Nhóm câu hỏi 1 _ Cơ LT2 – 60 tiết (3 điểm)Câu 1 Câu hỏi: Thanh đồng chất AB chiều dài 4l, khối lượng m, có gắn một quả nặng D, được xem như một chất điểm có khối lượng m và BD = l. Thanh được giữ cân bằng như hình vẽ1. Xác định vị trí khối tâm của hệ thanh và vật nặng D?2. Dây OB bị đứt và thanh bắt đầu chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Xác định quỹ đạo của điểm B? Bỏ qua ma sát.3
Nhóm câu hỏi _ Cơ LT2 – Hệ QS 60 tiết (3 điểm) Câu Câu hỏi: Thanh đồng chất AB chiều dài 4l, khối lượng m, có gắn nặng D, xem chất điểm có khối lượng m BD = l Thanh giữ cân hình vẽ Xác định vị trí khối tâm hệ vật nặng D? Dây OB bị đứt bắt đầu chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Xác định quỹ đạo điểm B? Bỏ qua ma sát ĐÁP ÁN 0,5 Xác định vị trí khối tâm hệ vật nặng D Chọn G vị trí khối tâm hệ vật nặng D BG = m.BD + m.BC m.l + m.2l = = l mt + mv 2m 2 Xác định quỹ đạo điểm B - Xét chuyển động AB : lực tác dụng bao gồm trọng lực Pv vật nặng D, trọng lực Pt AB phản lực tựa N A Do ∑ Fx = ⇒ xG = const - Chọn hệ Oxy hình vẽ ( ϕ góc hợp AB phương ngang) xB = − BG cos ϕ = − l cos ϕ Ta có : y = AB.sin ϕ = 4l.sin ϕ B xB2 y2 x2 y2 + B =1 Do : ( l ) (4l ) suy quỹ đạo điểm B elíp + = 9l 16l 0,5 0,25 0,5 0,25 Câu Câu hỏi: Thanh đồng chất AB chiều dài 4l, khối lượng m gắn nặng khối lượng m, xem chất điểm (AB = l) Thanh giữ cân dây OB mặt phẳng thẳng đứng hình vẽ Xác định vị trí khối tâm hệ gồm AB vật nặng D? Dây OB bị đứt đột ngột AB bắt đầu chuyển động mặt phẳng thẳng đứng Xác định quỹ đạo điểm C? Bỏ qua ma sát D ĐÁP ÁN 0,5 Xác định vị trí khối tâm Gọi G vị trí khối tâm hệ gồm AB vật nặng D : AG = m.l + m.2l = l m+m 2 Xác định quỹ đạo điểm B Khảo sát chuyển động AB, tác dụng hệ lực gồm : trọng lực Pv vật nặng D, trọng lực Pt AB phản lực tựa N A Do ∑ Fx = ⇒ xG = const suy chuyển động AB xG không đổi 0,5 0,25 xB = − l cos ϕ Chọn hệ tọa độ hình vẽ y = 4l.sin ϕ B 0,5 xB2 yB2 x2 y2 + =1 + =1 Do : ( l )2 (4l ) suy quỹ đạo điểm B elíp 25l 16l 2 0,25 Câu Câu hỏi: Tấm đồng chất ABC có hình dạng tam giác vuông cân cạnh huyền AC dài 2a đặt thẳng đứng mặt phẳng hình vẽ Đỉnh A tựa mặt phẳng ngang nhẵn ma sát Xác định tọa độ khối tâm G ABC? Người ta thả cho phẳng đổ tác dụng trọng lực Xác định quỹ đạo điểm M trung điểm cạnh BC? ĐÁP ÁN 0,5 Xác định tọa độ khối tâm G ABC Do ABC đồng chất nên khối tâm trùng với tâm hình học a xG = RG = tam giác ABC ⇒ y = AR = a G Xác định quỹ đạo điểm M trung