Xây dựng các điều kiện tối ưu thông qua nón liên hợp

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ MAI DUNG XÂY DỰNG CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU THÔNG QUA NÓN LIÊN HỢP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, NĂM 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình ñược hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Phản biện 1: TS Cao Văn Nuôi Phản biện 2: TS Nguyễn Duy Thái Sơn Luận văn ñược bảo vệ Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng 06 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn : - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn ñề tài: Lý thuyết toán tối ưu ñã phát triển từ sớm ñã hình thành nhiều cách tiếp cận khác việc giải toán Khởi ñầu ñiều kiện tối ưu toán trơn mà kết công thức dừng kiểu Fermat hay phương trình dừng kiểu Euler Sự phát triển mạnh mẽ lý thuyết ñiều khiển tối ưu quy hoạch toán học nửa sau kỷ hai mươi ñã làm xuất ñiều kiện cần/ñủ tối ưu dạng nguyên lý cực ñại Pontryagin quy tắc nhân tử Lagrange Từ ñó ñến nay, với phát triển vượt bậc giải tích lồi giải tích không trơn, nhiều kết ñịnh tính toán tối ưu ñược thiết lập mang ý nghĩa khoa học ứng dụng cao Một ñiều ñáng lưu ý nhiều ñiều kiện tối ưu, ñặc biệt dạng nhân tử Lagrange, sử dụng ñịnh lý tách tập lồi thể thông qua công thức nón liên hợp Tuy vậy, cho ñến chưa có tài liệu trình bày ñiều kiện tối ưu cách quán ngôn ngữ nón liên hợp Vì mục tiêu nghiên cứu luận văn tổng hợp ñiều kiện tối ưu kinh ñiển lược ñồ chung sử dụng kết nón liên hợp Mục ñích nghiên cứu: Thiết lập lại tất ñiều kiện tối ưu kinh ñiển ngôn ngữ chung sử dụng nón liên hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Trình bày kết giải tích lồi mà chủ yếu ñịnh lý tách tập lồi, nón liên hợp kết bản, nón tiếp xúc nón pháp tuyến Trình bày lý thuyết tối ưu: Các khái niệm kết bản, phân loại toán, thiết lập lại loạt ñiều kiện tối ưu sử dụng nón liên hợp Phương pháp nghiên cứu: Footer Page of 126 Header Page of 126 - Tham khảo tài liệu sẵn có, - Phương pháp nghiên cứu lý luận, - Phương pháp phân tích, - Phương pháp tổng hợp, - Phương pháp khái quát hóa, - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm Ý nghĩa khoa học thực tiễn ñề tài: Đề tài ñã tổng hợp ñiều kiện tối ưu cách sử dụng kết nón liên hợp Đề tài góp phần, hổ trợ bạn sinh viên ngành Toán nghiên cứu lý thuyết toán cực trị thông qua ngôn ngữ nón liên hợp Cấu trúc luận văn Chương Kết bổ trợ từ giải tích lồi Chương Lý thuyết tổng quát toán tối ưu Chương Các ñiều kiện tối ưu Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương KẾT QỦA BỔ TRỢ TỪ GIẢI TÍCH LỒI Trong luận văn này, ta giả thiết X không gian Banach X* ký hiệu cho không gian phiếm hàm tuyến tính liên tục X Chương giới thiệu số kết giải tích lồi Định lí Tách, nón liên hợp, nón tiếp xúc nón pháp tuyến 1.1 Định lý tách tập lồi Định nghĩa 1.1 Với f ∈ X* α ∈ , ta ký hiệu H ( f ;α ) = { x ∈ X | f ( x ) = α } , H + ( f ;α ) = { x ∈ X | f ( x ) ≥ α } , H _ ( f ;α ) = { x ∈ X | f ( x ) ≤ α } Khi ñó, f ≠0 H(f; α ) siêu phẳng X, H + ( f ;α ) , H − ( f ;α ) nửa không gian có biên H(f; α ) Định nghĩa 1.2 Cho tập hợp A, B ⊂ X Ta nói phiếm hàm tuyến tính liên tục f ≠ tách A B, f ( a ) ≤ f ( b ) (hoặc f ( a ) ≥ f ( b )), ∀a ∈ A, b ∈ B Điều xảy tồn số α ∈ cho f ( a ) ≤ α ≤ f ( b ) , ∀a ∈ A, b ∈ B Lúc ñó, ta nói siêu phẳng H(f; α ) tách A B H(f; α ) Hình 1.1 Siêu phẳng tách hai tập hợp Footer Page of 126 Header Page of 126 Ta nói hai tập A B tách mạnh ñược tồn phiếm hàm tuyến tính liên tục f số γ > β cho A ⊆ H − ( f ; β ) B ⊆ H + ( f ; γ ) (hoặc ngược lại) Nói cách khác, inf b∈ B f ( b ) > sup a∈ A f ( a ) Lúc ñó, có α ∈ ( β , γ ) ta nói siêu phẳng H(f; α ) tách mạnh A B H ( f ;γ ) H( f ;β) B A Hình 1.2 f tách mạnh A B Định lý 1.1 (Định lý Tách) Cho hai tập lồi rời A B X Nếu hai ñiều kiện ñây thỏa mãn có siêu phẳng tách A B: a) (int A) U (int B ) ≠ ∅ , b) X hữu hạn chiều Hệ 1.1 Định lý 1.2 Hai tập lồi khác rỗng A B tách mạnh ñược 0∉ A− B Định lý 1.3 (Định lý Tách mạnh) Cho A B hai tập lồi khác rỗng rời X cho A ñóng B compact Lúc ñó, tồn siêu phẳng ñóng tách mạnh A B Hệ 1.2 Mệnh ñề 1.1 Cho M không gian X Lúc ñó, với g ∈ M* tồn f ∈ X* cho f|M = g 1.2 Nón liên hợp Footer Page of 126 Header Page of 126 Trong mục ta tìm hiểu kết phép toán nón liên hợp Định nghĩa 1.3 Một tập K ⊆ X ñược gọi nón với k ∈ K λ > ta có λ k ∈ K Nếu nữa, K tập lồi, ñược gọi nón lồi Định nghĩa 1.4 Cho K nón X, ta gọi nón liên hợp K tập hợp K * = { x* ∈ X * | < x* , x > ≥ 0; ∀x ∈ K } Tương tự H nón X* nón liên hợp H tập hợp H * = { x ∈ X | < x* , x > ≥ 0; ∀x* ∈ H } Ta viết K** thay cho (K*)* Mệnh ñề 1.2 K*, H* nón lồi ñóng Mệnh ñề 1.3 Nếu K1 ⊆ K K1* ⊇ K 2* ( ) = ( coK ) Mệnh ñề 1.4 K * = ( coK ) = K * * * Mệnh ñề 1.5 K ** = coK Mệnh ñề 1.6 Nếu K không gian X K * = K ⊥ : = { x* ∈ X * |< x* , x > = 0; ∀x ∈ K } không gian trực giao K Định nghĩa 1.5 Giả sử f : X → Khi ñó, f ñược gọi hàm lồi X f ( λ x + (1 − λ ) y ) ≤ λ f ( x ) + (1 − λ ) f ( y ) , ∀λ ∈ [ 0,1] , ∀x, y ∈ X Miền hữu hiệu hàm f, ký hiệu domf , ñược ñịnh nghĩa sau: domf = { x ∈ X | f ( x ) < + ∞} Hàm f ñược gọi thường domf ≠ ∅ f ( x ) > − ∞, ∀x ∈ X Định nghĩa 1.6 Giả sử f hàm lồi, thường X x ∈ domf Một phiếm hàm x* ∈ X * ñược gọi gradient f x0 f ( x ) ≥ f ( x0 ) + < x − x0 , x* >, ∀x∈ X Footer Page of 126 Header Page of 126 Định nghĩa 1.7 Tập hợp tất gradient f x0 ñược gọi vi phân f ñiểm ñó ñược kí hiệu ∂f ( x0 ) Vậy, ∂f ( x0 ) = { x* ∈ X * | f ( x ) − f ( x0 ) ≥ < x − x0 , x* >, ∀x∈ X } Định lý 1.4 Nếu f hàm lồi liên tục x0 với v ∈ X tồn ñạo hàm theo f’ f ( x0 + tv ) − f ( x0 ) t f ' ( x0 ; v ) := lim t → 0+ Hơn ∂f ( x0 ) = { x* ∈ X * | < x* , v > ≤ f ' ( x0 , v ) , ∀x∈ X } , ∂f ( x0 ) tập lồi, compact yếu* khả vi f ' ( x0 , v ) = max < x* , v >, ∀v ∈ X x* ∈ ∂f ( x0 ) Mệnh ñề 1.7 Nếu ( Ki )i =1 họ nón X m * m m  * K =  U i  I Ki  i =1  i = Mệnh ñề 1.8 Nếu K1 , K2 nón X ( K1 I K ) * ⊇ K1* + K 2* Mệnh ñề 1.9 Cho K nón lồi có phần khác rỗng, L không gian X cho K I L ≠ ∅ Lúc ñó, với u ∈ L* thỏa mãn < u , k > ≥ 0; ∀k ∈ K I L , tồn x* ∈ X * cho < x* , l > = < u , l >; ∀l ∈ L < x* , k > ≥ 0; ∀k ∈ K Mệnh ñề 1.10 Cho K nón lồi có phần khác rỗng, L không gian X cho K I L ≠ ∅ Lúc ñó, ( K I L) * = K * + L* Mệnh ñề 1.11 Nếu K1 , K2 nón lồi mở cho K1 I K ≠ ∅ , Footer Page of 126 Header Page of 126 ( K1 I K ) * = K1* + K 2* Mệnh ñề 1.12 Cho hai nón lồi khác rỗng K, M X cho int K ≠ ∅ ( int K ) I M = ∅ Lúc ñó K * I ( − M * ) ≠ {0} Tức tồn u * ∈ K * , v* ∈ M * cho ( u , v ) ≠ ( 0,0 ) u * * * + v* = Hệ 1.3 Định lý 1.5 Cho Ki , ≤ i ≤ m, nón lồi mở khác rỗng Km+1 nón lồi m +1 khác rỗng thỏa mãn IK i = ∅ Lúc ñó tồn x ∈ K cho * i * i i =1 m ∑x i =1 * i = ( x , x , , x ) ≠ ( 0,0, ,0 ) * * * m +1 Mệnh ñề 1.13 Cho x1* , x2* , , xk* ∈ X * Lúc ñó k  * * x ∈ X | < x , x > ≤ 0,1 ≤ i ≤ k = − { } ∑ λi xi* , λi ≥ 0 i  i =1  1.3 Nón tiếp xúc nón pháp tuyến Trong mục ta ký hiệu A tập ñóng khác rỗng X Cho x0 ∈ A , ta gọi v ∈ X vec-tơ tiếp xúc A x0 tồn dãy ( xn ) ⊆ A dãy số dương (tn) hội tụ không cho xn − x0 n→∞ tn v = lim Tập hợp vec-tơ tiếp xúc với A x0 ñược kí hiệu TA(x0) Vậy   x − x0 TA(x0) = lim n | ( xn ) ⊆ A; tn → +  n→∞ tn  Mệnh ñề 1.14 TA(x0) nón chứa gốc, Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 10 { A TA ( x0 ) = lim λn ( xn − x0 ) | λn ≥ 0; xn  → x0 n →∞ }   d ( x + tv ) = v ∈ X | liminf A = 0 , t t →0 +   ñó d A ( x ) = inf x − a khoảng cách từ ñiểm x ñến tập A a∈ A Từ kết ta gọi TA(x0) nón tiếp xúc A x0 Một cách tự nhiên ta gọi nón pháp tuyến A x0 tập N A ( x0 ) = − TA ( x0 ) = { x* ∈ X * |< x* , v > ≤ 0; ∀v∈TA ( x0 )} * Mệnh ñề 1.15 Nếu A tập lồi a) TA ( x0 ) = U λ ( A − x0 ) = {v | d A' ( x0 ; v ) = 0} , λ >0 b) N A ( x0 ) = { x* ∈ X * |< x − x0 , x* > ≤ 0; ∀x ∈ A} Các kết cho thấy biểu diễn nón tiếp xúc nón pháp tuyến tập lồi ñược cho hệ bất phương trình phương trình, tuyến tính phi tuyến Trước hết ta xét tập ña diện có dạng: A = { x∈ X | < , x > ≤ bi ; ≤ i ≤ m} , ñó ∈ X* bi ∈ (1.2) với i ∈ I := {1,…,m} Với x0 ∈ A ta ký hiệu I(x0) := { i ∈ I | < , x0 > = bi } tập hữu hiệu x0 kí hiệu J(x0) = I\I(x0) Mệnh ñề 1.16 Với A cho (1.2) ta có: TA (x0) = { v ∈ X | ≤ 0; ∀ i ∈ I(x0 )},   N A ( x0 ) =  ∑ λi | λi ≥   i∈I ( x0 )  Tổng quát ta xét tập ña diện A có dạng A = { x ∈ X |< , x > ≤ bi ; 1≤ i ≤ m, < c j , x > = d j ; ≤ j ≤ k } , ñó ai, cj ∈ X* bi, dj ∈ Kí hiệu K = { 1,…,k} Mệnh ñề 1.17 Với tập A ñược cho (1.3) x0 ∈ A ta có Footer Page 10 of 126 (1.3) Header Page 11 of 126 11 TA ( x0 ) = {v ∈ X | < , v > ≤ 0; ∀i ∈ I ( x0 ) , < ck , v >= 0; k ∈K } ,  N A ( x0 ) =  ∑ λi + ∑ µk ck | λi ≥ 0; µk ∈ k ∈K i∈I ( x0 )    Nhận xét 1.1 Từ kết ta thấy TA(x0) hoàn toàn ñược xác ñịnh ràng buộc hữu hiệu, tức ràng buộc mà x0 xảy dấu ñẳng thức (là tập I(x0) Mệnh ñề 1.16, tập