Boi duong 8

Phân thức đại số A. Định nghĩa - tính chất- rút gọn phân thức đại số. Quy đồng mẫu nhiều phân thức I. Kiến thức cần nhớ: 1. Định nghĩa phân thức đại số: Phân thức đại số là biểu thức dạng B A ( A, B: Đa thức; B 0) A: Tử ( Tử thức, tử số); B: Mẫu (Mẫu thức, mẫu số) Mỗi đa thức là một phân thức có mẫu số bằng 1. 2. TXĐ của phân thức một biến là tập hợp các giá trị của biến làm cho MS 0. Biểu thức nguyên xác định x. Tập xác định của ),( ),( yxB yxA là {(x,y)\ B(x,y) 0} 3. Định nghĩa hai phân thức bằng nhau: Hai phân thức A B và C D gọi là bằng nhau nếu A.D = B.C 4. B A = 0 0 0 A B = 4. Số trị của một phân thức đại số có thể đợc xác định bởi gía trị các chữ có mặt trong phân thức đó (khi đó việc tính số của biểu thức đợc đa về việc thực hiện các phép tính về số hữu tỉ), cũng có thể đợc xác định bởi hệ thức giữa các chữ có mặt trong biểu thức( trong trờng hợp này ta sử dụng phép biến đổi đồng nhất đa về trờng hợp 1.) Chú ý: - Cần rút gọn phân thức (nếu có thể) trớc khi tính số trị của nó. - Khi tính số trị của PTĐS biết hệ thức liên hệ giữa các chữ có mặt phân thức ấy, ta có thể biến đổi thành phân thức mới chỉ chứa một chữ bằng phơng pháp thế. - Để so sánh số trị của PTĐS hoặc tìm GTNN, GTLN của một PTĐS ta thờng quy về việc so sánh các phân thức có cùng mẫu hoặc cùng tử. 5. Tính chất cơ bản của phân thức đại số: - Nếu nhân cả tử và mẫu của một phân thức với cùng một đa thức khác 0 thì đợc một phân thức mới bằng phân thức đã cho. - Nếu chia cả tử và mẫu của một phân thức cho một nhân tử chung của chúng thì đợc một phân thức mới bằng phân thức đã cho. B A = BC AC = CB CA : : (C: Đa thức; C 0) 6. Quy tắc đổi dấu: B A = B A = - B A = - B A . 7. Mọi phân thức có hệ số hữu tỷ đều viết đợc dới dạng PTĐS có TT; MT là những đa thức có hệ số nguyên. 8. Hai BTĐS bằng nhau trên tập S nếu chúng có cùng giá trị với mọi giá trị của biến lấy trên S. 9. Rút gọn PT: - định nghĩa : Rút gọn phân thức đại số là biến đổi phân thức ấy thành phân thức mới đơn giản hơn và bằng phân thức đai số đã cho. - Qui tắc: . Phân tích tử, mẫu thành nhân tử (nếu cần). GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 1 . Chia tử, mẫu cho nhân tử chung. 10. Qui đồng mẫu. a. Định nghĩa: Qui đồng mẫu thức nhiều phân thức là biến đổi các phân thức đó thành các phân thức mới lần lợt bằng các phân thức đã cho và có cùng mẫu thức. MTC: Là tích các nhân tử bằng số ở các mẫu thức của các phân thức đã cho (Nếu các nhân tử bằng số ở các mẫu thức là những số nguyên dơng thì nhân tử bằng số ở MTC là BCNN của chúng) với các luỹ thừa có mạt trong các mẫu, mỗi luỹ thừa lấy số mũ cao nhất. b. Qui tắc: . Phân tích các mẫu thành nhân tử rồi tìm MTC. . Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu. . Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng ứng. II. Bài tập: Rút gọn các phân thức đại số: a) A = 1 . 1 . 354045 203040 ++++ ++++ aaa aaa ; b) B = ) 4 1 30) .( 4 1 4)( 4 1 2( ) 4 1 29) .( 4 1 3)( 4 1 1( 444 444 +++ +++ c) C = 365 1413121110 22222 ++++ d) D = 148 1513119 2222 +++ H ớng dẫn a) A = 1 1 5 + a b) Cách 1: Vì a 4 + 4 1 = (a 2 + 2 1 ) 2 - a 2 = (a 2 + a + 2 1 )( a 2 - a + 2 1 ) và a 2 + a + 2 1 = (a + 1) 2 - (a + 1) + 2 1 B = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (1 1 )(1 1 )(3 3 )(3 3 ) .(29 29 )(29 29 ) 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 (2 2 )(2 2 )(4 4 )(4 4 ) .(30 30 )(30 30 ) 2 2 2 2 2 2 + + + + + + + + + + + + + + + + + + = 1861 1 2 1 3030 2 1 11 2 = + + Cách 2: áp dụng a 4 + 1 = [ a (a-1) + 2 1 ][ a (a+1) + 2 1 ] Cách 3: B = )460) .(48)(44( )458) .(46)(42( 444 444 +++ +++ áp dụng n 4 + 4 = [ (n -1) 2 + 1][ (n +1) 2 + 1] Tơng tự ta có B 1 = ) 4 1 100) .( 4 1 4)( 4 1 2( ) 4 1 99) .( 4 1 3)( 4 1 1( 444 444 +++ +++ = 20201 1 C = 365 )212()112(12)112()212( 22222 ++++++ GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 2 = 2 5.12 10 365 + = 2 2.5(2.6 1) 5.73 + = 2.5.73 5.73 = 2; D = 7. Rút gọn các phân thức đại số sau: a. 12 18 24 24 + + = aaa aa A b. )()()( )()()( 224224224 222 bacacbcba bacacbcba B ++ ++ = c. )4103) .(411)(47)(43( )4101) .(49)(45)(41( 4444 4444 ++++ ++++ = C d. 95 .99 9 .199 = D (TSvà MS có n chữ số 9) H ớNG DẫN : a. )1)(1( )1)(1( 22 22 ++ + = aaaa aaaa A = 1 1 2 2 ++ + aa aa ( Với 1 2 + aa 0) b. TT = (a - b)(b - c)(c - a) Thay a,b,c bởi a 2 , b 2 ,c 2 đợc MT = (a 2 - b 2 )( b 2 - c 2 )( c 2 - a 2 ) ĐS: ))()(( 1 accbba B +++ = a b, b c; c a c. n 4 + 4 = (n 2 +2) 2 - (2n) 2 = [n(n-2) +2][ n(n+2) +2] ĐS: 1 103.105 2 C = + d. C 1 : Rút gọn cho 1 99 .9 (n chữ số 9) C 2 : 1 1 2(10 ) 2.10 1 1 2 1 10 5 5 10(10 ) 2 n n n n D + = = = Tìm thơng của phép chia A = a + a 2 + . + a 100 cho B = 1002 1 11 aa a +++ (có thể thay 100 bởi n) H ớNG DẫN : A= a 101 .B A: B = a 101 . * Cho A = 1 + x 4 + x 8 + + x 4k ; B = 1 + x 2 + x 4 + + x 2k . Tính B A . H ớNG DẫN : A = 1 1 4 14 x x k ; B = 1 1 2 22 + x x k B A = 1 1 2 22 + + + x x k . * So sánh: A = )11000) (14)(13)(12( )11000) (14)(13)(12( 3333 3333 ++++ với 2 3 . H ớNG DẫN : A = )110001000)(11000) .(144)(14)(133)(13)(122)(12( )110001000)(11000) .