Nhóm câu hỏi 3 _ Cơ LT2 – 60 tiết (4 điểm) Câu 1 Câu hỏi: Thanh đồng chất AB chiều dài 4l, khối lượng m, có gắn một quả nặng D, được xem như một chất điểm có khối lượng m và BD = l. Thanh được giữ cân bằng như hình vẽ 1. Xác định vị trí khối tâm của hệ thanh và vật nặng D? 2. Dây OB bị đứt và thanh bắt đầu chuyển động trong mặt phẳng thẳng đứng. Xác định quỹ đạo của điểm B? Bỏ qua ma sát. 3
Câu 1: x2 Câu hỏi: Cơ hệ mặt phẳng A r c Đĩa tròn A đồng chất khối lượng x F m1 lăn không trượt B phẳng B có khối lượng m2 Lò xo nối giá cố định phẳng B khối tâm đĩa tròn A có độ cứng c Bỏ qua ma sát vật B mặt ngang, khối lượng lò xo Ban đầu hệ đứng yên, lò r xo không biến dạng Tác dụng vào khối tâm đĩa A lực ngang F hệ chuyển động Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ theo toạ độ suy rộng x 1, x2 phương trình La grăng loại II (x1 khoảng cách từ gốc tọa độ đến đầu vật B, x khoảng từ vị trí đầu lò xo không biến dạng đến khối tâm vật A) ĐÁP ÁN Hình vẽ: a x2 O c x1 A r F x B 0.25 b y Chọn hệ tọa độ Oxy hình vẽ Cơ hệ bảo toàn, số bậc tự hệ: k = Chọn tọa độ suy rộng đủ: (q1, q2) = (x1,x2) Phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂L ∂L ( )− = Qi* (i = 1,2) dt ∂q& i ∂qi 1 2 mà x A = x1 + a + x2 , với a = const nên v A = x&1 + x& , x& = ϕ& A = (với R bán kính đĩa tròn A) R mà xB = x1 + b , với b = const nên vB = x&1 Thay vào 0.5 0.25 Động hệ: T = TA + TB = m1.v A2 + J AωA2 + m2 vB2 đó: v A = x& A J A = m1 R , ω A vB = x& B 1 1 x2 1 ⇒ T = m1 ( x&12 + x&1 x& + x& 22 ) + m1R 22 + m2 x&12 = (m1 + m2 ) x&12 + m1 x&1 x& + m1 x& 22 2 R 2 1 xo chọn vị trí đầu lò xo không biến dạng, gốc trọng trường chọn O) Tính đạo hàm: hàm Lagrăng: L = T − π = (m1 + m2 ) x&12 + m1 x&1 x& + m1 x& 22 − cx22 − C1 ∂L ∂L ∂L ∂L d ∂L = = (m1 + m2 ) x&1 + m1 x& ; ÷ = ( m1 + m2 ) &&x1 + m1&&x2 ; ∂q = ∂x = ∂q&1 ∂x&1 dt ∂x&1 1 Thế hệ: π = cx22 + C1 ( với C1 = const; gốc đàn hồi lò 0.5 0.5 ∂L ∂L d ∂L ∂L ∂L = = m1 x&1 + m1 x& ; = = −cx2 ÷ = m1 &&x1 + m1&&x2 ; ∂q& ∂x& 2 dt ∂x& ∂q2 ∂x2 Tính lực suy rộng: * + Lực suy rộng Q1 : Cho hệ di chuyển khả dĩ: δ q1 = δ x1 ≠ ; δ q2 = δ x2 = r r * Ta có: ∑ δ Ak = F δ rA = F δ x1 ⇒ Q1 = F 0.5 * + Lực suy rộng Q2 : Cho hệ di chuyển δ q1 = δ x1 = ; δ q2 = δ x2 ≠ r r * Ta có: ∑ δ Ak = F δ rB = F δ x2 ⇒ Q2 = F Phương trình vi phân chuyển động: (m1 + m2 ) &&x1 + m1.&&x2 = F m1 &&x1 + m1&&x2 + cx2 = F (m1 + m2 ) &&x1 + m1.&&x2 = F hay m1 (2 &&x1 + 3&&x2 ) + 2cx2 = F 0.5 Chú ý: Bài làm phải trình bày sẽ, lý luận chặt chẽ, kết xác hoàn toàn được: điểm, không tối đa 3,75 điểm Câu 2: Câu hỏi: Cơ hệ mặt phẳng x A Vật A đồng chất khối lượng m1 r c nối với tường cố định nhờ lò B F xo có độ cứng c Thanh cứng BD đồng chất có chiều dài l, khối lượng m2 nối khớp với khối ϕ tâm B vật A Bỏ qua ma sát D khối lượng lò xo Ban đầu hệ dứng yên, lò xo không