I ( x0 ) U K Mệnh ñề 1.17) Điều dễ hiểu với ràng buộc xảy dấu bất ñẳng thức chặt với hướng v, ñiểm x0 + tv ñều thỏa mãn bất ñẳng thức với t > ñủ bé Với nhận xét vậy, ý ñến ràng buộc hữu hiệu ñủ Trong nhiều trường hợp tập lồi ñược xác ñịnh hệ bất ñẳng thức lồi Cụ thể, fi : X → , ≤ i ≤ m hàm lồi A = { x ∈ X | f i ( x ) ≤ 0; ≤ i ≤ m} tập hợp lồi Với x0 ∈ A ta ñặt I ( x0 ) = {i | f i ( x0 ) = 0} A ñược gọi quy tồn u ∈ A cho I(u) = ∅ , tức fi (u) < với i ∈ I = {1, , m} Bổ ñề 1.1 Nếu f : X → hàm lồi liên tục x0 ∈ X K * = − U λ∂f ( x0 ) λ >0 với K = {v∈ X | f ' ( x0 ; v ) ≤ 0} Hơn nữa, 0∉∂f ( x0 ) K * = − U λ∂f ( x0 ) λ >0 Mệnh ñề 1.18 Giả sử A tập xác ñịnh A = { x ∈ X | f i ( x ) ≤ 0; ≤ i ≤ m} với fi hàm lồi liên tục Với x0 ∈ A ta có a) Nếu I(x0) = ∅ TA (x0) = X, b) Nếu I ( x0 ) ≠ ∅ TA ( x0 ) ⊆ {v∈ X | f i ' ( x0 ; v ) ≤ 0; ∀i∈ I ( x0 ) } Hơn nữa, A quy ñẳng thức xảy ra, ñồng thời ta có Footer Page 11 of 126 (1.4) Header Page 12 of 126 12   N A ( x0 ) = U λ co  U ∂f i ( x0 )   i∈ I ( x )  λ ≥0   (1.5) Nhận xét 1.2 Chú ý ñiều kiện quy không thỏa mãn biểu thức TA ( x0 ) ⊆ {v∈ X | fi ' ( x0 ; v ) ≤ 0; ∀i∈ I ( x0 ) } không xảy dấu ñẳng thức Định nghĩa 1.9 Cho f : X → hàm giá trị thực X x0 ∈ X Ta nói ñạo hàm (Frechet) f x0 phiếm hàm tuyến tính liên tục f ' ( x0 ) ∈ X * thỏa mãn: f ( x ) − f ( x0 ) − < f ' ( x0 ) , x − x0 > lim = x → x0 x − x0 Ở ñây, với g ∈ X * x ∈ X ký hiệu cho giá trị g x Nghĩa là, = g(x) Phần lại mục cố gắng mô tả nón tiếp xúc nón pháp tuyến tập ñược cho hệ phương trình, bất phương trình không lồi Ta xét trường hợp A ñược xác ñịnh hệ hữu hạn, bất phương trình trơn Cho fi : X → , ≤ i ≤ m, g i : X → , 1≤ j ≤ k hàm thuộc lớp C1 Giả sử A = { x∈ X | f i ( x ) ≤ 0;1 ≤ i ≤ m, g j ( x ) = 0; ≤ j ≤ k } Với x0 ∈ A ta ñặt I ( x0 ) = {1 ≤ i ≤ m | f i ( x0 ) = 0} LA ( x0 ) = {v ∈ X | < f i ' ( x0 ) , v > ≤ 0; ∀i ∈ I ( x0 ) , < g j ' ( x0 ) , v > = 0; ≤ j ≤ k } Mệnh ñề 1.19 TA ( x0 ) ⊆ LA ( x0 ) Nếu dấu ñẳng thức biểu thức xảy ta nói x0 ñiểm quy A Mệnh ñề 1.20 Cho A = { x∈ X | fi ( x ) ≤ 0, ∀i ∈ I } với fi hàm khả vi liên tục Giả sử x0 ∈ A cho tồn v∈ X thỏa mãn < fi ' ( x0 ) , v > < với i∈ I ( x0 ) Lúc ñó x0 ñiểm quy A Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 13 Mệnh ñề 1.21 Cho A = { x∈ X | f ( x ) ≤ 0} với fi hàm lõm, liên tục Giả sử x0 ∈ A ñiểm cho I ( x0 ) ≠ ∅ Lúc ñó TA ( x0 ) = {v∈ X | < fi ' ( x0 ) , v > 0, ∀i∈ I ( x0 )} Mệnh ñề 1.22 Cho A = { x ∈ X | h j ( x ) = 0, ∀j ∈ K } , ñó hj hàm khả { } vi liên tục X Nếu x0 ∈ A cho h'j ( x0 ) , j = 1, k ñộc lập tuyến tính { } k TA ( x0 ) = v ∈ X | h ( x0 ) , v = 0, ∀j = 1, k = I Ker h'j ( x0 ) Footer Page 13 of 126 ' j j =1 Header Page 14 of 126 14 Chương LÝ THUYẾT TỔNG QUÁT BÀI TOÁN TỐI ƯU 2.1 Các ñịnh nghĩa Cho X không gian Banach f : X → hàm nhận giá trị thực mở rộng, M tập X Ta xét toán P (M ; f  f ):  (x ) →  in f, x∈ M f ñược gọi hàm mục tiêu toán, M ñược gọi tập chấp nhận