Bồi dỡng đại số 8 Ch ơng 1 Nhân chia đa thức A. Nhân đơn thức và đa thức I. Kiến thức cần nhớ. 1. ĐN đa thức bậc N của biến số x, hệ số, biến; f(a) Hạng tử cao nhất, hệ số cao nhất. 2. ĐN 2 đa thức biến x bằng nhau, ĐK bằng nhau. 3. Quy tắc nhân đơn thức vớ đa thức, chú ý về sử dụng hạng tử của tích 4. Quy tắc nhân đa thức với đơn thức. 5. Nhân 2 đa thức đã sắp xếp: + Cách trình bày + Các chú ý 6. Các tính chất giao hoán, kết hợp, phân phối đối với phép cộng. 7. Chú ý về dấu từng đơn thức. II. Bài tập: Nhân đơn thức và đa thức. 1. Tính: 433 1 2 = A 299 3 433 432 299 1 299 4 ĐS: 229 5 = A 1. Tính. A = 39 8 119.117 5 119 118 5. 117 4 117 1 3. 119 1 + H ớng dẫn ; 117 1 = a 119 1 = b 119 1 = A 119 3 3245)6(4)3( ==++= baabbaabA 39 8 (Vi 3.29 3.8 = 117 24 = )24a = L u ý : Nếu có hiện tợng lặp đi lặp lại có thể dùng chữ thay số rút gọn rồi mới thay vào tính (Có thể thay 117, 119 bởi các số khác). 2. Tính B = 20012001 . 200220022002 - 20022002 . 200120012001 H ớng dẫn B = 2001 . 10001 . 2002 . 100010001 - 2002 . 10001 . 2001 . 100010001 = 0 GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 1 2. Tính B = 2005200520052005 . 20012001 2001200120012001 . 20052005 (ĐS: B = 0) 3. Tính A = x 5 - 5x 4 + 5x 3 + 5x - 1 với x = 4 Hớng dẫn C 1 : A = (x - 4)x 4 - x 3 (x - 4) + x 2 (x - 4) + (x - 4) + 3 = 3 (Do x = 4) C 2 : Thay 5 = x + 1 C 3 : A = 4 5 - 5.4 4 + 5.4 3 - 5.4 2 + 5.4 - 1 = 4 5 - (4 - 1). 4 4 + (4 + 1). 4 3 - (4 - 1). 4 2 + (4 - 1). 4 - 1 = 4 5 - 4 5 + 4 4 - 4 4 + 4 3 - 4 3 3. Tính C = x 4 - 17x 3 + 17 2 - 17x + 20 với x = 16 (ĐS : C = 4) 4. Xây dựng quy tắc nhân nhẩm 2 số có 2 chữ số trong đó các chữ số hàng chục bằng nhau, các chữ số hàng ĐV có tổng là 10. Hớng dẫn ab . ac = (10a + b) (10a + c) = 100a (a + 1) bc Quy tắc: Nhân số hàng chục với số liến sau nó rồi viết vào sau tích trên tích 2 chữ số hàng ĐV (bằng 2 chữ số). 4. C/m (100 + a) (100 + b) = (100 + a + b) x 100 + ab Từ đó rút ra quy tắc nhân nhẩm 2 số lớn (nhỏ) hơn 100 một chút 10 ) Hớng dẫn Lấy số này cộng (trừ) phần hơn (phần bù) của số kia rồi viết tiếp vào bên phải tích 2 phần hơn (phần bù) bằng 2 chữ số. VD: A = - 2x 2 + 3x + 5 ; B = x 2 - x + 3 a. Tính A, B. b. Tính A, B, A. B khi x = 3 Hớng dẫn A.B = 2x 4 + 5x 3 - 4x 2 + 4x + 15 x = 3 x 2 = 9 thay vào A, B rồi tính A, B. 6. Cho P (x) = x 3 - 2ax + a Q (x) = x 2 + (3a + 1) x + a Tìm a để (P (1) = Q (3) GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 2 §S: a = - 1 7. Rót gän: A = 2,5 . 