điểm cạnh BC Xét chuyển động ABC Các lực tác dụng bao gồm trọng lực P ABC phản lực tựa A N A Do ∑ Fx = ⇒ xG = const Gọi ϕ góc tạo AM trục ox trình ABC chuyển 0,5 0,25 động : xM = xG + GM cos ϕ y M = AM sin ϕ Với AM = 2 a 10 AB + BM = (a ) + (a ) = a = 2 2 a 10 AM = a a 10 cos ϕ xM = + Suy : 10 y M = a sin ϕ 0,5 GM = a 18( xM − ) 2 + yM = ⇒ 5a 5a a 18( x − ) 2 y Vậy quỹ đạo điểm M cung elip + =1 5a 0,25 Câu Câu hỏi: Tấm đồng chất ABC có hình dạng tam giác cạnh dài a đặt thẳng đứng hình vẽ Đỉnh A tựa mặt phẳng ngang nhẵn ma sát Xác định tọa độ khối tâm G tam giác ABC? Người ta thả cho phẳng đổ tác dụng trọng lực Xác định quỹ đạo điểm M trung điểm cạnh BC? ĐÁP ÁN 0,5 Xác định tọa độ khối tâm G ABC Do ABC đồng chất nên khối tâm trùng với tâm hình a xG = học tam giác ABC, vị trí ban đầu G y = a G 2 Xác định quỹ đạo điểm M trung điểm cạnh BC Xét chuyển động ABC Các lực tác dụng bao gồm trọng lực P ABC phản lực tựa A N A 0,5 0,25 Do ∑F x = ⇒ xG = const (tức trình đổ ABC trọng tâm G chuyển động đường thẳng x = a Gọi ϕ góc tạo AM trục ox trình ABC chuyển động : a a + cos ϕ xM = xG + GM cos ϕ = 6 M y = AM sin ϕ = a sin ϕ M 0,5 ⇒ (6 xM − a ) y + =1 3a 3a Vậy quỹ tích điểm M cung (6 x − a )2 + y = 3a Câu 2 M 0,25 Câu hỏi: Hai vật nặng A, B có khối lượng m1 m2 nối với sợi dây mềm nhẹ không giãn đặt β α mặt ED, EF lăng trụ EFD Lăng trụ có khối lượng m3 đặt ngang nhẵn, cứng Tìm điều kiện để bắt đầu chuyển động vật A chuyển động xuống phía ? Tìm di chuyển lăng trụ vật A trượt mặt nghiêng AD đoạn s ? ĐÁP ÁN 0,5 α β Điều kiện để bắt đầu chuyển động vật A chuyển động xuống phía : m1.g sin β > m2 g sin α ⇔ m1.sin β > m2 sin α Tìm di chuyển lăng trụ vật A trượt mặt nghiêng AD đoạn s Khảo sát chuyển động hệ gồm vật nặng A, B lăng trụ EDF Các lực tác dụng gồm : Các trọng lực P1 , P2 , P3 vật nặng A, B lăng trụ EDF, phản lực N mặt phẳng ngang Do ∑F x = ⇒ xG = const 0,5 Tại thời điểm trước chuyển động xG = m1.x1 + m2 x2 + m3 x3 m1 + m2 + m3 Sau vật A trượt xuống đoạn s, lăng trụ di chuyển đoạn ∆ m1.( x1 + ∆ + s cos β ) + m2 ( x2 + ∆ + s cos α ) + m3.( x3 + ∆) m1 + m2 + m3 Vì xG = xG* ⇒ m1.(∆ + s cos β ) + m2 (∆ + s cos α ) + m3.