Một số ý tưởng xây dựng câu hỏi trắc nghiệm môn Toán

MT S í TNG XY DNG CU HI TRC NGHIM MễN TON Nguyn Minh Nhiờn Phũng KTK S GDT Lit kờ cỏc tớnh cht T mt i tng ta lit kờ cỏc tớnh cht theo dng cỏc mnh ỳng sai t ú chn hay nhiu mnh ghộp thnh mt cõu, m bo phi cú mt phng ỏn ỳng Vic la chn hay nhiu tớnh cht giỳp ta cú nhiu cõu hi mc khỏc nhau, hoc ch cn thay th bng cỏc mnh tng t, ta cú th to nhng cõu hi mc tng ng S lng cõu hi cng nhiu thỡ mc cõu hi cng tng 2x + xut phỏt t nhng tớnh cht qua kho sỏt s bin thiờn v x+1 th hm s, ta cú nhng mnh sau: TT Mnh ỏp ỏn Tp xỏc nh ca hm s l D = Ă \ { - 1} Tp xỏc nh ca hm s l D = Ă S Hm s ng bin trờn ( - 1; +Ơ ) Vớ d Cho hm s y = Hm s nghch bin trờn ( - Ơ ;- 1) Hm s ng bin trờn xỏc nh Hm s ng bin trờn ( - Ơ ;- 1) Tim cn ng ca th hm s l x = - Tim cn ngang ca th hm s l x = - Tim cn ngang ca th hm s l y = 10 ữ - ;0ữ ỗ th hm s ct trc Ox ti im A ỗ ữ ỗ ữ ố ứ 11 th hm s ct trc Ox ti im A ( - 1;0) S 12 th hm s ct trc Oy ti im B ( 0;1) 13 ữ - ;0ữ ỗ th hm s ct trc Oy ti im A ỗ ữ ỗ ố ữ ứ ổ1 ổ1 2x + , hóy ch mnh ỳng cỏc mnh sau: x+1 A Tp xỏc nh ca hm s l D = Ă Cõu Cho hm s y = B Hm s ng bin trờn ( - 1;+Ơ ) C th hm s ct trc Ox ti im A ( - 1;0) D Tim cn ngang ca th hm s l x = - Phng ỏn ỳng: B Cõu Cho hm s y = 2x + v cỏc mnh sau: x+1 S S S S 1) Tp xỏc nh ca hm s l D = Ă \ { - 1} 2) Hm s ng bin trờn xỏc nh 3) Tim cn ngang ca th hm s l x = - ổ1 ữ - ;0ữ ỗ 4) th hm s ct trc Oy ti im A ỗ ữ ỗ ố ữ ứ 5) Hm s ng bin trờn ( - Ơ ;- 1) Mnh ỳng l: A 1) v 3) Phng ỏn ỳng: C B 2) v 5) C 1) v 5) D 2) v 4) Vớ d Cho s phc z = ( 1- 2i ) ( - 3i ) - + 8i v cỏc mnh sau: 1) Modun ca z l mt s nguyờn t 2) z cú phn thc, phn o u l s õm 3) z l s thc 4) S phc liờn hp ca z cú phn o l S mnh ỳng l: A B C.3 D Da vo khỏi nim, nh lớ, tớnh cht Vi cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lớ hay tớnh cht mt nhng cỏch t cõu hi ph bin l da vo iu kin ca cỏc i tng N, L Vi khỏi nim ly tha ta cú Vớ d Cho ba hm s f ( x) = x, g( x) = x2, h ( x) = ( x) , ú mnh no ỳng: A th ba hm s trựng B th ba hm s khỏc ụi mt C th hm s f ( x) trựng vi th hm s h ( x) D th hm s g( x) trựng vi th hm s h ( x) Phng ỏn ỳng: B Vi cỏc khỏi nim im cc tr; hm s, th hm s, tớnh n iu, Vớ d Cho hm s y = f ( x) xỏc nh trờn khong ( a;b) cha im m Cho cỏc mnh : 1) Nu m l im cc tr ca hm s y = f ( x) thỡ f '( m) = 2) Nu f ( x) f ( m) , " x ẻ ( a;b) thỡ m l im cc tiu ca hm s f ( x) 3) Nu f ( x) < f ( m) , " x ẻ ( a;b) , x m thỡ m l im cc i ca hm s f ( x) 4) Nu f ( x) M , " x ẻ ( a;b) thỡ M c gi l giỏ tr nh nht ca hm s y = f ( x) trờn ( a;b) 5) Nu f '( x) 0, " x ẻ ( a;b) thỡ f ( x) ng bin trờn ( a;b) 6) Nu m l im cc tr ca hm s y = f ( x) thỡ ti im trờn th cú honh m tip tuyn ti ú song song vi trc Ox S mnh ỳng l: A B C D Hng dn gii 1) Sai vỡ hm s cú th khụng cú o hm ti m 2) Sai theo N 3) ỳng 4) Sai vỡ thiu K $x0 ẻ ( a;b) , f ( x0 ) = M 5) Sai vỡ thiu K f '( x) = ti hu hn im 6) Sai vỡ tip tuyn cú th trựng vi Ox Vy phng ỏn ỳng l B Da vo nh ngha tớch phõn xỏc nh Vớ d Cho hm s y = f ( x) liờn tc trờn Ă tha cỏc iu kin d d c a b a ũ f ( x) dx = 10, ũ f ( x) dx = 8, ũ f ( x) dx = c Khi ú, ũ f ( x) dx bng b A - B C D - T gi thit ta cú F ( d) - F ( a) = 10, F ( d) - F ( b) = 8, F ( c) - F ( a) = c ũ f ( x) dx = F ( c) - F ( b) = ộởờF ( c) - F ( a) ựỷỳ+ ộởờF ( d) - F ( b) ựỷỳb ộF ( d) - F ( a) ự= ỳ ỷ Vy phng ỏn ỳng l C Da vo sai lm gii toỏn a Da vo sai lm gii toỏn to ỏp ỏn nhiu Ta cú th da vo nhng li ca hc sinh nhn bit nh ngha, nh lớ, tớnh cht Vớ d Cho hm s y = x +1 , mnh no sau õy l ỳng x- A Hm s nghch bin trờn ( - Ơ ;1) ẩ ( 1; +Ơ ) B Hm s cú tim cn ng x = C th hm s khụng cú cc tr D th hm s ct trc honh ti ỳng mt im Phng ỏn ỳng: D b Da vo li thng gp trỡnh by li gii Ta cú th kim tra hc sinh thụng qua vic tỡm li gii ỳng hoc tỡm li li gii Vớ d Khi gii bt phng trỡnh ( x2 - 3x) x2 - x - mt hc sinh lm nh sau: (x ) - 3x ỡù x2 - 3x x - x - ùớ (bc 1) ùù x - x - ùợ ỡù ộx ùù ùù ờx Ê ùớ (bc 2) ùù ộx ùù xÊ - ùù ợở ộx (bc 3) ờx Ê - Hóy chn khng nh ỳng: A Li gii trờn sai bc C Li gii trờn sai bc Phng ỏn ỳng l A B Li gii trờn sai bc D Li gii trờn hon ton ỳng Vớ d (Bi 5, SGK Gii tớch 12 - Ban c bn) Chng minh rng tan x > x , vi x 0; ữ Cho li gii gm bc nh sau: p Bc Xột hm s f x = tan x x , vi x 0; ữ ( ) ( ) Ta cú f x = p = tan2 x > 0, x 0; ữ cos x p Bc Suy hm s f x ng bin trờn khong 0; ữ ( ) ổ pữ Bc T x > ị f ( x) > f ( 0) hay tan x - x > tan x > x, " x ẻ ỗ ỗ0; ữ ữ ỗ ố 2ữ ứ Hóy chn khng nh ỳng: A Li gii trờn sai bc C Li gii trờn sai bc B Li gii trờn sai bc D Li gii trờn hon ton ỳng Phng ỏn ỳng C S dng kt qu tng quỏt thay bng trng hp c th Ta cú th xõy dng mt s kt qu tng quỏt, t ú ch cn