(144)(14)(133)(13)(122)(12( 2222 2222 ++++++++ ++++++++ Mà (n +1) - 1 = (n -1) + 1 và (n - 1) 2 - (n + 1) + 1 = n 2 + n + 1. A = 3.1000.1001 1.2.1001001 = 3.1001000 2.1001001 < 2 3 . GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 3 Tìm tập xác định và tìm giá trị của biến để mỗi BT sau có giá trị bằng 0 A = 32 1 2 23 + ++ xx xxx ; B = 22 )1()3( )( +++ + yx yx ; 2 2 4 3 10 x C x x = + ; 2 2 ( 2) ( 1) x y D x y = + + H ớng dẫn * Tìm tập xác định, tìm tập tất cả các giá trị của biến để MT 0 * Tìm giá trị của biến để BT bằng 0 Tìm giá trị của biến để 0 TT o MT = * Viết A = (x 2 - x +1)( x 4 - x 2 +1) ( x 8 - x 4 +1) ( x 16 - x 8 +1) B = (x 2 -x +1)(x 4 - x 2 +1)(x 8 - x 4 +1) .(x 24 - x 12 +1) dới dạng phân thức mà tử là những đa thức dạng chính tắc trong đó đa thức mẫu bậc 2. H ớng dẫn A = 1 1 2 1632 ++ ++ xx xx * Chứng minh: 1+x + x 2 + . + x 31 = ( x +1)(1 + x 2 )(1+ x 4 ) .(1+x 16 ) Nêu BTTQ. H ớng dẫn + Với x = 1 VT = VP ( = 32) + Với x 1 thì (1) VT (1 - x) = (1 - x) VP (= 1 - x 32 ) Cách khác: Biến đổi VT về VP ( Có thể thay 31 bởi 2n -1 còn 16 bởi n với n là luỹ thừa của 2) * Cho a x = b y = c z 0. Rút gọn A = 2 222222 )( ))(( czbyax cbazyx ++ ++++ ( Có thể mở rộng biểu thức đối với nhiều tỉ số bằng nhau) H ớng dẫn: C 1 : Đặt a x = b y = c z = k x = ak; y = bk; z = ck thay vào A = 1 C 2 : GT xb = ya; yc = zb thay vào đáp số. C 3 : TT = ( ax. a x + yb. b y + cz. c z )( ax. x a + yb. y b + cz. z c ) C 4 : GT 2 2 2 x y z ax by cz = = = czbyax zyx ++ ++ 222 = k 2 2 2 a b c ax by cz = = = 2 2 2 a b c ax by cz + + + + = k 1 Nhân từng vế hai đẳng thức * Chứng minh 4 444 79 915140 ++ = 2 222 79 915140 ++ H ớng dẫn: Đặt 40 = a; 51 = b; 91 = a + b ta có: 4 4 4 4 2 2 4 2 2 2 4 ( ) 2( ) 279 ( ) 79 a b a b a ab b a ab b + + + = + + = + + = GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 4 * Cho 2001 số khác 0: a 1 , a 2 . a 2001 thoả mãn a k 2 = a k -1 . a k +1 ( k = 2,2000) Tính S 2000 = = 2001 1i a i 2000 : ( = 2001 2i a i 2000 ). theo a 1 ; a 2001 H ớNG DẫN : GT 2 1 a a = 3 2 a a = = 2001 2000 a a 2000 1 2000 2 a a = 2000 2 2000 3 a a = = 2000 2000 2000 2001 a a S 2000 2000 = 2000 1 2000 2 a a . 2000 2 2000 3 a a . 2000 2000 2000 2001 a a = ( 2001 1 a a ) 2000 S 2000 = 2001 1 a a . * Cho 4a + b = 0. Tính P = ba ba + 2 2 . H ớNG DẫN : Cách 1: Thay b = - 4a vào P hoặc a = - 4 1 b Cách 2: P = ba ba + 2 2 = bba bba ++ + 4 34 = b b3 = -3 Cách 3: + Nếu b = 0, GT a = 0 P không xác định. + Nếu b 0 P = 2. 1 2. 1 a b a b + = 0,25.2 1 0,25.2 1 + = - 3 Cách 4: P = )4(2 )4(2 baba baba ++ ++ = a a 2 6 = - 3 Cách 5: P = ba ba 24 24 + = bba bba ++ + 4 34 = - b b3 = - 3. Tơng tự, nếu 3a + b = 0 thì P = -5 khi a 0; P vô nghĩa khi a = 0. Cho 2a - 3b = 0 Tính ba ba M + = 6 6 * Cho: 3a 2 + 3b 2 = 10ab (b > a > 0) Tính P = ba ba + H ớng dẫn: C 1 : P 2 = abba abba 2 2 22 22 ++ + = abba abba 633 633 22 22 ++ + = abab abab 610 610 + = 4 1 Mà b > a > 0 a - b < 0; a + b> 0 P < 0 Vậy P = - 2 1 C 2 : Biểu thị b theo a rồi tính P GT 3a 2 +3b 2 -10ab = 0 ( 3a - b)( a - 