Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 25 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
25
Dung lượng
342,9 KB
Nội dung
1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG NGUYỄN THỊ MAI DUNGXÂYDỰNGCÁCĐIỀUKIỆNTỐIƯUTHÔNGQUANÓNLIÊNHỢP Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC ĐÀ NẴNG, NĂM 2011 2 Công trình ñược hoàn thành tại ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Huỳnh Thế Phùng Phản biện 1: TS. Cao Văn Nuôi Phản biện 2: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn Luận văn ñược bảo vệ tại Hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp tại Đại học Đà Nẵng vào ngày 30 tháng 06 năm 2011 Có thể tìm hiểu luận văn tại : - Trung tâm Thông tin-Học liệu, Đại học Đà Nẵng - Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng. 3 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn ñề tài: Lý thuyết các bài toán tốiưu ñã phát triển từ rất sớm và ñã hình thành nhiều cách tiếp cận khác nhau trong việc giải quyết bài toán. Khởi ñầu là các ñiều kiệntốiưu của bài toán trơn mà kết quả là các công thức dừng kiểu Fermat hay các phương trình dừng kiểu Euler. Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết ñiều khiển tốiưu và quy hoạch toán học ở nửa sau của thế kỷ hai mươi ñã làm xuất hiện các ñiều kiện cần/ñủ tốiưu dưới dạng nguyên lý cực ñại Pontryagin và quy tắc nhân tử Lagrange. Từ ñó ñến nay, cùng với sự phát triển vượt bậc của giải tích lồi và giải tích không trơn, nhiều kết quả ñịnh tính của bài toán tốiưu ñược thiết lập mang ý nghĩa khoa học cũng như ứng dụng cao hơn. Một ñiều ñáng lưu ý là rất nhiều ñiều kiệntối ưu, ñặc biệt ở dạng nhân tử Lagrange, sử dụng ñịnh lý tách tập lồi và thể hiện thôngquacác công thức trên nónliên hợp. Tuy vậy, cho ñến nay chưa có một tài liệu nào trình bày các ñiều kiệntốiưu một cách nhất quán dưới ngôn ngữ nónliên hợp. Vì vậy mục tiêu nghiên cứu của luận văn là tổng hợpcác ñiều kiệntốiưu kinh ñiển trong một lược ñồ chung sử dụngcác kết quả trên nónliên hợp. 2. Mục ñích nghiên cứu: Thiết lập lại tất cả các ñiều kiệntốiưu kinh ñiển dưới một ngôn ngữ chung sử dụngnónliên hợp. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu: Trình bày các kết quả cơ bản của giải tích lồi mà chủ yếu là các ñịnh lý tách tập lồi, nónliênhợp cùng các kết quả cơ bản, nón tiếp xúc và nón pháp tuyến. Trình bày lý thuyết tối ưu: Các khái niệm cùng các kết quả cơ bản, phân loại bài toán, thiết lập lại một loạt các ñiều kiệntốiưu sử dụngnónliên hợp. 4. Phương pháp nghiên cứu: 4 - Tham khảo tài liệu sẵn có, - Phương pháp nghiên cứu lý luận, - Phương pháp phân tích, - Phương pháp tổng hợp, - Phương pháp khái quát hóa, - Phương pháp tổng kết kinh nghiệm. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài: Đề tài ñã tổng hợpcác ñiều kiệntốiưu bằng cách sử dụngcác kết quả trên nónliên hợp. Đề tài sẽ góp phần, hổ trợ các bạn sinh viên ngành Toán nghiên cứu lý thuyết các bài toán cực trị thôngqua ngôn ngữ nónliên hợp. 6. Cấu trúc của luận văn Chương 1. Kết quả bổ trợ từ giải tích lồi. Chương 2. Lý thuyết tổng quát bài toán tối ưu. Chương 3. Các ñiều kiệntối ưu. 5 Chương 1 KẾT QỦA BỔ TRỢ TỪ GIẢI TÍCH LỒI Trong luận văn này, ta luôn giả thiết X là không gian Banach và X * ký hiệu cho không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X. Chương này giới thiệu một số kết quả của giải tích lồi là Định lí Tách, nónliên hợp, nón tiếp xúc và nón pháp tuyến. 1.1. Định lý tách tập lồi Định nghĩa 1.1. Với mỗi * f X và α ∈ ∈ , ta ký hi ệ u ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } ( ) ( ) { } _ ; | , ; | , ; | . H f x X f x H f x X f x H f x X f x α α α α α α + = ∈ = = ∈ ≥ = ∈ ≤ Khi ñ ó, n ế u 0f ≠ thì H(f;α ) là m ộ t siêu ph ẳ ng trong X, còn ( ) ( ) ; , ;H f H f α α + − là các n ử a không gian có biên là H(f;α ). Định nghĩa 1.2. Cho các t ậ p h ợ p A, B ⊂ X. Ta nói phi ế m hàm tuy ế n tính liên t ụ c f ≠ 0 tách A và B, n ế u ( ) ( ) f a f b≤ (ho ặ c ( ) ( ) ), , .f a f b a A b B≥ ∀ ∈ ∈ Đ i ề u này x ả y ra khi và ch ỉ khi t ồ n t ạ i m ộ t s ố α ∈ sao cho ( ) ( ) , , .f a f b a A b B α ≤ ≤ ∀ ∈ ∈ Lúc ñ ó, ta nói siêu ph ẳ ng H(f;α ) tách A và B. Hình 1.1. Siêu ph ẳ ng tách hai t ậ p h ợ p H(f;α ) 6 Ta nói hai t ậ p A và B là tách m ạ nh ñượ c n ế u t ồ n t ạ i phi ế m hàm tuy ế n tính liên t ụ c f và các s ố γ β > sao cho ( ) ;A H f β − ⊆ và ( ) ;B H f γ + ⊆ (ho ặ c ng ượ c l ạ i). Nói cách khác, ( ) ( ) inf sup b B a A f b f a ∈ ∈ > . Lúc ñ ó, n ế u có ( ) , α β γ ∈ ta c ũ ng nói siêu ph ẳ ng H(f;α ) tách m ạ nh A và B. Hình 1.2. f tách m ạ nh A và B Định lý 1.1 (Định lý Tách). Cho hai t ậ p l ồ i r ờ i nhau A và B trong X. N ế u m ộ t trong hai ñ i ề u ki ệ n d ướ i ñ ây th ỏ a mãn thì có m ộ t siêu ph ẳ ng tách A và B: a) (int ) (int )A B ≠ ∅U , b) X h ữ u h ạ n chi ề u. Hệ quả 1.1. Định lý 1.2. Hai t ậ p l ồ i khác r ỗ ng A và B tách m ạ nh ñượ c khi và ch ỉ khi 0 A B∉ − . Định lý 1.3 (Định lý Tách mạnh). Cho A và B là hai t ậ p l ồ i khác r ỗ ng r ờ i nhau trong X sao cho A ñ óng và B compact. Lúc ñ ó, t ồ n t ạ i m ộ t siêu ph ẳ ng ñ óng tách m ạ nh A và B. Hệ quả 1.2. Mệnh ñề 1.1. Cho M là m ộ t không gian con c ủ a X. Lúc ñ ó, v ớ i m ọ i * g M∈ t ồ n t ạ i * f X∈ sao cho f| M = g. 1.2. Nónliênhợp B A ( ) ;H f γ ( ) ;H f β 7 Trong m ụ c này ta tìm hi ể u các k ế t qu ả c ơ b ả n và các phép toán trên nónliên h ợ p. Định nghĩa 1.3. M ộ t t ậ p K X⊆ ñượ c g ọ i là nón n ế u v ớ i m ọ i à 0k K v λ ∈ > ta có k K λ ∈ . N ế u h ơ n n ữ a, K là t ậ p l ồ i, thì nó s ẽ ñượ c g ọ i là nón l ồ i. Định nghĩa 1.4. Cho K là m ộ t nón trong X, ta g ọ i nónliên h ợ p c ủ a K là t ậ p h ợ p { } * * * * | , 0;K x X x x x K= ∈ < > ≥ ∀ ∈ . T ươ ng t ự n ế u H là nón trong X * thì nónliên h ợ p c ủ a H là t ậ p h ợ p { } * * * | , 0;H x X x x x H= ∈ < > ≥ ∀ ∈ . Ta vi ế t K ** thay cho (K * ) * . Mệnh ñề 1.2. K * , H * là cácnón l ồ i ñ óng. Mệnh ñề 1.3. N ế u 1 2 K K⊆ thì * * 1 2 K K⊇ . Mệnh ñề 1.4. ( ) ( ) ( ) * * * * K coK K coK= = = Mệnh ñề 1.5. ** K coK= . Mệnh