VỀ H – KHÔNG GIAN VÀ ĐẠI SỐ HOPF

Header Page of 185 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Hạnh Tường Vy Trang phụ bìa VỀ H – KHÔNG GIAN VÀ ĐẠI SỐ HOPF LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Hạnh Tường Vy Mục lục VỀ H – KHÔNG GIAN VÀ ĐẠI SỐ HOPF Chuyên ngành : Hình Học Tôpô Mã số : 60 46 01 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THÁI SƠN Thành phố Hồ Chí Minh - 2014 Footer Page of 185 Header Page of 185 MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục Danh mục ký hiệu LỜI MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Đồng luân 1.2 Tế bào 1.3 CW – phức 1.4 Số siêu phức (Quaternion) 1.5 Octornion 1.6 K – đại số 10 1.7 Đối đại số 11 1.8 Song đại số 11 1.9 Đại số phân bậc 12 1.10 Tích tenxơ 13 Chương H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN 14 2.1 H – không gian 14 2.2 Đối H – không gian 23 Chương ĐẠI SỐ HOPF 28 3.1 Đại số đối đồng điều H – không gian đại số Hopf 28 3.2 Cấu trúc tích đồng điều H – không gian 40 3.3 Đại số Hopf đối ngẫu 43 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 50 Footer Page of 185 Header Page of 185 Danh mục ký hiệu x : Bn : chuẩn Euclide x cầu n chiều với B n = {x ∈  n : x ≤ 1} {x ∈  n : x < 1} int ( B n ) : hình cầu n chiều với int ( B n ) = Footer Page of 185 x: số chiều (bậc) x n  i :   số tổ hợp chập i n phần tử  : tích cup đối đồng điều : đồng luân ≈: đẳng cấu ⊗: tích tenxơ Header Page of 185 LỜI MỞ ĐẦU Tôpô đại số ngành toán học đại, sử dụng công cụ đại số trừu tượng để giải vấn đề tôpô Tôpô đại số thật quan tâm đến năm 1930 đối đồng điều Čech phát triển Đại số Hopf xuất cách tự nhiên tôpô đại số Sau công việc tiên phong Connes Kreimer, đại số Hopf trở thành công cụ gây xáo trộn lý thuyết trường lượng tử Khái niệm đại số Hopf xuất từ công việc nhà tôpô năm 1940 nhằm giải vấn đề với đối đồng điều nhóm Lie compact không gian chúng Trong toán học, đại số Hopf (tên viết tắt Heinz Hopf ) cấu trúc mà đồng thời vừa đại số vừa đối đại số, với cấu trúc phù hợp làm trở thành song đại số Đại số Hopf có nhiều vai trò quan trọng lý thuyết biểu diễn lý thuyết phạm trù Đặc biệt, có hai vai trò quan trọng lĩnh vực tôpô Thứ dạng ô vuông Steenrod tạo thành từ đại số Hopf cấu trúc chúng khía cạnh quan trọng lý thuyết đồng điều Thứ hai ứng dụng việc giải thích biểu đồ tiên đề để tìm ứng dụng tôpô, công trình năm 1989 Hennings bất biến xích – đa tạp thu từ đại số Hopf, hay gần công trình năm 1991 Kuperberg đại số Hopf đối hợp bất biến – đa tạp … Trong tôpô đại số, vấn đề liên quan đến đại số Hopf bắt đầu ý đến nhờ vào công trình H Hopf có liên quan đến tính chất tôpô nhóm Lie Điển hình kết quả: “ Nếu G nhóm Lie liên thông, đối đồng điều G với hệ số thuộc trường K đại số Hopf ” Footer Page of 185 Header Page of 185 Trong báo năm 1941, H Hopf xét