Các bài toán về số phức trong mối quan hệ với hình học

Bên cạnh đó, việc khai thác số phức như một công cụ để giải các bài tậpliên quan đến hình học cũng là một vấn đề khó bởi nó đòi hỏi học sinh phải cókiến thức đa dạng về toán học và có nă

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN THỊ LỆ QUYÊN

CÁC BÀI TOÁN VỀ SỐ PHỨC

TRONG MỐI QUAN HỆ VỚI HÌNH HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOTRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Đình Nam

HÀ NỘI, NĂM 2017

Mục lục

1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức 2

1.2 Khái niệm số phức 4

1.2.1 Trường số phức 4

1.2.2 Khái niệm số phức 5

1.3 Các phép toán trên tập các số phức 5

1.3.1 Phép cộng 5

1.3.2 Phép trừ 6

1.3.3 Phép nhân 6

1.3.4 Phép chia 6

1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức 7

1.4.1 Dạng lượng giác của số phức 7

1.4.2 Dạng mũ của số phức 10

2 Sử dụng hình học để giải quyết các bài toán về số phức 11 2.1 Phương pháp giải 11

2.1.1 Mô tả một số công thức số phức có thể biểu diễn bằng các khái niệm hình học 11

2.1.2 Phương pháp giải 21

2.2 Một số bài tập minh họa 21

2.2.1 Giải phương trình, hệ phương trình trên trường số phức 21 2.2.2 Dạng bài tập giải phương trình chứa tham số 31

2.2.3 Dạng bài tập tìm GTLN, GTNN trên trường số phức 33

2.3 Bài tập 37

3 Ứng dụng số phức vào giải một số bài tập hình học 41 3.1 Phương pháp giải 41

3.1.1 Một số khái niệm hình học được biểu diễn bằng ngôn ngữ số phức 41

3.1.2 Phương pháp giải 45

3.2 Một số bài tập minh họa 45

3.2.1 Dạng bài tập về tính toán 45

3.2.2 Dạng bài tập về chứng minh 50

3.2.3 Dạng bài tập về tìm quỹ tích 55

3.2.4 Dạng bài tập tổng hợp 56

3.3 Bài tập 59

Lời nói đầu

Số phức xuất hiện từ thế kỉ XVI do nhu cầu cần thiết để giải các phươngtrình đại số Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu về số phức và mối quan hệgiữa số phức và hình học, điển hình là Gaus, Hamilton Từ khi ra đời số phức

đã góp phần mạnh mẽ vào sự phát triển của nền toán học hiện đại và giải quyếtđược nhiều vấn đề về khoa học kĩ thuật Tuy vậy đối với học sinh bậc trung họcphổ thông thì số phức vẫn còn là một vấn đề tương đối mới mẻ

Số phức được đưa vào dạy học trong chương trình phổ thông nhưng với thờilượng không nhiều Qua đó học sinh chỉ có thể nắm được những kiến thức rất

cơ bản nên khi gặp những bài tập phức tạp về số phức học sinh gặp nhiều khókhăn Bên cạnh đó, việc khai thác số phức như một công cụ để giải các bài tậpliên quan đến hình học cũng là một vấn đề khó bởi nó đòi hỏi học sinh phải cókiến thức đa dạng về toán học và có năng lực giải toán tốt

Đã có nhiều luận văn, bài viết khoa học nghiên cứu đến việc sử dụng số phứcnhư một công cụ để đơn giản hóa các bài tập hình học từ đó đưa ra được nhữnglời giải ngắn gọn cho những bài toán hình học mà không cần sử dụng đến nhữngchứng minh hình học phức tạp Từ đó thấy được những ứng dụng quan trọngcủa số phức và sự vận dụng của nó như một công cụ để giải quyết các bài tậphình học Tuy nhiên, từ những kết quả này chúng ta chỉ có thể thấy được mốiliên hệ một chiều giữa hình học và số phức Việc làm rõ mối quan hệ giữa cácbài tập số phức và các khái niệm trong hình học, sử dụng các mối quan hệ đó

để giải quyết các bài tập về số phức vẫn chưa được quan tâm

Với mục đích làm rõ mối quan hệ hai chiều giữa các mối quan hệ trong hìnhhọc và các bài toán trong tập số phức, tôi lựa chọn đề tài: "Các bài tập về sốphức trong mối quan hệ với hình học "

