Một số ý tưởng xây dựng câu hỏi trắc nghiệm môn Toán

Từ một đối tượng ta liệt kê các tính chất theo dạng các mệnh đề đúng sai từ đó chọn 4 hay nhiều mệnh đề để ghép thành một câu, đảm bảo phải có một phương án đúng.. Việc lựa chọn 4 hay nh

Trang 1

MỘT SỐ Ý TƯỞNG XÂY DỰNG CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN

Nguyễn Minh Nhiên – Phòng KTKĐ Sở GDĐT

1 Liệt kê các tính chất.

Từ một đối tượng ta liệt kê các tính chất theo dạng các mệnh đề đúng sai từ đó chọn 4 hay nhiều mệnh đề để ghép thành một câu, đảm bảo phải có một phương án đúng Việc lựa chọn 4 hay nhiều tính chất giúp ta có nhiều câu hỏi ở mức độ khác nhau, hoặc chỉ cần thay thế bằng các mệnh đề tương tự, ta có thể tạo ra nhưng câu hỏi ở mức độ tương đương Số lượng câu hỏi càng nhiều thì mức độ câu hỏi càng tăng

Ví dụ 1 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 xuất phát từ những tính chất qua khảo sát sự biến thiên và đồ thị hàm số,

ta có những mệnh đề sau:

1 Tập xác định của hàm số là D =¡ \ { }- 1 Đ

7 Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x = - 1 Đ

8 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = - 1 S

9 Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y =2 Đ

10 Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm 1;0

2

Aæççç- ö÷÷÷÷

11 Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A -( 1;0) S

12 Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm B( )0;1 Đ

13 Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm 1;0

2

Aæççç- ö÷÷÷÷

Câu 1 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 , hãy chỉ ra mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Tập xác định của hàm số là D = ¡

B Hàm số đồng biến trên (- 1; +¥ )

C Đồ thị hàm số cắt trục Ox tại điểm A -( 1;0)

D Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = - 1

Phương án đúng: B.

Câu 2 Cho hàm số 2 1

1

x y x





 và các mệnh đề sau:

Trang 2

1) Tập xác định của hàm số là D =¡ \ { }- 1

2) Hàm số đồng biến trên tập xác định

3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là x = - 1

4) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm 1;0

2

Aæççç- ö÷÷÷

÷

çè ø 5) Hàm số đồng biến trên (- ¥ - ; 1)

Mệnh đề đúng là:

A 1) và 3) B 2) và 5) C 1) và 5) D 2) và 4)

Phương án đúng: C.

Ví dụ 2 Cho số phức z= -(1 2 4 3i) ( - i)- 2 8 + i và các mệnh đề sau:

1) Modun của z là một số nguyên tố

2) z có phần thực, phần ảo đều là số âm

3) z là số thực

4) Số phức liên hợp của z có phần ảo là 3.

Số mệnh đề đúng là:

2 Dựa vào khái niệm, định lí, tính chất.

Với các khái niệm, định nghĩa, định lí hay tính chất một trong những cách đặt câu hỏi phổ biến là dựa vào điều kiện của các đối tượng trong ĐN, ĐL

Với khái niệm lũy thừa ta có

Ví dụ 1 Cho ba hàm số ( ) ( ) ( ) ( )2

2

f x =x g x = x h x = x , khi đó mệnh đề nào đúng:

A Đồ thị ba hàm số trùng nhau

B Đồ thị ba hàm số khác nhau đôi một

C Đồ thị hàm số f x( ) trùng với đồ thị hàm số h x( ).

D Đồ thị hàm số g x( ) trùng với đồ thị hàm số h x( ).

Với các khái niệm điểm cực trị; hàm số, đồ thị hàm số, tính đơn điệu,…

Ví dụ 2 Cho hàm số y=f x( ) xác định trên khoảng ( )a b; chứa điểm m. Cho các mệnh đề: 1) Nếu m là điểm cực trị của hàm số y=f x( ) thì f m ='( ) 0.

2) Nếu f x( ) ³ f m( ), " Îx ( )a b; thì m là điểm cực tiểu của hàm số f x( ).

3) Nếu f x( ) <f m( ), " Îx ( )a b x; , ¹ m thì m là điểm cực đại của hàm số f x( ).