đến trạng thái tổng quát nhóm tôpô Ông định nghĩa H – không gian ( hay gọi không gian Hopf) không gian tôpô X với phép toán liên tục µ : X × X → X điểm p ∈ X cho hai hàm số từ X → X xác định x  µ ( p, x ) x  µ ( x, p ) đồng luân với ánh xạ đồng nhất, với điểm p cố định Mỗi nhóm tôpô H – không gian Tuy nhiên, trường hợp chung, so với nhóm tôpô, H – không gian thiếu tính kết hợp nghịch đảo Cấu trúc nhân H – không gian tạo nên cấu trúc nhóm đồng điều đối đồng điều Ta xác định tích Pontryagin nhóm đồng điều H – không gian Từ nảy sinh vấn đề: “Với cấu trúc bao quát nhóm tôpô (hiển nhiên bao gồm nhóm Lie) H – không gian, liệu cấu trúc đối đồng điều có đại số Hopf hay không ?’’ Điều thu hút nhiều quan tâm đặc biệt từ nhà toán học nhiều không gian quan trọng tôpô đại số hóa lại H – không gian Như trình bày trên, với mong muốn khai thác mối liên hệ H – không gian đại số Hopf nhằm chuẩn bị tảng tốt cho hướng nghiên cứu lĩnh vực tôpô đại số, nên chọn tên đề tài “VỀ H – KHÔNG GIAN VÀ ĐẠI SỐ HOPF ” Nội dung luận văn trình bày thành ba chương Trong đó: Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương trình bày khái niệm cần thiết Những kiến thức đưa chương đơn giản đủ giúp hiểu vấn đề phần sau Footer Page of 185 Header Page of 185 Chương H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN Chương xây dựng khái niệm tính chất H – không gian đối ngẫu đối H – không gian Chương ĐẠI SỐ HOPF Chương chủ yếu trình bày mối liên hệ H – không gian đại số Hopf thông qua ví dụ thật cụ thể Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học Tiến sĩ Nguyễn Thái Sơn Trong trình học tập làm luận văn thầy tận tình hướng dẫn dẫn dắt tiếp cận hướng toán học đại Sự động viên hướng dẫn thầy giúp việc hoàn thành luận văn mà giúp có thêm cách nhìn nhận vấn đề xã hội Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Tôi xin trân trọng cảm ơn giảng viên khoa Toán trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, giảng viên trực tiếp giảng dạy lớp Cao học Hình học Tôpô khóa 23 giúp đỡ nâng cao trình độ chuyên môn phương pháp làm việc hiệu trình học cao học Chân thành cảm ơn đến Ban Giám Hiệu, ban lãnh đạo chuyên viên phòng Sau Đại Học tạo điều kiện tốt cho học tập hoàn thành luận văn Footer Page of 185 Header Page of 185 Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương chủ yếu nhắc lại sở lý thuyết cho kết nghiên cứu chương sau 1.1 Đồng luân 1.1.1 Định nghĩa Một phép đồng luân hai ánh xạ liên tục f g từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y định nghĩa ánh xạ liên tục H : X × [ 0;1] → Y cho x ∈ X  H ( x,0 ) = f ( x )   H ( x,1) = g ( x ) Ánh xạ f g gọi đồng luân có phép đồng luân H định nghĩa 1.1.2 Tính chất Quan hệ đồng luân quan hệ tương đương tập hợp tất ánh xạ liên tục từ X đến Y Quan hệ đồng luân tương hợp với hợp thành ánh