∆ = − (m1 cos β + m2 cos α ).s Suy độ dịch chuyển : ∆ = m1 + m2 + m3 xG* = Dấu trừ chứng tỏ lăng trụ EDF dịch chuyển theo chiều âm Câu 0,5 0,5 Câu hỏi: Ba vật nặng A, B, C có khối lượng tương ứng m 1, m2, m3 nối với sợi dây nhẹ, mềm, không giãn đặt mặt KL, MN, NK lăng trụ MNKL, lăng trụ đặt ngang Tìm điều kiện để thả cho hệ bắt đầu chuyển động hệ trạng thái tĩnh vật A chuyển động xuống ? Tìm di chuyển lăng trụ vật A dịch chuyển xuống đoạn s? Bỏ qua khối lượng lăng trụ ma sát ĐÁP ÁN Hình vẽ 0,5 Điều kiện để vật A trượt xuống : m1 sin β > m2 sin α Tìm di chuyển lăng trụ vật A dịch chuyển xuống đoạn s Khảo sát chuyển động hệ gồm lăng trụ MNKL vật nặng A, B, C Các lực hoạt động tác dụng lên hệ bao gồm trọng lực PA , PB , PC vật nặng A, B, C, phản lực N mặt phẳng ngang ∑F = ⇒ xG = const (khối tâm hệ theo phương x bảo toàn) m1.x1 + m2 x2 + m3 x3 - Tại thời điểm bắt đầu chuyển động : xG = m1 + m2 + m3 Do 0,5 x 0,5 - Khi vật A di chuyển mặt phẳng nghiêng KL đoạn s : m1.( x1 + ∆ + s cos β ) + m2 ( x2 + ∆ + s cos α ) + m3 ( x3 + ∆ + s ) m1 + m2 + m3 − ( m1 cos β + m2 cos α + m3 ).s Suy độ dịch chuyển : ∆ = m1 + m2 + m3 xG* = Vì xG = xG* Dấu trừ chứng tỏ lăng trụ EDF dịch chuyển theo chiều âm 0,5 Câu Câu hỏi: Hai vật nặng A B có khối lượng m 1, m2 nối với sợi dây mềm, nhẹ, không giãn Vật A đặt mặt phẳng nghiêng FH lăng trụ EFH hình vẽ Lăng trụ có khối lượng m3 đặt mặt phẳng nằm ngang nhẵn Tìm điều kiện để vật A chuyển động xuống ? Xác định di chuyển lăng trụ vật A dịch chuyển xuống theo mặt phẳng nghiêng FH đoạn s ? ĐÁP ÁN Hình vẽ 0,5 Điều kiện để vật A chuyển động xuống : m1.sin α > m2 Xác định di chuyển lăng trụ vật A dịch chuyển xuống theo mặt phẳng nghiêng FH đoạn s Khảo sát chuyển động hệ gồm lăng trụ EFH hai vật A, B Các lực tác dụng bao gồm trọng lực P , PA , PB , phản lực N mặt phẳng ngang (như hình vẽ) Do ∑ Fx = ⇒ xG = const - Tại thời điểm bắt đầu chuyển động : xG = 0,5 m1.x1 + m2 x2 + m3 x3 m1 + m2 + m3 - Khi vật A di chuyển mặt phẳng nghiêng đoạn s : m1.( x1 + ∆ + s cos α ) + m2 ( x2 + ∆) + m3.( x3 + ∆) m1 + m2 + m3 − ( m1 cos α ).s Suy độ dịch chuyển : ∆ = m + m + m 0,5 xG* = Vì xG = xG* Dấu trừ chứng tỏ lăng trụ EDF dịch chuyển theo chiều âm 0,5 Câu Câu hỏi: Một ngẫu lực mômen M không đổi tác dụng lên tang trục tời có bán kính R có khối lượng m1 Quấn vào tang tời sợi dây mềm nhẹ không giãn buộc vào đầu mút tự dây vật nặng A có khối lượng m2 để kéo lên theo mặt phẳng nghiêng, góc nghiêng α so với mặt phẳng ngang Hệ số ma sát trượt động vật nặng A mặt phẳng nghiêng f Tang tời xem trục tròn đồng chất Ban đầu hệ đứng yên Tìm biểu thức vận tốc góc tời hàm theo góc quay nó? ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Tời vật nặng Áp dụng định lý động dạng: T − T0 = ∑ Ak 1 T = J oω + m2v22 ; J o = m1R 2 2 v2 = Rω 0,5 1 m ⇒ T = + m2 ÷R 2ω = J tgω 2 2 m J tg = + m2 ÷R Tính tổng công lực ngẫu lực: ∑ Ak = M ϕ − ( P2 sinα + F2 ) s s = Rϕ ;F2 = fP cos α ∑A k = M − m2 gR ( sin α + f cos α ) ϕ Tìm ω = Câu M − m2 gR ( sin α + f cos α ) ( m1 + 2m2 )R ϕ 0,5 Câu hỏi: Một vật nặng P treo vào đầu sợi dây mềm không dãn, chiều dài L trọng lượng đơn vị chiều dài p Dây quấn vào tang trục tời có bán kính R có mômen quán tính trục quay J Vật nặng rơi xuống làm quay trục tời Lúc ban đầu đoạn dây treo buông dài xuống đoạn xo hệ đứng yên Bỏ qua ma sát ổ trục quay chiều dài dây thay đổi phần dây quấn Xác định vận tốc rơi vật nặng hàm theo độ dài x đoạn dây treo? ĐÁP ÁN Hệ khảo sát: r Tang dây vật nặng Các lực tác dụng lên hệ gồm: trọng lực P phản lực ổ trục không sinh công ( Vẽ hình) Bỏ qua ma sát, áp dụng định luật bảo toàn năng: 0,5 T = TA + TB + Td 1 P v TA = m1v A2 = ÷v ;ω = 2 g R 1 J 1 pL TB = J ω = ÷v ;Td = ∫ v dm = v 2 R 2 g ÷ 1 P J pL gJ + ( P + pL ) R T= + 2+ v = mtg v ÷v = 2 g R g gR Π = − P ( x + xo ) − Với hệ bảo toàn ta có: p ( x + xo ) ( x + xo ) gJ + ( P + pL ) R xx v = − Pxo − p o o + P ( x + xo ) + p ( x + xo ) ( x + xo ) 2 gR 2 0.25 0.5 Từ ta suy ra: v= Câu 10 gR Px + px ( xo + x ) gJ + ( P + pL ) R 0.5 0.25 Câu hỏi: Cơ hệ gồm lăn hai tầng tâm C, bán kính nhỏ r, bán kính lớn R, khối lượng m1, mômen quán tính trục đối xứng J Con lăn lăn không trượt ngang Vật A có khối lượng m2 nối với dây nhẹ không dãn vắt qua ròng rọc O có khối lượng không đáng kể Đoạn dây từ lăn B đến ròng rọc O nằm ngang Dưới tác dụng trọng lực, vật A chuyển động xuống phía từ trạng thái tĩnh Tìm vận tốc vật A hàm dịch chuyển h ? Tìm gia tốc tâm C lăn? ĐÁP ÁN Hệ khảo sát: lăn dây vật A Lực tác dụng lên hệ gồm trọng r lực P phản lực không sinh công ( Vẽ hình) Tìm vA Áp dụng định lý động dạng: T − T0 = ∑ A Ta có quan hệ động học sau: v R ω= ; vC = Rω = v R+r R+r Biểu thức động hệ theo vận tốc v vật A có dạng: 1 1 T = m2v + m1vC2 + J Cω ÷ 2 2 m2 ( R + r ) + m1R + J T= v = mtg v 2 2 ( R + r) T0 = Tổng công lực: ∑A k = Ph 0,5 0,5 0,5 0,5 Tìm được: v A = v = Ph ( R + r ) m2 ( R + r ) + m1R + J 2 Tính aC dv R a A với a A = dt R+r m2 ( R + r ) + m1R + J Ph P R vA = ;a A = v&A = ;aC = a A ;mtg = mtg mtg R+r ( R + r) Tìm được: aC = v&C = Câu 11 0,5 0,5 Câu hỏi: Dây nhẹ không giãn treo vật vắt qua ròng rọc vào lăn hai tầng Vật treo có khối lượng m1 chuyển