng song song nói chung đường thẳng đồng quy Giả sử cho a//b nên mp(S,a) mp(S,b) giao với mp(P) cho giao tuyến a', b' cắt điểm M' (M' hình chiếu xun tâm điểm M∞ đường thẳng a,b) Hình 1.4 Ứng dụng: Phép chiếu xun tâm dùng vẽ hình chiếu phối cảnh Phép chiếu xun tâm dùng vẽ mỹ thuật, vẽ xây dựng, kiến trúc Phép chiếu xun tâm cho ta hình vẽ vật thể giống hình ảnh ta nhìn vật thể 2/ Phép chiếu song song: Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch a Định nghĩa: Là phép chiếu mà tất tia chiếu khơng qua điểm cố định mà song song với đường thẳng cố định l (phương chiếu) A'B'C'D': hình chiếu song song hình ABCD mặt phẳng hình B C chiếu P l l: phương chiếu D A C' B' A' D' P Dễ dàng thấy phép chiếu song song trường hợp riêng phép chiếu xun tâm với tâm chiếu S xa vơ tận Khi tâm chiếu S∞ xác định phương chiếu l Ví dụ: Ánh sáng mặt trời chiếu đồ vật lên mặt đất giống phép chiếu song song Các tia sáng mặt trời tia chiếu song song, mặt đất mặt phẳng chiếu bóng đồ vật mặt đất hình chiếu song song đồ vật b Tính chất: Vì phép chiếu song song trường hợp đặc biệt phép chiếu xun tâm nên có tính chất phép chiếu xun tâm như: - Hình chiếu song song đường thẳng nói chung đường thẳng, đường thẳng song song với hướng chiếu hình chiếu đường thẳng suy biến thành điểm - Mặt phẳng song song với hướng chiếu (mặt phẳng chiếu) có hình chiếu suy biến thành đường thẳng - Trong phép chiếu song song tính liên thuộc điểm với đường thẳng bảo tồn Ngồi phép chiếu song song có tính chất riêng sau: - Trong phép chiếu song song hai đường thẳng song song chiếu thành hai đường thẳng song song Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch - Trong phép chiếu song song tỷ số đơn ba điểm thẳng hàng tỷ số đơn ba điểm hình chiếu chúng Hình 2.2 Ứng dụng: Trong vẽ kỹ thuật thường dùng phép chiếu song song phép chiếu cho ta tính trực quan dễ vẽ so với phép chiếu xun tâm 3/ Phép chiếu vng góc: a Định nghĩa: Trong phép chiếu song song phương chiếu l vng góc với mặt phẳng chiếu, ta gọi phép chiếu vng góc Hình 2.3 : Hình chiếu vật thể mặt phẳng hình chiếu b Tính chất: Phép chiếu vng góc có tính chất phép chiếu song song; ngồi có nhiều tính chất, nghiên cứu chương sau Ứng dụng: Phép chiếu vng góc thường sử dụng rộng rãi vẽ kỹ thuật nói chung vẽ khí nói riêng Để diễn tả cách xác hình dạng kích thước vật thể, vẽ kỹ thuật, người ta dùng phép chiếu vng góc Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Góc để chiếu vật thể lên mặt phẳng hình chiếu vng góc với nhau, sau gập mặt phẳng hình chiếu cho trùng với mặt phẳng vẽ, hình chiếu vng góc vật thể Đó phương pháp hình chiếu vng góc III Những u cầu vẽ kỹ thuật 1/.Tính tương đương hình học: u cầu vẽ kỹ thuật vẽ phải thỏa mãn tính tương đương hình học, tức phải xây dựng cho người ta dựng lại hình khơng gian mà biểu diễn Những phép chiếu - cơng cụ để xây dựng vẽ - khơng thiết lập mối liên hệ đối yếu tố khơng gian với yếu tố mặt phẳng, phép chiếu điểm tia chiếu có hình chiếu trùng nhau, ngược lại, điểm mặt phẳng hình chiếu xem