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được chia thành

ba chương:

Chương 1, trình bày các khái niệm cơ bản về số phức bao gồm lịch sử hìnhthành khái niệm số phức, khái niệm số phức, dạng lượng giác của số phức vàcác tính chất của số phức

Chương 2, trình bày việc áp dụng hình học để giải các bài toán liên quan đến

số phức

được qua các khái niệm hình học như điểm, vecto, độ dài vecto, tích vô hướngcủa hai vecto, tích ngoài của hai vecto, góc giữa hai vectơ, khoảng cách giữa haiđiểm trong mặt phẳng, vectơ chỉ phương và vectơ pháp tuyến của đường thẳng,phương trình đường thẳng, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng,phương trình đường tròn Từ đó tạo cơ sở để giải các bài toán về số phức bằnghình học.

Ngoài ra, trong chương này còn đưa thêm một số ví dụ minh họa các bài tập

sử dụng hình học để giải các bài toán về số phức Phần cuối chương còn có thêmmột số bài tập liên quan giúp củng cố và luyện tập

Chương 3, trình bày việc sử dụng số phức như một công cụ để giải các bàitoán về hình học

Trong chương này trình bày một số khái niệm cơ bản của hình học như điểm,đoạn thẳng, vectơ, phương trình đường thẳng, phương trình đường tròn bằngngôn ngữ số phức Trên cơ sở đó áp dụng số phức vào giải các bài toán về hìnhhọc

Cuối chương là một số ví dụ và bài tập luyện tập

Lời cảm ơn

Để hoàn thành luận văn này, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đếnngười thầy, người hướng dẫn khoa học của mình, TS Lê Đình Nam, người đãđưa ra đề tài, luôn luôn quan tâm và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trìnhlàm luận văn của tác giả Tác giả xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô trong khoaToán, các thầy cô bộ môn Đại số đã giúp đỡ, góp ý kiến để tác giả hoàn thànhluận văn cũng như trong suốt quá trình học tập vừa qua Tác giả cũng xin gửilời cảm ơn tới các thầy cô Khoa đào tạo Sau đại học, Ban giám hiệu Trường Đạihọc Sư phạm Hà Nội đã tạo mọi điều kiện trong quá trình tác giả học tập tạitrường Đồng thời tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè đặc biêt làtập thể lớp K25 Đại số đã cổ vũ, động viên trong suốt quá trình vừa qua

Hà Nội, tháng 06 năm 2017

Học viênNguyễn Thị Lệ Quyên

Chương 1

Các khái niệm cơ bản về số phức

1.1 Lịch sử hình thành khái niệm số phức

Các đại lượng ảo √

−1, b√−1, a + b√−1 xuất hiện vào thế kỉ XVItrong các công trình của các nhà toán học Italy "Nghệ thuật vĩ đại hay là vềcác quy tắc của đại số"(1545) của G.Cardano(1501-1576) và "Đại số"(1572) củaR.Bombelli(1530-1572)

Khi giải các phương trình bậc hai Cardano và Bombelli đã đưa vào xét kí hiệu

√

−1 là lời giải hình thức của phương trình x2+ 1 = 0.Từ đó ta có nghiệm hìnhthức của phương trình (x − a)2+ b2 = 0 có dạng a + b√

−1 và được Gauss gọi

là đại lượng "ảo" hay số phức kí hiệu là a + bi, trong đó kí hiệu i := √

−1 đượcL.Euler đưa vào gọi là đơn vị ảo (năm 1777)

Tuy vậy, sự thừa nhận số phức như một công cụ của toán học diễn ra khá chậmchạp Người ta vẫn xem i :=√

−1 như một nghiệm của phương trình x2+1 = 0nhưng không thừa nhận nó vì nó không có điểm gì chung với số - một công cụcủa phép đếm Không những vậy, việc chuyển các quy tắc thông thường của đại

số cho số phức đã tạo ra một số nghịch lí như: i :=√

−1 nên i2 := −1, nhưngđồng thời ta cũng có :

i2 =√

−1√−1 = p(−1)(−1) =

q(−1)2 =

√

1 = 1Vậy 1 = −1

Một số nhà toán học cũng đưa ra các chứng minh cho hệ thức i2 = −1 điểnhình như là L.S.Pointriagin Trong cuốn sách "Phương pháp tọa độ" ông đã mô

tả lại chứng minh đó như sau:

