RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cđa häc sinh m«n §¹i sè 8 *. Các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử Củng cố kiến thức cơ bản Các phương pháp cơ bản: Phương pháp đặt nhân tử chung Phương pháp chung: Ta thường làm như sau: - Tìm nhân tử chung của các hệ số (ƯCLN của các hệ số). - Tìm nhân tử chung của các biến (mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất ). Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D). Chú ý: Nhiều khi để làm xuất hiện nhân tử ta cần đổi dấu các hạng tử Ví dụ 1: Phân tích đa thức 14x 2 y – 21xy 2 + 28x 2 y 2 thành nhân tử. (BT-39c)-SGK-tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung của các hệ số 14, 21, 28 trong các hạng tử trên ? (Học sinh trả lời là: 7, vì ƯCLN(14, 21, 28 ) = 7 ) - Tìm nhân tử chung của các biến x 2 y, xy 2 , x 2 y 2 ? (Học sinh trả lời là xy ) - Nhân tử chung của các hạng tử trong đa thức đã cho là 7xy. Giải: 14x 2 y – 21xy 2 + 28x 2 y 2 = 7xy.2x – 7xy.3y + 7xy.4xy = 7xy.(2x – 3y + 4xy) Ví dụ 2: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử. (BT-39e)-SGK-tr19) Giáo viên gợi ý: - Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2) - Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ? (Học sinh trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) ) - Hãy thực hiện đổi dấu tích 10x(x – y) hoặc tích – 8y(y – x) để có nhân tử chung (y – x) hoặc (x – y)? Cách 1: Đổi dấu tích – 8y(y – x) = 8y(x – y) Cách 2: Đổi dấu tích 10x(x – y) = –10x(y – x) (Học sinh tự giải ) Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y) Ví dụ 3: Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x) 2 thành nhân tử. Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x) 2 = 9x(x – y) + 10(x – y) 2 (đổi dấu sai ) = (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai ) Sai lầm của học ở đây là: Thực hiện đổi dấu sai: 9x(x – y) – 10(y – x) 2 = 9x(x – y) + 10(x – y) 2 Sai lầm ở trên là đổi dấu ba nhân tử ø: –10 và (y – x) 2 của tích –10(y – x) 2 (vì –10(y – x) 2 = –10(y – x)(y – x)). Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x) 2 = 9x(x – y) – 10(x – y) 2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] Ngêi thùc hiƯn: §ç TiÕn Thanh Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh Trang 1 RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cđa häc sinh m«n §¹i sè 8 = (x – y)(10y – x) Qua ví dụ trên, giáo viên củng cố cho học sinh: Cách tìm nhân tử chung của các hạng tử (tìm nhân tử chung của các hệ số và nhân tử chung của các biến, mỗi biến chung lấy số mũ nhỏ nhất). Quy tắc đổi dấu và cách đổi dấu của các nhân tử trong một tích. Chú ý: Tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử trong tích đó (một cách tổng quát, tích không đổi khi ta đổi dấu một số chẵn nhân tử trong tích đó). Phương pháp dùng hằng đẳng thức Phương pháp chung: Sử dụng bảy hằng đẳng thức đáng nhớ dưới “dạng tổng hoặc hiệu” đưa về “dạng tích” 1. A 2 + 2AB + B 2 = (A + B) 2 2. A 2 – 2AB + B 2 = (A – B) 2 3. A 2 – B 2 = (A – B)(A + B) 4. A 3 + 3A 2 B + 3AB 2 + B 3 = (A + B) 3 5. A 3 – 3A 2 B + 3AB 2 – B 3 = (A – B) 3 6. A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 ) 7. A 3 – B 3 = (A – B)(A 2 + AB + B 2 ) Ví dụ 4: Phân tích đa thức (x + y) 2 – (x – y) 2 thành nhân tử. (BT- 28a)-SBT-tr6) Gợi ý: Đa thức trên có dạng hằng đẳng thức nào ? (HS: có dạng A 2 – B 2 ) Lời giải sai: (x + y) 2 – (x – y) 2 = (x + y – x – y)(x + y + x – y) (thiếu dấu ngoặc) = 0.