ñược x ∈ X gọi ñiểm chấp nhận ñược Một ñiểm x ∈ X ñược gọi nghiệm (toàn cục) P(M;f) () f ( x ) ≥ f x ; ∀x ∈ M , ñược gọi nghiệm ñịa phương toán tồn ε > cho () ( ) f ( x ) ≥ f x ; ∀x ∈ M I B x; ε Nếu M = X ta có toán cực trị không ràng buộc P(f) { } Nếu M = x ∈ X | h j ( x ) = 0; j = 1, k , h j : X → , j = 1, k ta có toán cực trị với ràng buộc ñẳng thức: { f ( x ) → inf, h j ( x ) = 0, ∀j = 1,k { } Nếu M = x ∈ X | g i ( x ) ≤ 0; i = 1, m , gi : X → ta có toán cực trị với ràng buộc bất ñẳng thức: { { f ( x) → inf, gi ( x) ≤ ; ≤ i ≤ m } Cuối cùng, M = x ∈ X | h j ( x ) = 0, j = 1, k , gi ( x ) ≤ 0; i = 1, m ta có toán ràng buộc hỗn hợp: Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 15  f ( x ) → inf,  h j ( x ) = 0, ≤ j ≤ k ,  g ( x ) ≤ 0;1 ≤ i ≤ m  i Tùy theo dáng ñiệu tập chấp nhận ñược M hàm mục tiêu f mà người ta gọi toán cực trị tên khác Cụ thể, P(M;f) ñược gọi - toán quy hoạch tuyến tính M tập ña diện f hàm tuyến tính, - toán quy hoạch lồi M tập lồi f hàm lồi, - toán quy hoạch lõm M tập lồi f hàm lõm, - toán quy hoạch DC M tập lồi f hàm DC, tức hiệu hai hàm lồi, - toán quy hoạch trơn M ña tạp khả vi, có biên trơn khúc f khả vi liên tục 2.2 Các ñịnh lý tồn Ta xét toán P(M; f) ký hiệu Sol(M; f) tập tất nghiệm (toàn cục) Solloc(M; f) tập nghiệm ñịa phương toán P(M; f) Định lý 2.1 Trong toán quy hoạch lồi ta có Sol(M; f) = Solloc(M; f) tập lồi (có thể rỗng) Định lý 2.2 Trong toán quy hoạch lõm với hàm mục tiêu khác (trên M) ta có Sol ( M ; f ) ⊆ ∂M Hệ 2.1 Định nghĩa 2.1 Một hàm f : X → ñược gọi nửa liên tục x0 lim inf f ( x ) ≥ f ( x0 ) x → x0 Nói cách khác, với γ < f ( x0 ) tồn ε > cho f ( x ) > γ , ∀x ∈ B ( x0 , ε ) Nếu f nửa liên tục x ∈ X ta nói f nửa liên tục Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 16 Định lý 2.3 Nếu M compact f nửa liên tục Sol ( M ; f ) ≠ ∅ Hệ 2.2 2.3 Hướng chấp nhận ñược hướng giảm Định nghĩa 2.2 Cho A ⊆ X x0 ∈ A, vec-tơ v ∈ X ñược gọi hướng chấp nhận ñược A x0 tồn ε > cho x0 + tv ∈ A; ∀t ∈ [ 0, ε ) Nếu nữa, tồn lân cận U v cho x0 + tu ∈ A; ∀t ∈ [ 0, ε ) , ∀u ∈ U ta nói v hướng chấp nhận ñược chặt Ta kí hiệu tập tất hướng chấp nhận ñược (t.ư hướng chấp nhận ñược chặt) A x0 K A ( x0 ) ( t.ư K A0 ( x0 ) ) Mệnh ñề 2.1 K A ( x0 ) nón chứa gốc, K A0 ( x0 ) nón mở K A0 ( x0 ) ⊆ K A ( x0 ) ⊆ TA ( x0 ) Định nghĩa 2.3 Cho f hàm nhận giá trị thực, xác ñịnh lân cận x0 ∈ X Vectơ v ∈ X ñược gọi hướng giảm f x0 tồn α > ε > cho f ( x0 + tv ) ≤ f ( x0 ) − tα ; ∀t ∈ [ 0, ε ) Nếu nữa, tồn lân cận U v cho f ( x0 + tu ) ≤ f ( x0 ) − tα ; ∀t ∈ [ 0, ε ) , ∀u ∈ U v ñược gọi hướng giảm chặt f x0 Ta kí hiệu tập tất hướng giảm (hướng giảm chặt) f x0 K f ( x0 ) ( t.