biến dạng, BD có rphương thẳng đứng Tác dụng vào khối tâm vật A lực ngang F hệ chuyển động Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ theo toạ độ suy rộng x, ϕ phương trình La grăng loại II (x khoảng cách từ vị trí đầu lò xo không biến dạng đến khối tâm vật A, ϕ góc lệch BD so với phương thẳng đứng) ĐÁP ÁN x Hình vẽ: cO A r F B x 0.25 ϕ y C l D Chọn hệ tọa độ Oxy hình vẽ, gốc O vị trí đầu lò xo không biến dạng Cơ hệ bảo toàn, số bậc tự hệ: k = Chọn tọa độ suy rộng đủ: (q1, q2) = (x, ϕ) Phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂L ∂L ( )− = Qi* (i = 1,2) dt ∂q& i ∂qi 1 2 2 2 đó: v A = x& , vc = x& c + y& c , J c = m2l , ωBD = ϕ& (C khối tâm BD) 12 l l l l2 2 2 ⇒ x = x + sin ϕ y = c os ϕ & & & & & Ta có c , c vc = xc + yc = x + cosϕ x.ϕ + ϕ& 2 1 2 Thay vào: ⇒ T = (m1 + m2 ) x& + m2lcosϕ x& ϕ& + m2l ϕ& 2 0.5 0.25 Động hệ: T = TA + TBD = m1.vA2 + m2 vc2 + J c ωBD 0.5 l 2 trí đầu lò xo không biến dạng, gốc trọng trường chọn O) Tính đạo hàm: hàm Lagrăng: 1 1 l L = T − π = (m1 + m2 ) x& + m2lco s ϕ x& ϕ& + m2l 2ϕ& − cx + m2 g cosϕ 2 2 ∂L ∂L d ∂L 1 = = (m1 + m2 ) x& + m2l cos ϕ ϕ& ; ÷ = (m1 + m2 ) &&x − m2l sin ϕ ϕ& + m2l cos ϕ ϕ&& ∂ q&1 ∂ x& dt ∂ x& 2 ∂L ∂L = = −cx ∂q1 ∂x Thế hệ: π = cx − m2 g cosϕ (gốc đàn hồi lò xo vị 0.5 ∂L ∂L 1 d ∂L 1 = = m2l cos ϕ x& + m2l 2ϕ& ; ÷ = − m2l sin ϕ x&ϕ& + m2l cos ϕ &&x + m2l 2ϕ&& ∂ q& ∂ ϕ& dt ∂ x& 2 ∂L ∂L 1 = = − m2l sin ϕ x&ϕ& − m2 gl sin ϕ ∂q2 ∂ϕ 2 Tính lực suy rộng: * + Lực suy rộng Q1 : Cho hệ di chuyển khả dĩ: δ q1 = δ x ≠ ; δ q2 = δϕ = r r * Ta có: ∑ δ Ak = F δ rA = F δ x ⇒ Q1 = F + Lực suy rộng Q : Cho hệ di chuyển δ q1 = δ x = ; δ q2 = δϕ ≠ r r * Ta có: ∑ δ Ak = F δ rB = ⇒ Q2 = 0.5 * Phương trình vi phân chuyển động: hay 1 (m1 + m2 ) &&x − m2l sin ϕ ϕ& + m2l cos ϕ ϕ&& + cx = F m l cos ϕ.&&x + m l 2ϕ&& + m gl sin ϕ = 2 2 2(m1 + m2 ) &&x − m2l sin ϕ.ϕ& + m2l cos ϕ.ϕ&& + 2cx = F 3cos ϕ &&x + 2lϕ&& + g sin ϕ = 0.5 Chú ý: Bài làm phải trình bày sẽ, lý luận chặt chẽ, kết xác hoàn toàn được: điểm, không tối đa 3,75 điểm Câu 3: Câu hỏi: Cơ hệ mặt phẳng x Thanh đồng chất BD có chiều dài A l, khối lượng m2 nối khớp c B r với tâm B bánh xe đồng chất F A, có khối lượng m1 lăn không trượt mặt phẳng ngang ϕ D Lò xo nối tâm B với giá cố định có D độ cứng c Ban đầu hệ đứng yên, lò xo không biến dạng, BD có r phương thẳng đứng Tác dụng vào tâm bánh xe A lực ngang F hệ chuyển động Bỏ qua khối lượng lò xo Hãy thiết lập phương trinh vi phân chuyển động hệ theo toạ độ suy rộng x, ϕ phương trình La grăng loại II (x khoảng cách từ vị trí đầu lò xo không biến dạng đến khối tâm bánh xe, ϕ góc lệch BD so với phương thẳng đứng) ĐÁP ÁN x Hình vẽ: cO A B r F x C 0.25 ϕ y D D Chọn hệ tọa độ Oxy hình vẽ, gốc O vị trí đầu lò xo không biến dạng Cơ hệ bảo toàn, số bậc tự hệ: k = Chọn tọa độ suy rộng đủ: (q1, q2) = (x, ϕ) Phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂L ∂L ( )− = Qi* (i = 1,2) dt ∂q& i ∂qi 1 1 2 2 & x đó: v A = x& , J A = m1 R , ω A = (R bán kính bánh xe A) R vc2 = x& c2 + y& c2 , J c = m2l , ωBD = ϕ& (C khối tâm BD) 12 l l l l2 Ta có xc = x + sin ϕ , yc = cosϕ ⇒ vc2 = x& c2 + y& c2 = x& + cosϕ x& ϕ& + ϕ& 2 Động hệ: T = TA + TBD = m1.vA2 + J AωA2 + m2 vB2 + J CωBD 0.5 0.25 1 2 Thay vào: ⇒ T = ( m1 + m2 ) x& + m2lcosϕ x& ϕ& + m2l ϕ& 2 l Thế hệ: π = cx − m2 g cosϕ (gốc đàn hồi lò xo chọn 2 vị trí đầu lò xo không biến dạng, gốc trọng trường chọn O) Tính đạo hàm: hàm Lagrăng: 1 1 l L = T − π = ( m1 + m2 ) x& + m2lco s ϕ x& ϕ& + m2l 2ϕ& − cx + m2 g cosϕ 2 2 ∂ L ∂L d ∂L 1 = = ( m1 + m2 ) x& + m2l cos ϕ ϕ& ; ÷ = ( m1 + m2 ) &&x − m2l sin ϕ ϕ& + m2l cos ϕ ϕ&& ∂ q&1 ∂ x& 2 dt ∂ x& 2 ∂L ∂L = = −cx ∂q1 ∂x 0.5 0.5 ∂L ∂L 1 d ∂L 1 = = m2l cos ϕ x& + m2l 2ϕ& ; ÷ = − m2l sin ϕ x&ϕ& + m2l cos ϕ &&x + m2l 2ϕ&& ∂ q& ∂ ϕ& dt ∂ x& 2 ∂L ∂L 1 = = − m2l sin ϕ x&ϕ& − m2 gl sin ϕ ∂q2 ∂ϕ 2 Tính lực suy rộng: * + Lực suy rộng Q1 : Cho hệ di chuyển khả dĩ: δ q1 = δ x ≠ ; δ q2 = δϕ = r r * Ta có: ∑ δ Ak = F δ rA = F δ x ⇒ Q1 = F + Lực suy rộng Q : Cho hệ di chuyển δ q1 = δ x = ; δ q2 = δϕ ≠ r r * Ta có: ∑ δ Ak = F δ rB = ⇒ Q2 = 0.5 * Phương trình vi phân chuyển động: hay 1 ( m1 + m2 ) &&x − m2l sin ϕ ϕ& + m2l cos ϕ ϕ&& + cx = F m l cos ϕ.&&x + m l 2ϕ&& + m gl sin ϕ = 2 2 (3m1 + 2m2 ) &&x − m2l sin ϕ ϕ& + m2l cos ϕ ϕ&& + 2cx = F 3cos ϕ &&x + 2lϕ&& + g sin ϕ = 0.5 Chú ý: Bài làm phải trình bày sẽ, lý luận chặt chẽ, kết xác hoàn toàn được: điểm, không tối đa 3,75 điểm Câu 4: Câu hỏi: Cơ hệ mặt phẳng x Vật A có khối lượng m1, A c khoét lỗ hình tròn bán kính R, r O nối với tường cố định nhờ lò xo có ϕ độ cứng c trượt không B F ma sát mặt phẳng ngang Chất điểm B khối lượng m2 chuyển động theo rãnh tròn lỗ khoét Ban đầu hệ đứng yên, lò xo không biến dạng, OB có phương thẳng đứng r Tác dụng vào vật A lực ngang F hình vẽ hệ chuyển động Bỏ qua ma sát, khối lượng lò xo Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ theo toạ độ suy rộng x, ϕ phương trình La grăng loại II (x khoảng cách từ vị trí đầu lò xo không biến dạng đến tâm O rãnh khoét vật A, ϕ góc hợp OB so với phương thẳng đứng) ĐÁP ÁN Hình vẽ: x cO A O ϕ B r F x 0.25 y Chọn hệ tọa độ O1xy hình vẽ, gốc O1 vị trí đầu lò xo không biến dạng Cơ hệ bảo toàn, số bậc tự hệ: k = Chọn tọa độ suy rộng đủ: (q1, q2) = (x, ϕ) Phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂L ∂L ( )− = Qi* (i = 1,2) & dt ∂qi ∂qi 1 2 2 đó: v A = x& , vB = x& B + y& B Ta có xB = x + R.sin ϕ , yB = R.cosϕ ⇒ vB2 = x& B2 + y& B2 = x& + R.cosϕ x& ϕ& + R ϕ& 0.5 0.25 Động hệ: T = TA + TB = m1.vA2 + m2 vB2 1 (m1 + m2 ) x& + m2 Rcosϕ x& ϕ& + m2 R 2ϕ& 2 Thế hệ: π = cx − m2 gR.cosϕ (gốc đàn hồi lò xo chọn Thay vào: ⇒ T = 0.5 vị trí đầu