xạ theo nghĩa sau: “ Nếu f1 , g1 : X → Y ; f , g : Y → Z đồng luân hợp thành f  f1 , g  g1 : X → Z đồng luân’’ 1.1.3 Định nghĩa Cho hai không gian X , Y , ta nói chúng tương đương đồng luân (hoặc dạng đồng luân) nếu: “tồn hai ánh xạ liên tục f : X → Y , g : Y → X cho g  f đồng luân với ánh xạ đồng id X f  g đồng luân với ánh xạ đồng idY ’’ Footer Page of 185 Header Page of 185 Cụ thể X Y tương đương đồng luân tồn ánh xạ liên tục f : X → Y g : Y → X phép đồng luân H : X × [ 0;1] → X , G : Y × [ 0;1] → Y cho: H= ( x,0 ) x; H= ( x,1) g  f ( x ) , ∀x ∈ X G= ( y,0 ) y; G= ( y,1) f  g ( y ) , ∀y ∈ Y Hai không gian tôpô đồng phôi tương đương đồng luân, ngược lại không Không gian tương đương đồng luân đến điểm gọi “ co rút được” 1.2 Tế bào Định nghĩa: Trong không gian  n , cầu đóng n chiều kí hiệu B n = {x ∈  n : x ≤ 1} , x kí hiệu cho chuẩn Euclide x Một không gian tạo thành ảnh B n qua phép đồng phôi gọi n - tế bào n Trong  , ta có B ≈ I = ∏[0,1]i nên nhiều tài liệu tác giả n n n i =1 định nghĩa n - tế bào không gian đồng phôi với I n 1.3 CW – phức Định nghĩa: Một cặp ( X , ε ) bao gồm không gian Hausdorff X phân hoạch tế bào ε X gọi CW – phức thỏa ba điều kiện sau đây: Với n - tế bào e ∈ e , có ánh xạ φe : B n → X hạn chế thành ( ) đồng cấu φe |int Bn : int B n → e biến S n−1 vào X n−1 ( ) Với n - tế bào e ∈ e bao đóng e giao hữu hạn tế bào khác ε Một tập A ⊆ X đóng A  e đóng X với e ∈e Footer Page of 185 Header Page 10 of 185 1.4 Số siêu phức (Quaternion) 1.4.1 Định nghĩa Như tập hợp, số siêu phức H tương đương  H có ba toán tử : cộng, nhân vô hướng, nhân siêu phức: • Tổng hai phần tử H định nghĩa tổng phần tử 4 • Tương tự, tích phần tử H với số thực định nghĩa giống tích vô hướng  • Để xác định tích hai phần tử H đòi hỏi lựa chọn sở cho  Các phần tử sở ký hiệu 1, i, j , k Mọi phần tử H viết cách biểu diễn tuyến tính phần tử sở này, ví dụ a1 + bi + cj + dk , ∀a, b, c, d ∈  Phần tử sở phần tử đơn vị H, có nghĩa nhân với thay đổi, lý này, phần tử H thường viết a + bi + cj + dk , ∀a, b, c, d ∈  , bỏ phần tử sở Nếu a + bi + cj + dk , ∀a, b, c, d ∈  siêu phức bất kì, a gọi phần vô hướng bi + cj + dk phần vectơ Tất số siêu phức xem vectơ không gian vectơ bốn chiều Số có dạng a + 0i + j + 0k , a ∈  , gọi thực Số có dạng + bi + cj + dk , b, c, d ∈  b, c d khác 0, gọi ảo túy Liên hợp số siêu phức tương tự liên hợp số phức Gọi q =a + bi + cj + dk số siêu phức Các liên hợp q số siêu phức q* =a − bi − cj − dk Nếu p q số siêu phức ( pq ) = q* p* * Footer Page 10 of 185 Header Page 41 of 185 37 tầm thường F có đặc số 0, α i ≠ suy iα i ≠ i > Vì vậy, ta giả sử phương trình gốc có bậc thấp nhất, ta đến phủ định Trong trường hợp xn lẻ hoàn toàn tương tự Áp dụng q∆ đến phương trình α + α1 xn = cho ta : ( ) = α ⊗ + (α1 ⊗ 1) xn ⊗ + ⊗ x n = (α + α1 xn ) ⊗ + α1 ⊗ x n điều suy α1 = hiển Vì α + α1 xn = , ta α1 ⊗ x n = nhiên α =  Cấu trúc đại số Hopf  phức tạp trường Sau ví dụ minh họa cho điều 3.1.8 Bổ đề (Định lý Lucas) Cho n, k số nguyên không âm, p số nguyên tố thì:  n  m  ni   k  = ∏ k    i =0  i  ( mod p ) : n nm p m + nm−1 p m−1 + + n1 p1 + n0 = = k km p m + km−1 p m−1 + + k1 p1 + k0 với ≤ ni , ki < p biểu diễn p – adic n, k n n Với qui ước   = n < k   = n ≥ k  0 3.1.9 Bổ đề Với n > , H * ( J ( S n ) ;  ) bao gồm  chiều bội số n Nếu n chẵn, lũy thừa thứ i phần tử sinh H n ( J ( S n ) ;  ) ( ) i ! lần phần tử sinh H in J ( S n ) ;  , với i ≥ Footer Page 41 of 185 Header Page 42 of 185 38 Với n chẵn, H * ( J ( S n ) ;  ) xem vành vành đa thức αi Vành gọi đại số đa  [α ] sinh đơn thức i! thức chia Ký hiệu Γ  [α ] Rõ ràng Γ  [α ] ⊂  [α ] , ta đặt α i = αi i! cấu i + j  trúc nhân cho α iα j =  α i + j i   Tổng quát hơn, với vành giao hoán R , ta kiểm tra Γ R [α ] R - modul tự với sở α = 1,α1 ,α phép nhân xác i + j  định α iα j =  α i + j i   Từ bổ đề 3.1.9 suy H * ( J ( S n ) ; R ) ≈ Γ R [α ] : • Khi R =  , rõ ràng Γ  [α ]  [α ] • Khi R =  p với p nguyên tố ta có đẳng cấu ( ) ( )  p α p  / α p p Γ  [α ] ≈  p α1 ,α p ,α p ,  / α1 p ,α p p ,α p p , = ⊗ i ≥0 p i i Thật vậy, Γ  [α ] = Γ  [α ] ⊗  p , điều tương đương : p Phần tử α1n α pn α pn ∈ Γ  [α ] chia hết cho p với ni ≥ p với i Mà k k α1n α pn α pn = mα n với n = n0 + n1 p + + nk p k m số nguyên k k bất kì.(*) Câu hỏi p chia hết cho m ? Ta có α nα p chia hết cho p nk= p − (**) , giả sử k ni < p, ∀i Điều suy (*) nguyên lý qui nạp Để chứng minh  n + pk  (**) ta nhắc lại α nα p =  α n + p Giá trị đồng dư với p có n   k Footer Page 42 of 185 k Header Page 43 of 185 39 thể tính từ bổ đề 3.1.8 Giả sử ni < p, ∀i nk + < p , biểu diễn p – adic n + p k n khác hệ số p k , ta có  n + p k   nk + 1 = =     nk + Kết thúc phần ta thu n n    k  nk + =p biểu diễn p – adic n + p k n khác hệ số p k +1 Nhận xét rằng, đại số đa thức chia ý nghĩa đối ngẫu với đại số đa thức 3.1.10 Ví dụ Đại số đa thức chia Với n chẵn, J ( S n ) H – không gian nên H * ( J ( S n ) ;  ) đại số Hopf Vì H * ( J ( S n ) ;  ) ≈ Τ [α ] nên Τ [α ] đại số Hopf với phần tử sinh α i có số chiều 2i Dễ dàng kiểm tra α1k = k !α k i + phép nhân cho α iα j =   i j α i + j Đối tích Τ [α ] xác  định cách cấu trúc nhân : ∆ (α1k )= (α k  ⊗ + ⊗ α1 ) = ∑  i α k i Suy ∆ (α1k / k !) = ∑ (α i   i ⊗ α1k − i / i !) ⊗ (α1k −i / ( k − i )!) Hay ∆ (α k ) = ∑α i ⊗ α k −i Vì i i vậy, trường hợp đối tích có mô tả đơn giản tích Thật thú vị để xem điều xảy đại số đa thức chia Γ  [α ] ta thay đổi trường hệ số Rõ ràng Γ  [α ]  [α ] Nhưng Γ  [α ] , điều phức tạp Trong Γ  [α ] , phép nhân xác định p p i + j  α iα j =  α i + j Tồn đẳng cấu đại số Γ  [α ] ≈ ⊗ p α p  / α p p Xét  i ≥0  i  p Footer Page 43 of 185 i ( ) i