hình chiếu vơ số điểm đường thẳng qua điểm tâm chiếu Vì để xây dựng vẽ người ta dùng hai ba phép chiếu bên cạnh phép chiếu người ta dùng cách ghi số 2/.Tính trực quan: Ngồi tương đương hình học, kỹ thuật người ta muốn vẽ phải có tính trực quan, tức hình biễu diễn vẽ phải gây nên ấn tượng giống ấn tượng người ta có quan sát trực tiếp thực tế Muốn có tính trực quan điểm đường thẳng thực tế phải biễu diễn điểm đường thẳng vẽ Người ta chứng minh ánh xạ khơng gian lên mặt phẳng điểm có ảnh điểm, đường thẳng có ảnh đường thẳng, điểm thuộc đường thẳng ảnh điểm thuộc ảnh đường thẳng, đồng thời điểm mặt phẳng ảnh coi ảnh nhiều điểm nằm đường cong phép Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch chiếu Ðó điều cắt nghĩa vẽ dùng kỹ thuật xây dựng phép chiếu Tuy nhiên tính trực quan khơng phải u cầu bắt buộc vẽ Bản vẽ có tính trực quan tốt, khơng có Bản vẽ tổng qt tính trực quan áp dụng nhiều lĩnh vực khoa học Với phát triển mạnh mẽ ngành tốn học khoa học đại, vẽ xây dựng phép chiếu trở nên hiệu lực vẽ dùng khơng thuận lợi q trình sản xuất giới hóa tự động hóa Vì vậy, nhiều nước việc xây dựng vẽ vấn đề nghiên cứu khoa học sơi Một hướng nghiên cứu vấn đề xây dựng vẽ phép vẽ tương ứng với tốn tử Những vẽ dĩ nhiên khơng có tính trực quan vẽ có trước IV Phần tự học Lý thuyết: Đọc kỹ chương II, Mục II.1, II.2 Những tính chất phép chiếu thể hình học nào? Câu hỏi: Có loại phép chiếu? Khái niệm tính chất chúng? Ứng dụng phép chiếu thực tiễn mà em biết? BÀI GIẢNG 2: BIỂU DIỄN ĐIỂM TRONG PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GĨC Hình học họa hình Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch *Mục tiêu dạy: - Kiến thức: Hiểu khái niệm đồ thức điểm, đồ thức hai mặt phẳng hình chiếu mặt phẳng hình chiếu -Kỹ năng: Sinh viên rèn luyện kỹ biểu diễn điểm lên mặt phép chiếu thẳng góc, từ đưa đồ thức điểm, giải tốn tìm hình chiếu thứ I Định nghĩa đồ thức điểm Định nghĩa: Đồ thức hình biểu diễn mặt phẳng đảm bảo tính phản chuyển phương pháp hình chiếu thẳng góc II Đồ thức điểm đặc biệt II.1 Đồ thức điểm hệ thống hai mặt phẳng hình chiếu a Hệ thống chiếu Phương pháp hai hình chiếu thẳng góc dùng rộng rãi kỹ thuật vẽ khí xây dựng Phương pháp nhà tốn học người Pháp Gaspard Monje (1746-1818) đề nên gọi phương pháp Monje Trong khơng gian lấy hai mặt phẳng thẳng góc P1 P2 cắt theo đường thẳng x Thơng thường lấy P1 mặt phẳng thẳng đứng P2 mặt phẳng nằm ngang Mặt phẳng P1 chọn làm mặt phẳng hình vẽ, tức mặt phẳng vẽ hình biểu diễn khơng gian Hình học họa hình 10 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch AB ⊥ (P2) A3 A1 A1 A A3 B1 B3 x B1 B B3 A2 = B2 A2 = B2 AB ⊥ (P3) A1 A1 A3B3 // Oz B1 B1 A A3 = B3 B x O O A2 B2 A2 A1B1 ⊥ Ox A1B1 = A3B3 = AB O O A2 ≡ B2 B2 A3 = B3 A3 ≡ B3 A1B1//A2B2 // Ox A1B1 = A2B2 = AB IV Phần tự học: Lý thuyết: Đọc kỹ chương II,III Trình bày cách biểu diễn đường thẳng Đường thẳng song song vng góc với mặt phẳng hình chiếu có tính chất gì? (Cho ví dụ cụ thể) Bài tập: Vẽ hình chiếu thứ ba đường thẳng