5 n - 3 . 10 + 5 n - 6.5 n - 1 §S: A = 0 5. Rót gän: A = 10 4 + 1 - 6.10 n ; B = 90.10 k - 10 k + 2 + 10 k + 1 (§S: A = 4.10 n ; B = 0) 8. TÝnh: B = 1 x 1! + 2 x 2! + 3 x 3! + . + n x n ! Híng dÉn B = (2 - 1) . 1 ! + (3 - 1) . 2 ! + (4 - 1) . 3! + . + (n + 1 - 1)n ! = 2 . 1 ! - 1! + 3 .2 ! - 2! + 4 . 3 ! - 3 ! + . + (n - 1) . n ! - n! = 2! - 1! + 3! - 2! + 4! - 3! + . + (n + 1) ! - n ! = (n + 1) ! – 1 9. TÝnh C = (2 9 + 2 7 + 1) (2 23 - 2 21 + 2 19 - 2 17 + 2 14 - 2 10 + 2 9 - 2 7 + 1) Híng dÉn 2 32 + (2 32 + 2 32 - 2 24 ) (2 18 - 2 17 - 2 17 ) + (2 18 - 2 1 - 2 17 ) + (2 9 + 2 9 - 2 10 ) + 1 = 2 32 + 1 (Lu ý: Tõ KQ trªn → 2 32 + 1 lµ hîp sè) 10. C/m (2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 2001 ) chia hÕt cho 7 (cã thÓ thay 2001 bëi sè chia hÕt cho 3) Híng dÉn 2 + 2 2 + 2 3 + . + 2 2001 = (2 + 2 2 + 2 3 ) + (2 4 + 2 5 + 2 6 ) + . + (2 1999 + 2 2000 + 2 2001 ) = 7 . (2 + 2 4 + 2 7 + . + 2 1999 ) 6. C/m (7 + 7 2 + 7 3 + . + 7 2000 ) : 100 (Cã thÓ thay 2000 bëi 4k (k ∈ N) Híng dÉn 7 + 7 2 + 7 3 + . + 7 2000 = (7 + 7 2 + 7 3 + 7 4 ) + (7 5 + 7 6 + 7 7 + 7 8 ) + . + (7 1997 + 7 1998 + 7 1999 + 7 2000 ) GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng 3 ) 1996 7 . 4 71(4007 . +++= B. Những hằng đẳng thức đáng nhớ I. Các hằng đẳng thức : (a b) n a n - b n a n + b n (n lẻ) (a + b - c) 2 (a 1 + a 2 + . + a n ) 2 (a + b + c) 3 = a 3 + b 3 + c 3 + 3 (a + b) (a + c) ( (b + c) a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc) a 3 + b 3 + c 3 + d 3 - 3 (abc + abd + acd + bcd) = (a + b + c + d) (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 - ab - ac - ad - bc - bd - cd) II. Bài tập : * 1. Tìm tổng các hệ số khi khai triển (1 + x - 3x 2 ) 2001 ; (3x - 7) 10 ; (5x - 4) 100 (2 - 3x + x 2 ) 1969 ; (2 + 3x + x 2 ) 1916 ĐS : f (1) * 2. Biết tỉ số các hệ số của số hạng thứ 3 và thứ 5 trong khai triển (x + y) n là 7 2 tìm số hạng thứ 6. Hớng dẫn gt 9 42 == nCC nn . Khi đó số hạng thứ 6 là 5 4 126 545 9 yxyxC = 3. Tính nhanh : A = 117 2 + 166 x 117 + 83 2 B = 7 8 .2 8 - (11 4 - 1) (14 4 + 1) C = 2000 2 - 1999 x 2001 D = (50 2 + 48 2 + . + 2 2 ) - (49 2 + 47 2 + . + 1 2 ) E = (3 + 1) (3 2 + 1) (3 4 + 1) . (3 64 + 1) 22 22 1551559045 180820 ++ = G H = 101 . 10001. 