Đầu tiên lấy nửa đường tròn đường kính AB Từ điểm R bất kì của nửa đườngtròn hạ đường vuông góc RS là trung bình nhân độ dài của SA và SB Kí hiệuđiểm −1 là A, điểm +1 là B và điểm i là R, khi đó S sẽ là điểm 0 trên mặtphẳng phức độ dài RS là i, đoạn AS là −1 và đoạn SB là +1 nên ta có

i2 = (−1).(+1) = −1

Cardano thì gọi nghiệm phức là các nghiệm "ngụy biện" Ví dụ như hệ phươngtrình

−5 là "nghiệm âm ngụy biện"

Trong khi nhiều nhà toán học tìm cách chứng minh và lý thuyết hóa số phức thìmột vài nhà toán hoc nhà toán học điển hình là I.Newton lại không thừa nhậnnhân tố mới này Điều này đã gây ra nhiều sự tranh cãi trong một thời gian dài.Nhà toán học Italia R.Bombelli(1526 - 1573) đã đưa ra định nghĩa đầu tiên về

số phức, lúc đó được gọi là "số không thể có" hoặc "số ảo" trong công trình

"Đại số" được công bố ít lâu trước khi ông mất Ông đã định nghĩa số đó(sốphức) khi nghiên cứu các phương trình bậc ba và đưa ra khái niệm căn bậchai của −1 Tiếp đó L.Euler(1777 - 1855) đã mở rộng khái niệm cho một sốphức bất kì(1738) đồng thời đưa ra kí hiệu ”i” để chỉ căn bậc hai của −1 vàA.Moivre(1667 - 1754) thực hiện giải các bài toán căn bậc tự nhiên đối với sốphức

Năm 1799 nhà toán học người Nauy là C.Wessel đã đưa ra sự minh họa hìnhhọc về số phức và các phép toán trên chúng

Cho đến thế kỉ thứ XIX, Gauss mới thành công trong việc luận chứng một cáchvững chắc khái niệm số phức Tên tuổi của ông cũng được gắn liền với phépchứng minh chính xác đầu tiên đối với định lý cơ bản của đại số khẳng địnhrằng trong trường số phức C mọi phương trình đa thức đều có nghiệm Ông đãchứng minh trường C là một trường đóng đại số nghĩa là khi xét các nghiệmtrong trường này ta không thu được thêm số mới Đương nhiên trường số thực

R và trường số hữu tỉ Q đều không có tính chất đóng đại số

Vậy khái niệm về số đã được mở rộng thêm với các bao hàm thức N ⊂ Z ⊂

Q ⊂ R ⊂ C

Nhà toán học K.Weierstrass đã chứng minh tập hợp số phức C không thể mởrộng thành tập hợp rộng hơn bằng cách ghép thêm số mới mà tập mới này vẫnbảo toàn được mọi phép tính và quy luật của các phép toán trong tập số phức

Ta thấy rằng, trong 2500 năm lịch sử của toán học, trong quá trình tìm hiểucác khái niệm số mới không phải lúc nào cũng có thể bảo toàn các quy luật sốhọc cơ bản(quy luật giao hoán giữa phép cộng và phép nhân, quy luật kết hợp

và phân phối, quy luật sắp xếp tuyến tính của tập hợp số) Ví dụ như khi xâydựng trường số phức không thể bảo toàn được quy luật sắp xếp tuyến tính trongtrường số thực Từ đó đến nay số phức không ngừng hoàn thiện và phát triển.Không những vậy nó còn thúc đẩy sự phát triển của toán học, giải quyết đượcnhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật

khi đó tập C cùng với hai phép toán như trên lập thành một trường.

a)Với phép toán cộng thì C lập thành một nhóm Aben:

+)Tính chất kết hợp: ∀z1, z2, z3 ∈ C ta có:

(z1+ z2) + z3 = [(x1+ x2) + x3] + i [(y1+ y2) + y3]