đặc biệt sau cho biết tên gọi đường thẳng AB, CD, EF, GH, IK, LM (hình 3.45) Hình học họa hình 27 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch BÀI GIẢNG 4: ĐỒ THỨC CỦA MẶT PHẲNG *Mục tiêu dạy: Kiến thức: Hiểu cách dựng đồ thức mặt phẳng, khái niệm vết mặt phẳng khái niệm mặt phẳng đặc biệt: mặt phẳng chiếu đứng, chiếu bằng,chiếu cạnh -Kỹ năng: Sinh viên rèn luyện kỹ xác định vết mặt phẳng, hình chiếu thứ mặt phẳng I Đồ thức mặt phẳng Trong khơng gian mặt phẳng xác định điều kiện sau : - Ba điểm khơng thẳng hàng (A, B, C) (hình 3.26a) - Một đường thẳng điểm khơng thuộc đường thẳng (a, A) (hình 3.26b) - Hai đường thẳng cắt (a x b) (hình 3.26c) Hình học họa hình 28 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch - Hai đường thẳng song song (a // b) (hình 3.26d) a) b) c) d) Hình 3.26 Vì muốn xây dựng đồ thức mặt phẳng ta xây dựng đồ thức trường hợp (hình 3.26) Hình học họa hình 29 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch II Vết mặt phẳng II.1 Khái niệm Trong hình học họa hình người ta biểu diễn mặt phẳng vết Vết mặt phẳng giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu (hình 3.27a) Vậy có ba vết mặt phẳng cắt ba mặt phẳng chiếu : - Vết đứng nα : α x P1 ⇒ nα - Vết mα : α x P2 ⇒ mα - Vết cạnh pα : α x P3 ⇒ pα a) b) Hình 3.27 II.2 Xác định vết mặt phẳng Một mặt phẳng xác định biết hai vết Vì người ta xác định mặt phẳng biết đồ thức hai vết mặt phẳng (hình 3.27b) Hình học họa hình 30 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Bài tốn : Cho mặt phẳng Q (p,q) xác định hai đường thẳng p, q cắt điểm O mặt phẳng chiếu đứng ABC Vẽ giao tuyến hai mặt phẳng (Hình 3.28) Hình 3.28 Hình 3.29 Giải : Giao tuyến hai mặt phẳng đường thẳng Muốn xác định đường thẳng cần biết hai điểm chung hai mặt phẳng cho Ở hai điểm chung hai giao điểm đường thẳng p q với mặt phẳng chiếu đứng ABC Ta có : p ∩ ABC = M q ∩ ABC = N Vì ABC mặt phẳng chiếu đứng nên điểm thuộc ABC có hình chiếu đứng thuộc đường thẳng A1B1C1 Do : M1 ∈ A1B1C1 Đồng thời M1 ∈ p1 nên M1 = p1 ∩ A1B1C1 Từ M1 suy M2 ∈ p2 Ta có : N1 ∈ A1B1C1 Đồng thời N1 ∈ q1 nên N1 = q1 ∩ A1B1C1 Từ N1 suy N2 ∈ q2 Các điểm M (M1 , M2 ) , N (N1 , N2 ) giao điểm phải tìm Hình học họa hình 31 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Giao tuyến tìm MN(M1N1 , M2N2) Trường hợp ABC mặt phẳng chiếu bằng, cách lập luận hồn tồn tương tự Bài tốn : Cho mặt phẳng xác định hai đường thẳng song song a b Vẽ giao tuyến mặt phẳng với mặt phẳng hình chiếu (Hình 3.29) Giải : Giao tuyến mặt phẳng (a//b) với mặt phẳng P đường thẳng UV Ở : U = a ∩ P1 , V = b ∩ P1 Giao tuyến mặt phẳng (a//b) với mặt phẳng P đường thẳng SR Ở : S = a ∩ P2 , R = b ∩ P2 Cách vẽ điểm U, V, S, R hình vẽ Đường thẳng UV SR tương ứng gọi vết đứng vết mặt phẳng (a//b) Chú ý : Hai vết mặt phẳng phải cắt điểm thuộc trục x (hay song song với trục x) Điểm giao điểm trục x với mặt phẳng cho Vì hình chiếu vết mặt phẳng trùng với trục x, nên biểu diễn mặt phẳng vết nó, đơn giản người ta khơng ghi hình chiếu