ư K 0f ( x0 ) ) Mệnh ñề 2.2 K f ( x0 ) nón không chứa gốc, K 0f ( x0 ) nón mở K 0f ( x0 ) ⊆ K f ( x0 ) Ta giả thiết x0 ∈ A ⊆ X , f hàm xác ñịnh lân cận x0, v vec-tơ X Footer Page 16 of 126 Header Page 17 of 126 17 Định nghĩa 2.4 Hàm f ñược gọi Lipschitz ñịa phương x0 ∈ X , tồn β ≥ 0, ε > cho vói x1 , x2 ∈ B ' ( x0 , ε ) ta có: f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ β x1 − x2 Mệnh ñề 2.3 Giả sử ñạo hàm theo hướng f’(x0 , v) tồn Lúc ñó, a) v ∈ K f ( x0 ) ⇔ f ' ( x0 , v ) < b) Nếu f Lipschitz ñịa phương x0 v ∈ K 0f ( x0 ) ⇔ f ' ( x0 , v ) < Hệ 2.3 Hệ 2.4 Hệ 2.5 Mệnh ñề 2.4 Nếu A tập lồi có phần khác rỗng, K A0 ( x0 ) = U λ ( int A − x0 ) , K A ( x0 ) = U λ ( A − x0 ) λ >0 λ >0 Từ ñó, KA(x0) nón lồi, K A0 ( x0 ) nón lồi mở Khi A tập mức hàm f, tức A = { x ∈ X | f ( x ) ≤ 0} nón K A ( x0 ) K f ( x0 ) , K A0 ( x0 ) K 0f ( x0 ) có mối quan hệ khắng khít với Điều ñó ñược thể qua kết ñây Mệnh ñề 2.5 K f ( x0 ) ⊆ K A ( x0 ) , K f ( x0 ) ⊆ K A0 ( x0 ) Mệnh ñề 2.6 Giả sử f(x0) = 0, f có ñạo hàm theo hướng x0, hàm f’(x0 ,v) lồi theo biên v tồn v0 cho f’(x0, v0) < Lúc ñó K A0 ( x ) ⊆ {v ∈ X | f ' ( x0 , v ) < 0} = K f ( x0 ) Hệ 2.6 Hệ 2.7 Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 18 Chương CÁC ĐIỀU KIỆN TỐI ƯU 3.1 Điều kiện Hầu hết toán tối ưu ñều ñưa dạng sau ñây  f ( x ) → inf,  m (P0)  x ∈ Ai , I  i=1  ñó Ai, ≤ i ≤ m, tập có giao khác rỗng X f :X → Sau ñây số ñiều kiện cần cực trị cho toán dạng Định lý 3.1 Nếu x nghiệm ñịa phương toán (P0) Kf  m  x I  I K Ai x  = ∅ i =1  () () Định lý 3.2 Nếu x nghiệm ñịa phương toán (P0) K f m −1  x I  I K Ai x  I TAm x = ∅  i =1  () () () 3.2 Bài toán trơn Cho X không gian Banach, X0 tập f : X → , h j : X → , j =1, k hàm khả vi Ta xét toán cực trị với ràng buộc ñẳng thức  f ( x ) → inf,  P(X0; h1, …,hk; f) :  x ∈ X0,  h j ( x ) = 0, j =1, k Dễ thấy P(X0; h1, …,hk; f) tương ñương với toán minmax sau: k   inf sup  f ( x ) + ∑ µ j h j ( x )  x∈ X µ∈ k j =1   Footer Page 18 of 126 X, Header Page 19 of 126 19 Vì ñể tiếp cận toán tốt người ta thiết lập hàm ñây mà ñược gọi hàm Lagrange toán: k L1 ( x, µ ) = f ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) j =1 ñây x ∈ X , µ ∈ k ñược gọi nhân tử Lagrange Trong ñiều kiện cực trị người ta thường sử dụng hàm Lagrange có dạng tổng quát sau: k L ( x, λ0 , µ ) = λ0 f ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) , j =1 với ( λ0 , µ ) ∈ + × k nhân tử Lagrange Định lý 3.3 (Quy tắc nhân tử Lagrange) Nếu x nghiệm ñịa phương P(X0 ; h1 ,…,hk; f), tồn nhân tử ( λ0 , µ ) ≠ (0,0) cho ( ) ( ) ∑ µ h ( x) = Lx x, λ0 , µ = λ f ' x + k j =1 j ' j (3.1) { () ( )} ñộc Hơn f, hj hàm khả vi liên tục x h1' x , , hk' x lập tuyến tính, λ0 > , ñó chọn λ0 = Cho f , g1 , , g m , hàm nhận giá trị thực, khả vi X, X0 tập X Ta xét toán tối ưu trơn với ràng buộc bất ñẳng thức:  f ( x ) → inf,  P ( X ; g1 , , g m ; f ) :  x ∈ X0,  g ( x ) ≤ 0,1 ≤ i ≤ m  i Vì P ( X ; g1 , , g m ; f ) tương ñương với toán m   inf sup  f ( x ) + ∑ λi g i ( x )  x∈ X λ ≥ i i =1   nên hàm Lagrange toán P ( X ; g1 , , g m ; f ) m m i =1 i =1 L ( x, λ0 , λ ) = λ0 f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) L1 ( x, λ ) = f ( x ) + ∑ λi gi ( x ), Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 20 với x ∈ X, ( λ , λ ) ∈ + × m + Ta gọi tập hữu hiệu ñiểm chấp nhận ñược x , ký hiệu I( x ), tập số i cho gi( x ) = , tức I( x ) = { i | gi( x ) = 0} Định lý 3.4 Nếu x nghiệm ñịa phương toán P ( X ; g1 , , g m ; f ) , tồn ( λ0 , λ ) ∈ m +1 + \ {0} thỏa mãn ( ) () m () Lx x, λ0 , λ = λ0 f ' x + ∑ λi gi' x = , (3.2) ∑λ g ( x) = (3.3) i =1 m i =1 i i () () Hơn nữa, tồn v ∈ X cho g i' x , v < với i ∈ I x λ > , ñó chọn λ = Trong nhiều vấn ñề thực tế ta gặp toán với ràng buộc vừa ñẳng thức vừa bất ñẳng thức Giả sử g i : X → , ≤ i ≤ m, h j : X → , ≤ j ≤ k hàm khả vi Bài toán tối ưu trơn với ràng buộc hỗn hợp có dạng sau:  f ( x ) → inf,  x ∈ X0,  P ( X ; g1 , , g m , h1 , , hk ; f ) :   g i ( x ) ≤ 0;1 ≤ i ≤ m,  h j ( x ) = 0;1 ≤ j ≤ k  Vì P ( X ; g1 , , g m , h1 , , hk ; f ) tương ñương với toán inf sup x ∈ X λ ≥ 0; µ ∈ i j m   f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) + i =1  k  j =1  ∑ µ jhj ( x)  , nên hàm Lagrange toán P ( X ; g1 , , g m , h1 , , hk ; f ) m k i =1 j =1 L ( x, λ0 , λ , µ ) = λ0 f ( x ) + ∑ λi g i ( x ) + ∑ µ j h j ( x ) v ới x ∈ X , ( λ , λ ) ∈ Footer Page 20 of 126 m +1 + ,µ ∈ k Header Page 21 of 126 21 Ta ký hiệu I( x ) tập hữu hiệu ñiểm chấp nhận ñược x : () { () } I x = ≤ i ≤ m | gi x = Định lý 3.5 (Karush-Kuhn-Tucker) Nếu x nghiệm ñịa phương toán  f ( x ) → inf,  x ∈ X0,  P ( X ; g1 , , g m , h1 , , hk ; f ) :   g i ( x ) ≤ 0;1 ≤ i ≤ m,  h j ( x ) = 0;1 ≤ j ≤ k  { () ( )} ñộc lập tuyến tính tồn v ∈ X ñó h1' x , , hk' x () () cho () gi' x , v < 0; ∀i ∈ I x , h 'j x , v = 0; ≤ j ≤ k , tồn λ ∈ ( m + ,µ ∈ ) k thỏa mãn () m ( ) ∑ µ h ( x ) = 0, L( x ) x, λ , µ = f ' x + ∑ λi g i' x + i =1 k j =1 j ' j ∑ λ g ( x ) = m i =1 i i ( 3.4 ) ( 3.5 ) 3.3 Bài toán lồi Cho g i : A → ,0 ≤ i ≤ m, hàm lồi tập lồi A ⊆ X Ta xét toán tối ưu lồi với ràng buộc bất ñẳng thức:  f ( x ) → inf,  P ( A; f ; g1 , , g m ) :  x ∈ A,  g ( x ) ≤ 0, ≤ i ≤ m  i Vì P ( A; f ; g1 , , g m ) tương ñương với toán m   inf sup  f ( x ) + ∑ λi g i ( x )  , x ∈ A λ ≥0 i i =1   nên hàm Lagrange toán P ( A; f ; g1 , , g m ) Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 22 m m i =1 i =1 L1 ( x, λ ) = f ( x ) + ∑ λi g i ( x ) ; L ( x, λ0 , λ ) = λ0 f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) , với x ∈ A , λ0 ∈ + , λ∈ m + Ta nói toán thỏa mãn Điều kiện (chính qui) Slater tồn x0 ∈ A cho g i ( x0 ) < ; ≤ i ≤ m Định lý 3.6 Nếu x nghiệm ñịa phương toán P ( A; f ; g1 , , g m ) , ( ) tồn λ0 , λ ∈ m +1 + \ {0} thỏa mãn ( ) () 0 ∈ ∂ x L x, λ0 , λ + N A x , ( K − T ) :  λi gi x = 0; ≤ i ≤ m () Hơn nữa, Điều kiện Slater thỏa mãn, λ0 > , ñó chọn λ0 = , lúc ñó (K - T) ñiều kiện ñủ ñể cho ñiểm chấp nhận ñược x nghiệm toán Hệ 3.1 ( ) Định nghĩa 3.1 Một cặp x, λ ∈ A × m + ñược gọi ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ ) ( ) ( ) ( ) Định lý 3.7 Nếu ( x, λ ) ñiểm