3b) = 0 mà a - 3b 0 (Do b > a > 0) 3a - b = 0 b = 3a. Thay vào tính đợc P = - 2 1 . Tơng tự ta có: Q = ab ab + = 2. * Cho 4a 2 - b 2 = 3ab Tính ba ba P + = 2 2 (1) h ớng dẫn GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 5 GT (a-b)(4a+b) = 0 a = b hoặc a = - 4 b . Thay vào (1) P = 3 1 hoặc P = - * Cho ax + by + cz = 0 ; a + b + c = m 0. Tính A = 222 222 )(()()( yxabyxaczybc czbyax ++ ++ H ớNG DẫN : GT a 2 x 2 + b 2 y 2 + c 2 z 2 + 2(axby + axcz + bycz ) = 0 MT = bcy 2 + bcz 2 + acx 2 + acz 2 + abx 2 + aby 2 - 2( bcyz+ acxz + abxy) = (aby 2 + acx 2 + c 2 z 2 ) + (acx 2 + abx 2 + b 2 y 2 ) + (acz 2 + aby 2 a 2 x 2 ) = (a + b + c)( ax 2 + by 2 + cz 2 ) A = cba ++ 1 = m 1 Cho x xx 2 1 3 2 = ++ ĐS = == 20 1 5 1 3 5 16 M M * Cho A = 01 .000,1 1 Tính A với 200 chữ số thập phân H ớNG DẫN : A = 100 100 100 100 200 10 10 (10 1) 99 .900 .0(100 0;100 9) (0,99 .900 .0) 10 1 10 1 999 .9(200 9) cs cs cs = = = + * Cho 1 1 2 1 2 3 1 2 1 1 1 1; 0; , ; 1 1 1 y x x y y x x x y x x = = = + + + và x 1999 = 2. Tìm y. H ớNG DẫN : Quy luật: 319992615432 ; .;;;; 1 1 ; 1 xxxxxxyx y y x y x ==== + == mà x 1999 = 2 x 3 = 2 - 2 1 1 = + y y 3 1 = y 3.* Cho a + b + c = m. Tính 222 333 )()()( 3 accbba abccba P ++ ++ = H ớNG DẫN : ++= ++++= )(2 ))(( 222 222 bcacabcbaMT bcacabcbacbaTT 22 mcba P = ++ = Cho 1 = x ; n N. Rút gọn rồi tính 1 2 5 56 + = nn xx xx A H ớNG DẫN : nn x x xx xx A 1 )5( )1)(5( = = . GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 6 Vì 1 = x = == 1 01 x Ax A= - 2 nếu n chẵn ;A = 2 nếu n lẻ. * Cho cba z cba y k cba x + = + == ++ 4422 . C/M: zyx c zyx b zyx a + = + = ++ 4422 H ớNG DẫN : Sử dụng tính chất dãy tỷ số bằng nhau, từ giả thiết ta có: = + = + = + = ++ = + = + = + = ++ = ++ = + = + = ++ k c zyx cba z cba y cba x k b zyx cba z cba y cba x k a zyx cba z cba y cba x 9 44 44448 4 484 4 9 2 442244 2 9 2 44224 2 2 kzyx c zyx b zyx a 9 1 4422 = + = + = ++ Cách khác: Từ (a) biểu thị x,y,z theo k,a,b,c rồi suy ra 3 phân thức đều bằng k9 1 . * Cho x > y > 0 Chứng minh 22 22 yx yx yx yx + = + Dùng định nghĩa. Chứng minh: 3 1 1 3 1 2 2 + ++ xx xx H ớNG DẫN : Dùng ĐN. * Tìm: a) Giá trị nhỏ nhất 1 1 2 2 1 + = x x A b) Giá trị lớn nhất 1062 10062 2 2 2 ++ ++ = xx xx A H ớNG DẫN : a. 1 2 1 2 1 + = x A 01 min1 == xA b. 11 191 4.451 4 11 ) 2 3 ( 45 1 1062 90 1 2 2 2 =+ ++ += ++ += x xx A A 2 Max = 2 3 11 191 = khix * Tìm Min A biết 2 2 19992 x xx A + = với x > 0 ( có thể thay thế 1999 bởi n) H ớNG DẫN : 1999 1998 1999 1998 1999 )1999( 1999 1998)19991999.2( 1999 19991999.21999 1999 )19992(1999 2 2 2 222 2 22 2 2 + = ++ = + = + = x x x xxx x xx x xx A GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 7 Min A = 1999 1998 khi x = 1999 