lò xo không biến dạng, gốc trọng trường chọn O1) Tính đạo hàm: hàm Lagrăng: 1 L = T − π = ( m1 + m2 ) x& + m2 Rco s ϕ x& ϕ& + m2 R 2ϕ& − cx + m2 gRcosϕ 2 ∂L ∂L d ∂L = = (m1 + m2 ) x& + m2 R cos ϕ ϕ& ; ÷ = (m1 + m2 ) &&x − m2 R sin ϕ ϕ& + m2 R cos ϕ ϕ&& ∂q&1 ∂x& dt ∂ x& ∂L ∂L = = −cx ∂q1 ∂x 0.5 ∂ L ∂L d ∂L = = m2 R cos ϕ x& + m2 R 2ϕ& ; ÷ = − m2 R sin ϕ x&ϕ& + m2 R cos ϕ &&x + m2 R 2ϕ&& ∂q& ∂ϕ& dt ∂x& ∂L ∂L = = − m2 R sin ϕ x&ϕ& − m2 gR sin ϕ ∂q2 ∂ϕ Tính lực suy rộng: * + Lực suy rộng Q1 : Cho hệ di chuyển khả dĩ: δ q1 = δ x ≠ ; δ q2 = δϕ = r r * Ta có: ∑ δ Ak = F δ rA = F δ x ⇒ Q1 = F 0.5 + Lực suy rộng Q : Cho hệ di chuyển δ q1 = δ x = ; δ q2 = δϕ ≠ Ta có: ∑ δ Ak = * ⇒ Q2* = Phương trình vi phân chuyển động: (m1 + m2 ) &&x − m2 R sin ϕ ϕ& + m2 R cos ϕ ϕ&& + cx = F m2 R cos ϕ &&x + m2 R ϕ&& + m2 gR sin ϕ = 0.5 (m1 + m2 ) &&x − m2 R sin ϕ ϕ& + m2 R cos ϕ ϕ&& + cx = F cos ϕ &&x + Rϕ&& + g sin ϕ = hay Chú ý: Bài làm phải trình bày sẽ, lý luận chặt chẽ, kết xác hoàn toàn được: điểm, không tối đa 3,75 điểm Câu 5: Câu hỏi: Cơ hệ mặt phẳng x Vành tròn A đồng chất, bán kính M R, khối lượng m1 nối với A tường cố định lò xo có độ c O cứng c, lăn không trượt ϕ mặt phẳng ngang Chất điểm B B khối lượng m2 chuyển động mặt vành tròn Bỏ qua ma sát, khối lượng lò xo Ban đầu hệ đứng yên, lò xo không biến dạng, OB có phương thẳng đứng Tác dụng vào vành tròn ngẫu lực M để hệ chuyển động Hãy thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ theo toạ độ suy rộng x, ϕ phương trình La grăng loại II (x khoảng cách từ vị trí đầu lò xo không biến dạng đến tâm O vành tròn, ϕ góc hợp OB so với phương thẳng đứng) ĐÁP ÁN x Hình vẽ: M cO O ϕ A x B 0.25 y Chọn hệ tọa độ O1xy hình vẽ, gốc O1 vị trí đầu lò xo không biến dạng Cơ hệ bảo toàn, số bậc tự hệ: k = Chọn tọa độ suy rộng đủ: (q1, q2) = (x, ϕ) Phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂L ∂L ( )− = Qi* (i = 1,2) dt ∂q& i ∂qi 1 2 & x 2 2 đó: v A = x& , J A = m1 R , ω A = ; vB = x& B + y& B R 2 2 2 Ta có xB = x + R.sin ϕ , yB = R.cosϕ ⇒ vB = x& B + y& B = x& + R.cosϕ x& ϕ& + R ϕ& 1 2 Thay vào: ⇒ T = (2m1 + m2 ) x& + m2 Rcosϕ x& ϕ& + m2 R ϕ& 2 Thế hệ: π = cx − m2 gR.cosϕ (gốc đàn hồi lò xo, gốc 0.5 0.25 Động hệ: T = TA + TB = m1.vA2 + J O ω A2 + m2 vB2 0.5 trọng trường chọn O1) Tính đạo hàm: hàm Lagrăng: 1 L = T − π = (2m1 + m2 ) x& + m2 Rco s ϕ x& ϕ& + m2 R 2ϕ& − cx + m2 gRcosϕ 2 ∂L d ∂L = = (2m1 + m2 ) x& + m2 R cos ϕ ϕ& ; ÷ = (2m1 + m2 ) &&x − m2 R sin ϕ ϕ& + m2 R cos ϕ ϕ&& ∂ x& dt ∂ x& ∂L = = −cx ∂x ∂L ∂ q&1 ∂L ∂q1 ∂L ∂L d ∂L = = m2 R cos ϕ x& + m2 R 2ϕ& ; ÷ = − m2 R sin ϕ x&ϕ& + m2 R cos ϕ &&x + m2 R 2ϕ&& ∂ q& ∂ ϕ& dt ∂ x& ∂L ∂L = = − m2 R sin ϕ x&ϕ& − m2 gR sin ϕ ∂q2 ∂ϕ Tính lực suy rộng: * + Lực suy rộng Q1 : Cho hệ di chuyển khả dĩ: δ q1 = δ x ≠ ; δ q2 = δϕ = δx M M = δ x ⇒ Q1* = Ta có: ∑ δ Ak = M R R R * + Lực suy rộng Q2 : Cho hệ di chuyển δ q1 = δ x = ; δ q2 = δϕ ≠ Ta có: ∑ δ Ak = 0.5 ⇒ Q2* = Phương trình vi phân chuyển động: hay M (2m1 + m2 ) &&x − m2 R sin ϕ.