thay bng nhng trng hp c th Cỏch lm ny thun tin vi ngi * th hm s y = ax4 + bx2 + c vi ab < cú ba im cc tr, ta cú th ch ta cỏc im ổ b ổ Dữ b Dữ ữ ỗ ỗ ữ ỗ ỗ A ; c , B ; , C ; ữ ữ ( ) cc tr l: ỗ ỗ ữ ỗ ỗ 2a 4a ữ ữ ố ữ ỗ 2a 4a ứ ỗ ố ứ AB = AC = SABC = b4 b b b3 + 8a ã ; BC = ;cos BAC = 2a 16a2 2a b3 - 8a b2 b 4a 2a ổc Dử ữ ữ 0; + ỗ Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc ABC l I ỗ ữ ỗ ữ ố b 8a ứ Vớ d Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m cho th ca hm s y = x + 2mx + cú ba im cc tr to thnh mt tam giỏc u A m = B m = 3 C m = 3 D m = Phng ỏn ỳng: B Vớ d Tỡm tt c cỏc giỏ tr thc ca tham s m cho th ca hm s y = x + 2mx + cú ba im cc tr to thnh mt tam giỏc cú din tớch bng A m = B m = C m = D m = Phng ỏn ỳng: C * Ta cú th xõy dng mt s cụng thc tớnh th tớch cho mt lp cỏc a din, t ú ỏp dng cho trng hp c th T mt t lun cú sn chuyn sang trc nghim Vi nhng thi t lun sn cú, ta th chuyn v cỏc cõu hi trc nghim lm phong phỳ thờm ngõn hng cõu hi Ta nờn chn nhng bi toỏn phự hp cho cỏch chuyn ny l nhng bi cú li gii n gin khụng quỏ phc tp, di dũng Trong phn ny chỳng ta s a mt s cỏch chuyn t bi t lun sang bi trc nghim, ly t thi THPT Quc gia nm 2016 Vớ d (Cõu I.1) Cho s phc z tha z = 1+ 2i Tỡm phn thc v phn o ca s phc w = 2z + z Ta cú th chuyn sang cỏch hi sau: 1) Cho s phc z tha z = + 2i Phn thc v phn o ca s phc w = 2z + z ln lt l: A v B v C v D v Phng ỏn ỳng: C 2) Cho s phc z tha z = + 2i Mụ un ca s phc w = 2z + z bng A B 13 C 10 D Phng ỏn ỳng: B 3) Cho s phc z tha z = + 2i im M biu din s phc w = 2z + z, im M ' i xng vi M qua gc ta O cú ta : A M '( 3;2) B M '( - 3;- 2) C M '( - 3;2) D M '( 3;- 2) Phng ỏn ỳng: B Vớ d (Cõu III) Tỡm m hm s f ( x) = x3 x + mx cú hai im cc tr Gi x1 , x2 l hai im cc tr ú, tỡm m x12 + x22 = 1) Cho hm s f ( x) = x 3x + mx cú hai im cc tr x1 , x2 , x12 + x22 = thỡ m bng A B C D Phng ỏn ỳng: D 2) Cho hm s f ( x) = x 3x + mx cú hai im cc tr x1 , x2 v cỏc giỏ tr cc tr tng ng l y1, y2 Bit x12 + x22 = 3, ú y1.y2 bng A B C D Phng ỏn ỳng: A Hng dn gii Cõu ny cú th dựng mỏy tớnh nhng phi gii tỡm m 2y = y '.