Cách 2: A= 1- 1999 1998 ) 1999 11 (19991) 1999 21 (1999 19992 2 22 +=+=+ xxxxx * Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất: 2 1 1 x y + = H ớng dẫn: P max ( 1+x 2 ) min x = 0 P max = 1 Vì P (x) > P (x+1) x không tồn tại P (Min) * Tìm GTNN 12 5 24 24 ++ ++ = xx xx y H ớng dẫn: 20 19 10 1 )1( 1 5 20 19 20 1 10 1 )1( 1 51 100 1 10 1 10 1 . )1( 1 .2 )1( 1 51 )1( 5 )1( 1 1 )1( 5112 2 2 2 22222 2222 2 22 224 + += + += + + + + + + + + = + +++ = x xxx xx x x xxx y Min y = 20 19 khi x 3 Cho phân số sau tối giản với 2 2 2 2 1 15 8 6 3 2 ; ; ; 2 1 30 21 13 4 3 n n n n n Z A B C n n n n + + + + = = = + + + H ớNG DẫN : Cách 1: Gọi ( TS, MS) = d chứng minh d = 1. Cách 2: Dùng thuật toán ơclit. C/m (TS; MS) = 1 * Chứng minh phân số: 8 72 1 1 nn nn ++ ++ không tối giản n Z + H ớNG DẫN : TS và MS đều chia hết cho n 2 + n +1 > 1 (Do n Z + ) * Tìm n Z để BT 1 1 2 3 + = n n B có giá trị nguyên. H ớNG DẫN : C 1 : Z n n Z n n nB + + + + = 1 1 1 1 22 mà - 2 1 1 2 1 2 < + + n n ĐS Cách 2: )1( 3 nZB M (n 2 + 1) [n(n 2 + 1) - n - 1] M (n 2 + 1) (n + 1) M (n 2 + 1) (1) n (n + 1)] M (n 2 + 1) n M (n 2 + 1) (2) Từ (1) và (2) 1 M (n 2 + 1) n 2 + 1 = 1 n = 0. * Tìm kZ để 15 32 + + = k k P có giá trị nguyên. ĐS: k = 0 GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 8 * Tìm nN để 1 32 2 2198919901991 ++ +++++ = nn nnnnn Q có giá trị nguyên. H ớNG DẫN : AZ 1 33 2 ++ + nn n Z 3 n vì n >3 thì 1 2 ++ nn > 3n + 4 > 0 Xét n { } 3;2;1;0 ĐS: n { } 3;0 B. Các phép tính về phân thức đại số I. Kiến thức cần nhớ 1. Quy tắc cộng phân thức đại số: - Cộng hai phân thức cùng mẫu: Muốn cộng hai phân thức có cùng mẫu thức, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu thức: M BA M B M A + =+ rút gọn - Cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau: Muốn cộng hai phân thức có mẫu thức khác nhau, ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức có cùng mẫu thức vừa tìm đ- ợc. 2. Tính chất của phép cộng: - Giao hoán. GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 9 - Kết hợp. - Cộng với 0. 3. Định nghĩa phân thức đối: Hai phân thức đợc gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0. 4. Quy tắc trừ phân thức đại số: Muốn trừ phân thức cho phân thức , ta cộng phân thức với phân thức đối của phân thức : )( D C B A D C B A += 5. Quy tắc nhân phân thức: Muốn nhân hai phân thức, ta nhân các tử thức với nhau, các mẫu thức với nhau. .= 6. Tính chất phép nhân: - Giao hoán. - Kết hợp. - Phân phối đối với phép cộng. 7. Định nghĩa phân thức nghịch đảo: Hai phân thức đợc gọi là nghịch đảo của nhau nếu tích của chúng bằng 1. 8. Quy tắc chia: Muốn chia phân thức cho phân thức ta nhân phân thức với phân thức nghịch đảo của : 1 : .