(2x) = 0 (kết quả sai) Sai lầm của học sinh ở đây là: Thực hiện thiếu dấu ngoặc Lời giải đúng: (x + y) 2 – (x – y) 2 = [(x + y) – (x – y)].[(x + y) + (x – y)] = (x + y – x + y)(x + y + x – y) = 2y.2x = 4xy Các sai lầm học sinh dễ mắc phải: - Quy tắc bỏ dấu ngoặc, lấy dấu ngoặc và quy tắc dấu - Phép biến đổi, kó năng nhận dạng hằng đẳng thức hiệu hai bình phương, bình phương của một hiệu. Khai thác bài toán: Đối với học sinh khá giỏi, giáo viên có thể cho các em làm bài tập dưới dạng phức tạp hơn. * Nếu thay mũ “2” bởi mũ “3” ta có bài toán Phân tích (x + y) 3 – (x – y) 3 thành nhân tử (BT-44b)-SGK-tr20) * Đặt x + y = a, x – y = b, thay mũ “3” bởi mũ “6” ta có bài toán Phân tích a 6 – b 6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) a 6 – b 6 = ( ) ( ) 2 2 3 3 a b− = (a 3 – b 3 )( a 3 + b 3 ) Ví dụ 5: Phân tích a 6 – b 6 thành nhân tử (BT-26c)-SBT-tr6) Giải: a 6 – b 6 = ( ) ( ) 2 2 3 3 a b− = (a 3 – b 3 )( a 3 + b 3 ) = (a – b)(a 2 + ab + b 2 )(a + b)(a 2 – ab + b 2 ) Giáo viên củng cố cho học sinh: Ngêi thùc hiƯn: §ç TiÕn Thanh Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh Trang 2 RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cđa häc sinh m«n §¹i sè 8 Các hằng đẳng thức đáng nhớ, kó năng nhận dạng hằng đẳng thức qua bài toán, dựa vào các hạng tử, số mũ của các hạng tử mà sử dụng hằng đẳng thức cho thích hợp. Phương pháp nhóm nhiều hạng tử Phương pháp chung Lựa chọn các hạng tử “thích hợp” để thành lập nhóm nhằm làm xuất hiện một trong hai dạng sau hoặc là đặt nhân tử chung, hoặc là dùng hằng đẳng thức. Thông thường ta dựa vào các mối quan hệ sau: - Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán. - Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn: + Mỗi nhóm đều phân tích được. + Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa. 1) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung: Ví dụ 6: Phân tích đa thức x 2 – xy + x – y thành nhân tử. (Bài tập 47a)-SGK-tr22) Cách 1: nhóm (x 2 – xy) và (x – y) Cách 2: nhóm (x 2 + x) và (– xy – y ) Lời giải sai: x 2 – xy + x – y = (x 2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + (x – y) = (x – y)(x + 0) (kết quả dấu sai vì bỏ sót số 1) Sai lầm của học sinh là: bỏ sót hạng tử sau khi đặt nhân tử chung (HS cho rằng ở ngoặc thứ hai khi đặt nhân tử chung (x – y) thì còn lại là số 0) Lời giải đúng: x 2 – xy + x – y = (x 2 – xy) + (x – y) = x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1) 2) Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức: Ví dụ 7: Phân tích đa thức x 2 – 2x + 1 – 4y 2 thành nhân tử. Giải: x 2 – 2x + 1 – 4y 2 = (x 2 – 2x + 1) – (2y) 2 = (x – 1) 2 – (2y) 2 = (x – 1 – 2y)(x – 1 + 2y) 3) Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên: Ví dụ 8: Phân tích đa thức x 2 – 2x – 4y 2 – 4y thành nhân tử. Lời giải sai: x 2 – 2x – 4y 2 – 4y = (x 2 – 4y 2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên) = (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai) Sai lầm của học sinh là: Nhóm x 2 – 2x – 4y 2 – 4y = (x 2 – 4y 2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai ở ngoặc thứ hai) Lời giải đúng: x 2 – 2x – 4y 2 – 4y = (x 2 – 4y 2 ) + (– 2x – 4y ) = (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2) Qua các ví dụ trên, giáo viên lưu ý cho học sinh: Ngêi thùc hiƯn: §ç TiÕn Thanh Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh Trang 3 RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cđa häc sinh m«n §¹i sè 8 Cách nhóm các hạng tử và đặt dấu trừ “ – ” hoặc dấu cộng “ + ” ở trước dấu ngoặc, phải kiểm tra lại cách đặt dấu khi thực hiện nhóm. Trong phương pháp nhóm thường dẫn đến sự sai dấu, vì vậy học sinh cần chú ý cách nhóm và kiểm tra lại kết quả sau khi nhóm. Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai, phải thực hiện lại. Vận dụng và phát triển kỹ năng Phối hợp các phương pháp thông thường Phương pháp chung Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức. Vì vậy học sinh cần nhận xét bài toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thích hợp. Ta thường xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ? Dùng hằng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Ví dụ 9: Phân tích đa thức x 4 – 9x 3 + x 2 – 9x thành nhân tử. Gợi ý phân tích: Xét từng phương pháp: Đặt nhân tử chung ? Dùng hằng đẳng thức ? Nhóm nhiều hạng tử ? Các sai lầm học sinh thường mắc phải Lời giải chưa hoàn chỉnh: a) x 4 – 9x 3 + x 2 – 9x = x(x 3 – 9x 2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để) b) x 4 – 9x 3 + x 2 – 9x = (x 4 – 9x 3 ) + (x 2 – 9x) = x 3 (x – 9) + x(x – 9 ) = (x – 9)(x 3 + x ) (phân tích chưa triệt để) Lời giải đúng: x 4 – 9x 3 + x 2 – 9x = x(x 3 – 9x 2 + x – 9) = x[(x 3 – 9x 2 ) + (x – 9)] = x[x 2 (x – 9) + 1.(x – 9)] = x(x – 9)(x 2 + 1) Ví dụ 10: Phân tích đa thức A = (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 thành nhân tử. (Bài tập 57- SBT-tr 9 toán 8 tập 1); (Đề thi học sinh giỏi lớp 8, Hà Đông - Hà Tây). Trong ví dụ này có nhiều cách giải, học sinh cần phải linh hoạt lựa chọn cách giải phù hợp nhất, gọn nhất. Áp dụng hằng đẳng thức: (A + B) 3 = A 3 + B 3 + 3AB(A + B) Suy ra hệ quả sau: A 3 + B 3 = (A + B) 3 – 3AB(A + B). Giải: A = (x + y + z) 3 – x 3 – y 3 – z 3 = [(x + y) + z] 3 – x 3 – y 3 – z 3 = (x + y) 3 + z 3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x 3 – y 3 – z 3 = [(x + y) 3 – x 3 – y 3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z 2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z 2 ) Ngêi thùc hiƯn: §ç TiÕn Thanh Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh Trang 4 RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cđa häc sinh m«n §¹i sè 8 = 3(x + y)(y + z)(x + z) Khai thác bài toán: 1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên. 2) Cho x + y + z = 0. Chứng minh x 3 + y 3 + z 3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7) Hướng dẫn: Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y) và x + y + z = 0 ⇔ x + y = – z 3) Phân tích đa thức x 3 + y 3 + z 3 – 3xyz thành nhân tử (Bài tập 28c)-SBT-tr6) Hướng dẫn: Dùng x 3 + y 3 = (x + y) 3 – 3xy(x + y) Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới ba phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử. Tuy nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay ba phương pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25). Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để giải . Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộng rãi trong thực hành giải toán. Phát triển tư duy Giới thiệu hai phương pháp phân tích khác: (Nâng cao) Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác Ví dụ 11: Phân tích đa thức f(x) = 3x 2 – 8x + 4 thành nhân tử. Gợi ý ba cách phân tích: (chú ý có nhiều cách phân tích) Giải: Cách 1 (tách hạng tử : 3x 2 ) 3x 2 – 8x + 4 = 4x 2 – 8x + 4 – x 2 = (2x – 2) 2 – x 2 = (2x – 2 – x)( 2x – 2 + x) = (x – 2)(3x – 2) Cách 2 (tách hạng tử : – 8x) 3x 2 – 8x + 4 = 3x 2 – 6x – 2x + 4 = 3x(x – 2) – 2(x – 2) = (x – 2)(3x – 2) Cách 3 (tách hạng tử : 4) 3x 2 – 8x + 4 = 3x 2 – 12 – 8x + 16 = 3(x 2 – 2 2 ) – 8(x – 2) = 3(x – 2)(x + 2) – 8(x – 2) = (x – 2)(3x + 6 – 8) = (x – 2)(3x – 2) Nhận xét: Từ ví dụ trên, ta thấy việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử nhằm: - Làm xuất hiện hằng đẳng thức hiệu của hai bình phương. (cách 1) - Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất hiện nhân tử chung x – 2 . (cách 2) - Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung. (cách 3) Ngêi thùc hiƯn: §ç TiÕn Thanh Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh Trang 5 RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cđa häc sinh m«n §¹i sè 8 Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán. Khai thác cách giải: Tách hạng tử: – 8x (Cách 2) Nhận xét: Trong đa thức 3x 2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số hạng là: 3, – 6, –2, 4 tỷ lệ nhau 6 4 3 2 − = − hay (– 6).( – 2)= 3.4 và (– 6) + ( – 2)= – 8 Khai thác: Trong đa thức 3x 2 – 8x + 4 đặt a = 3, b = – 8, c = 4 Tính tích a.c và phân tích a.c = b 1 .b 2 sao cho b 1 + b 2 = b (ac = b 1 .b 2 = 3.4 = (– 6).( – 2) = 12; b 1 + b 2 = b = (– 6) + ( – 2)= – 8) Tổng quát: Để phân tích đa thức dạng ax 2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bx thành b 1 x + b 2 x sao cho b 1 b 2 = ac Trong thực hành ta làm như sau: Bước 1: Tìm tích ac. Bước 2: Phân tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách . Bước 3: Chọn hai thừa số mà tổng bằng b. Áp dụng: Phân tích đa thức – 6x 2 + 7x – 2 thành nhân tử (Bài tập 35c)-SBT-tr7) Ta có: a = – 6 ; b = 7 ; c = – 2 Bước 1: ac = (–6).(–2) = 12 Bước 2: ac = (–6).(–2) = (–4).(–3) =(–12).(–1) = 6.2 = 4.3 = 12.1 Bước 3: b = 7 = 4 + 3 Khi đó ta có lời giải: – 6x 2 + 7x – 2 = – 6x 2 + 4x + 3x – 2 = (– 6x 2 + 4x) + (3x – 2) = –2x(3x – 2) + (3x – 2) = (3x – 2)(–2x + 1) Lưu ý: Đối với đa thức f(x) có bậc từ ba trở lên, để làm xuất hiện các hệ số tỉ lệ, tuỳ theo đặc điểm của các hệ số mà ta có cách tách riêng cho phù hợp nhằm để vận dụng phương pháp nhóm hoặc hằng đẳng thức hoặc đặt nhân tử chung. Ví dụ 12: Phân tích đa thức sau ra thừa số : n 3 – 7n + 6 Giải: n 3 – 7n + 6 = n 3 – n – 6n + 6 = n(n 2 – 1) – 6(n – 1) = n(n – 1)(n + 1) – 6(n – 1) = (n – 1)[n(n + 1) – 6] = (n – 1)(n 2 + n – 6) = (n – 1)(n 2 – 2n + 3n – 6) = (n – 1)(n(n – 2) + 3(n – 2)) = (n – 1)(n – 2)(n + 3) Ví dụ 13: Phân tích đa thức x 4 – 30x 2 + 31x – 30 thành nhân tử. Ngêi thùc hiƯn: §ç TiÕn Thanh Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh Trang 6 RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cđa häc sinh m«n §¹i sè 8 Ta có cách tách như sau: x 4 – 30x 2 + 31x – 30 = x 4 + x – 30x 2 + 30x – 30 Giải: x 4 – 30x 2 + 31x – 30 = x 4 + x – 30x 2 + 30x – 30 = x(x 3 + 1) – 30(x 2 – x + 1) = x(x + 1)(x 2 – x + 1) – 30(x 2 – x + 1) = (x 2 – x + 1)(x 2 + x – 30) = (x 2 – x + 1)(x – 5)(x + 6) Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử nhằm sử dụng phương pháp nhóm để xuất hiện dạng đặt nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức. Ví dụ 14: Phân tích đa thức x 4 + x 2 + 1 thành nhân tử. Ta có phân tích: - Tách x 2 thành 2x 2 – x 2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Ta có x 4 + x 2 + 1 = x 4 + 2x 2 + 1 – x 2 = (x 4 + 2x 2 + 1) – x 2 - Thêm x và bớt x: (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Ta có x 4 + x 2 + 1 = x 4 – x + x 2 + x + 1 = (x 4 – x) + (x 2 + x + 1) Giải: x 4 + x 2 + 1 = x 4 – x + x 2 + x + 1 = (x 4 – x) + (x 2 + x + 1) = x(x – 1)(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 2 – x + 1) Ví dụ 15: Phân tích đa thức x 5 + x 4 + 1 thành nhân tử. Cách 1: Thêm x 3 và bớt x 3 (làm xuất hiện hằng đẳng thức và đặt nhân tử chung) Giải: x 5 + x 4 + 1 = x 5 + x 4 + x 3 – x 3 + 1 = (x 5 + x 4 + x 3 )+ (1 – x 3 ) = x 3 (x 2 + x + 1)+ (1 – x )(x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 3 – x + 1 ) Cách 2: Thêm x 3 , x 2 , x và bớt x 3 , x 2 , x (làm xuất hiện đặt nhân tử chung) Giải: x 5 + x 4 + 1 = x 5 + x 4 + x 3 – x 3 + x 2 – x 2 + x – x + 1 = (x 5 + x 4 + x 3 ) + (– x 3 – x 2 – x ) + (x 2 + x + 1) = x 3 (x 2 + x + 1) – x(x 2 + x + 1) + (x 2 + x + 1) = (x 2 + x + 1)(x 3 – x + 1 ) Chú ý: Các đa thức có dạng x 4 + x 2 + 1, x 5 + x + 1, x 5 + x 4 + 1, x 7 + x 5 + 1,….; tổng quát những đa thức dạng x 3m+2 + x 3n+1 + 1 hoặc x 3 – 1, x 6 – 1 đều có chứa nhân tử x 2 + x + 1. Ví dụ 16: Phân tích đa thức x 4 + 4 thành nhân tử. (Bài tập 57d)-SGK-tr 25) Gợi ý: Thêm 2x 2 và bớt 2x 2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) Giải: x 4 + 4 = x 4 + 4x 2 + 4 – 4x 2 = (x 2 + 2) 2 – (2x) 2 = (x 2 + 2 – 2x)( x 2 + 2 + 2x) Khai thác bài toán: Ngêi thùc hiƯn: §ç TiÕn Thanh Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh Trang 7 RÌn kü n¨ng gi¶i bµi to¸n ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư cđa häc sinh m«n §¹i sè 8 * Thay “4” thành “ 64y 4 ”, ta có bài toán: x 4 + 64y 4 Hướng dẫn giải: Thêm 16x 2 y 2 và bớt 16x 2 y 2 : (làm xuất hiện hằng đẳng thức) x 4 + 64y 4 = (x 4 + 16x 2 y 2 + 64y 4 ) – 16x 2 y 2 = (x 2 + 8y 2 ) 2 – (4xy) 2 = (x 2 + 8y 2 – 4xy)(x 2 + 8y 2 + 4xy) 1.1.1. §Þnh nghÜa ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a) §Þnh nghÜa 1 + NÕu mét ®a thøc ®ỵc viÕt díi d¹ng tÝch cđa hai hay nhiỊu ®a thøc th× ta nãi r»ng ®a thøc ®· cho ®ỵc ph©n tÝch thµnh nh©n tư. + Víi bÊt k× ®a thøc ( kh¸c 0 ) nµo ta còng cã thĨ biĨu diƠn thµnh tÝch cđa mét nh©n tư kh¸c 0 víi mét ®a thøc kh¸c. ThËt vËy: a n x n + a n-1 x n-1 + … + a 0 = c( c a n x n + c a n 1− x n – 1 + … + c a 0 ) ( víi c ≠ 0, c ≠ 1 ). b) §Þnh nghÜa 2 Gi¶ sư P(x) ∈ P [ ] x lµ ®a thøc cã bËc lín h¬n 0. Ta nãi P(x) lµ bÊt kh¶ quy trªn trêng P nÕu nã kh«ng thĨ ph©n tÝch ®ỵc thµnh tÝch cđa hai ®a thøc bËc kh¸c 0 vµ nhá h¬n bËc cđa P(x). Trêng hỵp tr¸i l¹i th× P(x) ®ỵc gäi lµ kh¶ quy hc ph©n tÝch ®ỵc trªn P. 1.1.2. C¸c ®Þnh lý c¬ b¶n vỊ ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư a)§Þnh lý 1 Mçi ®a thøc f(x) trªn trêng P ®Ịu ph©n tÝch ®ỵc thµnh tÝch c¸c ®a thøc bÊt kh¶ quy, vµ sù ph©n tÝch ®ã lµ duy nhÊt sai kh¸c thø tù c¸c nh©n tư vµ c¸c nh©n tư bËc 0.” b) §Þnh lý 2 Trªn trêng sè thùc R, mét ®a thøc lµ bÊt kh¶ quy khi vµ chØ khi nã lµ bËc nhÊt hc bËc hai víi biƯt thøc ∆ < 0. VËy mäi ®a thøc trªn R cã bËc lín h¬n 0 ®Ịu ph©n tÝch ®ỵc thµnh tÝch cđa c¸c ®a thøc bËc nhÊt hc bËc hai víi ∆ < 0”. c) §Þnh lý 