( x - 1) - 2x - ị yi = - xi y1.y2 = x1x2 + , i = 1,2 1 1 x1 + x2 ) + = + 1+ = ( 4 ( ) Vớ d (Cõu IV) Tớnh tớch phõn I = ũ 3x x + x + 16 dx ( ) 1) Tớnh tớch phõn I = ũ 3x x + x + 16 dx A I = B I = 88 C I = 61 D I = 82 Phng ỏn ỳng: B ( ) 2) Din tớch hỡnh phng gii hn bi th hm s y = 3x x + x + 16 , trc honh, trc tung v ng thng x = bng A B 88 C 61 D 82 Phng ỏn ỳng: B ( ) 3) Tỡm nguyờn hm ca hm s f ( x) = 3x x + x + 16 ổ2 x2 + 16 x2 + 16ữ 3x2 ỗ x ữ ỗ ữ ỗ + +C ữ A ũ f ( x) dx = ỗ ữ ỗ ữ ữ ỗ ố ứ ( B ũ f ( x) dx = x C ũ f ( x) dx = x D ũ f ( x) dx = x ( ) ) + x2 + 16 x2 + 16 + C + 2 x + 16 x2 + 16 + C + x + 16 x2 + 16 + C ( ( ) ) Phng ỏn ỳng: B Vớ d (Cõu V) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A ( 3;2;- 2) , B ( 1;0;1) , C ( 2;- 1;3) Vit phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi ng thng BC Tỡm ta hỡnh chiu vuụng gúc ca A trờn ng thng BC 1) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A ( 3;2;- 2) , B ( 1;0;1) ,C ( 2;- 1;3) Phng trỡnh mt phng i qua A v vuụng gúc vi ng thng BC l A x - y - z - = B 2x - 2y - 2z - = C x - y + 2z + = D 2x - 2y + 4z + = Phng ỏn ỳng: A 2) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A ( 3;2;- 2) , B ( 1;0;1) ,C ( 2;- 1;3) im H l hỡnh chiu ca A ng thng BC cú ta l: A H ( 2;- 1;3) B H ( 4;3;- 2) C H ( 0;1;- 1) D H ( 3;4;- 1) Phng ỏn ỳng: C 3) Trong khụng gian vi h ta Oxyz, cho ba im A ( 3;2;- 2) , B ( 1;0;1) ,C ( 2;- 1;3) im H ( a;b;c) l hỡnh chiu ca A ng thng BC Khi ú, a2 + b2 + c2 bng A B C D Phng ỏn ỳng: B Vớ d (Cõu VII) Cho lng tr ABC A 'B 'C ' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AC = 2a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A ' trờn mt phng ( ABC ) l trung im ca cnh AC , ng thng A 'B to vi mt phng ( ABC ) mt gúc 450 Tớnh theo a th tớch lng tr ABC A 'B 'C ' v chng minh A 'B vuụng gúc vi B 'C Ta cú th khai thỏc cỏc kt qu tớnh toỏn v th tớch, gúc, khong cỏch hoc khai thỏc t tớnh cht cú c lm bi 1) Cho lng tr ABC A 'B 'C ' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AC = 2a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A ' trờn mt phng ( ABC ) l trung im ca cnh AC , ng thng A 'B to vi mt phng ( ABC ) mt gúc 450 Th tớch lng tr ABC A 'B 'C ' bng A a3 B a3 C 2a3 D 2a3 Phng ỏn ỳng: B 2) Cho lng tr ABC A 'B 'C ' cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng cõn ti B, AC = 2a Hỡnh chiu vuụng gúc ca A ' trờn mt phng ( ABC ) l trung im ca cnh AC , ng thng A 'B to vi mt phng ( ABC ) mt gúc 450 Vi cỏc mnh (1) Th tớch lng tr ABC A 'B 'C ' bng a3 ã (2) ABA ' > 450 (3) A 'B vuụng gúc vi