( ) A C A C B D B D = ( 0) 9. định nghĩa biểu thức hữu tỉ: Là một phân thức hoặc một dãy các phép toán cộng, trừ, nhân chia trên những phân thức. 10. Chú ý: Khi làm tính trên phân thức, ta chỉ việc theo các qui tắc của các phép toán mà không cần quan tâm đến gía trị của biến. Nhng khi làm những bài toán liên quan đến gía trị của phân thức thì trớc hết phải tìm điều kiện của biến để gía trị của phân thức đợc xác định. Nếu tại gía trị của biến mà gía trị của một phân thức đợc xác định thì phân thức ấy và phân thức rút gọn có cùng gía trị. II. Bài tập: * Tính 88 7 44 3 22 84211 ba a ba a ba a baba A + + + + + + + + = H ớNG DẫN : Tính từ trái sang phải: ĐS: 1616 15 16 ba a * Tính ))(( 1 ))(( 1 ))(( 1 222222 pmpnmnmpnpnmpmpnnpmmnpnm B + + + + + = H ớNG DẫN : npmmnp + 22 = (p - m)(m + n + p) thay p m n p đợc m 2 + mp - n 2 - np =(m - n)(m + n + p) ĐS: 0 * Rút gọn: 6316 1 3512 1 158 1 34 1 2222 + + + + + + + = aaaaaaaa C H ớNG DẫN : GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 10 [...]... 4.5.6 7 .8. 9 1993.1994.1995 1996.1997.19 98 c/m sau khi quy đồng mẫu thì tử số S chia hết cho 1999 HớNG DẫN : Các số hạng cách đều 2 đầu của S có tổng là: 1 1 + = Sk k ( k +1)(k + 2) (1997 k )(19 98 k )(1999 k ) Sau khi quy đồng mẫu Sk, tử của Sk là: Tk = (1997-k)( 19 98- k)(1999-k) +k(k+1)(k+2) = (k +1)[ (k +1) 1][ (k +1) +1](19 98 k )[ (19 98 k ) 1][ (19 98 k ) +1] [ ] [ ] = (k +1) ((k +1) 2 1) (19 98 k... x a x a x a a 4 2 2 2 x + x + 1 1 + 2a x a = 2 4 = 2 2 x a x + x + 1 2a + 1 a2 Vậy trong mọi trờng hợp thì M = 2a +1 * Cho a2 + a + 1 = 0 Tính P = a1 981 + 1 a 1 981 Hớng dẫn: Giả thiết a 1 ( a 1)(a + a + 1) = 0 a 3 = 1 2 1 P = a1 981 ì a + a1 981 ì a = (a 3 ) 660 ì a + 1 ( a 3 ) 660 ì a =a+ 1 a 2 +1 a = = = 1 a a a * Cho ( x 2 + 1 1 1 1 ) ( x 2 2 ) = a Tính Q = ( x 4 4 ) : ( x 4 4 ) 2 : x x... của Sk là: Tk = (1997-k)( 19 98- k)(1999-k) +k(k+1)(k+2) = (k +1)[ (k +1) 1][ (k +1) +1](19 98 k )[ (19 98 k ) 1][ (19 98 k ) +1] [ ] [ ] = (k +1) ((k +1) 2 1) (19 98 k ) (19 98 k ) 2 1 [ ] = ( k +1) + (19 98 k ) [ ( k +1) + (19 98 k )] 3 3 Tk chia hết cho 1999 ( đpcm) 4 x 2 1 4 y 2 1 4 z 2 1 * Chứng minh biểu thức: A = ( x y )( x z ) + ( y z )( y x) + ( z x)( z y ) không phụ thuộc vào giá trị... 1 1 1 ( x + ) 2 = x 2 + 2 + 2 = 9 mà x > 0 x + =3 x x x GV: Lê Thị Huyền 18 Trờng THCS Lê Thánh Tông 3 x + 5 x + Lại có: 4 x + 1 1 1 1 = ( x 2 + 2 )( x + ) ( x + ) x3 x x x 1 1 1 1 = ( x 4 + 4 )( x + ) ( x 3 + 3 ) x5 x x x 1 1 = (x2 + 2 )2 2 x4 x 1 1 1 x 3 + 3 = 7.3 3 = 18; x 4 + 4 = 49 2 = 47; x 5 + 5 = 47.3 18 = 123 x x x x+ y+ z = a 2 2 2 2 * Cho x + y + z = b Tính 1 1 1 1 + +... 