3( Tiªu chn Eisenten ) Gi¶ sư f(x) = a 0 + a 1 x + … + a n x n , n > 1, a n ≠ 0, lµ mét ®a thøc hƯ sè nguyªn . NÕu tån t¹i mét sè nguyªn tè p sao cho p kh«ng ph¶i lµ íc cđa a n nhng p lµ íc cđa c¸c hƯ sè cßn l¹i vµ p 2 kh«ng ph¶i lµ íc cđa c¸c sè h¹ng tù do a 0 . ThÕ th× ®a thøc f(x) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q. 1.2. Mét sè ph¬ng ph¸p ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tư Qua c¸c ®Þnh lý trªn, ta ®· chøng tá r»ng mäi ®a thøc ®Ịu ph©n tÝch ®ỵc thµnh tÝch c¸c ®a thøc trªn trêng sè thùc R. Song ®ã lµ mỈt lÝ thut , cßn trong thùc hµnh th× khã kh¨n h¬n nhiỊu , vµ ®ßi hái nh÷ng “kÜ tht” , nh÷ng thãi quen vµ kÜ n¨ng “ s¬ cÊp”. Díi ®©y qua c¸c vÝ dơ ta xem xÐt mét sè ph- ¬ng ph¸p thêng dïng ®Ĩ ph©n tÝch mét ®a thøc thµnh nh©n tư. 1.2.1. Ph¬ng ph¸p ®Ỉt nh©n tư chung Ph¬ng ph¸p nµy vËn dơng trùc tiÕp tÝnh chÊt ph©n phèi cđa phÐp nh©n ®èi víi phÐp céng (theo chiỊu ngỵc). Bµi 1 : Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tư A = 2ax 3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax - by) Gi¶i: Ta cã : A = 2ax 3 + 4bx 2 y + 2x 2 (ax –by) = 2x 2 (ax + 2by + ax – by) =2x 2 (2ax + by) Bµi 2: Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tư P = (2a 2 – 3ax)(5y + 2b) – (6a 2 – 4ax)(5y + 2b) Ngêi thùc hiƯn: §ç TiÕn Thanh Trêng THCS Ngun ChÝ Thanh Trang 8 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 Giải: Ta có: P = (2a 2 3ax)(5y +2b) (6a 2 4ax)(5y + 2b) = (5y+2b)((2a 2 3ax) (6a 2 4ax)) = (5y + 2b)(- 4a 2 + ax) = (5y + 2b)(x 4a)a Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử B = 3x 2 (y 2z ) 15x(y 2z) 2 Giải: Ta thấy các hạng tử có nhân tử chung là y 2z Do đó : B = 3x 2 (y 2z) 15x(y 2z) 2 = 3x(y 2z)((x 5(y 2z)) =3x(y 2z)(x 5y + 10z) Bài 4 : phân tích đa thức sau thành nhân tử C = (2a 2 3ax)(5c + 2d) (6a 2 4ax)(5c +2d) Giải: Ta có: C = (2a 2 3ax)(5c + 2d) (6a 2 4ax)(5c + 2d) = (5c + 2d)(2a 2 3ax 6a 2 + 4ax) = (5c + 2d)(ax 4a 2 ) = a(5c + 2d)(x 4a) Bài 5: phân tích đa thức sau thành nhân tử Q = 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6xy 2 z xyz 2 + 3xy Giải: Ta có: Q = 3x 3 y 6x 2 y 3xy 3 6xy 2 z xyz 2 + 3xy = 3xy(x 2 2x y 2 2yz z 2 + 1) = 3xy((x 2 2x + 1) (y 2 + 2yz + z 2 )) = 3xy((x 1) 2 (y + z) 2 ) = 3xy((x 1) (y + z))((x 1) + 9 y+ z)) = 3xy(x - y z 1)(x + y + z 1) Bài 6 : Phân tích đa thức thành nhân tử: A = 16x 2 (y 2z) 10y( y 2z) Giải: Ta có : A = 16x 2 (y 2z) 10y( y 2z) = (y 2z)(16x 2 10y) Bài 7 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 3 + 3x 2 + 2x + 6 Giải: Ta có : B = x 3 + 3x 2 + 2x + 6 = x 2 (x + 3) + 2( x + 3) = (x 2 + 2)(x + 3) Bài 8 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = 6z 3 + 3z 2 + 2z +1 Giải: Ta có : A = 6z 3 + 3z 2 + 2z +1 = 3z 2 (2z + 1) + (2z + 1) = (2z + 1)(3z 2 + 1) 1.2.2 . Phơng pháp nhóm các hạng tử Phơng pháp này vận dụng một cách thích hợp tính chất giao hoán, tính chất kết hợp của phép cộng, để làm xuất hiện từng nhóm các hạng tử có nhân tử chung, rồi sau đó vận dụng tính chất phân phối của phép nhân với phép cộng. Sau đây là một số ví dụ : Bài 9: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = xy 2 xz 2 + yz 2 yx 2 + zx 2 zy 2 Giải: Ta có : B = xy 2 xz 2 + yz 2 yx 2 + zx 2 zy 2 = (xy 2 xz 2 ) + (yz 2 - zy 2 ) + (zx 2 yx 2 ) = x(y 2 z 2 ) + yz(z y) + x 2 (z y) = x(y z)(y + z) yz(y z) x 2 (y z) = (y z)((x(y + z) yz x 2 )) = (y