Trang 3

4) Nếu f x( ) ³ M x, " Î ( )a b; thì M được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f x( ) trên ( )a b; 5) Nếu f x'( ) ³ 0, " Îx ( )a b; thì f x( ) đồng biến trên ( )a b;

6) Nếu m là điểm cực trị của hàm số y=f x( ) thì tại điểm trên đồ thị có hoành độ m tiếp tuyến tại đó song song với trục Ox

Số mệnh đề đúng là:

A 0 B 1 C 2 D 3

Hướng dẫn giải

1) Sai vì hàm số có thể không có đạo hàm tại m.

2) Sai theo ĐN

3) Đúng

4) Sai vì thiếu ĐK $ Îx0 ( ) ( )a b f x; , 0 =M

5) Sai vì thiếu ĐK f x ='( ) 0 tại hữu hạn điểm

6) Sai vì tiếp tuyến có thể trùng với Ox

Vậy phương án đúng là B.

Dựa vào định nghĩa tích phân xác định

Ví dụ 3 Cho hàm số y=f x( ) liên tục trên ¡ thỏa mãn các điều kiện

( ) 10, ( ) 8, ( ) 7

f x dx= f x dx= f x dx=

Khi đó, c ( )

b

f x dx

A - 5 B 7 C 5 D - 7

Từ giả thiết ta có F d( )- F a( ) = 10,F d( )- F b( ) = 8,F c( )- F a( ) = 7

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5

c

b

f x dx=F c - F b =éêëF c - F a ù éú êû ë+ F d - F bù éú êû ë- F d - F a ùúû=

ò

Vậy phương án đúng là C.

3 Dựa vào sai lầm trong giải toán.

a Dựa vào sai lầm khi giải toán để tạo đáp án nhiễu

Ta có thể dựa vào những lỗi của học sinh khi nhận biết định nghĩa, định lí, tính chất

Ví dụ 1 Cho hàm số 1

1

x y x

+

=

- , mệnh đề nào sau đây là đúng

A Hàm số nghịch biến trên (- ¥ ;1) (È 1; +¥ ).

B Hàm số có tiệm cận đứng x =1

C Đồ thị hàm số không có cực trị

D Đồ thị hàm số cắt trục hoành tại đúng một điểm

Phương án đúng: D

Trang 4

b Dựa vào lỗi thường gặp khi trình bày lời giải

Ta có thể kiểm tra học sinh thông qua việc tìm lời giải đúng hoặc tìm lỗi trong lời giải

Ví dụ 2 Khi giải bất phương trình (x2- 3x x) 2- x- 2³ 0 một học sinh làm như sau:

2

2 0

x x

ïï

ïïî (bước 1)

3 0 2 1

x x x x

ì é

ï ³

ï ê

ïï ê £

ï ê

ï ë

Û í éïï ê ³

ïï ê £

-ï ê

ï ë î

(bước 2)

3 1

x x

é ³ ê

Û ê £ -ê (bước 3) Hãy chọn khẳng định đúng:

A Lời giải trên sai ở bước 1 B Lời giải trên sai ở bước 2

C Lời giải trên sai ở bước 3 D Lời giải trên hoàn toàn đúng

Phương án đúng là A.

Ví dụ 3 (Bài tập 5, SGK Giải tích 12 - Ban cơ bản) Chứng minh rằng tan x x , với 0;

2

x   

Cho lời giải gồm 3 bước như sau:

Bước 1 Xét hàm số f x  tanx x , với 0;

2

x  p

 

2

2 cos

x

p

 

 

Bước 2 Suy ra hàm số f x đồng biến trên khoảng 0; 

2

p

 

 

  Bước 3 Từ x> Þ0 f x( ) >f( )0 hay tan 0 tan , 0;

2

x x- > Û x> " Î çx x æ öçç p÷÷÷÷

çè ø Hãy chọn khẳng định đúng:

A Lời giải trên sai ở bước 1 B Lời giải trên sai ở bước 2

C Lời giải trên sai ở bước 3 D Lời giải trên hoàn toàn đúng

Phương án đúng C

4 Sử dụng kết quả tổng quát thay bằng trường hợp cụ thể.

Trang 5

Ta có thể xây dựng một số kết quả tổng quát, từ đó chỉ cần thay bằng những trường hợp

cụ thể Cách làm này thuận tiện với người ra đề

* Đồ thị hàm số y=ax4 +bx2 +c với ab <0 có ba điểm cực trị, ta có thể chỉ ra tọa độ các điểm

cực trị là: ( )0; , ; , ;