yên ngựa hàm L1 x, λ ≤ L1 x, λ ≤ L1 x, λ ; ∀ ( x, λ ) ∈ A × m + L1 ( x, λ ) x nghiệm toán P ( A; f ; g1 , , g m ) Định lý 3.8 (Kuhn-Tucker) Nếu ñiều kiện Slater thỏa mãn x nghiệm toán P ( A; f ; g1 , , g m ) tồn λ ∈ m + ( ) cho x, λ ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ ) Tiếp theo ta xét ñiều kiện tối ưu toán quy hoạch lồi tổng quát Giả sử g i : X → Footer Page 22 of 126 , ≤ i ≤ m , hàm lồi liên tục h j : X → , ≤ j ≤ k Header Page 23 of 126 23 hàm affine liên tục xác ñịnh tập lồi A ⊆ X Bài toán tối ưu với ràng buộc hỗn hợp có dạng sau:  f ( x ) → inf,  x ∈ A,  P ( A; f ; g1 , , g m , h1 , , hk ) :   gi ( x ) ≤ 0; ≤ i ≤ m,  h j ( x ) = 0; ≤ j ≤ k  Hàm Lagrange toán có dạng m L1 ( x, λ , µ ) = f ( x ) + ∑ λi gi ( x ) + i =1 với x ∈ A, λ ∈ m + ,µ ∈ k ∑ µ h ( x ), j =1 j j ( x, λ , µ ) Định nghĩa 3.2 Bộ ba k ñược gọi ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ , µ ) ( ) ( ) ( ) L1 x, λ , µ ≤ L1 x, λ , µ ≤ L1 x, λ , µ ; ∀ ( x, λ , µ ) ∈ A × ( m + × k ) Định lý 3.9 Nếu x, λ , µ ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ , µ ) x nghiệm toán P ( A; f ; g1 , , g m , h1 , , hk ) Ta nói toán P ( A; f ; g1 , , g m , h1 , , hk ) thỏa mãn ñiều kiện Slater mở rộng tồn x0 ∈ int A cho g i ( x0 ) < 0; ≤ i ≤ m, h j ( x0 ) = 0; ≤ j ≤ k Bổ ñề 3.1 Giả sử ñiều kiện Slater mở rộng thỏa mãn Đặt C = { x ∈ X | h j ( x ) = 0; ≤ j ≤ k }; B = C I A () () () Lúc ñó, với x ∈ B ta có TB x = TC x I TA x Hơn nữa, h j ( x ) = y*j , x + α j ; ≤ j ≤ k , () () N B x = N A x + span { y*j :1 ≤ j ≤ k} Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 24 Định lý 3.10 Giả sử toán quy hoạch lồi P ( A; f ; g1 , , g m , h1 , , hk ) thỏa mãn ñiều kiện Slater mở rộng x nghiệm Lúc ñó tồn (λ, µ ) ∈ m + × Footer Page 24 of 126 k ( ) cho x, λ , µ ñiểm yên ngựa hàm L1 ( x, λ , µ ) Header Page 25 of 126 25 KẾT LUẬN Luận văn ñã ñạt ñược kết sau: • Trình bày ñịnh nghĩa toán tối ưu, số ñịnh lý tồn bản, khái nệm hướng chấp nhận ñược, hướng giảm chứng minh số tính chất chúng • Trình bày chứng minh chi tiết ñiều kiện toán tối ưu, ñồng thời ñưa dạng thường gặp toán trơn lồi dạng ngôn ngữ nón liên hợp • Đưa số ví dụ áp dụng cho toán cụ thể Vấn ñề ñược ñưa luận văn tương ñối cụ thể ñối với toán tối ưu, chưa thật toàn diện bao quát áp dụng ñược vào thực tế Footer Page 25 of 126  ... lưu ý nhiều ñiều kiện tối ưu, ñặc biệt dạng nhân tử Lagrange, sử dụng ñịnh lý tách tập lồi thể thông qua công thức nón liên hợp Tuy vậy, cho ñến chưa có tài liệu trình bày ñiều kiện tối ưu cách... ngôn ngữ nón liên hợp Vì mục tiêu nghiên cứu luận văn tổng hợp ñiều kiện tối ưu kinh ñiển lược ñồ chung sử dụng kết nón liên hợp Mục ñích nghiên cứu: Thiết lập lại tất ñiều kiện tối ưu kinh ñiển... dụng nón liên hợp Đối tượng phạm vi nghiên cứu: Trình bày kết giải tích lồi mà chủ yếu ñịnh lý tách tập lồi, nón liên hợp kết bản, nón tiếp xúc nón pháp tuyến Trình bày lý thuyết tối ưu: Các khái