100000001 . 100 . 01. 2 n - 1 I = (13,98 . 13200 - 1398 . 32) . 1402 K = 1 + 11 + . + 11 .1 n chữ số Hớng dẫn GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 4 A = (117 + 83) 2 B = 14 8 - (14 8 - 1) = 1 C = 2000 2 - (2000 - 1) (2000 + 1) = 1 D = (50 2 - 49 2 ) + (48 2 - 47 2 ) + . + (2 2 - 1 2 ) = 99 + 95 + . + 3 + −+ = 1 4 399 . 2 993 2E = (3 - 1) (3 + 1) (3 2 + 1) . (3 64 + 1) = . = 3 128 - 1 →E = 2 13 128 − G = 2 )15545( )180820)(180820( + −+ H = (10 2 + 1) (10 4 + 1) . (10 2n + 1) = 110 1 2 − (10 2 - 1)(10 2 + 1)(10 4 - 1) .(10 2n + 1) = . = 99 1 (10 2 n + 1 - 1) = 99 1 x 99 .9 = 10101 .01 2 n - 1 C 2 : H = 11.101.10001 . 100 .01 = 1111 . 10001 . = . 2 n - 1 I = (1398 . 132 - 1398 . 32) . 1402 = 1398 . 100 . 1402. = (1400 - 2) (1400 + 2) . 100 = (1400 2 - 4) . 100 9K = 9 + 99 + .9 .9 = 1 + 10 + 10 2 + . + 10 n - (n + 1) n = 9 110 1 − + n - n + 1 = 9 10910 1 +− + n n → A 1. TÝnh nhanh: A = 123 2 - 76x123 + 38 2 B = 3 10 x5 10 - (15 5 - 1)(15 5 + 1) C = 2002 2 - 2000x2004 D = {2 2 + 4 2 + 6 2 + . + (2n)} {1 2 + 3 2 + 5 2 + . + (2n - 1 2 )} E = (5 + 1)(5 2 + 1)(5 2 + 1) .(5 32 + 1) 2. So s¸nh: 2001 . 2003 vµ 2002 2 3. So s¸nh: 2 128 vµ (2 + 1)(2 2 + 1)(2 4 + 1) .(2 64 + 1) 4. TÝnh x 2 + 0,2x + 0,01 víi x = 0,9 5. TÝnh A = x 3 + 6x 2 + 12x + 24 víi x = 98 Híng dÉn A = (x + 2) 3 + 16 2. So s¸nh: 1994 . 2006 vµ 1997 . 2003 Híng dÉn 1994 . 2006 = 2000 2 - 36 < 2000 2 - 9 = 1997 . 2003 GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng 5 3. So s¸nh: (x + y) (x 2 + y 2 ) (x 4 - y 4 ) .(x 64 + y 64 ) vµ x 128 - y 128 víi x = y + 1 Híng dÉn C 1 : VT = (x + y).VT = VP C 2 :Thay x bëi y + 1⇒(x + y)(x 2 - y 2 ) = (y + 1 + y){y + 1) 2 + y 2 } = {( y + 1) 2 - y}{(y + 1) 2 + y 2 } . 4. TÝnh A 1 = x 2 - 6x + 26 víi x = 103; A 2 = x 2 + 6x + 1 víi x = 1997. Híng dÉn A 1 = (x - 3) 2 + 17 = 10017; A 2 = 3999992 5. TÝnh. B 1 = x 2 - 3a 2 + 3a + 1 víi a = 11 B 2 = x 3 + 3x 2 + 3x + 3 víi x = 9 Híng dÉn B = (a - 1) 3 + 2 = 1002 6. Cho a - b = 5. TÝnh A = a (x + 2) + b (b - 2) - 2ab + 37 Híng dÉn A = (a - b) 2 + 2(a - b) + 37 = 5 2 + 2,5 + 37 = 72 C 2 : Thay a = b + 5. 