= [x1+ (x2+ x3)] + i [y1+ (y2+ y3)] = z1+ (z2+ z3)+)Tính chất giao hoán: ∀z1, z2, z3 ∈ C ta có:

z1+ z2 = (x1+ x2) + i(y1+ y2) = (x2+ x1) = i(y2+ y1) = z2+ z1

+)Có phần tử không là 0 + i0 vì

z1+ (0 + i0) = (0 + i0) + z1 = z1, ∀z1 ∈ C+)Với mỗi phần tử z1 = x1+ iy1 có phần tử đối là:

z1.z2 = (x1x2− y1y2) + i(x1y2+ x2y1) = (x2x1− y2y1) + i(x2y1+ x1y2) = z2z1+)Tập C có phần tử đơn vị là 1+i0 vì ∀z1 = x1+ iy1 ta có

(x1+iy1)(1+i0) = (1+i0)(x1+iy1) = (x1.1−y1.0)+i(x1.0+y1.1) = x1+iy1 = z1+)Có phần tử nghịch đảo: ∀z1 = x1+ iy1 ∈ C∗

z01 = x1

x21+ x22 − i y1

x21+ x22

+ y1

2

x2

1+ y2 1

) + i(− x1y1

x2

1+ y2 1

+ y1x1

x2

1+ y2 1

) = 1 + i0+)Phép nhân phân phối đối với phép cộng: ∀z1, z2, z3 ∈ C

z, kí hiệu là Rez b được gọi là phần ảo của số phức z, kí hiệu là Imz

Định lí 1.2 Trường C là đóng đại số nghĩa là mọi đa thức f(x) bậc n ≥ 1 trêntrường C có đúng n nghiệm (nghiệm bội k được tính k lần)

Từ định nghĩa của phép cộng ta có các tính chất sau:

i) Kết hợp: (z1+ z2) + z3 = z1+ (z2+ z3)

ii) Giao hoán: z1+ z2 = z2+ z1

Đặc biệt khi z1, z2 là hai số thực thì phép cộng là phép cộng hai số thực

Phép cộng trên có phép toán ngược nghĩa là với hai số phức z1, z2 ta có thể tìmđược số phức z thỏa mãn z1 = z + z2 Khi đó số phức z được gọi là hiệu củahai số phức z1, z2 và kí hiệu là:

ii) Giao hoán: z1z2 = z2z1

iii) Phép nhân phân phối với phép cộng: z1(z2+ z3) = z1z2 + z1z3

Nếu z1, z2 là hai số thực thì phép nhân là phép nhân hai số thực Đặc biệt

= a1a2+ b1b2

a22+ b22 + i

b1a2− a1b2

a22+ b22

vii) z + ¯z = 2Rez, z − ¯z = 2iImz, ∀z ∈ C

1.4 Dạng lượng giác và dạng mũ của số phức

1.4.1 Dạng lượng giác của số phức

Trong hệ tọa độ Oxy ta biểu diễn số phức z = a + ib(∀a, b ∈ R) bởi một điểm

có tọa độ (a, b) Như vậy trục Ox sẽ biểu diễn các số thực, ta gọi trục Ox là trụcthực Tương ứng trục Oy sẽ biểu diễn các số thuần ảo và gọi là trục ảo Ngượclại, với mỗi điểm M (a, b) trên mặt phẳng Oxy sẽ tương ứng với một số phức

a2+ b2 Vậy số phức z

có thể được biểu diễn dưới dạng z = r(cos θ + i sin θ) với r = |−−→

OM | và θ là góctạo bởi vectơ −−→

OM và trục Ox Đây gọi là dạng lượng giác của số phức Kí hiệu

r = |z| = √

a2+ b2 gọi là môđun của số phức z Góc θ gọi là argument của sốphức z và kí hiệu là θ = Argz

Argument của số phức được xác định

a ∈h−π

2,

π2

iii)|z| ≤ |Rez| + |Imz|

iv)|z1+ z2| ≤ |z1| + |z2|v)|z1− z2| ≤ |z1| − |z2|

3) Tích của hai số phức Ta gọi số phức z = r(cos θ + i sin θ) là tích của hai

số phức z1 = r1(cos θ1+ i sin θ1), z2 = r2(cos θ2+ i sin θ2)

z = z1z2 = r1(cos θ1+ i sin θ1).r2(cos θ2+ i sin θ2)

= r1r2[(cos θ1cos θ2− sin θ1sin θ2) + i(cos θ1sin θ2− sin θ1cos θ2)]

= r1r2[cos(θ1+ θ2) + i sin(θ1+ θ2)]