ϕ& + m2 R cos ϕ ϕ&& + cx = R m R cos ϕ &&x + m R 2ϕ&& + m gR sin ϕ = 2 M (2m1 + m2 ) &&x − m2 R sin ϕ.ϕ& + m2 R cos ϕ ϕ&& + cx = R cos ϕ.&&x + Rϕ&& + g sin ϕ = 0.5 Chú ý: Bài làm phải trình bày sẽ, lý luận chặt chẽ, kết xác hoàn toàn được: điểm, không tối đa 3,75 điểm Câu 6: 10 Π = cx − m2 gl cos ϕ Lực suy rộng: M Qx = −cx + F ( t ) + ; Qϕ = − m2 gl sin ϕ R Phương trình vi phân chuyển động: M m1 + m2 ÷&&x + m2l cos ϕϕ&& − m2lϕ& sin ϕ + cx = F ( t ) + R m l cos ϕ &&x + ( J + m l ) ϕ&& + m gl sin ϕ = C 2 0.5 0.5 Câu 15 Câu hỏi: Hai đầu mút AB đồng chất khối lượng m, dài 2l trượt không ma sát khung quay trơn quanh trục thẳng đứng z tác dụng momen M Biết mômen quán tính khung trục z J Thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ theo góc ϕ, ψ ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Khung quay trơn quanh trục OZ, AB + Hệ hai bậc tự do: q1 = ψ ; q2 = ϕ + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂T ∂T dt ∂ψ& − ∂ψ = Qψ d ∂T − ∂T = Q ϕ dt ∂ϕ& ∂ϕ 0.25 0.25 0.5 24 + Tính động hệ: T = TK + TAB = T1 + T2 1 1 T2 = Tr + Te ; Tr = mvC2 + J Cϕ& ;vC = lϕ& ; J5C = ml 2 2l ψ& m Te = J z ; J z = ∫ cos ϕ s ds = ml 2cos 2ϕ 2 2l 4 2 ψ& ϕ& ⇒ T2 = ml cos ϕ + ml 3 2 ψ& T1 = J 2 ψ& 2 ψ& ϕ& ⇒T = J + ml cos ϕ + ml 2 3 + Lực suy rộng: Qϕ = − Pl cos ϕ ; Qψ = M + Hệ phương trình vi phân chuyển động: && 2 & & =M J + ml cos ϕ ÷ψ − ml sin 2ϕϕψ 3 lϕ&& + l sin 2ϕψ& = − g cos ϕ 3 Câu 16 25 Câu hỏi: Đĩa đồng chất tâm O, bán kính R khối lượng m1 lăn không trượt đường nằm ngang tác dụng mômen M ( t ) = M ocosωt ( ω = const ) Tâm O đĩa gắn OA, khối lượng m2, khối C với OC=h Lò xo có độ cứng c nối tâm O với giá cố định Thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ theo tọa độ suy rộng x ϕ ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Đĩa (O, R), OA + Hệ hai bậc tự do, chọn q1 = x; q2 = ϕ + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂T ∂T − = Qx dt ∂x& ∂x d ∂T − ∂T = Qϕ dt ∂ϕ& ∂ϕ + Tính động hệ: T = T1 + T2 1 T1 = m1v02 + J oθ& = m1 x& 2 1 T2 = mvC2 + J Cϕ& ; J o = J C + mh 2 2 2 vC = x& A + y& A ; x A = x + h sin ϕ ; y A = R − hcos ϕ 0.25 0.25 0.5 1.25 1 ⇒ T2 = m2 x& + J oϕ& + m2 hcos ϕ x&ϕ& 2 1 ⇒ T = m1 + m2 ÷x& + J oϕ& + m2 hcos ϕ x&ϕ& 2 2 26 + Lực suy rộng: M cosωt Qx = o − cx; Qϕ = m2 gl sin ϕ R + Hệ phương trình vi phân chuyển động: M o cos ωt − cx m1 + m2 ÷&&x + m2 hcos ϕϕ&& − m2 h sin ϕϕ& = R m hcos ϕ &&x + J ϕ&& + m hg sin ϕ = o 0.75 Câu 17 Câu hỏi: Thanh OA đồng chất khối lượng M quay trơn quanh trục nằm ngang qua O cố định, OA = 2l Giả sử có chất điểm khối lượng m trượt không ma sát OA Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Thanh