Nguyên lý cực đại toán học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHẠM THANH TÂN NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN PHẠM THANH TÂN NGUYÊN LÝ CỰC ĐẠI Chuyên ngành: Giải tích KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Nguyên lý cực đại phương trình Elliptic 1.1 Nguyên lý cực đại yếu 1.2 Nguyên lý cực đại mạnh 1.3 Ước lượng tiên nghiệm 11 Sự tồn nghiệm toán Dirichlet 14 2.1 Bài toán Dirichlet hình cầu 14 2.2 Hàm điều hòa 16 2.3 Định lý Arzela-Ascoli 19 Phép đối xứng xuyên tâm 3.1 24 Hai bổ đề phụ trợ 25 Nguyên lý cực đại đối phương trình Parabolic 29 4.1 Nguyên lý cực đại yếu 29 4.2 Nguyên lý cực đại mạnh 31 KẾT LUẬN Tài liệu tham khảo 1 Lời cảm ơn Sau thời gian dài nghiêm túc, miệt mài nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy cô giáo bạn sinh viên Đến nay, khóa luận em hoàn thành Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành, sâu sắc tới thầy cô giáo tổ Giải tích (Khoa Toán)- trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô khoa toán đặc biệt thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường người trực tiếp tạo điều kiện giúp đỡ, bảo tận tình cho em suốt thời gian nghiên cứu, hoàn thành khóa luận Do hạn chế thời gian kiến thức thân nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Kính mong nhận góp ý từ thầy cô bạn sinh viên Một lần em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận PHẠM THANH TÂN Lời cam đoan Khóa luận tốt nghiệp "Nguyên lý cực đại" hoàn thành cố gắng, nỗ lực tìm hiểu nghiên cứu với giúp đỡ tận tình thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường Trong trình thực em tham khảo số tài liệu viết phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin cam đoan kết khóa luận trung thực không trùng với kết tác giả khác Hà Nội, tháng năm 2017 Tác giả khóa luận PHẠM THANH TÂN Lời mở đầu Lý chọn đề tài Phương trình vi phân đề tài nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Tuy nhiên, phát triển không ngừng khoa học - kĩ thuật, phương trình vi phân trở thành chủ đề tìm hiểu phát triển mạnh Trong đó, vấn đề liên quan đến “Nguyên lý cực đại” đề tài hay có nhiều ứng dụng toán xấp xỉ giá trị biên, giá trị ban đầu Trong năm gần đây, đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia kì thi Toán Olympic sinh viên toàn quốc thường xuất toán có liên quan đến cực đại mà với thời gian học tập lớp có hạn, khó sâu nghiên cứu vấn đề phương trình vi phân Vì vậy, với mong muốn nghiên cứu, tìm hiểu sâu môn bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, góc độ sinh viên chuyên ngành toán, phạm vi khóa luận tốt nghiệp em chọn đề tài: "Nguyên lý cực đại" Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu Nguyên lý cực đại phương trình Elliptic Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân - Nghiên cứu Nguyên lý cực đại phương trình Parabolic Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý luận - Phương pháp tổng kết tài liệu, phân tích, tổng hợp kiến thức phục vụ cho mục đích nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu - Phương trình Elliptic, toán Dirichlet, đối xứng xuyên tâm - Phương trình Parabolic Phạm vi nghiên cứu - Nguyên lý cực đại Cấu trúc khoá luận Ngoài mục lục, phần mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, khoá luận gồm chương: Chương 1: Nguyên lý cực đại phương trình Elliptic Chương 2: Sự tồn nghiệm toán Dirichlet Chương 3: Đối xứng xuyên tâm Chương 4: Nguyên lý cực đại phương trình Parabolic Chương Nguyên lý cực đại phương trình Elliptic 1.1 Nguyên lý cực đại yếu Trong suốt phần này, xem xét toán tử tuyến tính cấp có dạng: ∂ 2u ∂u Lu = aij (x) + bi (x) + c(x).u ∂xi ∂xj ∂xi (1.1) Các giả định sau thực không nói đến định lý: Ω miền Rn ; hệ số aij , bi c liên tục Ω u ∈ C (Ω) ∩ C(Ω): Ma trận aij đối xứng hoàn toàn xác định điểm x ∈ Ω, nghĩa là, L Elliptic Nguyên lý cực đại yếu thể định lý sau: Định lý 1.1 (Nguyên lý cực đại yếu) Giả sử Lu (hoặc tương ứng Lu 0) miền bị chặn Ω c(x) = Ω Khi đó, cực đại (hoặc tương ứng cực tiểu) u đạt ∂Ω Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân Chứng minh Nếu Lu > Ω, đó, ta u không đạt giá trị cực đại điểm Ω Thật vậy, Giả sử thỏa mãn điểm x0 Khi đó, tất đạo hàm cấp u triệt tiêu điểm đó: Lu = aij ∂ 2u ∂xi ∂xj (1.2) Nhưng điểm cực đại, ma trận đạo hàm cấp nửa xác định âm Lu(x0 ) ≤ 0, mâu thuẫn Đối với trường hợp tổng quát (Lu ≥ 0), xem xét hàm số Uε = u + ε.exp(γx1 ) Chúng ta tìm thấy: Luε = Lu + ε(γ a11 + γb1 )exp(γx1 ) (1.3) Bây giờ, chọn γ đủ lớn cho γ a11 + γb1 > Ω (điều a11 dương liên tục Ω) Khi đó, Luε > 0, ∀ε > Theo chứng minh phần trên, ta có: max uε = max uε ∂Ω Ω (1.4) Kết luận Định lý suy cách cho ε −→ Nhận xét 1.1 Rõ ràng từ chứng minh ta suy Nguyên lý cực đại yếu với giả thiết yếu hơn, tức ma trận hệ số [aij (x)] không âm, miễn có vecto ξ độc lập x ∈ Ω cho ξi aij ξj > Chúng ta có hệ Định lý 1.1 sau đây: Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân Hệ 1.1 Cho Ω bị chặn giả sử c ≤ Ω Cho Lu ≥ (hoặc tương ứng Lu ≤ 0) Khi đó: max u ≤ max u+ (hoặc