B 'C S mnh ỳng l A B Phng ỏn ỳng: D C D Vớ d (Cõu IX) Gii phng trỡnh 3log23( + x + - x) + 2log1( + x + - x).log3(9x3) + (1 - log1 x)2 = 1) Cho phng trỡnh 3log23( + x + - x) + 2log1( + x + - x).log3(9x3) + (1 - log1 x)2 = 3 Nghim ca phng trỡnh l: A x = B x = - Phng ỏn ỳng: D 2) 17 D x = 17 C x = Cho phng trỡnh 3log23( + x + - x) + 2log1( + x + - x).log3(9x3) + (1 - log1 x)2 = S nghim ca phng trỡnh l: A B C Phng ỏn ỳng: B D 3) Cho phng trỡnh 3log23( + x + - x) + 2log1( + x + - x).log3(9x3) + (1 - log1 x)2 = (*) 3 v cỏc mnh sau: (1) Phng trỡnh (*) tng ng vi phng trỡnh - x2 = 9x2 - (2) Phng trỡnh (*) cú hai nghim phõn bit ( (3) S nghim ca (*) bng s nghim ca phng trỡnh + x + 2- x ) = 3x Khi ú, s mnh ỳng l: A B C D Phng ỏn ỳng: B Mt s cỏch trỏnh vic s dng MTCT Vic hc sinh s dng MTCT quỏ trỡnh gii toỏn l khụng trỏnh Khi t cõu hi trc nghim, tựy theo mc nhn thc m ngi mun t c m cn la chn cỏch hi Vi cõu hi mc Nhn bit vic hc sinh gii trc tip hay bm mỏy l nh Vi nhng cõu hi mc cao hn, cn chn cỏch hi cho phự hp Vi cõu hi v phng trỡnh, h phng trỡnh, trỏnh nhng kh nng tỡm ỏp ỏn bng cỏch th trc tip, ta nờn yờu cu hc sinh cho bit nhng thụng tin giỏn tip cú liờn quan n nghim x+2 x x 2.3 log x + log 27 = - 9x Tng bỡnh phng cỏc ) Vớ d Phng trỡnh 3( 3 ( ) nghim ca phng trỡnh bng: A B 16 C 25 D Hng dn gii x+21 x x 2.3 log x + log 27 = - 9x 9x - 2.3x - ộ log x - 1) + 1ự ) PT 3( ỳ= 3( ỷ 3 ( ) ( ) ộx = ờx = Do ú, phng ỏn ỳng l C ỡù xy ( x + 1) = x3 + y2 + x - y ù Vớ d Cho h phng trỡnh ùớù ùù 3y + 9x + + ( 4y + 2) ợ ( ( x;y) = ( a;b) Tớnh 5a A 5a - 10b = - Phng ỏn ỳng l B ) ( ) + x + x2 + = cú nghim l 10b B 5a - 10b = C 5a - 10b = D 5a - 10b = Vớ d Bt phng trỡnh log2 ( x + 1) - 2log4 ( - x) < 1- log2 ( x - 2) tng ng vi bt phng trỡnh no? B 2x + ( 2x - 4) < + 2x - A x4 - 6x3 + 9x2 + 4x + 12 < C x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + - x - < x - - D 2x ( x2 + 1) Phng ỏn ỳng l C Hng dn gii log2 ( x + 1) - 2log4 ( - x) < 1- log2 ( x - 2) cú K xỏc nh < x < BPT log2 ( x + 1) ( x - 2) < log2 2( - x) x - 5x + < - < x < T ú nghim < x < ỡù < x < x4 - 6x3 + 9x2 + 4x + 12 < ( x - 2) ( x - 1) ( x - 3) < ùớ nờn loi phng ỏn A ùù x ợ Nhn xột ( x2 + 1) 1, " x nờn ch cn x thỡ BPT luụn tha món, nờn phng ỏn D loi ( ) Vi BPT 2x + ( 2x - 4) < + 2x - t t = 2x - vi x ẻ ( 2;3) thỡ t ẻ 