Header Page 44 of 185 40 với khía cạnh đại số Hopf với đối tích cho ∆ (α k ) = ∑α i ⊗ α k −i i hai đối tượng khác α p nguyên thủy i ⊗ α i ≥0 p pi ( ) / α p p  i nguyên thủy Γ  [α ] p 3.2 Cấu trúc tích đồng điều H – không gian Nét đặc biệt khác H – không gian nhóm đồng điều có toán tử tích, gọi tích Pontryagin 3.2.1 Định nghĩa Cho H – không gian X , với phép nhân µ : X × X → X , tích Pontryagin phép hợp thành : µ × → H * ( X × X , R )  → H* ( X , R ) H * ( X , R ) ⊗ H * ( X , R )  * ánh xạ tích cheó Vì tích Pontryagin bao gồm ánh × → H i+ j ( X × Y , R ) xạ song tuyến tính H i ( X , R ) × H j (Y , R )  Không giống tích cup, trường hợp tổng quát : • Tích Pontryagin không kết hợp trừ µ kết hợp kết hợp đồng luân, theo nghĩa ánh xạ X × X × X → X , ( x, y, z )  µ ( x, µ ( y, z ) ) X × X × X → X, ( x, y , z )  µ ( µ ( x, y ) , z ) đồng luân • Tích Pontryagin không giao hoán, theo ý nghĩa phân bậc, trừ µ giao hoán đồng luân – giao hoán (đây trường hợp tương đối cho H – không gian) Chúng ta đưa số ví dụ ngắn tích Pontryagin không giao hoán: Footer Page 44 of 185 Header Page 45 of 185 41 Trong trường hợp X CW phức µ ánh xạ tế bào, tích Pontryagin tính việc sử dụng đồng luân tế bào thông qua chuỗi ánh xạ tế bào : µ × Ci ( X , R ) × C j ( X , R )  → Ci + j ( X × X , R )  → Ci + j ( X , R ) * ánh xạ tích chéo biến phần tử sinh tương ứng từ tế bào ei e j thành phần tử sinh tương ứng với tế bào tích ei × e j , µ* áp dụng lên tế bào tích 3.2.2 Ví dụ Chúng ta tính tích Pontryagin H – không gian J ( S n ) (ví dụ 2.1.10) Cho tế bào ein với i ≥ , µ biến tế bào tích ein × e jn đồng phôi đến tế bào e( i + j )n Một cách dễ hiểu, điều có nghĩa H * ( J ( S n ) ,  ) vành đa thức  [ x ] phần tử sinh n chiều x Điều thỏa với n lẻ n chẵn, tích Pontryagin không cần thiết phải thỏa mãn quan hệ giao hoán tổng quát tích cup Trong ví dụ cấu trúc tích Pontryagin đơn giản cấu trúc tích cup, số H – không gian điều ngược lại Trong ứng dụng , ta thường chọn lựa cấu trúc tích tiện lợi để sử dụng Tính toán tổng quát đến J ( X ) X CW phức với ánh xạ biên tế bào tầm thường Ánh xạ biên tế bào tích X m tầm thường phép quy nạp m [9, 269-270] Và ánh xạ biên tế bào J ( X ) tầm thường suy ánh xạ thương X m → J m ( X ) tế bào tế bào J m ( X ) ảnh đồng phôi tế bào X m Vì H * ( J ( S n ) ,  ) tự với sở tích e n × × e n k tế bào có số chiều dương cấu trúc nhân cấu trúc nhân đa thức Footer Page 45 of 185 Header Page 46 of 185 42 với biến số không giao hoán tương ứng với tế bào có số chiều dương 3.2.3 Mệnh đề Nếu phức liên thông với một modul tự đẳng cấu với đại số tenxơ do, Chứng minh: Với hệ số đến đồng cấu mà thu hẹp , lấy - tích tenxơ hợp thành ánh xạ từ đầu đến cuối cảm sinh ánh xạ thương Rõ ràng đồng cấu vành tích Để nhiên cảm sinh từ ánh xạ tự đẳng cấu ta xét biểu đồ giao hoán dãy khớp