z)((xy x 2 ) + (xz yz) = (y z)(x(y x) + z(x y)) = (y z)(x y)(z x) Bài 10 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A= 4x 5 +6x 3 +6x 2 +9 Ngời thực hiện: Đỗ Tiến Thanh Trờng THCS Nguyễn Chí Thanh Trang 9 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 Giải: Ta có : A= 4x 5 +6x 3 +6x 2 +9 = 2x 3 (2x 2 + 3) + 3(2x 3 + 3) = (2x 3 + 3)(2x 2 + 3) Bài 11: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 6 + x 4 + x 2 + 1 Giả: Ta có : B = x 6 + x 4 + x 2 + 1 = x 4 (x 2 + 1) + ( x 2 + 1) = (x 2 + 1)(x 4 + 1) Bài 12: Phân tích đa thức sau thành nhân tử B = x 2 + 2x + 1 y 2 Giải: Ta có: B = x 2 + 2x + 1 y 2 = (x 2 + 2x + 1) y 2 = (x + 1) 2 y 2 =(x +1 y)(x + 1 + y ) Bài 13 : Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x 2 + 2xy + y 2 xz - yz Giải: Ta có : A = x 2 + 2xy + y 2 xz - yz = (x 2 + 2xy + y 2 ) (xz + yz) = (x + y) 2 z(x + y) = (x + y)(x + y z) Bài 14: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 2xy + z + 2x + yz Giải: Ta có : P = 2xy + z + 2x + yz = (2xy + 2x) + (z + yz) = 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z) Bài 15: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x m + 4 + x m + 3 x - 1 Giải: Ta có : A = x m + 4 + x m + 3 x 1 = x m + 3 (x + 1) ( x + 1) = (x + 1)(x m + 3 1) Bài 16: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x 2 (y z) + y 2 (z - x) + z 2 (x y) Giải: Khai triển hai số hạng cuối rồi nhóm các số hạng làm xuất hiện thừa số chung y - z Ta có : P = x 2 (y z) + y 2 z xy 2 + xz 2 yz 2 = x 2 (y z) + yz(y z) x(y 2 z 2 ) = x 2 (y z) + yz(y z) x(y z)(y + z) = (y z)((x 2 + yz x(y + z)) = (y z)(x 2 + yz xy xz) = (y z)(x(x y) z(x y)) = (y z)(x y)(x z) Nhận xét : dễ thấy z x = -((y z) + (x y) nên : P = x 2 (y z) - y 2 ((y z) + (x y)) + z 2 (x y) =(y z)(x 2 y 2 ) (x y)(z 2 y 2 ) = (y z) (x y)(x + y) - (x y)(z - y)(z + y) = (y z) (x y)(x + y (z + y)) = (y z) (x y)(x z) Bài 17: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc Giải: Ta có : A = ( a + b + c)(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c(bc + ca + ab) - abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + bc 2 + c 2 a + abc abc = ( a + b)(bc + ca + ab) + c 2 ( a + b) = ( a + b)(bc + ca + ab + c 2 ) Ngời thực hiện: Đỗ Tiến Thanh Trờng THCS Nguyễn Chí Thanh Trang 10 [...]... 5)) + 15 = (x2 + 8x + 7)( x2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x2 + 8x + 7) Đa thức đã cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y2 + 8y + 15 = y2 + 3y + 5y + 15 = y(y + 3) + 5(y + 3) = ( y + 3)(y + 5) Thay : y = (x2 + 8x + 7), ta đợc : M = (x2 + 8x + 10)(x2 + 8x + 12) = (x2 + 8x + 10)( x2 + 2x + 6x + 12) = (x2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận xét: Từ lời giải bài toán trên ta có... giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 Giải: Tìm nghiệm nguyên của đa thức (nếu có) trong các ớc của 36 : 1; 2; 3; 4; 6 ; 9; 12; 18; 36 Ta thấy : x = -2 P(-2) = 16 + 16 44 24 +36 = 68 68 = 0 Ta có: P = x4 + 2x3 4x3 8x2 3x2 6x + 18x + 36 = x3 (x + 2) 4x2(x + 2) 3x(x + 2) + 18( x + 2) = (x + 2)(x3 4x2 3x + 18) Lại phân tích Q = x3 4x2 3x + 18 thành... 3(b + c)(a2 + ab + ac + bc) = 3(b + c)(a(a + b) + c(a + b) = 3(b + c)(a + b)(a + c) Bài 28: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = x8 28 Ngời thực hiện: Đỗ Tiến Thanh Trờng THCS Nguyễn Chí Thanh Trang 12 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 Giải: Ta có : P = x8 28 = (x4 + 24) (x4 - 24) = (x4 + 24)((x2)2 (22)2 ) = (x4 + 24)(x2 22)(x2 + 22) = (x4 + 24)(x2... 