Như vậy r = r1r2 và θ = θ1+ θ2 hay nói cách khác

|z| = |z1z2| = |z1|.|z2| và arg z = arg(z1.z2) = arg z1+ arg z2

Ta cũng có thể chứng minh được công thức sau bằng phương pháp quy nạp:

[r1(cos θ1+ i sin θ1)] [r2(cos θ2+ i sin θ2)] [rn(cos θn + i sin θn)]

r1(cos θ1+ i sin θ1)(cos θ2− i sin θ2)

r2(cos θ2+ i sin θ2)(cos θ2− i sin θ2)

Cho số phức z = r(cos θ + i sin θ) , ta có:

zn = [r(cos θ + i sin θ)]n = rn(cos nθ + i sin nθ), ∀n ∈ NCông thức trên được gọi là công thức Moivre

Dựa vào công thức Moivre ta định nghĩa căn bậc n của một số phức z =r(cos θ + i sin θ) có dạng w = p(cos ϕ + i sin ϕ) sao cho:

wn = [p(cos ϕ + i sin ϕ)]n = pn(cos nϕ + i sin nϕ) = r(cos θ + i sin θ) = zNhư vậy ta có pn = r và nϕ = θ + k2π, (k ∈ Z)

Suy ra p = √n

r và ϕ = θ + k2π

Ta thấy rằng với mỗi một giá trị của k lại cho chúng ta những giá trị khác nhaucủa √n

z Mỗi giá trị của √n

z lập thành cấp số cộng với số đầu là ϕ

n(tương ứngvới k = 0) và công bội 2π

n

Do tính chu kì của hàm sinx, cosx nên những giá trị của √n

z sẽ bị lặp lại mộttrong n giá trị ban đầu

z = √n

rei

θ + k2π

n , k = 0; 1; ; n − 1

Chương 2

Sử dụng hình học để giải quyết các bài toán về số phức

2.1 Phương pháp giải

2.1.1 Mô tả một số công thức số phức có thể biểu diễn bằng các khái niệm

hình học

1)Biểu diễn điểm và vectơ

Ta đã biết với mỗi số phức z=x+iy luôn tương ứng với một điểm M(x,y) trênmặt phẳng phức Khi đó z được gọi là tọa vị của diểm M và kí hiệu là M(z).Với mỗi số phức z=x+iy cũng có tương ứng vectơ −−→

OM (x, y), khi đó z cũng làtọa vị của OM và kí hiệu là −−→

Mệnh đề 2.1 Điều kiện ba điểm thẳng hàng

Cho z1, z2, z3 là 3 số phức phân biệt Khi đó:

z1− z2

z1− z3 = λ (λ ∈ R)thì A (z1) , B (z2) , C (z3) là 3 điểm thẳng hàng trong mặt phẳng phức

Giả sử A,B,C thẳng hàng, khi đó ta có: −→

Cho z1, z2, z3, z4 là 4 số phức phân biệt Khi đó:

z1− z2

z1− z3 = λ

z1− z4

z1− z3thì A (z1) , B (z2) , C(z3), D (z4) là 4 điểm thẳng hàng trong mặt phẳng phức.Chứng minh

Giả sử A (z1) , B (z2) , C (z3) là 3 điểm thẳng hàng trong mặt phẳng phức Nên

ta có

z1− z2

z1− z3 = khay −→

BA = k.−→

CA (1)Mặt khác ta có

Vậy A, B, C, D là 4 điểm thẳng hàng

2)Biểu diễn khoảng cách giữa hai điểm

Mệnh đề 2.3 Cho M (z1), N (z2) là hai điểm thuộc mặt phẳng phức, khi đó

ta có:

p(z2− z1) (z2− z1) = |z2− z1| = M N

6)Tích ngoài của hai số phức

Trong mặt phẳng phức cho hai điểm M (z1), N (z2), khi đó tích ngoài của hai

số phức z1, z2 kí hiệu là [z1, z2] là một số thực và bằng tích ngoài của hai vectơ

= r1r2[(cos θ1+ i sin θ1)(cos θ2− i sin θ2) − (cos θ1− i sin θ1)(cos θ2+ i sin θ2)]

= r1r2(−2i cos θ1sin θ2+ 2i sin θ1cos θ2) = −2ir1r2(cos θ1sin θ2− sin θ1cos θ2)

= −2ir1r2sin(θ2− θ1) = −2i [z1, z2]

7)Phương trình đường thẳng trong mặt phẳng phức

a)Phương trình tổng quát của đường thẳng

• Phương trình z = z0+ tu, (t ∈ R) là phương trình tham số của đường thẳng

đi qua điểm M0(z0) và có vectơ chỉ phương −→u (u).