tương ứng u ≥ u− ) Ω ∂Ω Ω ∂Ω (1.5) Với u+ = max(u, 0), u− = min(u, 0) Đặc biệt: Nếu Lu ≤ Ω, đó: max |u| = max |u| ∂Ω Ω (1.6) Chứng minh Nếu u ≤ Ω, hệ Do đó, giả sử Ω+ = Ω ∩ {u > 0} = ∅ Trên Ω+ , có −cu ≥ đó: aij ∂ 2u ∂u + bi ≥0 ∂xi ∂xj ∂xi (1.7) Do đó, định lý trước ngụ ý cực đại u tập đóng Ω+ cực đại u ∂Ω+ Vì u = ∂Ω+ ∩ Ω, cực đại phải đạt ∂Ω Hệ sau mà phép chứng minh tầm thường hay sử dụng ứng dụng Nó mang lại kết tính nguyên lý so sánh Hệ 1.2 Cho Ω bị chặn c ≤ Nếu Lu = Lv Ω u = v ∂Ω, đó, u = v Ω Nếu Lu ≤ Lv Ω u ≥ v ∂Ω u ≥ v Ω Định nghĩa 1.1 Giả sử c ≤ Nếu Lu ≥ (hoặc tương ứng Lu ≤ 0), u gọi nghiệm (nghiệm trên) phương trình Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân tập tất nghiệm toán Dirichlet, cho: u(x) = sup v(x) (2.10) v∈Sg Vì nghiệm nhỏ nghiệm tồn nghiệm dưới, nghiệm nên cận công thức (2.10) hữu hạn u xác định rõ Bổ đề 2.1 Hàm số u điều hòa Ω Chứng minh Cho x điểm tùy ý Ω (vm ) dãy Sg cho vm (x) −→ u(x) Rõ ràng vm bị chặn (bởi nghiệm trên), giả sử chặn dưới, cần thiết, thay vm max(vm , v0 ), với v0 nghiệm Chọn R cho B = BR (x) tập đóng chứa Ω Vm gọi hàm điều hòa vm B Khi Vm (x) −→ u(x) theo Định lý 2.4, Vmk dãy vm mà hội tụ B đến hàm điều hòa v, hội tụ tất tập compact B Rõ ràng v ≤ u B Thực tế, v = u B Điều rõ bổ đề Giả sử ngược lại, v(y) < u(y) với y ∈ B Khi đó, tồn hàm số W ∈ Sg cho v(y) < W (y) Cho W (y) = max(W, Vmk ) cho Wk hội tụ tới hàm w, điều hòa B Khi v ≤ w B, ngược với lựa chọn W Nó thấy u liên tục thực tới ∂Ω giả sử bị chặn Cho ξ điểm ∂Ω Khi đó, giả sử ∂Ω thuộc lớp C , có hình cầu B = BR (y) bên Ω cho B ∩ Ω = ξ 22 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân Chúng ta định nghĩa: W (x) =   R2−n − |x − y|2−n ,n ≥  log |x − y| R ,n = (2.11) Khi đó, W điều hòa (Điều hòa thực sự) Ω W > Ω \ ξ, w(ξ) = Một hàm điều hòa với tính chất (1) (2) gọi hàm rào cản ξ so với Ω Chúng ta có kết sau: Bổ đề 2.2 Cho u hàm điều hòa Ω xây dựng cho ξ ∈ ∂Ω Khi u(x) −→ g(ξ) x → ξ Chứng minh Chọn ξ > cho M = max |g| Cho W hàm rào ∂Ω cản ξ cho δ, k cho: |g(x) − g(ξ)| < ε với x ∈ ∂Ω, |x − ξ| < δ k.w(x) ≥ 2M với x ∈ Ω, |x − ξ| ≥ δ Hàm g(ξ) + ε + Kw(x) g(ξ) − ε − k.w(x), tương ứng, điều hòa điều hòa g Do đó: g(ξ) − ε − k.w(x) ≤ u(x) ≤ g(ξ) + ε + k.w(x) (2.12) Từ w(x) −→ x −→ ξ, đạt u(x) −→ g(ξ) x −→ ξ Từ chứng minh ta thấy, giả định ∂Ω dễ dàng, miễn xây dựng chắn Việc xây dựng cho tất miền lồi Trong trường hợp khác, chắn thường có sẵn 23 Chương Phép đối xứng xuyên tâm Trong báo năm 1979, Gidas, Ni Nirenberg [GNN] thiết lập đối xứng