ngắn : Trong hàng trên, với điều cho cặp kí hiệu tổng trực tiếp tích , dòng khớp Dòng thứ hai dãy khớp đồng , với thương tích -bộ Dãy khớp chẻ thành dãy khớp ngắn trình bày, tính giao hoán hình vuông bên phải mặt khác ánh xạ bên phải đẳng cấu công thức Kunneth, sử dụng giả thiết số cho trước Từ biểu đồ ta suy Footer Page 46 of 185 tự vành hệ đẳng Header Page 47 of 185 43  ( X ) → H ( J ( X ) ) cấu với n Cho n tiến đến ∞ ta ϕ :T H * *  ( X ) không phụ thuộc đẳng cấu số chiều cho trước Tn H * vào n n đủ lớn, tương tự điều cho H * ( J n ( X ) ) dòng thứ hai biểu đồ  3.3 Đại số Hopf đối ngẫu Có kết nối mật thiết tích Pontryagin đồng điều cấu trúc đại số Hopf đối đồng điều Giả sử X H – không gian xét H n ( X ; R ) với hệ số thuộc trường R , không gian vectơ H n ( X ; R ) hữu hạn chiều với n Bằng tính khớp : → Ext R ( H n −1 ( X ) , R ) → H n ( X ; R ) → HomR ( H n ( X ) , R ) → ta thu : H n ( X ; R ) = HomR ( H n ( X ; R ) , R ) Mặt khác ta có hệ tích Pontryagin : H* ( X ; R ) ⊗ H* ( X ; R ) → H* ( X ; R ) Nếu xét hai mặt vấn đề ta được: Hom ( H * ( X ; R ) ) → Hom ( H * ( X ; R ) ⊗ H * ( X ; R ) )  Hom ( H * ( X ; R ) ) ⊗ Hom ( H * ( X ; R ) ) Điều suy ta có đồng cấu: H * ( X ; R ) → H * ( X ; R ) ⊗ H * ( X ; R ) Vì tích Pontryagin ánh xạ đối tích ∆ : H * ( X ; R ) → H * ( X ; R ) ⊗ H * ( X ; R ) cảm sinh ánh xạ tích H – không gian µ : X × X → X , nên đối tích ∆ tích Pontryagin đối ngẫu với Bởi đối tích đối đồng điều xác định từ tích Pontryagin đồng điều ngược lại Footer Page 47 of 185 Header Page 48 of 185 44 Đặc biệt, hợp thành ∆ ij : H i + j ( X ; R ) → H i ( X ; R ) ⊗ H j ( X ; R ) ∆ đối ngẫu với tích H i ( X ; R ) ⊗ H j ( X ; R ) → H i + j ( X ; R ) 3.3.1 Ví dụ Xét J ( S n ) với n chẵn, H * ( J ( S n ) ,  ) đại số đa thức chia Γ  [α ] (bổ đề 3.1.9) Trong ví dụ 3.1.10 ta suy công thức đối tích ∆ (α k ) = ∑α i ⊗ α k −i Vì ∆ ij biến α i + j thành α i ⊗ α j , xi i phần tử sinh H in ( J ( S n ) ,  ) đối ngẫu với α i xi x j = xi + j Điều nói H * ( J ( S n ) ,  ) vành đa thức  [ x ] Ta chứng minh điều ví dụ 3.2.2 việc sử dụng cấu trúc tế bào J ( S n ) , chứng minh kết luận hoàn toàn thiên phương diện đại số từ cấu trúc tích cup Một câu hỏi đặt : “Mối quan hệ đồng điều đối đồng điều H – không gian ?” Bằng sở lập luận hoàn toàn thiên đại số, ta trả lời vấn đề thông qua mệnh đề sau: 3.3.2 Mệnh đề Cho A đại số Hopf R , với A R - modul tự do, hữu hạn sinh chiều Khi tích π : A ⊗ A → A đối tích ∆ : A → A ⊗ A có đối ngẫu π * : A* → A* ⊗ A* ∆* : A* ⊗ A* → A* , A* cung cấp cấu trúc đại số Hopf Chứng minh: Điều rõ ràng ta diễn giải lại cấu trúc đại số Hopf A cặp đồng cấu R - modul phân bậc π : A ⊗ A → A ∆ : A → A ⊗ A với phần tử đơn vị 1∈ A0 thỏa: Footer Page 48 of 185 Header Page 49 of 185 45 Hai hợp thành nhất, Điều nói vị hai phía cho phép nhân