• Phương trình đường thẳng đi qua điểm M0(z0) và có vectơ chỉ phương

vz + vz + δ = 0 Vậy phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng

vz + vz + δ = 0trong đó v 6= 0, δ ∈ R

• Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm M (z1), N (z2)

Ta có −−→

M N (z2− z1) là vectơ chỉ phương của đường thẳng M N

Giả sử A(z) là điểm thuộc đường thẳng M N Vậy A, M, N thẳng hàng

⇔ [z − z1, z2− z1] = 0

⇔ i2

h(z − z1)(z2− z1) − (z − z1)(z2− z1)i = 0

⇔ (z − z1)(z2− z1) − (z − z1)(z2 − z1) = 0

⇔ z(z2− z1) − z(z2− z1) + z2.z1− z2.z1 = 0

Mặt khác đường thẳng đi qua M (z1) và nhận vectơ −−→

M N (z2− z1) là vectơchỉ phương nên ta có phương trình đường thẳng:

z = z1+ (z2− z1)t, (t ∈ R)

Ta có z = z1+ (z2− z1)t ⇔ z − z1 = t(z2− z1)

+) Nếu t<0 thì −−→

M A và −−→

M N là hai vectơ cùng phương nhưng ngược chiều

và A nằm ngoài đoạn M N về phía M

+) Nếu t>0 thì −−→

M A và −−→

M N là hai vectơ cùng phương và cùng hướng

- Nếu 0<t<1 thì A nằm trong đoạn M N

- Nếu t>1 thì A nằm ngoài đoạn M N về phía N

• Giả sử A(z1) là điểm nằm trên trục Ox với z1 = a, điểm B(z2) nằm trêntrục Oy với z2 = ib khi đó phương trình đường thẳng AB có dạng:

• Một vài dạng phương trình đường thẳng đặc biệt:

+) z = x + ib, b = const là đường thẳng song song với trục Ox

+) z = a + iy, a = const là đường thẳng song song với trục Oy

+) z = x + ix là đường thẳng y = x

b)Chuyển phương trình đường thẳng dạng phức về dạng thực

Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng vz + vz + δ = 0 trong đó

v 6= 0, δ ∈ R

Ta có vz + zv = 2Re(vz) với v = a + bi và z = x + iy

Suy ra vz + zv = 2(ax + by)

Khi đó phương trình đường thẳng sẽ có dạng:

2ax + 2by + δ = 0

là phương trình đường thẳng ở dạng thực

Ngược lại ta có:

v + v = 2a, i(v − v) = −2b

x = z + z

2 , y = −

z − z

2 iVậy

d = v và vectơ chỉ phương là −→u

d = −iv.Chứng minh

Phương trình đường thẳng (d) có dạng thực là:

2ax + 2by + δ = 0nên nó có vectơ pháp tuyến là −→n

d = (a, b) tương ứng với v = a + ib vậy đườngthẳng (d) có vectơ pháp tuyến là −→n

d = v

Tương tự ta có vectơ chỉ phương của (d) là −→u

d = (a, −b) tương ứng với số phức

iv = b − ia

Vậy đường thẳng (d) có vectơ chỉ phương là −→u

d = −iv

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ điểm M0(z0) đến đường thẳng ∆ : αz + ¯αz + β = 0, khi đó tacó

d (M0, ∆) = |αz0+ αz0+ β|

2√

α ¯αNhận xét 2.7 z = x + ib, với b=const là phương trình đường thẳng song songvới trục Ox

z = a + iy, a=cost là phương trình đường thẳng song song với trục Oy

Mệnh đề 2.8 Xét phương trình đường tròn tâm O (z0)

Giả sử (*) là phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại điểm z1

Khi đó với điểm N (z) bất kì thuộc tiếp tuyến ta luôn có

Mệnh đề 2.9 Cho số phức z0, khi đó số phức z được xác định bởi công thức

z = z0 + u với u ∈ C là ảnh của z0 qua phép tịnh tiến theo −→a (u) trong mặtphẳng phức Ký hiệu: T− →a