1)((x2 x + 2) + x(x + 1)) = (x2 x + 1)(2x2 + 2) Bài 46: Phân tích đa thức sau thành nhân tử P = 4x4 + 81 Giải: Ta có : P = 4x4 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 36x2 Ngời thực hiện: Đỗ Tiến Thanh Trờng THCS Nguyễn Chí Thanh Trang 19 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 = (2x2 + 9)2 (6x)2 =(2x2 + 9 6x)(2x2 + 9 + 6x) Bài 47: Phân tích đa thức sau thành nhân tử Q =... tích đa thức sau thành nhân tử B = x4 8x + 63 Giải: Ta có thể biểu diễn B dới dạng : B = x4 8x + 63 = (x2 + ax + b)(x2 + cx + d) = x4 + (a+ c)x3 + (ac + b + d)x2 + (ad + bc)x + bd a 4 a + c = 0 = ac + b + d = 0 = b 7 Đồng nhất hai đa thức ta đợc hệ điều kiện: c ad + bc = 8 =4 bd = 63 = d 9 4 2 2 Vậy : B = x 8x + 63 = (x - 4x + 7)(x + 4x + 9) 1.2 .8 Phơng pháp xét giá trị riêng Đây là một... Xét bd = 3 với b, d Z , b {1;3 } với b = 3; d = 1 Hệ điều kiện trở thành : a + c = 6 ac = 8 a + 3c = 14 Suy ra 2c = - 14 + 6 = - 8, Do đó c = - 4 , a = -2 Ngời thực hiện: Đỗ Tiến Thanh Trờng THCS Nguyễn Chí Thanh Trang 20 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 Vậy M = x4 6x3 + 12x2 14x + 3 = (x2 2x + 3)(x2 4x + 1) Bài 52: Phân tích đa thức sau thành...Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 = ( a + b)( c(b + c) + a(b + c)) = ( a + b)(b + c)(c + a) Bài 18: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc Giải: Ta có : Q = a2b + ab2 + b2c +bc2 + c2a + ca2 + 3abc... x + 1) = (x2 - x + 1)(x + 1+ 1) 2 = (x - x + 1)(x + 2) Bài 50: Phân tích đa thức sau thành nhân tử C = x3 6x2 x + 30 Giải: Ta có : C = x3 6x2 x + 30 = x3 + 2x2 8x2 16x + 15x + 30 = x2(x + 2) 8x(x + 2) + 15 ( x + 2) = (x + 2)(x2 8x + 16 1) = (x + 2)((x 4)2 1)) = (x + 2)(x 4 1)(x 4 + 1) = (x + 2)(x 5)(x 3) 1.2.7 Phơng pháp hệ số bất định Phơng pháp này dựa vào định nghĩa hai đa thức bằng... năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 1.2.6 Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ ( tách số hạng) Phơng pháp đề xuất bình phơng đủ là phơng pháp thêm, bớt các hạng tử trong đa thức để làm xuất hiện các đa thức có thể đa về hằng đẳng thức đáng nhớ Sau đây là một số ví dụ : Bài 41: Phân tích đa thức sau thành nhân tử A = x2 6x + 5 Giải: Ta có thể giải bài toán trên đây... 1) = (x2 - x + 1)(x2 + x + 1) Bài 44: Phân tích đa thức sau thành nhân tử F = 5x2 + 6xy + y2 Ngời thực hiện: Đỗ Tiến Thanh Trờng THCS Nguyễn Chí Thanh Trang 18 Rèn kỹ năng giải bài toán phân tích đa thức thành nhân tử của học sinh môn Đại số 8 Giải: Cách 1 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (5x2 + 5xy) + (xy + y2) = 5x(x + y) + y(x + y) = (x + y)(5x + y) Cách 2 : F = 5x2 + 6xy + y2 = (6x2 + 6xy) (x2 - y2) = 6x(x . + 16 44 24 +36 = 68 68 = 0 Ta có: P = x 4 + 2x 3 4x 3 8x 2 3x 2 6x + 18x + 36 = x 3 (x + 2) 4x 2 (x + 2) 3x(x + 2) + 18( x + 2) = (x + 2)(x 3 4x 2 3x + 18) Lại phân tích Q. 5) Thay : y = (x 2 + 8x + 7), ta đợc : M = (x 2 + 8x + 10)(x 2 + 8x + 12) = (x 2 + 8x + 10)( x 2 + 2x + 6x + 12) = (x 2 + 8x + 10)((x(x + 2) + 6(x + 2)) = (x 2 + 8x + 10)(x + 2)(x + 6) Nhận. x + 7))((x + 3)(x + 5)) + 15 = (x 2 + 8x + 7)( x 2 + 8x + 15) + 15 Đặt : y = (x 2 + 8x + 7). Đa thức đã cho trở thành : M = y(y + 8) + 15 = y 2 + 8y + 15 = y 2 + 3y + 5y + 15 = y(y +