đồng , , đơn Hai hợp thành nhất, đồng nếu với Từ ta với công thức đối tích Xét biểu đồ giao hoán sau: Trong Đây với điều kiện để đồng cấu đại số ta cho phần tử qua hợp thành từ đường biểu đồ ta qua ánh xạ , ta , áp dụng qua Đây biểu diễn Điều kiện (1) cho ngẫu (1) cho Footer Page 49 of 185 , đối ngẫu (2) cho Điều kiện (3) cho , tương tự (2) cho , đối ngẫu (3) cho , đối Header Page 50 of 185 46 3.3.3 Ví dụ Chúng ta tìm đối ngẫu đại số đa thức R [ x ] Giả sử x có số chiều chẵn Khi ∆ ( x n ) = ( x ⊗1 + 1⊗ x) n = n ∑  i x i   i ⊗ x n −i n Vì vậy, α i đối ngẫu x i số hạng   x i ⊗ x n −i ∆ ( x n ) cho i n quan hệ tích α iα n −i =  α n Đây quy tắc nhân đại số đa thức i chia, đối ngẫu R [ x ] Γ R [ x ] số chiều x chẵn Điều thỏa = R , tính chất số chiều chẵn x dùng để suy R [ x ] ⊗ R [ x ] có tính giao hoán cách chặt chẽ Trong trường hợp số chiều x lẻ, dựa vào ví dụ 3.1.2, ta đặt y = x , : ∆ ( yn )= ( y ⊗1 + 1⊗ y ) n = n ∑  i y i   i ⊗ y n −i n n ∆ ( x) ∆ ( yn ) = ∆ ( xy n ) = ∑i  i xy i ⊗ y n−i + ∑i  i y i ⊗ xy n−i     Những công thức suy đối ngẫu R [ x ] Λ R [α ] ⊗ Γ R [ β ] α đối ngẫu x β đối ngẫu y Đại số cho phép ta suy cấu trúc tích cup đối đồng điều ( H * J ( S n ), R ) từ tính toán hình học H * ( J ( S n ) , R ) ≈ R [ x ] ví dụ 3.2.2 Như ứng dụng khác, ta biết P ∞ ,  P ∞ H – không gian, từ cấu trúc tích cup ta kết luận vành Pontryagin H * ( P ∞ ,  ) H* (  P ∞ ,  ) đại số đa thức chia Footer Page 50 of 185 Header Page 51 of 185 47 Trong ví dụ này, đại số Hopf phân bậc đại số sinh phần tử nguyên thủy, tích xác định đối tích hiển nhiên xác định nên đại số đối ngẫu Tuy nhiên điều không trường hợp tổng quát Γ  [α ] Ví dụ, ta thấy đại số Hopf ( )  / (α ) phần tử α  p đẳng cấu đại số với ⊗i≥0  p α p  / α pp Nếu ta xét tích tenxơ tích tenxơ đại số i Hopf  p α p i p i pi nguyên thủy ( ) Γ  [α ] p pi với nguyên thủy, không i > Mặt khác, đại số Hopf ⊗i≥0  p α p  / α pp tự đối ngẫu, đối ngẫu với Γ  [α ] lại  p [α ] i Footer Page 51 of 185 i p Header Page 52 of 185 48 KẾT LUẬN Luận văn nêu lên khái niệm ví dụ cụ thể H – không gian Từ xây dựng nên khái niệm đối ngẫu đối H – không gian Nội dung luận văn nghiên cứu mối liên hệ H – không gian đại số Hopf Từ rút kết luận rằng: Với việc đặt A* = H * ( X , R ) X H – không gian liên thông A* đại số Hopf kết hợp, giao hoán trường R Giả sử An hữu hạn R với n : • Trong trường hợp trường R có đặc số : ( ) A* ≈ ( ⊗i R [ xi ]) ⊗ ⊗ j Λ R  x j  Trong xi có số chiều chẵn x j có số chiều lẻ • Trong trường hợp trường R có đặc số p , với p số nguyên tố khác : ( )) ) ( ( A* ≈ ( ⊗i R [ xi ]) ⊗ ⊗ j Λ R  x j  ⊗ ⊗k R [ xk ] / xk p l Trong xi , xk có số chiều chẵn x j có số chiều lẻ • Trong trường hợp trường R có đặc số : ( ( )) A* ≈ ( ⊗i R [ xi ]) ⊗ ⊗ j R  x j  / x j k Trong xi , x j có số chiều chẵn Trên kết thu từ đối đồng