xuyên tâm nghiệm dương cho số phương trình Elliptic phi tuyến Kỹ thuật dựa nguyên tắc cực đại Trong phần này, xem xét trường hợp đơn giản kết họ, Định lý sau: Định lý 3.1 Cho f : R −→ R lớp C Trong hình cầu B = BR (0) ⊂ Rn , cho u > nghiệm (của lớp C (B)) phương trình: ∆u + f (u) = (3.1) u = 0, ∂Ω (3.2) Thỏa mãn điều kiện Khi đó, u đối xứng xuyên tâm đơn điệu giảm ngặt Nghĩa là: ∂u < 0, với < r < R ∂r 24 (3.3) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân Để chứng minh định lý tìm hiểu trước số vấn đề liên quan sau: 3.1 Hai bổ đề phụ trợ Trong suốt phần lại này, giả sử B u đưa Định lý 3.1 Bổ đề 3.1 Cho x ∈ ∂B ∩ {x1 > 0} Khi đó, với δ > 0, có ∂u < B ∩ {|x − x0 | < δ} ∂x1 Chứng minh Để đơn giản hóa ký hiệu, viết: ∂u ∂ 2u u1 = , u11 = ∂x1 ∂x1 Nếu bổ đề sai, có dãy điểm xj ∈ B với u1 (xj ) ≥ xj −→ x0 Mặt khác, u > B u = biên, có u1 (x0 ) < Do đó, cách liên tục, tìm thấy u1 (x0 ) = Chú ý kể từ u ≡ ∂B tiếp tuyến Khi đó, x1 tiếp tuyến hướng ngoài, cho u(x0 ) = Chúng ta thấy hàm bậc hai u11 = Đầu tiên, kể từ u(x0 ) = u1 (x0 ) = 0, u > B, phải có u11 (x0 ) ≥ Giả sử u11 (x0 ) > Sau đó, u11 số dương lân cận N x0 Xem xét đoạn thẳng, đường thẳng dương theo hướng x1 kết nối đến xj đến điểm yj ∂B Đối với j đủ lớn, Γ nằm hoàn toàn N nên: u1 (yj ) − u1 (xj ) = u11 (x)dx1 Γ 25 (3.4) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân dương Nhưng mâu thuẫn u1 (xj ) ≥ u1 (yj ) ≤ Giả sử f (0) ≥ Sau có: ∆u + f (u) − f (0) ≤ (3.5) Và theo định lý giá trị trung bình, tìm thấy hàm c(x) cho f (u) − f (0) = c(x)u Bây Bổ đề 1.1, áp dụng cho −u, tức u1 (x0 ) < 0, mâu thuẫn Do giả sử f (0) < Khi ∆u(x0 ) = −f (0) > Mặt khác, u = ∂B u(x0 ) = 0, dễ dàng để kiểm tra u11 (x0 ) = n21 ∆u(x0 ) = 0, n ký hiệu pháp tuyến đơn vị ∂B Một lần có mâu thuẫn Cho λ ∈ R, cho Tλ ký hiệu x1 = λ cho Mặt khác, cho (λ) = B ∩ {x1 > λ} (λ) ký hiệu phản chiếu (λ) Tλ Chúng ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.2 Giả sử λ ∈ [0, R) có u1 (x) ≤ 0, u(x) ≤ u(xλ ) ∀x ∈ Nhưng u(x) không đồng u(xλ ) u(x) < u(xλ ) tất Chứng minh Trong (λ) (3.6) (λ) Khi đó, (λ) u1 (x) < B ∩ Tλ (λ), cho v(x) = u(xλ ) Sau v thỏa mãn phương trình: ∆v +f (v) = Cho w = v −u cho c(x) thỏa mãn: f (v)−f (u) = c(x)u (Định lý giá trị trung bình) Khi có: ∆w + c(x)w = 26 (3.7) Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân (λ) Mặt khác, giả định bổ đề có w ≤ (λ) w đồng Bây sau Định lý 1.2 Bổ đề 1.1 có, ta có w < (λ) w1 > Tλ ∩ B Từ w1 = −2u1 Tλ ∩ B, ta có bổ đề Dựa vào kiến thức nhắc trên, chứng minh Định