0; ta c t3 + t2 - t - < Xột hm s f ( t ) = t + t - t - ột = - f '( t ) = ờt = BBT ( ) D thy cú khong ca khong t ẻ 0; m f ( t ) > nờn phng ỏn B loi Ngoi ra, ta cú th gii trc tip BPT x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + Vi K x ta cú x - < x - - 6 x4 - 7x3 + 18x2 - 20x + - x - < x - 2- ( x - 1) ( x - 2) - x - 1< x - 2- ổ6 ữ ữ ( x - 3) ỗ x C a > 0,b < ỡù a < ù Hm s cú mt cc tiu v hai cc i ùớù b > ùù ùợ a D a > 0,b > ỡù a < ù ùù b > ợ Phng ỏn ỳng: B Vớ d Cho hm s y = f ( x ) cú th nh hỡnh v Phng trỡnh f ( x ) = cú bao nhiờu nghim trờn [ 2;1] A B C D Phng ỏn ỳng l C Vi cỏc bi toỏn v s phc, cú th t cõu giỏn tip hoc cõu hi liờn quan ti biu din hỡnh hc ca s phc Vớ d Tp hp cỏc im biu din hỡnh hc ca s phc z l ng thng nh hỡnh v Giỏ tr z nh nht l: A B C D Phng ỏn ỳng l C 2+ i Vớ d Cho s phc z tha ( i + 3) z + = ( 2- i ) z Mụ un ca s phc w = z - i i bng: 26 26 B C D 5 25 Phng ỏn ỳng: A Vi cỏc bi toỏn v nguyờn hm, tớch phõn, ng dng tớch phõn, ta cú th t cõu hi liờn quan n tớnh cht, cỏch bin i hay ng dng ca tớch phõn vi bi toỏn thc t Vớ d Cho cỏc mnh sau: A 2 (1) Din tớch hỡnh trũn tõm I ( 1;0) bỏn kớnh l 2ũ 2x - x dx ổ 2ử ữ 1; ữ (2) Th tớch trũn xoay sinh bi hỡnh trũn tõm H ỗ , bỏn kớnh quay quanh trc Ox bng ỗ ữ ỗ ữ ố 3ứ th tớch trũn xoay sinh bi hỡnh trũn tõm K ( 3;4) , bỏn kớnh quay quanh trc Ox (3) Nu u ( x) , v ( x) l hai hm s cú o hm liờn tc trờn khong K v a,b ẻ K thỡ b ũ u ( x) v '( x) dx =u ( x) v( x) a b a b - Cỏc mnh ỳng l: A (1) v (2) B (2) v (3) Phng ỏn ỳng l C ũ v( x) u '( x) dx a C (1) v (3) D (1), (2) v (3) x4dx Vớ d Cho tớch phõn I = ũ , phộp i bin t thnh x no chuyn I thnh tớch phõn x + - 1 t 42t dt 1+ 2t - I =ũ A t = x Phng ỏn ỳng B B t = - x C t = 2x D t = x2 ... mnh ỳng l: A B C.3 D Da vo khỏi nim, nh lớ, tớnh cht Vi cỏc khỏi nim, nh ngha, nh lớ hay tớnh cht mt nhng cỏch t cõu hi ph bin l da vo iu kin ca cỏc i tng N, L Vi khỏi nim ly tha ta cú Vớ d Cho... x) trựng vi th hm s h ( x) D th hm s g( x) trựng vi th hm s h ( x) Phng ỏn ỳng: B Vi cỏc khỏi nim im cc tr; hm s, th hm s, tớnh n iu, Vớ d Cho hm s y = f ( x) xỏc nh trờn khong ( a;b) cha... tr tng ng l y1, y2 Bit x12 + x22 = 3, ú y1.y2 bng A B C D Phng ỏn ỳng: A Hng dn gii Cõu ny cú th dựng mỏy tớnh nhng phi gii tỡm m 2y = y '.( x - 1) - 2x - ị yi = - xi y1.y2 = x1x2 + , i = 1,2