·

8

+

-2

1

ABC

S

a a

-Tâm đường tròn ngoài tiếp tam giác ABC là 0; 1

c I

Ví dụ 1 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số yx42mx21 có

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác đều

A m  0 B m  33 C m 33 D m  1

Ví dụ 2 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số yx42mx21 có

ba điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích bằng 4 2

A m  1 B m  2 C m  2 D m 4 2

* Ta có thể xây dựng một số công thức tính thể tích cho một lớp các khối đa diện, từ đó áp dụng cho trường hợp cụ thể

5 Từ một đề tự luận có sẵn chuyển sang đề trắc nghiệm.

Với những đề thi tự luận sẵn có, ta thể chuyển về các câu hỏi trắc nghiệm để làm phong phú thêm ngân hàng câu hỏi Ta nên chọn những bài toán phù hợp cho cách chuyển này là những bài có lời giải đơn giản không quá phức tạp, dài dòng

Trong phần này chúng ta sẽ đưa ra một số cách chuyển từ bài tập tự luận sang bài tập trắc nghiệm, lấy từ đề thi THPT Quốc gia năm 2016

Ví dụ 1 (Câu I.1) Cho số phức z thỏa mãn z = +1 2 i Tìm phần thực và phần ảo của số phức 2

w= z+z

Ta có thể chuyển sang cách hỏi sau:

1) Cho số phức z thỏa mãn z= +1 2 i Phần thực và phần ảo của số phức w=2z+z lần lượt là:

A 2 và 3 B 1 và 3 C 3 và 2 D 3 và 1

Phương án đúng: C

Trang 6

2) Cho số phức z thỏa mãn z= +1 2 i Mô đun của số phức w=2z+z bằng

Phương án đúng: B

3) Cho số phức z thỏa mãn z= +1 2 i Điểm M biểu diễn số phức w=2z+z, điểm M' đối xứng với M qua gốc tọa độ O có tọa độ:

A M ' 3;2( ) B M -' 3; 2( - ) C M -' 3;2( ) D M ' 3; 2( - )

Ví dụ 2 (Câu III) Tìm m để hàm số f x( )x3 3x2 mx1 có hai điểm cực trị Gọi x x1, 2 là hai điểm cực trị đó, tìm m để 2 2

x +x = 1) Cho hàm số f x( )x3 3x2mx1 có hai điểm cực trị x x1, 2, để 2 2

x +x = thì m bằng

2

2) Cho hàm số f x( )x3 3x2mx1 có hai điểm cực trị x x1, 2và các giá trị cực trị tương ứng là

1, 2

y y Biết 2 2

x +x = khi đó y y1 2 bằng

A 7

4

Phương án đúng: A

Câu này có thể dùng máy tính nhưng vẫn phải giải để tìm m

2

y=y x- - x- Þ y = - x - i =

Ví dụ 3 (Câu IV) Tính tích phân 3 ( )

2 0

I =ò x x+ x + dx

1) Tính tích phân 3 ( )

2 0

I =ò x x+ x + dx

A I =9 B I =88 C 61

3

I =

2) Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=3x x( + x2+16), trục hoành, trục tung

và đường thẳng x =3 bằng

3

Trang 7

3) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) =3x x( + x2+16)

A ( ) 3 2 2 2( 2 16) 2 16

x x

ç

ò

B òf x dx( ) =x3+(x2+16) x2+16+C

C ( ) 3 2( 2 ) 2

3

f x dx=x + x + x + +C

ò

D ( ) 3 3( 2 16) 2 16

2

f x dx=x + x + x + +C

ò

Ví dụ 4 (Câu V) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;2; 2 , - ) (B 1;0;1 ,) (2; 1;3 )

C - Viết phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC. Tìm tọa

độ hình chiếu vuông góc của A trên đường thẳng BC.

1) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;2; 2 , - ) (B 1;0;1 ,) (C 2; 1;3 - ) Phương trình mặt phẳng đi qua A và vuông góc với đường thẳng BC là

A x y z- - - 3 = 0 B 2x- 2y- 2z- 3 = 0

C x y- + 2z+ = 3 0 D.2x- 2y+ 4z+ = 3 0

Phương án đúng: A

2) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;2; 2 , - ) (B 1;0;1 ,) (C 2; 1;3 - ) Điểm H

là hình chiếu của A đường thẳng BC có tọa độ là:

A H(2; 1;3- ) B H(4;3; 2- ) C H(0;1; 1- ) D H(3;4; 1- )

Phương án đúng: C

3) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3;2; 2 , - ) (B 1;0;1 ,) (C 2; 1;3 - ) Điểm

( ; ; )

H a b c là hình chiếu của A đường thẳng BC Khi đó, a2+ + bằngb2 c2

Ví dụ 5 (Câu VII) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại

B AC = a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A B' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 0 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ' ' '

ABC A B C và chứng minh A B' vuông góc với B C'

Trang 8

Ta có thể khai thác các kết quả tính toán về thể tích, góc, khoảng cách hoặc khai thác từ tính chất có được khi làm bài

1) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B AC, = 2 a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A B' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 0 Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' bằng

A 3

3

2) Cho lăng trụ ABC A B C ' ' ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B AC, = 2 a Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh AC, đường thẳng A B' tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 45 0 Với các mệnh đề

(1) Thể tích khối lăng trụ ABC A B C ' ' ' bằng a3

(2) ABA >· ' 450

(3) A B' vuông góc với B C'

Số mệnh đề đúng là

Ví dụ 6 (Câu IX) Giải phương trình

3log ( 2+ +x 2- x) 2log ( 2+ + +x 2- x).log (9 ) (1 log )x + - x =0

Nghiệm của phương trình là:

9

x =

3log ( 2+ +x 2- x) 2log ( 2+ + +x 2- x).log (9 ) (1 log )x + - x =0

Số nghiệm của phương trình là:

A 0 B 1 C 2 D 3

Trang 9

3) Cho phương trình

3log ( 2+ +x 2- x) 2log ( 2+ + +x 2- x).log (9 ) (1 log )x + - x =0 (*)

và các mệnh đề sau:

(1) Phương trình (*) tương đương với phương trình 2 4 - x2 = 9x2 - 4

(2) Phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

(3) Số nghiệm của (*) bằng số nghiệm của phương trình ( )3

2+ +x 2- x =3x Khi đó, số mệnh đề đúng là:

A 0 B 1 C 2 D 3

6 Một số cách ra đề tránh việc sử dụng MTCT

Việc học sinh sử dụng MTCT trong quá trình giải toán là không tránh khỏi Khi đặt câu hỏi trắc nghiệm, tùy theo mức độ nhận thức mà người ra đề muốn đạt được mà cần lựa chọn cách hỏi Với câu hỏi ở mức độ Nhận biết việc học sinh giải trực tiếp hay bấm máy là như nhau Với những câu hỏi ở mức độ cao hơn, cần chọn cách hỏi sao cho phù hợp

Với câu hỏi về phương trình, hệ phương trình, để tránh những khả năng tìm ra đáp án bằng cách thử trực tiếp, ta nên yêu cầu học sinh cho biết những thông tin gián tiếp có liên quan đến nghiệm.

3

2

3

x

+

nghiệm của phương trình bằng:

A 5

3

2

3

x

+

1

4

3

x

é =

ê

Û

ê =

ê

Do đó, phương án đúng là C

Ví dụ 2 Cho hệ phương trình ( )

1

-ïï

( ) ( )x y; = a b; Tính 5a- 10b

A 5a- 10b= - 1 B 5a- 10b=1 C 5a- 10b=3 D 5a- 10b=5

Phương án đúng là B.

Trang 10

Ví dụ 3 Bất phương trình log 2(x+ - 1) 2log 5 4( - x) < - 1 log 2(x- 2) tương đương với bất phương trình nào?

3

2x+ 2x- 4 < + 6 2x- 4.

C 6x4- 7x3+18x2- 20x+ -8 6x- 1< x- 2 1.- D ( 2 )2

2x x +1 ³ 1.

Phương án đúng là C

log x+ - 1 2log 5 - x < - 1 log x- 2 có ĐK xác định 2 < <x 5

Từ đó ra nghiệm 2 < <x 3

( ) (2 )( )

2

x

ìï < <

ï

ïî nên loại phương án A.