lý 3.1 Chúng ta sử dụng hai bổ đề từ phần trước để thấy u đối xứng với mặt phẳng x1 =0 u1 < với x ∈ B ∩ {x1 > 0} Rõ nói đến định lý, u đối xứng với mặt phẳng qua gốc tọa độ đó, đối xứng xuyên tâm Chúng ta có điều sau: Bổ đề 3.3 Với λ ∈ (0, R), có: u1 (x) < 0, u(x) < u(xλ ) ∀x ∈ (λ) (3.8) Bởi tính liên tục có u(x) ≤ u(x0 ) (0) = B ∩ {x1 > 0} Lặp lại nguyên tắc với x1 thay −x1 , thấy u(x) ≥ u(x0 ) (0) Do u đối xứng qua mặt phẳng x1 = có định lý Chứng minh Từ Bổ đề 3.1 , sau công thức (3.8) giữ cho λ gần tới R Bây giờ, cho µ giá trị quan trọng cho công thức (3.8) giữ cho λ > µ, không vượt qua Bởi tính liên tục có: u1 (x) < 0, u(x) ≤ u(xµ ), ∀x ∈ (µ) (3.9) Chúng ta cần thấy µ = Tµ , có xµ0 ∈ B Giả sử ngược lại, tức µ > 0, với ∀x0 ∈ µ 27 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân = u(x0 ) = u(xµ0 ) Do u(x) không giống u(xµ ) µ u1 < B ∩ Tµ Do công thức (3.8) giữ cho λ = µ Mặt khác, Bổ đề 3.1 có u1 < lân cận điểm Tµ ∩ ∂B Mỗi điểm Tµ ∩ B lân cận u1 < 0, Tµ ∩ B compact, có u1 < (µ − ε) với ε đủ nhỏ Từ giả sử công thức (3.8) không tiến tới µ, dãy λj , xj ∈ (λj ) cho λj −→ µ và: λ u(xj ) ≥ u(xj j ) (3.10) Sau nói đến dãy con, giả sử xj hội tụ, giới hạn x cần thiết việc đóng (µ) Đi đến giới hạn công thức (3.10), thấy u(x) ≥ u(xµ ) Điều giữ x ∈ ∂B, trường hợp u(x) = 0, u(xµ ) > Khi đó, công thức (3.8) giữ cho µ có x ∈ Tµ ∩ B, xµ = x λ Mặt khác, đoạn thẳng nối xj với xj j kéo dài tới B công thức (3.10) định lý giá trị trung bình phải có điểm yj mà u1 (yj ) ≥ Ta lấy giới hạn j −→ ∞ thấy u1 (x) ≥ Đây mâu thuẫn 28 Chương Nguyên lý cực đại đối phương trình Parabolic Trong phần mở rộng Nguyên lý cực đại cho phương trình Parabolic có dạng: ∂u ∂ 2u ∂u Lu = − + aij (x, t) + bi (x, t) + c(x, t)u = f (x, t) ∂t ∂xi ∂xj ∂xi (4.1) Chúng ta xem xét nghiệm Ω × (0, T ), Ω miền Rn (nói chung xét (x, t)) Chúng ta đặt Q = Ω×(0, T ), D = Ω × (0, T ] = (∂Ω × (0, T ]) ∪ (Ω × {0}) Chúng ta giả sử hệ số liên tục D, ma trận aij dương định nghiệm D Chúng ta giả sử u ∈ C (D) ∩ C(D) Nguyên lý cực đại phương trình Parabolic nói (trong điều kiện dấu c f thích hợp) u giá trị cực đại 4.1 Nguyên lý cực đại yếu Tương tự Định lý 1.1 cho phương trình Parabolic có kết sau: 29 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân Định lý 4.1 Giả sử Ω bị chặn Lu ≥ 0(Lu ≤ 0) Hơn nữa, cho c(x, t) = D Khi cực đại (cực tiểu) u đạt Chứng minh Từ Định lý 1.1 nhận xét 1.2 , biết đạt cực đại ∂D Mặt khác, Lu > 0, đó, cực đại đạt Ω × {T } Cho x ∈ Ω × {T } cho u(x, T ) = max u(y, T ) Sau đó, điểm