6. Cho a - b = 10. TÝnh B = a 2 (a + 1) - b 2 (b - 1) + ab - 3ab (a + b + 1) - 95 Híng dÉn B = (a - b) 3 + (a - b) 2 - 95 7.Cho x + y = 2 tÝnh B = 2(x 3 + y 3 ) - 3(x - y) 2 Híng dÉn B = 2(x + y)(x 2 - xy + y 2 ) - 3x 2 - 3y 2 + 6xy = 4x 2 + 4xy 2 - 4xy - 3x 2 - 3y 2 + 6xy = x 2 + y 2 + 2xy = (x + y) 2 = 4 7. Cho a + b = 1 TÝnh C = 2(a 3 + b 3 ) - 3(a 2 + b 2 ). Híng dÉn GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng 6 C = - (a + b) 2 = - 1 8. TÝnh D = (1,35 3 + 2,65 3 + 4,05 . 10,6) (1,35 2 + 2,65 2 + 2,7 . 2,65). Híng dÉn §Æt x = 1,35; y = 2,65 → x + y = 4 8. TÝnh C = 0,1234 4 + 1,8766 4 - 0,1234 3 . 1,8766 2 - 0,1234 2 . 1,8766 3 + 0,4936 . 7,5064 Híng dÉn §Æt a = 0,1234; b = 1,8766 th× a + b = 2 vµ C = a 4 + b 4 - a 3 b 2 - a 2 b 3 + 16ab = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + 4b 4 - 4ab(a 2 + b 2 ) - a 2 b 2 (a + b) - 16ab - 6a 2 b 2 = 16 9. Cho D = xy (3x + 2)(5y + 2) viÕt D thµnh hiÖu hai b×nh ph¬ng. Híng dÉn gs D = A 2 - B 2 = (A - B)(A + B) A + B = 5xy + 2x A + B = 3xy + 2y A = 4xy + x + y A - B = 3xy + 2y A - B = 5xy + 2x B = xy + x - y 10. Cho a + b = S; ab = p biÓu diÔn theo S, P c¸c BT M = a 2 + b 2 ; N = a 3 + b 3 ; P = a 4 + b 4 Híng dÉn M = (a + b) 2 - 2ab = S 2 - 2P N = (a + b) 3 - 3ab (a + b) = S 3 - 3SP P = (a 2 + b 2 ) 2 - 2a 2 b 2 = (S 2 - 2P) 2 - 2P 2 . = S 4 - 4S 2 P + 2P 2 . 11. Cho x + y = m; x 2 + y 2 = n. TÝnh x 3 + y 3 theo m, n. Híng dÉn x + y = m → x 2 + y 2 + 2xy = m 2 mµ x 2 + y 2 = n 22 )( 22 nmyxm xy − = +− =→ x 3 + y 3 = (x + y) (x 2 + y 2 - xy) = m 2 )3( 2 22 mnmnm n − = − − * Cho a + b + c = 0; a 2 + b 2 + c 2 = 1. TÝnh a 4 + b 4 + c 4 GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng 7 Híng dÉn a + b + c = 0 → a = - (b + c) → a 2 - b 2 - c 2 = 2bc → a 4 + b 4 + c 4 - 2a 2 b 2 - 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 = 4b 2 c 2 → a 4 + b 4 + c 4 = 2a 2 b 2 + 2a 2 c 2 + 2b 2 c 2 . → 2 (a 4 + b 4 + c 4 ) = (a 2 + b 2 + c 2 ) 2 = 1 → a 4 + b 4 + c 4 2 1 = Cho x 2 + 2y + 1 = 0 y 2 + 2z + 1 = 0 TÝnh A = x 2000 + y 2000 + z 2000 z 2 + 2x + 1 = 0 (Cã thÓ thay 2000 bëi 2n) Híng dÉn gt → (x 2 + 2x + 1) + (y 2 + 2y + 1) + (z 2 + 2z + 1) = 0 → (x 2 + 1) 2 + (y + 1) 2 + (z + 1) 2 = 0 → x = y = z = - 1. Tõ ®ã A = 3 * Cho xy + x + y = 3 yz + y + z = 8 TÝnh P = x + y + z (x; y; z > 0) xz + x + z = 15 Híng dÉn gt → =++ =++ =++ 16 1) (z 1) (x 9 1) (z 1) (y 4 1) (y 1) (x → (x + 1) 2 (y + 1) 2 (z + 1) 2 = 4.9.16 → (x + 1) (y + 1) (z + 1) = 24 18 129 5; 2 1 ; 9 15 );;(61; 16 24 1; 9 24 1 =→ =→=+=+=+→ Pzyxzyx 9. Cho =++ =++ =++ 7 x jx j 3 j yj y 1 y xy x x; y; z ≥ 0 TÝnh M = x + y 2 + j 2 §S: M = 1 + 0 2 + 3 3 = 28 GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng 8 * Trong hằng đẳng thức (x + 1) n lần lợt thay x = 1; 2; .; n rồi cộng lại Tính : a) S 2 = 1 2 + 2 2 + . + n 2 b) S 3 = 1 3 + 2 3 + . + n 3 Hớng dẫn a) C 1 2 3 = (1 + 1) 3 = 1 3 + 3.1 2 + 3.1 + 1 3 3 = (2 + 1) 3 = 2 3 + 3.2 2 + 3.2 + 1 (n + 1) 3 = n 3 + 3n 2 + 3.n + 1 (n + 1) 3 = 3.S 2 + 3.S 1 + n )12()1( 6 1 2 ++= nnnS C 2 : Qui nạp b) Tơng tự : 4 )1( 22 3 + = nn S C 4 kí hiệu 1 2 = = i k k i ta có : k 3 = Ak 2 - Ak 2 - 1 . áp dụng với k = 1, n rồi cộng lại * a) Cho x + y = 1. Tính x 3 + y 3 + 3xy b) Cho x + y = a. Tính x 3 + y 3 + 3axy c) Cho x - y = m. Tính S = x 3 - y 3 - 3axy Hớng dẫn a) Vì x 3 + y 3 + ( - 1) 3 - 3xy ( - 1) = (x + y - 1) (x 2 + y 2 + 1 - xy + x + y) = 0 (Do x + y) = 1 nên x 3 + y 3 + 3xy = 1. C 2 (x + y) 3 - 3xy (x + y - 3); C 3 (x + y) (x 2 - xy + y 2 ) + 3xy = 3 (x + y) 2 ; C 4 rút x = 1 - y. b) ĐS : a 3 c) ĐS : m 3 C/m 1000 2 + 1003 2 + 1005 2 + 1006 2 = 1001 2 + 1002 2 + 1004 2 + 1007 2 Hớng dẫn VT - VP = (1003 2 - 1002 2 ) + (1005 2 - 1004 2 ) - (1001 2 - 1000 2 ) - (1007 2 - 1006 2 ) = 1003 + 1002 + 1005 + 1004 1001 1000 1007 1006 = 0 10. C/m: 1992 2 + 1995 2 + 1997 2 + 199 2 = 1993 3 + 1994 2 + 1996 2 + 1999 2 Cho (a + b + x + d) (a - b - c + d) = (a - b + c - d) (a + b - c - d). C/m d b c a = GV: Lê Thị Huyền Tr ờng THCS Lê Thánh Tông 9 Híng dÉn C 1 : gt → (a + d) 2 - (b + c) 2 = (a - d) 2 - (b - c) 2 → 4ad = 4bc → d c b a dC ba dC ba DC DC BA BA D C dcba dcba B A dcba dcba gtC =→ − − = + + → − + = − + ⇒ +−− −+− = −−+ +++ → )( )( )( )( : 2 Cho a + b + c = 2z . C/m 2bc + b 2 + c 2 - a 2 = 4z (z - a) Híng dÉn VP = 2z (2z - 2a) = VT → Cho 10a 2 = 10b 2 + c 2 . C/m (7a - 3b + 2c) (7a - 3b - 2c) = (3a - 7b) 2 Híng dÉn VT = (7a - 3b) 2 - (2c) 2 . Thay c 2 = 10 (a 2 - b 2 ) ®îc VP. 11. Cho a 2 = b 2 + c 2 . C/m(5a + 4c - 3b)(5a - 4c - 3b) = (3a - 5b) 2 Híng dÉn BiÕn ®æi VT, thay C 2 = a 2 - b ®îc VT. Cho a 3 + b 3 + c 3 = 3abc. C/m a = b = c hoÆc a + b + c = 0 Híng dÉn Sö dông : a 3 + b 3 + c 3 = (a + b + c) (a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc) + 3abc gt → (a + b + c) [(a - b) 2 + (a - c) 2 + (b - c) 2 ] = 0 → . 