Chứng minh Giả sử −→a (u) , M (z

0)Đặt z0 = x0+ iy0, u = a + ib ∈ C khi đó −→a (a, b) , M (x0, y0)

Ảnh M’ của M qua phép tịnh tiến theo vectơ −→a có tọa độ là:

Giả sử [M0(z01), N0(z02) là ảnh của M (z1), N (z2) qua phép tịnh tiến theo vectơ

Suy ra điều phải chứng minh

Định lí 2.11 Phép tịnh tiến T− →a bảo tồn số đo của góc định hướng

Định nghĩa 2.12 Phép biến đổi trong mặt phẳng phức xác định bởi công thức

Trong mặt phẳng phức, xét phép vị tự

VI,k : M (z1), N (z2) 7→ M (z01), N (z02)Khi đó ta có:

Suy ra điều phải chứng minh

Nhận xét 2.15 Nếu k = 1 thì phép vị tự VI,1 là phép biến đổi đồng nhất.Tích của hai phép vị tự

Xét các phép vị tự:

VI0,k0 : z0− z0 = k0(z − z0) , (k0 ∈ R\{0})

VI0,k1 : z0− z0 = k1(z − z0) , (k1 ∈ R\{0})Khi đó VI0,k0.VI1,k1 xác định bởi:

z0 = k0k1z + k0(1 − k1) z0+ (1 − k0) z0

⇔ z0 = k0k1(z − z0) + z0

là phép vị tự VI0,k0.k1

Khi giải các bài toán về số phức ta đồng nhất số phức z = x + iy với điểm

M (x, y) trong mặt phẳng với hệ tọa độ vuông góc Descartes Oxy, khi đó z gọi

là tọa vị của điểm M và kí hiệu là M (z) ta cũng có thể đồng nhất số phức

Vậy với mỗi số phức z sẽ cho ta một điểm tương ứng trên mặt phẳng Tương

tự với n số phức z1, z2 , zn phân biệt sẽ tương ứng với n điểm phân biệt trênmặt phẳng Với hai điểm bất kì ta xây dựng được tương ứng một vectơ hay mộtđoạn thẳng, đường thẳng

Sau đó nhờ phép chuyển tương ứng số phức z thành điểm hình học M hay −−→

OM ,chuyển độ dài môđun |z1− z2| thành khoảng cách giữa hai điểm phức M, N hay

độ dài vectơ −−→

M N ta sẽ thu được bài toán hình học thông thường Giải cácbài toán này ta sẽ thu được kết quả của bài toán ban đầu mà không sử dụng sốphức

2.2 Một số bài tập minh họa

2.2.1 Giải phương trình, hệ phương trình trên trường số phức

Ví dụ 2.16

Cho số phức z1 = −2 − i , z2 = 6 + 7i Tìm số phức z thỏa mãn điều kiện sau:

|z − z1|2+ |z − z2|2− |z2 − z1|2 = 0Gọi A(−2, −1) là điểm biểu diễn tương ứng của số phức z1 = −2 − i trên mặtphẳng

Tương tự B(4, 7) là điểm có tọa vị z2 = 4 + 7i ⇒ −→

AB(6, 8)

Giả sử M là điểm có tọa vị z, khi đó ta có :

⇒ tập hợp điểm M là đường tròn đường kính AB

Ta có |−→

AB|2 =√

62+ 82 = 10Đường tròn tâm I(1, 3) là trung điểm của AB và có đường kính AB có phươngtrình là:

(x − 1)2+ (y − 3)2 = 52 Vậy tập hợp điểm M là những điểm thỏa mãn phương trình đường tròn

(x − 1)2+ (y − 3)2 = 52 Chuyển sang dạng số phức ta có tập hợp các số phức z thỏa mãn

|z − 1 − 3i| = 0

Ví dụ 2.17

Tìm số phức z thỏa mãn :

(1 + 2i)z + (1 − 2i)z + 6 = 0 sao cho |z| ≥r 9

5Bài giải:

Ta thấy rằng phương trình có dạng phương trình đường thẳng trong mặt phẳngphức với vectơ pháp tuyến −→v có tọa vị (1 − 2i)

Giả sử z = x + iy, khi đó phương trình trên sẽ có dạng

= 5(y − 6

5)