OA, chất điểm B + Hệ hai bậc tự do, chọn q1 = ϕ ;q2 = s + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂T ∂T − = Qϕ dt ∂ϕ& ∂ϕ d ∂T − ∂T = Q s dt ∂s& ∂s + Tính động hệ: 0.25 0.25 0.5 27 T = T1 + T2 ϕ& J oϕ& = Ml 2 T2 = m ( s& + s 2ϕ& ) ϕ& ⇒ T = Ml + m ( s& + s 2ϕ& ) 2 Thế năng: Π = − Mgl sin ϕ − mgs sin ϕ + const + Lực suy rộng: Qϕ = ( Ml + ms ) g cos ϕ ; Qs = mg sin ϕ + Hệ phương trình vi phân chuyển động: 2 Ml + ms ÷ϕ&& + 2mss&ϕ& − ( Ml + ms ) g cos ϕ = &&s + sϕ& − g sin ϕ = T1 = 0.5 0.5 Câu 18 28 Câu hỏi: Thanh đồng chất AB có khối lượng m, dài l trượt không ma sát theo cạnh góc vuông DOC, đầu A thành nối với điểm cố định D nhờ lò xo có độ cứng c Khung DOC có momen quán tính trục Oz J quay quanh trục z tác dụng ngẫu lực có mômen M Biết ϕ=ϕo lò xo không biến dạng Thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: cạnh góc vuông DOC, AB + Hệ hai bậc tự do, chọn q1 = ϕ ; q2 = θ + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂T ∂T − = Qϕ dt ∂ϕ& ∂ϕ d ∂T − ∂T = Q θ dt ∂θ& ∂θ + Tính động hệ: T = TK + Tthanh = T1 + T2 T1 = 0.25 0.25 0.5 &2 Jθ 1 T2 = Tr + Te = ml 2ϕ& + ml sin ϕθ& 2 1 ⇒ T = Jθ& + ml 2ϕ& + ml sin ϕθ& 2 2 + Thế hệ: (lây gốc OC) 1 Π = mglcosϕ + cl ( cosϕ − cosϕo ) 2 + Lực suy rộng: Qϕ = mgl cos ϕ − cl ( cosϕ − cosϕo ) sin ϕ ; + Hệ phương trình vi phân chuyển động: Qθ = M 0.5 29 2 && & J + ml sin ϕ ÷θ + ml sin 2ϕθϕ& = M 3 ml 2ϕ&& − ml 2θ& sin 2ϕ = mgl sin ϕ − cl ( cosϕ − cosϕ ) sin ϕ o 3 0.5 Câu 19 Câu hỏi: Đĩa đồng chất trọng lượng P1 sợi dây vắt qua ròng rọc O Đầu dây buộc vào vật A trọng lượng P2 Vật A trượt mặt phẳng ngang hệ số ma sát f Bỏ qua khối lượng dây ròng rọc Tìm gia tốc vật A tâm đĩa ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Vật A, đĩa (C, R) + Hệ hai bậc tự do, chọn q1 = x;q2 = y (x khoảng cách từ D đến vật, y khoảng cách từ E đến tâm C) + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂T ∂T dt ∂x& − ∂x = Qx d ∂T ∂T − = Qy dt ∂y& ∂y + Tính động hệ: + Lực suy rộng: Qx = P1 − fP2 ; Qy = P1 0.25 0.25 0.5 + Hệ phương trình vi phân 30 chuyển động: ( P1 + P2 ) &&x + P1 &&y = ( P1 − fP2 ) g 2 &&x + &&y = g ( + f ) P1 P + fP2 &&y = g; g + Giải ta có: &&x = P1 + 3P2 P1 + 3P2 wB = &&x + &&y + Ta tìm được: wA = &&x; 1.25 0.5 0.5 0.75 Câu 20 Câu hỏi: Chất điểm M có khối lượng m chuyển động theo vòng tròn bán kính R vòng tròn quay quanh trục thẳng đứng với ωo=const Mômen quán tính trục vòng tròn J Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ Xác định mômen M cần thiết để giữ ω=const.