12. Cho a, b, c lµ ®é dµi 3 c¹nh cña 1 tam gi¸c vµ a 3 + b 3 + c 3 - 3abc = 0 C/m Δ ABC ®Òu. Híng dÉn gt → (a + b + c)(a 2 + b 2 + c 2 - ab - ac - bc) = 0 → (a - b) 2 + (a - c) 2 + (b - c) 2 = 0 → 13. Cho (y - J) 2 + (j - x) 2 + (x - y) 2 = (y + j - 2x) 2 + (x + j - 2y) 2 + (y + x - 2j) 2 C/m: x = y = j Híng dÉn gt → (x + y) 2 + (y - j) 2 + (y - x) 2 = 0 GV: Lª ThÞ HuyÒn Tr êng THCS Lª Th¸nh T«ng 10 [...]... (x - y)3 D = (x - 2) (2x2 - 8x + 1) H = (x - 2) (x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1) 3 Phân tích : A = a10 + a8 + 1 Hớng dẫn GV: Lê Thị Huyền Trờng THCS Lê Thánh Tông 16 A = (a2 + a + 1) (a2 - a + 1) (a6 - a2 + 1) 4 Phân tích thành nhân tử : A = (1 + x2)2 - 4x (1 - x2) B = (x2 - 8) 2 + 36 C = 324 x4 + 1 D = 81 x4 + 4; 4x4 + 81 = (2x2 - 6x + 9) (2x2 + 6x + 9) E = y (x - 2z)2 + 8xyz + x (y - 2z)2 - 2z (x +... - 2z)2 - 2z (x + y)2 Hớng dẫn A = (1 - x2)2 - 4x (1 - x2) + 4x2 = (1 - x2 - 2x)2 B = x4 - 16x2 + 100 = (x2 + 10)2 - 36x2 = (x2 + 6x + 10) (x2 - 6x + 10) C = (18x2)2 + 12 + 36x2 - 36x2 = (18x2 + 1)2 - (6x)2 = (18x2 - 6x + 1) (18x2 + 6x + 1) D = 81 x4 + 36x2 + 4 - 36x2 = (9x2 + 2)2 - (6x) = (9x2 + 6x + 2) (9x2 - 6x + 2) E = (x + y) (x - 2z) (y - 2z) * Cho x2 = y + x; y2 = z + b; z2 = x + c (a, b, c hằng... Cho a, b, c > 0, C/m trong 3 số: x = (a + b + c)2 - 8ab y = (a + b + c)2 - 8ab z = (a + b + c)2 - 8ab Có ít nhất một số dơng Hớng dẫn x + y + z = a2 + b2 + c2 + (a - b)2 + (a - c)2 + (b - c)2 > 0 * Cho m, n Z + C/m: 2m2 + 3n2 > 4mn2 Hớng dẫn + Nếu m n Đặt m = n + z + C/m VT - VP > 0 Tìm gtm; gtln (nếu có) A = x2 - 4x + 1 B = 3x2 - 6x - 1 C = 5 - 8x - x2 D = (x - 1)(x + 2)(x + 3)(x + 6) GV: Lê Thị... 64x4 + 1 ; C' = 4x4 + 16 D = ab (a - b) + bc (b - c) + ca (c - a) Hớng dẫn B = (25x2)2 + 22 + 100x2 - 100x2 = (5x2 + 2)2 - (10x)2 = (5x2 - 10x + 2) (5x2 + 10x + 2) C = (8x2)2 + 12 + 16x2 - 16x2 = (8x2 + 1)2 - (4x)2 = (8x2 - 4x + 1) (8x2 + 4x + 1) ; C' = (2x2 + 4 - 4x) (2x2 + 4 + 4x) D = (a - b) (b - c) (c - a) (Tách a - b = (c - a) + (b - c) ) 5 Cho x + y = 1; x3 + y3 = a; x5 + y5 = b C/m 9b + 1 = 5a... 10) + 1 28 D = (a + b + c)3 - (a + b - c)3 - (b + c - a)3 + (c + a - b)3 E = (xy + xz + yz)2 + (x + y + z)2 (x2 + y2 + z2) Hớng dẫn a) Đặt x2 + x = y A = y2 + 4y - 12 = (y + 6) (y - 2) = (x2 + x + 6) (x + 2) (x - 1) ; A' = (x + 1) (x - 2) (x2 - x + 6) 2 2 2 b) B = (a + 1) - a c) C = [ x (x + 10)] [(x + 4) (x + 6)] + 28 = (x2 + 10x) (x2 + 10x + 24) + 28 Đặt y = x2 + 10x + 12 ĐS : C = (x + 2) (x + 