2+ 9

5 ≥ 95

V y x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng 9

5 tại y =

65Khi đó ta có M (−3

5 ,

6

5)Chuyển về dạng phức ta có được số phức cần tìm là z = −3

Bài giải:

Az1 thuộc đường tròn tâm O bán kính r = 3 = OA

B(z2) đường tròn tâm O bán kính R = 4 = OB

Ta có |z1+ z2| = 5 ⇒ AB=5

Vì OA2− OB2 = AB2 ⇒ Tam giác OAB vuông tại O

Gọi H là trung điểm của AB, khi đó ta có H z1+ z2

2Chuyển sang dạng phức ta có:

(z1− z2)(z − z3) + (z1 − z2)(z − z3) = 0

z1+ z3 = 6Bài giải:

Đặt A(1, 5), C(z3)

z1 là số phức thỏa mãn phương trình (2 + i)z + (2 − i)z + 2 = 0 nên điểm B(z1)

sẽ thuộc phương trình đường thẳng d : 2x + y + 1 = 0

z2 là số phức thỏa mãn phương trình (2 + i)z + (2 − i)z − 16 = 0 nên điểm

M (z2) sẽ thuộc phương trình đường thẳng p : 2x + y − 8 = 0

Ta có z1+ z3 = 6 ⇒ 1

2(z1+ z3) = 3 suy ra trung điểm của BC có tọa độ H(3, 0).

Từ [z − z1, z2− z1] = 0 suy ra ba điểm A, M, C thẳng hàng hay M thuộc đườngthẳng AC

Mặt khác (z1− z2)(z − z3) + (z1− z2)(z − z3) = 0 suy ra −−→

M B.−→

CA = 0 hay nóicách khác ta có BM vuông góc với AC Ta đi tìm tọa độ điểm C

Vì B thuộc (d) nên B(a, −2a − 1)

Mà H(3, 0) là trung điểm của BC suy ra C(6 − a, 2a + 1)

M là điểm thuộc (p) nên M (b, 8 − 2b) suy ra −−→

B 53

35,

14135



M  52

35,

17635

Bài giải:

Ta có:

zz − z (1 + 2i) − z (1 − 2i) = 1

⇔ (z − 1 + 2i) (z − 1 − 2i) − 1 = 0đây là phương trình đường tròn có tâm z0 = 1 − 2i và bán kính r=1

Gọi I, A, B, C là điểm tương ứng với các số phức z0, z1, z2, z3 trong mặt phẳngphức

Từ 2z3 = z1+ z2 suy ra C là trung điểm của AB

Ta có phương trình đường tròn tương ứng trong mặt phẳng là:

(C) : (x − 1)2+ (y + 2)2 = 1

Điểm A(1, −1) thuộc đường tròn, khi đó bài toán đã cho trở thành: Cho điểmA(1, −1) cố định trên đường tròn (C), B là điểm di động trên đường tròn Tìmtập hợp các trung điểm C của đường thẳng AB.

⇒ IC⊥AB hay [ICA = 900

Vậy tập hợp trung điểm C của AB là đường tròn đường kính IA = 1 và có tâm

là trung điểm J



0,−32

của IAChuyển sang dạng phức ta có z3 là các tập các số phức thỏa mãn :

Ví dụ 2.22

Cho z1 = −1 + 2i, z2 = 3 + 4i và số phức z thỏa mãn:

z (1 + 2i) + z (1 − 2i) − 4 = 0

CMR |z − z2|2 + 2|z − z1|2 ≥ 641

15Bài giải:

Lấy A(−1, 2) và B(3, 4) là điểm tương ứng của số phức z1, z2 trên mặt phẳngphức

Phương trình z (1 + 2i) + z (1 − 2i) − 4 = 0 có phương trình đường thẳng tươngứng trong mặt phẳng là: x − 2y − 2 = 0

Giả sử M (z), khi đó M thuộc đường thẳng d : x − 2y − 2 = 0

2

+ 641

15 ≥ 641

15Dấu "=" xảy ra ⇔ y = −2

15 ⇒ M 26

15,

−215

Ta thấy rằng z1 = z2 = 1 là một nghiệm của hệ phương trình

Giả sử A, B là điểm tương ứng của số phức z1, z2 trong mặt phẳng phức.Đặt M (1, 0)

Từ (1) ta có A là điểm thuộc đường tròn tâm z = 1 + i bán kính r = 1 có