vết trùng với trục x Ký hiệu vết mặt phẳng : - Vết đứng mặt phẳng P : v1 P - Vết mặt phẳng P : v2 P Hình 3.30 Trên hình 3.30 biểu diễn mặt phẳng P vết Ở hình 3.30b mặt phẳng P song song với x II.3 Các mặt phẳng đặc biệt II.3.1 Mặt phẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu a Mặt phẳng chiếu đứng Mặt phẳng chiếu đứng mặt phẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu đứng Hình chiếu đứng mặt phẳng suy biến thành đường thẳng nghiêng với trục x góc nghiêng với mặt phẳng hình chiếu P2 Trên hình 3.31 biểu diễn mặt phẳng chiếu đứng ABC Hình học họa hình 32 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Hình 3.31 Hình 3.32 b Mặt phẳng chiếu Mặt phẳng chiếu mặt phẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu Hình chiếu mặt phẳng suy biến thành đường thẳng nghiêng với trục x góc nghiêng với mặt phẳng hình chiếu đứng P1 Trên hình 3.32 biểu diễn mặt phẳng chiếu ABC c Mặt phẳng chiếu cạnh Mặt phẳng chiếu cạnh mặt phẳng vng góc mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 (hình3.33) - Hình chiếu cạnh mặt phẳng chiếu cạnh suy biến thành đường thẳng nghiêng với trục z trục y x góc nghiêng mặt phẳng với P1 P2 Hình 3.33 II.3.2 Mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu a Mặt phẳng mặt Hình học họa hình 33 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Mặt phẳng mặt mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu đứng P (hình 3.34) - Hình chiếu mặt phẳng mặt suy biến thành đường thẳng song song với trục x - Hình chiếu đứng hình thuộc mặt phẳng mặt hình thật : A1B1C1 = ABC Hình 3.34 Hình 3.35 b Mặt phẳng Mặt phẳng mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu P2 (hình 3.35) - Hình chiếu đứng mặt phẳng suy biến thành đường thẳng song song với trục x - Hình chiếu hình thuộc mặt phẳng bằng hình thật : A 2B2C2 = ABC c Mặt phẳng cạnh Hình học họa hình 34 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Mặt phẳng cạnh mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu cạnh P3 (hình 3.36) - Mặt phẳng cạnh vng góc với hai mặt phẳng hình chiếu P1 P2 - Hình chiếu đứng hình chiếu mặt phẳng cạnh suy biến thành đường thẳng chúng trùng Hình 3.36 Mặt phẳng cạnh đưòng gióng - Hình chiếu cạnh hình thuộc mặt phẳng cạnh hình thật : A3B3C3 = ABC Đồ thức mặt phẳng đặc biệt tóm tắt bảng 3-3 3-4 sau : Bảng 3-3 Hình chiếu mặt phẳng song song với mặt phẳng hình chiếu Vị trí mặt phẳng Hình khơng gian (ABC) // (P1) Hình chiếu Tính chất A2B2C2 // Ox A3B3C3 // Oz A1B1C1 = ABC Hình học họa hình 35 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch (ABC) // (P2) A1 B1 A1 B1 C1 C1 C3 B3 A3 A3 A C A3B3C3 // Oy C3 B B3 O A2 A2 B2 (ABC) // (P3) C2 B2 A1 B1 A B C1 A2 C C2 B2 A2B2C2 = ABC C2 A1 A3 A3 B1 B3 C3 x C1 A2 A1B1C1 // Ox C3 O C2 A1B1C1 // B3 Oz A2B2C2 // Oy A3B3C3 = ABC B2 Bảng 3-4 : Hình chiếu mặt phẳng vng góc với mặt phẳng hình chiếu Vị trí mặt phẳng Hình khơng gian (ABC) ⊥ (P1) Hình học họa hình Hình chiếu Tính chất A1B1C1 suy biến thành đường thẳng 36 