Nhận xét ( )2

x + ³ "x nên chỉ cần 1

2

x ³ thì BPT luôn thỏa mãn, nên phương án D loại

3

2x+ 2x- 4 < + 6 2x- 4 đặt t = 3 2x- 4 với x Î ( )2;3 thì t Î ( )0; 2 3 ta được

t + - -t t <

Xét hàm số f t( ) =t3 + - -t2 t 2

3

t

f t

t

é = -ê ê

= Û

ê = ê BBT

-2 -1

0 0

+

-

0

-

f(t)

f'(t)

t

Dễ thấy có khoảng con của khoảng t Î ( )0; 2 3 mà f t >( ) 0 nên phương án B loại

Ngoài ra, ta có thể giải trực tiếp BPT 6x4- 7x3+18x2- 20x+ -8 6x- 1< x- 2 1

-Với ĐK x ³ 2 ta có

Trang 11

( ) ( )3

6x - 7x + 18x - 20x+ - 8 x- 1 < x- 2 1 - Û 6 x- 1 x- 2 - x- 1 < x- 2 1

x

Với x ³ 2 thì 6 1 1

2 1

x

2 1

x

- çç - - ÷÷< Û < <

Với các bài toán về hàm số, có thể đặt các câu hỏi liên quan đến các hàm chứa tham số hoặc câu hỏi liên quan đến đồ thị.

Ví dụ 1 Cho hàm số y=x3 +ax b a+ ,( ¹ b). Tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại các điểm có hoành độ x=a và x=b song song Khi đó, f( )1 bằng

f a =f b Û a + =a b + Þa a= - Þb f x =x - bx b+ Þ f =

Ví dụ 2 Cho hàm số y=ax4 +bx2 + 1, để hàm số có một cực tiểu và hai cực đại thì điều kiện của a b, là:

A a<0,b<0 B a<0,b>0 C a >0,b<0 D a>0,b>0

Hàm số có một cực tiểu và hai cực đại

0 0

a

ï

ï- > ï >

ïïî

Phương án đúng: B.

Ví dụ 3 Cho hàm số yf x  có đồ thị như hình vẽ Phương trình

f x  có bao nhiêu nghiệm trên 2;1

A 1 B 0 C 2 D 3

Phương án đúng là C.

Với các bài toán về số phức, có thể đặt câu gián tiếp hoặc câu hỏi liên quan tới biểu diễn hình học của số phức.

Ví dụ 1 Tập hợp các điểm biểu diễn hình học của số phức z là

đường thẳng như hình vẽ Giá trị z nhỏ nhất là:

A 1

2 B 1 C 2 D 2

-1

3

1 1 -1 -2

y

x O

1

y

x O

Trang 12

Phương án đúng là C.

Ví dụ 2 Cho số phức z thỏa mãn (i 3)z 2 i (2 i z)

i

+ + + = - Mô đun của số phức w= -z i

bằng:

A 26

Phương án đúng: A.

Với các bài toán về nguyên hàm, tích phân, ứng dụng tích phân, ta có thể đặt câu hỏi liên quan đến tính chất, cách biến đổi hay ứng dụng của tích phân với bài toán thực tế.

Ví dụ 1 Cho các mệnh đề sau:

(1) Diện tích hình tròn tâm I ( )1;0 bán kính 1 là

2

2 0

2ò 2x x dx-

(2) Thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm 1;2

3

Hæ öççç ÷÷÷

÷

çè ø, bán kính 1 quay quanh trục Ox bằng thể tích khối tròn xoay sinh bởi hình tròn tâm K ( )3;4 , bán kính 1 quay quanh trục Ox

(3) Nếu u x v x là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên khoảng K và ,( ) ( ), a b KÎ thì

b a

u x v x dx u x v x= - v x u x dx

Các mệnh đề đúng là:

A (1) và (2) B (2) và (3) C (1) và (3) D (1), (2) và (3)

Phương án đúng là C

Ví dụ 2 Cho tích phân

11 2x

x dx I

-=

+

ò , phép đổi biến t thành x nào chuyển I thành tích phân

1 4

1

2

1 2

t

t dt

I

-=

+

ò

A t =x B t = - x C t =2x D t =x2

Phương án đúng B

Định dạng
Số trang	12
Dung lượng	1 MB