điều H – không gian trường R Nếu ta thu hẹp trường R thành cấu trúc nghiêm ngặt hơn, chẳng hạn vành  p (với p nguyên tố) chắn phát sinh thêm nhiều tính chất đặc biệt Việc nghiên cứu lĩnh vực nhiều vấn đề đáng quan tâm Đây hướng luận văn Footer Page 52 of 185 Header Page 53 of 185 49 Đối với tôi, kết luận văn khởi đầu cho trình nghiên cứu Trong trình soạn thảo luận văn khó tránh thiếu sót, mong nhận góp ý quý độc giả Những ý kiến đóng góp quý độc giả cho luận văn ý kiến chân thành, xin trân trọng cảm ơn ghi nhận Footer Page 53 of 185 Header Page 54 of 185 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO Adams J F (1961), The sphere, considered an H – spaces mod p, Quart J Math Oxford Ser, pp 52 – 60 Adams J F., C Wilkerson (1980), Finite H–spaces and algebras over the Steenrod algebra, Ann of Math, pp 95 – 143 Alexandroff P , Hopf H (1972), Topologie, Chelsea, (reprint of original 1935 edition) Arkowitz Martin (2011), Introduction to Homotopy Theory , Universitext, Springer, New York, pp 35 – 74 Armstrong M A (1983), Basic Topology, Springer – Verlag Bott R , Samelson H (1953), On the Pontryagin product in spaces of paths, Comment Math Helv 27, pp 320 – 337 Borel A (1983), Sur l’homologie et la cohomologie des groupes de Lie compacts connexes, vol 1, Springer, Berlin, pp 322 – 391 CARTIER Pierre (2006), A primer of Hopf algebras, Institut des Hautes ´Etudes Scientifiques 35, route de Chartres 91440 – Bures-surYvette, France, pp – 20 Hatcher Allen (2002), Algebraic Topology, Cambridge University Press, pp 185 – 292 10 Hubbuck J R (1968), Some results in the theory of H – spaces, Communicated by P E Thomas 11 Kane R M (1988), The Homology of Hopf Spaces, North – Holland 12 Mimura M , Toda H (1970), Cohomology operations and the homotopy of compact Lie groups I, Topology , pp 317 – 336 13 Quint F (1970), A geometric formulation of surgery, Topology of Manifolds, Markham, Chicago, pp 500 – 511 Footer Page 54 of 185 Header Page 55 of 185 51 14 Zabrodsky A (1970), Homotopy associativity and finite CW complexes, Topology , pp 121 – 128 15 Zabrodsky A (1974), On the genus of finite CW H-spaces, Comment Math Helv 49 , pp 48 – 64 Footer Page 55 of 185 ... VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN Chương xây dựng khái niệm tính chất H – không gian đối ngẫu đối H – không gian Chương ĐẠI SỐ HOPF Chương chủ yếu trình bày mối liên h H – không gian đại số Hopf thông qua... Header Page 18 of 185 14 Chương H – KHÔNG GIAN VÀ ĐỐI H – KHÔNG GIAN Chương luận văn dành cho việc trình bày khái niệm ví dụ cụ thể H – không gian 2.1 H – không gian 2.1.1 Định nghĩa Một không. .. 2.2 Đối H – không gian 23 Chương ĐẠI SỐ HOPF 28 3.1 Đại số đối đồng điều H – không gian đại số Hopf 28 3.2 Cấu trúc tích đồng điều H – không gian 40 3.3 Đại số Hopf đối