(Bỏ qua ma sát) ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Vòng tròn (O,R), chất điểm M + Hệ hai bậc tự do, chọn q1 = ϕ ;q2 = θ + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ: 0.25 0.25 31 d ∂T ∂T − = Qϕ dt ∂ϕ& ∂ϕ d ∂T − ∂T = Q θ dt ∂θ& ∂θ + Tính động hệ: 1 T = mva2 + J ϕ& 2 2 2 va = vr + ve = R 2θ& + R 2ϕ& sin θ 0.5 1 ⇒ T = mR θ& + ϕ& sin θ + J ϕ& 2 + Lực suy rộng: Qθ = −mg sinθ ; Qϕ = M ( ) + Hệ phương trình vi phân chuyển động: Rθ&& − Rϕ& sinθ cosθ + g sinθ = 2 & & sinθ cosθ = M ϕ&& ( J + mR sin θ ) + 2mR ϕθ + Mômen cần thiết để có ω = const ( ω = ϕ& = const ) & & sinθ cos θ Từ (2) ta có: M = 2mR 2ϕθ 0.5 ( 1) ( 2) 0.5 Câu 21 Câu hỏi: Tấm phẳng AB khối lượng M chịu tác dụng lực F=const theo phương nằm ngang chuyển động tịnh tiến sàn ngang nhẵn Một lăn tâm C, có bán kính R khối lượng m có mômen quán tính trục qua tâm C vuông góc với mặt phẳng lăn JC Con lăn ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Tấm phẳng AB, lăn (C, R) +Hệ hai bậc tự do, chọn q1 = x1 ;q2 = x2 (x1 khoảng cách từ điểm cố định đến đầu A, x2 khoảng cách từ A đến C) + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi 0.25 0.25 32 phân chuyển động hệ: d ∂T ∂T dt ∂x& − ∂x = Qx1 1 d ∂T − ∂T = Q x2 dt ∂x& ∂x2 + Tính động hệ: 0.5 1 1 T = TAB + TC = T1 + T2 ;T1 = Mv AB = Mx&12 ;T2 = mvC2 + J Cω 2 2 r r r r x& vC = vr + ve = va ;vr = x& ;ve = x&1 ⇒ va = vC = x&1 + x& ;ω = R 1 ⇒ T = ( M + m ) x&12 + J + mR ) x& 22 + mx&1 x& 2 ( C 2R + Lực suy rộng: Qx1 = F ; Qx2 = + Hệ phương trình vi phân chuyển động: ( M + m ) &&x1 + mx&&2 = F 2 mR &&x1 + ( J C + mR ) &&x2 = ( 1) ( 2) + Giải hệ tìm được: JC F wC = x&1 + x& = ; J C ( M + m ) + mMR &&x2 = wAB = 0.5 0.75 (J C + mR ) F J C ( M + m ) + mMR 0.75 − mr F J C ( M + m ) + mMR Câu 22 33 Câu hỏi: Lăng trụ A khối lượng mA trượt mặt phẳng ngang nhẵn Con lăn B xem trụ tròn đồng chất có khối lượng mB chuyển động lăn không trượt theo mặt nghiêng CK lăng trụ Con lăn quấn dây mềm không giãn (bỏ qua trọng lượng dây) cho phần dây DE song song với CK Xác định gia tốc lăng trụ gia tốc khối tâm lăn lăng trụ Cho mB=2mA; mA=5,1kg, α=30o Chọn tọa độ suy rộng q1=x; q2=s ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Lăng trụ A, lăn B(O, R) + Hệ hai bậc tự do, chọn q1 = x; q2 = s + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ: d ∂T ∂T dt ∂x& − ∂x = Qx d ∂T − ∂T = Q s dt ∂s& ∂s + Tính động hệ: 1 T = TA + TB ; TA = mA x& ;TB = mB vO2 + J Oω 2 2 r r r r & vO = vr + ve = va ; vr = s; ve = x& s& & & cos α ; ⇒ vO2 = x& + s& + xs ω = ; J O = mB R R & & cos α ⇒ T = ( mA + mB ) x& + mB s& + mB xs + Lực suy rộng: 0.25 0.25 0.5 34 Qx = 0; Qs = mB g sin α + Hệ phương trình vi phân chuyển động: 3&&x + 3&&s = 3&&x + 3&&s = g + Giải hệ tìm được: wA = &&x = − g = −2 ,83m / s ; wC = &&s = g = 4,9m / s Câu 23 Câu hỏi: Vật A có khối lượng m1 nối với đường cố định nhờ lò xo có độ cứng c, trượt không ma sát dọc sàn ngang Quả cầu nhỏ B khối lượng m2 treo vào mảnh nhẹ nối với lề trụ với A Viết phương trình vi phân chuyển động hệ tìm tích phân đầu 0.5 0.75 0.75 ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Vật A, cầu B + Hệ hai bậc