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch (ABC) ⊥ (P2) A3 A1 A1 C1 C1 A A3 C B1 A2 C3 B C3 B1 C3 x O B3 B2 A2 C2 A2B2C2 suy biến thành đường thẳng B2 C2 (ABC) ⊥ (P3) A1 A3 C1 A1 A C1 B1 x C C3 B2 O A2 B3 B A2 C2 B3 B1 A3 C2 C3 A3B3C3 suy biến thành đường thẳng B2 III Phần tự học Lý thuyết: Đọc kỹ chương I,II, Bài tập: Vẽ hình chiếu thứ ba mặt phẳng trường hợp sau (hình 3.47) Hình 3.47 Hình học họa hình 37 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Vẽ hình chiếu thứ ba hình phẳng (hình 3.48).Nhận xét hình phẳng song song vng góc với mặt phẳng hình chiếu ? BÀI GIẢNG 5: SỰ LIÊN THUỘC TRONG PHƯƠNG PHÁP HÌNH CHIẾU THẲNG GĨC *Mục tiêu dạy: - Kiến thức: Hiểu liên thuộc điểm đường thẳng, đường thẳng với mặt phẳng định lý -Kỹ năng: Sinh viên rèn luyện kỹ biểu diễn liên thuộc điểm với mặt phẳng hay đường thẳng với mặt phẳng đưa việc biểu diễn liên thuộc điểm với đường thẳng I Sự liên thuộc điểm đường thẳng I.1 Sự liên thuộc điểm đường thẳng Phép chiếu bảo tồn liên thuộc điểm đường thẳng nên ta có định lý sau Định lý : Điều kiện có đủ để điểm A thuộc đường thẳng a hình chiếu A thuộc hình chiếu tên a (hình 3.21) Hình học họa hình 38 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch A1 ∈ a1 , A2 ∈ a2 I.2 Sự liên thuộc điểm đường thẳng cạnh Dễ dàng thấy định lý cho trường hợp đường thẳng đường thẳng chiếu đứng hay chiếu Riêng đường cạnh, vấn đề có phức tạp Thực vậy, AB đường cạnh C điểm AB C1 ∈ A1B1 , C2 ∈ A2B2 Nhưng ngược lại khơng Hình 3.21 Phép chiếu thẳng góc bảo tồn tỷ số đơn điểm thẳng hàng nên ta có định lý sau : Định lý : Điều kiện có đủ để điểm I thuộc đường cạnh AB tỷ số đơn điểm hình chiếu đứng A, B, I tỷ số đơn điểm hình chiếu chúng Trên hình 3.22 biểu diễn liên thuộc điểm I đường cạnh AB, ta thấy : I1 ∈ A1B1 , I2 ∈ A2B2 , I3 ∈ A3B3 Ngồi : (A1B1I1) = (A2B2I2) = (A3B3I3 Hình 3.22 Hình học họa hình 39 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch II Sự liên thuộc đường thẳng mặt phẳng Hai mệnh đề làm sở cho tương quan liên thuộc điểm đường thẳng với mặt phẳng : Đường thẳng d thuộc mặt phẳng P d có hai điểm thuộc mặt phẳng P Hình 3.37 Điểm A thuộc mặt phẳng P A thuộc đường thẳng P Từ ta thấy việc biểu diễn liên thuộc điểm với mặt phẳng hay đường thẳng với mặt phẳng đưa việc biểu diễn liên thuộc điểm với đường thẳng mà ta nghiên cứu Hình học họa hình 40 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Hình học họa hình 41 ... góc?cho ví dụ minh họa đồ thức Bài tập: Cho hai hình chiếu A1 A2 điểm A hình chiếu đứng B1 B Vẽ hình chiếu B2 B biết A2B2=l Vẽ hình chiếu thứ ba điểm hình 3.44 Hình học họa hình 19 Bài giảng thử việc... góc điểm A lên mặt phẳng Hình 1.5 hình chiếu có A1 P1, A2 P2, A3 P3 (hình 1.6) Hình 1.6 A1: gọi hình chiếu đứng điểm A A2: gọi hình chiếu điểm A Hình học họa hình 14 Bài giảng thử việc chuyên ngành... T [(1,2) → ] Hình học họa hình 17 Bài giảng thử việc chuyên ngành kiến trúc quy hoạch Ví dụ : Biết hình chiếu đứng hình chiếu cạnh điểm A Hãy vẽ hình chiếu cạnh điểm ( Hình 1.11) Hình 1.11 Cách