8) (x2... x1999 1999 2 * Cho x + x + + x1999 2 1 2 2 2 (có thể thay 2001 bởi n) 1 2 1999 Hớng dẫn C1 : gt 1999 (x12 + x22 + + x19992) = (x1 + x2 + + x1999)2 19 98 (x12 + x22 + + x19992) - 2x1x2) - 2x1x3 - 2x19 98 x1999 = 0 (x1 - x2)2 + (x1 - x3)2 + + (x19 98 - x1999)2 = 0 x1 = x2 = x1999 C2 : Đặt x + x + + x 1999 1 2 1999 =S x12 + x22 + + x19992 - 1999 S2 = x12 + x22 + + x19992 - 2.1999 S2 + 1999S2 ... Bài tập : 1 Phân tích : A = x2 - 7x + 12 B = 9x2 + 6x - 8 C = 2x2 + 3x - 27 D = x2 - x + 1 Hớng dẫn C1 : Tách hạng tử bậc nhất C2: Đề ra bình phơng đủ ĐS : A = (x - 3) (x - 4) ; B = (3x + 4) (3x - 2); C = (x - 3) (2x + 9) 2 Phân tích thành nhân tử : A = x3 + 3x2 - 4 B = x3 - 5x2 + 8x - 4 C = x3 + 7x2 - 6 D = 2x3 - 12x2 + 17x - 2 D = 2x3 - 5x2 + 8x - 3 F = x4 - 10x2 y + 9y2 G = x (x + 2y)3 - y (2x +... với hệ số nguyên (PP hệ số bất định) 3 Tìm a, b, c, d để f(x) = x4 + ax4 + bx2 - 8x + 4 là bình phơng của tam thức g(x) = x2 + cx + d Hớng dẫn PP hệ số bất định (a; b; c; d) {( - 4; 8; - 2; 2); (4; 0; 2; - 2)} Phơng pháp hệ số bất định 1 Phân tích đa thức thành nhân tử: A = x4 + 6x3 + 7x2 - 6x + 1 B = 3x2 - 22xy - 4x + 8y + 7y2 + 1 Hớng dẫn A = (x2 + 3x - 1)2(C1: hệ số bất định; C2: Đặt y = x B (3x... 2024 G = 2xy - x2 - 4y2 + 2x + 10y - 8 Hớng dẫn A, B, C đề ra bình phơng đủ (Amin = - 3 x = 2; Bmin = - 4 x = 1; Cmax = 4 D = (x2 + 5x)2 - 36 > - 36 E = (x - 3y + 2)2 + (x - 5)2 + 1995 > 1995 G = 5 - (x - y - 1)2 - 3(y - 2)2 < 5 ; Hmax = 5 (x; y) = (3; 2) 15 Tìm gtnn; gtln (nếu có) A = 2x2 - 7x + 15 B = 4x2 + 10x - 5 C = 4x - x2 + 1 D = m2 - 4mz + 5z2 + 10m - 22z + 28 Hớng dẫn A,B,C: Đề ra bình phơng... 1) ; A' = (x + 1) (x - 2) (x2 - x + 6) 2 2 2 b) B = (a + 1) - a c) C = [ x (x + 10)] [(x + 4) (x + 6)] + 28 = (x2 + 10x) (x2 + 10x + 24) + 28 Đặt y = x2 + 10x + 12 ĐS : C = (x + 2) (x + 8) (x2 + 10x + 8) d) Đặt a + b - c = x; b + c - a = y; c + a - b = z x + y + z = a + b + c áp dụng CT : (x + y + z)3 - x3 - y3 - z3 = 3 (x + y) (x + z) ( y + z) ĐS : 6abc e) Đặt x2 + y2 + z2 = a; xy + xz + yz = b thì . (3 - 1) (3 + 1) (3 2 + 1) . (3 64 + 1) = . = 3 1 28 - 1 →E = 2 13 1 28 − G = 2 )15545( ) 180 820)( 180 820( + −+ H = (10 2 + 1) (10 4 + 1) . (10 2n + 1). + 10) (x 2 - 6x + 10) C = (18x 2 ) 2 + 1 2 + 36x 2 - 36x 2 = (18x 2 + 1) 2 - (6x) 2 = (18x 2 - 6x + 1) (18x 2 + 6x + 1) D = 81 x 4 + 36x 2 + 4 - 36x 2 =