tự do, chọn q1 = x; q2 = ϕ + Áp dụng phương trình Lagrange loại để thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ: 0.25 0.25 35 d ∂T ∂T dt ∂x& − ∂x = Qx d ∂T ∂T − = Qϕ dt ∂ϕ& ∂ϕ + Tính biểu thức động 1 T = T1 + T2 ; T1 = m1 x& ; T2 = m2vB2 2 X = l cos ϕ ⇒ X& = −lϕ& sin ϕ ; Y = x + l sin ϕ ⇒ Y& = x& + lϕ& cos ϕ v = X& + Y& = x& + 2lx& cos ϕ + l 2ϕ& 0.5 B 1 ( m1 + m2 ) x& + m2lx&ϕ& cos ϕ + m2l 2ϕ& 2 + Biểu thức năng: 1 Π = cx + cx − m2 gl cos ϕ 2 + Lực suy rộng lực có thế: Qx = −2cx; Qϕ = −m2 gl sin ϕ Phương trình vi phân chuyển động: ( m1 + m2 ) &&x + m2l cos ϕϕ&& − m2lϕ& sin ϕ + 2cx = m2l cos ϕ &&x + ( J C + m2l ) ϕ&& + m2 gl sin ϕ = Hệ bảo toàn, ta có tích phân lượng: 1 T + Π = ( m1 + m2 ) x& + m2lx&ϕ& cos ϕ + m2l 2ϕ& + cx − m2 gl cos ϕ = C1 2 ⇒T = Câu 24: Câu hỏi: Một hình trụ khối lượng m, bán kính r lăn không trượt bên trụ rỗng, khối lượng M, bán kính R Trụ quay quanh trục nằm ngang O Mômen quán tính trụ trục tương ứng MR2 mr2/2 Thành lập phương trình vi phân chuyển động hệ tìm tích phân đầu 0.5 0.5 0.75 0.75 36 ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Trụ rỗng (O, R), trụ đặc (C,r) + Hệ bậc tự do: q1 = θ ; q2 = ϕ + Áp dụng phương trình Lagrang dạng: d ∂T ∂T dt ∂θ& − ∂θ = Qθ d ∂T ∂T − = Qϕ dt ∂ϕ& ∂ϕ + Tính động hệ: 1 T1 = MR 2θ& ; T2 = mvC2 + J Cψ& 2 2 vC = ( R − r ) ϕ& ; v A = vC + v AC ; v AC = rψ& Rθ& − ( R − r ) ϕ& Rθ& = ( R − r ) ϕ& + rψ& → ψ& = r 1 & & + mR 2θ& T2 = m ( R − r ) ϕ& + mR ( R − r ) ϕθ 4 1 & & + ( 2M + m ) R 2θ& T = T1 + T2 = m ( R − r ) ϕ& + mR ( R − r ) ϕθ 4 + Thế hệ: Π = − ( R − r ) mg cos ϕ Qϕ = − ( R − r ) mg sin ϕ + Các lực suy rộng: Qθ = 0; + Phương trình vi phân chuyển động hệ sau: ( 2M + m ) R 2θ&& − mR ( R − r ) ϕ&& = 0; && − Rθ + ( R − r ) ϕ&& = −2 g sin ϕ + Tích phân đầu hệ: – Hệ bảo toàn nên ta có tích phân lượng: T + Π = const = C1 ∂T = ) nên ta có tích phân – Tọa độ θ tọa độ xyclic ( Qθ = 0; ∂θ ∂T xyclic: & = const = C2 ∂θ 0.25 0.25 0.5 0.5 0.75 0.75 37 Câu 25 Câu hỏi: Cho hệ hình vẽ Con lăn tâm C trụ tròn đồng chất, khối lượng m2, lăn không trượt A Tấm A có khối lượng m1, chuyển động không ma sát ngang Các lò xo có độ cứng c1 c2 Khi x1=0 x2=l lò xo không biến dạng Chọn tọa độ suy rộng hệ x1 x2 Thiết lập phương trình vi phân chuyển động hệ tìm tích phân đầu ĐÁP ÁN + Hệ khảo sát: Tấm A, trụ tròn (C) + Hệ bậc tự do: q1 = x1 ; q2 = x2 + Áp dụng phương trình Lagrang dạng: d ∂T ∂T dt ∂x& − ∂x = Qx1 1 d ∂T − ∂T = Q x2 dt ∂x& ∂x2 + Động hệ: x& T = ( m1x&12 + m2vC2 + J Cω ) ;vC = x&1 + x& ;ω = ; J C = mr 2 r T = ( m1 + m2 ) x&12 + m2 x&1 x& + m2 x& 22 + Thế hệ: 1 Π = c1 x12 + c2 ( x2 − l ) 2 + Phương trình vi phân chuyển động: ( m1 + m2 ) &&x1 + m2 &&x2 + c1 x1 = m2 &&x1 + m2 &&x2 + x ( x2 − l ) = + Tích phân đầu: T + Π = const = C 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 38