Tính đặt đúng trong lớp Gevrey đối với các toán tử hyperbolic yếu với các hệ số không liên tục Lipschitz

ệ ì ì P ể P P ệ P t số ữớ ữợ P ì ử P tự ỡ s t rr ổ ỡ s t rr ổ ữỡ ữỡ tr tr sõ Pữỡ ữủ Pữỡ tr tr sõ Pữỡ ữủ P rr tr ữỡ tr tr sõ ợ r tữỡ ữỡ ợ r t t q trồ ợ r t ú t ố ợ t tỷ r ợ số tở tớ ổ tử t st t q t t ú tr ợ r (s) ố ợ q s |a (t, )| C|t t|q ợ (t, ) ([0, T ] \ {t}) ì (Rn \ {0}) t t ợ (s) t ú ợ s < 3/2 ự t rữớ ủ t = T sỷ v rr u tở ì ể ế P x ứ (1.1) v (t, ) = a(t, )||2 v(t, ) u0 , u1 (s) C0 ; ỵ Pr M ; > s |v(0, )|2 + |v (0, )|2 Rn ; || M exp(|| s ) ự u W 2,1 ([0, T ]; (s) ) t r r M , > s |v(t, )|2 + |v (t, )|2 M exp( || s ) t [0, T ]; Rn ; || (0, T ] t 3q (T t)2 + a(t, ) a (t, ) = 1q + a(T , ) ợ t [0, T ] ợ t [T , T ] E (t, ) = a (t, )||2 |v(t, )|2 + |v (t, )|2 ợ E ữủ u r õ E tở t tứ ữỡ tr tr t s r E (t, ) = a (t, )||2 |v(t, )|2 + 2a (t, )||2 Re(v (t, )v(t, )) + 2Re(v (t, )v (t, )) a (t, ) a (t, ) a(t, )|| E (t, ) + E (t, ) a (t, ) a (t, ) ỡ ỳ tứ r t s r T a (t, ) E (t, ) E (0, )exp dt + || a (t, ) ợ t [0, T ] Rn ; T a (t, ) dt a (t, ) 0 |a (t, ) a(t, )| dt a (t, ) || T ứ t õ T 23q (T t)3 + |a (t, )| dt 3q (T t)2 ì ể ế P T ((T t)1 + q3 (T t)2q )dt C C q3 (1 + |log|) t t ú ỵ r C(|log(T t)| + 1) a(t, ) C(T t)1q T a(t, )dt T C(|log()| + 1) C2q ||a|| 1 s 1/s |k (t)| + |k (t)| Cs exp hk ợ k Nồ t [0, tk k /2] + u0 (x) = + k (0)e ihk x , k (0)eihk x u1 (x) = k=0 k=0 + k (t)eihk x u(t, x) = k=0 ì ể ế P Pr t tự (2.24) t r u0 , u1 (s) (R) ợ s > s0 u C [0, ] ; (s) (R) ợ s > s0 (0, 1); ỡ ỳ u ụ t u a(t)u = tt xx u(0, x) = u (x), ut (0, x) = u1 (x) (2.27) ố ũ tứ t r ữủ r ợ s > s0 tỗ t Cs > s 1/s k (tk + k /2) Cs exp(hk ) õ u / C[0, 1]; D (s) (R) ợ s > s0 t ự t ộ {k } , {k } {k } s ữủ 1/2 k = N p0 k/(q0 p0 1) , k = 4N (k+1) , k = k k 1/2 L k k N k/(q0 p0 số ợ [x] ữủ tr ợ t ọ ỡ t ữỡ q < < ỗ t số a : [0, 1] [0, 3/2] tr C ([0, 1)) C 0,0 ([0, 1]) tọ tỗ t u0 , u1 (s) (R) ợ s > s0 = q0 (1 + /2)/(q0 + 1) s t ổ õ tr W 1,2 ([0, 1]; D (s) (R) ợ s > s0 ự t ộ số ỡ {k }{k } {k } s = 1, k (2.28) ì ể ế P ữủ tọ ố ữ ự t k k (t tk ) k a(t) = k + (k+1 k )à((t tk )/k ) ợ t [0, t0 /2], ợ t Ik ợ t Ik ợ t = s r ữủ a C ([0, 1]) a(t) ợ t [0, 1] ỡ ỳ r a C ([0, 1]) ữủ tọ t sup k kN k k < + (2.29) t C 0,0 ([0, 1]) ữỡ tỹ ữ ự trữợ õ t s r tứ Ek (t) k1 h2k exp k ợ k N t [0, tk k/2] k 1/2 hk = k / k k Ek (t) = h2k a(t)|k (t)|2 + |k (t)|2 sỷ r ợ s > s0 = qo (1 + /2)/(q0 + 1) 1/s lim hk logk k = (2.30) k+ t u0 u1 ữủ tở tr (s) ợ s > s0 u / C([0, 1]; D (s) (R)) ộ {k }{k } {k } s ữủ tọ k = N q0 k/(q0 +0 1) , k = 4N (k+1) 1/2 k = k k 1/2 L k k tr õ số ợ N (10 )k/(q0 +0 1) ì ể ế P ú ỵ sỷ a(t, ) > (1.6) ợ (t, ) [0, T ] ì Rn \ {0} số tử st t t C t ú số tử r ợ số ụ t t s t ú ợ s < 1/(1 ) t aij C ([0, T ] \ {t}) L1 (0, T ) ợ i, j = 1, , n sỷ ữủ tọ ợ (t, ) ([0, T ] \ {t}) ì (Rn \ {0}) t õ t õ t q t s tt ú ợ q = t t C t ú tt ú ợ < q < t t s t ú ợ s < q/(q 1) tt ú ợ q > số tử r ợ số ụ t t C t ú ợ s < q/((q 1)(1 )) t tr ởt số t q q trồ t t ú t tr ợ r ố ợ t tỷ r ợ số ổ tử st trữớ ủ tố t s số t t ợ t tỷ r ự số tở tớ n utt aij (t)uxj xj = 0, (t, x) [0, T ] ì Rn (1) i,j=1 u(0, x) = u0 (x); u (0, x) = u1 (x) tr aij ữủ tt tỹ ố ự tọ r n aij (t)i j /||2 a(t, ) = i,j=1 ợ (t, ) ([0, T ] ì (Rn \ {0}) (2) t r r str r rtrs t st ts ts s t rt r r s qts rqs s ts q t q ts r Ps t st t r r r rtrs t rr ts ss t s Pr s t r r r rsr r r rt t st sss t r r r qt t st ts r Ps rt sss t r sss t r r str r qt t ts t r Ps r r ssts r sss tPr st r s qts rqs ts rs t t sss r t