động xuống, làm ròng rọc quay lăn lăn không trượt nghiêng góc α Ròng rọc coi đĩa tròn đồng chất có khối lượng m2, bán kính r2 Con lăn khối lượng m3, bán kính dây r3 bán kính lăn R3, bán kính quán tính trục qua tâm C ρ Ban đầu hệ đứng yên Tìm vận tốc v vật theo dịch chuyển h ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: lăn, ròng rọc, dây vật nặng Áp dụng định lý động dạng: T − T0 = ∑ A 1 T = T1 + T2 + T3 ; T1 = m1v ; T2 = J 2ω22 ; J = m2r22 2 1 T3 = m3vC2 + J Cω32 ; J C = m3 ρ 2 Các quan hệ động học: ω2 = v v ; ω3 = ; r2 R3 + r3 vC = R3ω3 = R3 R3 v ⇒ sC = h R3 + r R3 + r Vậy: 1 m2 r22 v r32 m3 ρ 2 2 T = m1v + + m v + v = mtg v 2 2 2 r2 ( R3 + r3 ) ( R3 + r3 ) mtg = m1 + 0.5 0.5 0.5 m2 R +ρ + m3 2 ( R3 + r3 ) Tổng công lực vật xuống đoạn h: m ( R + r ) − m R sin α gh ∑ Ak = m1gh − m3 gsC sinα = R3 + r 3 3 Tìm được: v = m1 ( R3 + r3 ) − m3 R3 sin α mtg ( R3 + r3 ) gh; ( Nhận xét: vật chuyển động xuống m1 ( R3 + r3 ) − m3 R3 sin α > ) Câu 12 Câu hỏi: Hai vật nặng A B có khối lượng tương ứng m1 m2 treo vào hai đầu dây không trọng lượng, không dãn Dây quấn vào tang tời C hai tầng có bán kính nhỏ r bán kính lớn R Để nâng vật B lên, người ta tác dụng ngẫu lực có mômen M lên tời hình vẽ Biết tời có khối lượng m, bán kính quán tính trục quay ρ, tìm 0.5 gia tốc góc tời C ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Gồm tang quay, dây 2, 0.25 vật A, Bur ur ur ur 0.25 + Lực : P A , P B ,P o ,R + Áp dụng định lý biến thiên Momen 0.25 động lượng dạng: ur e dLoz = ∑ moz ( F k ) dt Khi tang tời quay với vận tốc góc ω 0.75 thuận chiều kim đồng hồ, ta có: 0.5 + LOz = mρ 2ω + m1r 2ω + m2 R 2ω = ( m ρ + m1r + m2 R ) ω r 0.5 + ∑ moz Fk = M + m1 gr − m2 gR 0.5 d 2 + LOz = ( mρ + m1r + m2 R ) ω&= M + m1 gr − m2 gR dt Tìm : M + m1 gr − m2 gR ε = ω&= mρ + m1r + m2 R ( ) Câu 13 Câu hỏi: Dưới tác dụng trọng lực, khối trụ tròn đồng chất lăn xuống theo đường dốc mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α Hệ số ma sát tĩnh mặt trụ mặt phẳng nghiêng µo Tìm góc nghiêng α mặt phẳng nghiêng để đảm bảo cho chuyển động lăn không trượt, tìm gia tốc tâm C khối trụ Bỏ qua ma sát lăn ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Trụ (C,R), trụ chuyển động song phẳng mặt phẳng nghiêng + Hệ lực tác dụng: ( Trên hình vẽ ) & mx& C = mg sin α − F & my& C = N − mgcosα = J ϕ& &= rF 0.5 0.25 Trong đó: J C = mr F ma sát trượt tĩnh Do đĩa lăn không trượt nên ta có quan hệ: & x& &= C x&C = rϕ& ⇒ ϕ& r Từ hệ phương trình ta suy ra: g sin α & x& = g sin α C = JC 1+ mr F = m ( g sin α − & x& mg sin α C) = Để cho đĩa lăn không trượt hệ số ma sát trượt tĩnh µo phải thỏa mãn điều kiện: mg sin α F F ≤ µo N ⇒ µo ≤ = = tan α N mgcosα 0.5 0.5 0.25 Câu 14 Câu hỏi: Một bán xe đồng chất bán kính r lăn không trượt xuống theo đường dốc mặt phẳng nghiêng có góc nghiêng α so với phương ngang Hệ số ma sát lăn động bánh xe mặt nghiêng k Tìm điều kiện để bánh xe lăn xuống ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Bánh xe (C, r) + Hệ lực: ( Trên hình vẽ ) Đĩa chuyển động song phẳng mặt phẳng nghiêng: & mx& C = mg sin α − F & my& C = N − mgcosα = J ϕ& mms = kN &= rF − mms ; Trong đó: J C = mr F ma sát trượt động: Fms = f N Do đĩa lăn không trượt nên ta có quan hệ: & x& &= C x&C = rϕ& ⇒ ϕ& r 0.25 0.25 0.75 0.5 0.25 Từ hệ phương trình ta suy ra: g ( sin α − k cos α / r ) + J C / mr x& k = r ta gα Để đĩa lăn đều: & C =0⇒ & x& C = 0.75 0.5 Câu 15 Câu hỏi: Một lăn đồng chất hình trụ tròn, có trọng lượng P bán kính r, đặt mặt phẳng ngang không nhẵn Một sợi dây quấn vào tầng lăn với bán kính a, tác dụng lên đầu tự dây lực có trị số F, nghiêng với mặt phẳng ngang góc không đổi α Cho biết bán kính quán tính lăn trục ρ, tìm quy luật chuyển động tâm C lăn ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Trụ (E, a) + Hệ lực: ( hình vẽ ) Phương trình vi phân chuyển động lăn: & mx& C = F cos α − Fm & my& C = N − mg + F sin α = J ϕ& C &= rFm − aF Với J C = mρ Fm lực ma sát trượt động Do đĩa lăn không trượt ta có quan hệ: & x& &= C x&C = rϕ&⇒ ϕ& r Từ phương trình ta suy ra: a F cosα − ÷ r & x&= & x& C = JC m + ÷ r Với điều kiện đầu x&( ) = 0; x ( ) = , ta suy ra: Thực tích phân với điều kiện đầu tìm quy luật chuyển động tâm lăn: 0.25 0.25 0.75 0.25 0.25 0.25 0.25 0.75 x( t ) = Fgr ( r cos α − a ) 2P ( r + ρ 2 ) t2 ... 10 AB + BM = (a ) + (a ) = a = 2 2 a 10 AM = a a 10 cos ϕ xM = + Suy : 10 y M = a sin ϕ 0,5 GM = a 18 ( xM − ) 2 + yM = ⇒ 5a 5a a 18 ( x − ) 2 y Vậy quỹ đạo điểm M cung elip + =1. .. chuyển động : xG = 0,5 m1.x1 + m2 x2 + m3 x3 m1 + m2 + m3 - Khi vật A di chuyển mặt phẳng nghiêng đoạn s : m1.( x1 + ∆ + s cos α ) + m2 ( x2 + ∆) + m3.( x3 + ∆) m1 + m2 + m3 − ( m1 cos α ).s Suy độ... R + r ) + m1R + J 2 Tính aC dv R a A với a A = dt R+r m2 ( R + r ) + m1R + J Ph P R vA = ;a A = v&A = ;aC = a A ;mtg = mtg mtg R+r ( R + r) Tìm được: aC = v&C = Câu 11 0,5 0,5 Câu hỏi: Dây nhẹ