x y∈Ω×{T } có: ∂ 2u ∂u aij + bj ≤0 ∂xi ∂xj ∂xj (4.2) Và Lu > 0, kết luận ut < Đối với trường hợp tổng quát, cho uε = u + ε.exp(−t) Điều mang đến: Luε = Lu + ε.exp(−t) > (4.3) max uε = max uε (4.4) đó, D Được định lý cho ε −→ Rõ ràng, tương tự Hệ 1.1 Hệ 1.2 (với D nằm mặt phẳng Ω nằm biên ∂Ω) Chúng ta lưu ý cách thiết lập u = vexp(γt)(Lv − γv) (4.5) Do đó, Lu ≥ 0, (L − γ)v ≥ ngược lại Bằng cách lựa 30 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân chọn γ đủ lớn, đạt c − γ ≤ Như vậy, tương tự Hệ 1.3 với dấu điều kiện c 4.2 Nguyên lý cực đại mạnh Mục tiêu phần kết sau: Định lý 4.2 Giả sử Lu ≥ (Lu ≤ 0) Cho M = supD u(M = infD u) Giả sử u = M điểm (x0 , t0 ) ∈ D có điều sau: c = M tùy ý c ≤ M ≥ (M ≤ 0) M = c tùy ý Khi u = M Ω × [0, t0 ] Phép chứng minh dựa vào bổ đề Từ ta giả sử Lu ≥ mà không nói rõ ràng nên trường hợp Lu ≤ rõ ràng cách thay −u u Bổ đề sau rút từ Bổ đề 1.1 Nhận xét 1.1 Bổ đề 4.1 Cho B ⊂ Rn+1 hình cầu với B ⊂ D giả sử u < M B u(x0 , t0 ) = M, (x0 , t0 ) ∈ ∂B Sau đó, t0 giá trị nhỏ giá trị lớn mà t giả sử B Tiếp theo thấy u < M điểm (x0 , t0 ) Q, u < M tất Ω × {t0 } Bổ đề 4.2 Giả sử u(x0 , t0 ) < M x0 ∈ Ω t0 ∈ (0, t) u(x, t0 ) < M với x ∈ Ω 31 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân Chứng minh Giả sử Ω × {t0 } chứa điểm mà u = M Sau tìm điểm x1 x2 Ω cho u(x1 , t0 ) = M , u(x2 , t0 ) hoàn toàn nằm Ω × {t0 } Bằng cách di chuyển điểm x1 , đạt u < M dọc theo L Bây cho: δ = min(|x1 − x2 |), d(L, ∂D) (4.6) Đối với x ∈ L với < |x − x1 | < δ cho d(x) = d ((x, t0 ), Q ∩ {u = M }) (4.7) Rõ ràng, d(x) ≤ |x − x1 | Bằng Bổ đề 4.1, điểm Q ∩ {u = M } mà gần (x, t0 ) có dạng (x, t) mà hai u(x, t0 + d(x)) = M u(x, t0 − d(x)) = M Cho n vector đơn vị theo hướng L Đối với |ε| đủ nhỏ lớn 0, d(x + εn) Định nghĩa Định lý Pitago ta có: ε2 + d(x)2 (4.8) ε2 + d(x + εn)2 (4.9) d(x + εn) ≤ Bằng cách suy luận tương tự, d(x) ≤ đó, d(x + εn) ≥ −ε2 + d(x)2 (4.10) Từ công thức (4.9) công thức (4.10) sau đó, lấy đạo hàm d(x + εn ) ε = tồn số 32 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân Do đó, d(x) không đổi dọc theo L ∩ {0 < |x − x1 | < δ} mâu thuẫn d(x) = 0, d(x) −→ x −→ x1 Bổ đề cuối yêu cầu sau đây: Bổ đề 4.3 Cho ≤ t0 < t1 ≤ T giả sử u < M Ω×(t0 , t1 ) Khi u < M Ω × {t1 } Chứng minh Giả sử ngược lại có x1 ∈ Ω mà u(x1 , t1 ) = M Định nghĩa: v(x, t) = exp(−|x − x1 |2 ) − α(t − t1 ) − (4.11) α > chọn lớn Chúng ta có: Lv(x, t) = exp −|x − x1 |2 − α(t − t1 ) × (4aij (xi − x1i )(xj − x1j ) − 2(aij + bi (xi − x1i )) + α) + cv Nếu