3n 2 3mn + m 2 m 2 + mp + mn + np + 2 = 6nm m 2 9n 2 m 9n 2 3np m 2 mp + 3mn Biến đổi VT và VP về Rút gọn: A = m +n 3n m HớNG DẫN : 1 1 1 1 1 + 2 + 2 + 2 + 2 a 3a a + 3a a + 9a + 18 a + 15a + 54 a + 21a + 1 08 2 Hớng dẫn: 1 1 1 1 1 A= + + + + a( a 3) a (a + 3) (a + 3)(a + 6) (a + 6)(a + 9) (a + 9)(a +12) 1 1 1 1 1 1 1 15 5 = ( + + + )= = 3 a 3 a a a +3 a + 9 a +12 3(a 3)(a +12) (a 3)(a... + c2 - ac - bc - ac) và sử dụng phép toán hoán vị vòng quanh ta đợc A = B = 2(a+b+c) Tính: GV: Lê Thị Huyền 12 Trờng THCS Lê Thánh Tông 1 1 1 )(1 2 ) (1 2 ) 2 2 3 n 1 1 1 D = (1 + )(1 + ) (1 + 2 ) 3 8 n + 2n C = (1 HớNG DẫN : 1.3 2.4 (n 1)(n + 1) n + 1 = a C = 2 2 2 3 n2 2n 2( n +1) n +2 b Vì 1 + 1 (n + 1) 2 = n 2 + 2 n n ( n + 2) * Cho 1 1 1 1 + + + + 1(2n 1) 3(2n 3) 5( 2n 5) ( 2n 1).1 1 1 1... 3 2n 1 1 = B 2n 1 Vậy A: B = 2n = * Tính S = (1 1 1 1 )(1 ) (1 ) 1+ 2 1+ 2 +3 1 + 2 + 3 + + n HớNG DẫN : 1 1 1 S =(1 ) 1 1 n( n + ) (1 +3).3 1 3 2 2 2 5 9 n( n + 1) 2 4 10 18 n 2 + n 2 = = 3 6 10 n(n + 1) 6 12 20 n( n + 1) 1.4 2.5 (n 1)(n + 2) n + 2 = = 2.3 3.4 n(n + 1) 3n * Rút gọn: 4 4 4 4 An = (1 )(1 )(1 ) (1 ) 1 9 25 ( 2n 1) 2 4 3 2.1 + 1 C1: A1= 1 - = ... đẳng thức a3 + b3 + c3 - 3a.b.c = (a + b + c)( a2 + b2 + c2 -ac - bc -ac) và sử dụng phép toán hoán vị vòng quanh đợc G = x2 + y2 + z2 - xy - yz - xz 2 4 * Tính H = (1 + )(1 + 2 2 2 )(1 + ) (1 + 2 ) 10 18 n + 3n HớNG DẫN : 4 12 20 n + 3n + 2 2.3.3.4 (n + 1)( n + 2) 3(n + 1) H = 2 = = 6 10 15 n + 3n 1.4.2.5 n(n + 3) (n + 3) 2 * Cho: n 1 n 2 n 3 2 1 + + + + + 1 2 3 n 2 n 1 1 1 1 B = + + + 2 3 n A=... a1a 2 a2 a3 a1a3 ) a1 + a2 + a3 = 0 a1 + a2 + a3 = 0 (a1 a2 ) + (a2 a3 ) + (a3 a1 ) = 0 a1 = a2 = a3 Nên từ (1) 2 2 a 2 a + a2 1 1 Nếu a1 + a2 + a3 = 0 1 + a = a 2 2 P = (1+1) (1+1)(1+1) = 8 = a3 Tơng tự a1= a2= a3 a2 a.b.c 0 * Cho 3 3 3 3 3 3 2 2 2 a b + b c + c a = 3.a b c Tính a b c P = (1 + )(1 + )(1 + ) b c a HớNG DẫN : Đặt b.c = x; c.a = y; a.b = z x.y.z 0 Giả thiết x 3 + y... abc(a + b)(a + c)(c + b) a +b a +c b +c b a c a b c 1 = (1 + b )(1 + c )(1 + a ) Nếu x = y = z ab = bc = ac a 1 = GV: Lê Thị Huyền = b = c 20 Trờng THCS Lê Thánh Tông Khi đó P = (1+1) (1+1)(1+1) = 8 * Cho Tính x y.z =1; x + y + z = 1 1 1 + + x y z M = ( x 2 1)( y 9 1)( z 1945 1) hớng dẫn: Ta có: ( x 1)( y 1)( z 1) = x y.z ( xy + yz + xz ) + ( x + y + z ) 1 xy + yz + xz + x + y + z 1 x y.z 1 1 1 . +k(k+1)(k+2) [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )19 98( )1()19 98( )1( 1)19 98( )19 98( )1)1(()1( 1)19 98( 1)19 98( )19 98( 1)1(1)1()1( 33 22 kkkk kkkk kkkkkk ++++= ++= +++++= T k. )1999)(19 98) (1997( 1 )2)(1( 1 Sau khi quy đồng mẫu S k , tử của S k là: T k = (1997-k)( 19 98- k)(1999-k) +k(k+1)(k+2) [ ][ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ] )19 98( )1()19 98( )1(