N lân cận nhỏ (x1 , t1 ) có Lv > N ∩ {t ≤ t1 } chọn α đủ lớn Bây A miền bị chặn Parabol |x − x1 |2 − α(t − t1 ) = cầu đủ nhỏ tâm (x1 , t1 ) A có hai phần bị chặn, mặt Parabol với v = mặt cầu bên Parabol với u < M Nếu chọn ε lớn đủ nhỏ ta có u + εv − M ≤ ∂A L(u + εv − M ) ≥ −cM ≥ A Nếu c ≤ 0, Nguyên lý cực đại yếu cho u + εv − M ≤ A Lấy đạo hàm theo t điểm (x1 , t1 ), kết luận: ut + εvt = ut − εα ≥ (4.12) Tức là, ut > Nhưng kể từ (x1 , t1 ) cực đại với x, thấy 33 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân điểm Lu ≤ −ut + cu ≤ −ut (4.13) Và kể từ Lu ≥ giả sử, kết luận ut ≤ mâu thuẫn Nếu M = 0, có thể, cách chứng minh bổ đề 1.1, áp dụng lập luận tương tự với (L − c+ ) vị trí L Cách chứng minh định lý 4.2 rõ ràng Đối với t > 0, có u(x, t) = M u(x, t) < M với x ∈ Ω Tập Z tất nhân tử mà u < M tập mở có kết luận hợp khoảng Bởi Bổ đề 4.3 khoảng lân cận Chỉ có khả Z = (t0 , T ] với t0 yêu cầu định lý Cuối ta ý ∂Ω lớp C u C bị chặn áp dụng bổ đề 1.1 nghĩa là: Nếu x0 ∈ ∂Ω, t ∈ (0, T ), u(x0 , t) = M , ∂u u(x, t) < M với x ∈ Ω, > ∂n(x0 , t) 34 Khóa luận tốt nghiệp Đại học Phạm Thanh Tân KẾT LUẬN Khóa luận nghiên cứu "Nguyên lý cực đại" gồm nội dung sau: Nguyên lý cực đại phương trình Eliptic, tồn nghiệm toán Dirichet, đối xứng xuyên tâm nguyên lý cực đại phương trình Parabolic Mặc dù cố gắng, thời gian kiến thức thân hạn chế nên khóa luận em tránh khỏi thiếu sót Vì em mong nhận ý kiến đóng góp từ thầy cô bạn sinh viên để khóa luận hoàn thiện Một lần em xin cảm ơn hướng dẫn, giúp đỡ tận tình thầy giáo - Tiến Sĩ Bùi Kiên Cường , thầy cô khoa toán, bạn sinh viên giúp em hoàn thành khóa luận Em xin chân thành cảm ơn! Tác giả khóa luận Phạm Thanh Tân Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp (2006), Giáo trình Phương Trình Đạo Hàm Riêng, NXB Đại Học Quốc Gia [2] Michael Renardy, Robert c.Rogers (2004), An Introduction to Partial Differential Equations, Springer-Verlag, New York ... Chương 1: Nguyên lý cực đại phương trình Elliptic Chương 2: Sự tồn nghiệm toán Dirichlet Chương 3: Đối xứng xuyên tâm Chương 4: Nguyên lý cực đại phương trình Parabolic Chương Nguyên lý cực đại phương... là, L Elliptic Nguyên lý cực đại yếu thể định lý sau: Định lý 1.1 (Nguyên lý cực đại yếu) Giả sử Lu (hoặc tương ứng Lu 0) miền bị chặn Ω c(x) = Ω Khi đó, cực đại (hoặc tương ứng cực tiểu) u đạt... Sĩ: Bùi Kiên Cường Hà Nội – Năm 2017 Mục lục Nguyên lý cực đại phương trình Elliptic 1.1 Nguyên lý cực đại yếu 1.2 Nguyên lý cực đại mạnh 1.3 Ước lượng tiên nghiệm