ñề 1.6. N ế u K là không gian con c ủ a X thì { } * * * * : | , 0;K K x X x x x K ⊥ = = ∈ < > = ∀ ∈ chính là không gian con tr ự c giao c ủ a K. Định nghĩa 1.5. Gi ả s ử :f X → . Khi ñ ó, f ñượ c g ọ i là hàm l ồ i trên X n ế u ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] 1 1 , 0,1 , ,f x y f x f y x y X λ λ λ λ λ + − ≤ + − ∀ ∈ ∀ ∈ . Miền hữu hiệu của hàm f, ký hiệu là domf , ñược ñịnh nghĩa như sau: ( ) { } |domf x X f x= ∈ < + ∞ . Hàm f ñược gọi là chính thường nếu ( ) à ,domf v f x x X≠ ∅ > − ∞ ∀ ∈ . Định nghĩa 1.6. Giả sử f là một hàm lồi, chính thường trên X và x domf∈ . Một phiếm hàm * * x X∈ ñược gọi là dưới gradient của f tại x 0 nếu ( ) ( ) * 0 0 , ,f x f x x x x x X≥ + < − > ∀ ∈ . 8 Định nghĩa 1.7. Tập hợp tất cả các dưới gradient của f tại x 0 ñược gọi là dưới vi phân của f tại ñiểm ñó và ñược kí hiệu là ( ) 0 f x∂ . Vậy, ( ) ( ) ( ) { } * * * 0 0 0 | , ,∂ = ∈ − ≥ < − > ∀ ∈f x x X f x f x x x x x X . Định lý 1.4. Nếu f là một hàm lồi liên tục tại x 0 thì với mọi v X∈ tồn tại ñạo hàm theo f’ ( ) ( ) ( ) ' 0 0 0 0 ; : lim . t f x tv f x f x v t → + + − = Hơn nữa ( ) ( ) { } * * * ' 0 0 | , , , ,f x x X x v f x v x X∂ = ∈ < > ≤ ∀ ∈ ( ) 0 f x∂ là tập lồi, compact yếu * khả vi và ( ) ( ) * 0 ' * 0 , ax , , . x f x f x v m x v v X ∈∂ = < > ∀ ∈ Mệnh ñề 1.7. Nếu ( ) 1 m i i K = là một họ cácnón trong X thì * * 1 1 . m m i i i i K K = = = U I Mệnh ñề 1.8. Nếu K 1 , K 2 là cácnón trong X thì ( ) * * * 1 2 1 2 K K K K⊇ +I . Mệnh ñề 1.9. Cho K là nón lồi có phần trong khác rỗng, L là không gian con của X sao cho K L ≠ ∅ I . Lúc ñó, với mọi * u L∈ thỏa mãn , 0;u k k K L< > ≥ ∀ ∈ I , tồn tại * * x X∈ sao cho * , , ;x l u l l L< > = < > ∀ ∈ và * , 0; .x k k K< > ≥ ∀ ∈ Mệnh ñề 1.10. Cho K là nón lồi có phần trong khác rỗng, L là không gian con của X sao cho .K L ≠ ∅ I Lúc ñó, ( ) * * * .K L K L= +I Mệnh ñề 1.11. Nếu K 1 , K 2 là cácnón lồi mở sao cho 1 2 K K ≠ ∅ I , thì 9 ( ) * * * 1 2 1 2 K K K K= +I . Mệnh ñề 1.12. Cho hai nón lồi khác rỗng K, M trong X sao cho int K ≠ ∅ và ( ) int K M = ∅I . Lúc ñó ( ) { } * * 0K M− ≠ I . Tức là tồn tại * * * * ,u K v M∈ ∈ sao cho ( ) ( ) * * , 0,0u v ≠ và * * 0u v+ = . Hệ quả 1.3. . Định lý 1.5. Cho K i , 1 ,i m≤ ≤ là cácnón lồi mở khác rỗng và K m+1 là nón lồi khác rỗng thỏa mãn 1 1 m i i K + = = ∅ I . Lúc ñó tồn tại * * i i x K∈ sao cho * 1 0 m i i x = = ∑ và ( ) ( ) * * * 1 2 1 , , ., 0,0, .,0 m x x x + ≠ . Mệnh ñề 1.13. Cho * * * * 1 2 , , ., . k x x x X∈ Lúc ñó { } * * * 1 | , 0,1 , 0 k i i i i i x X x x i k x λ λ = ∈ < > ≤ ≤ ≤ = − ≥ ∑ . 1.3. Nón tiếp xúc và nón pháp tuyến Trong mục này ta luôn ký hiệu A là tập con ñóng khác rỗng của X. Cho 0 x A∈ , ta gọi v X∈ là vec-tơ tiếp xúc của A tại x 0 nếu tồn tại một dãy ( ) n x A⊆ và một dãy số dương (t n ) hội tụ về không sao cho 0 lim n n n x x v t → ∞ − = . Tập hợpcác vec-tơ tiếp xúc với A tại x 0 ñược kí hiệu là T A (x 0 ). Vậy T A (x 0 ) = ( ) 0 lim | ; 0 n n n n n x x x A t t →∞ − ⊆ → + . Mệnh ñề 1.14. T A (x 0 ) là m ộ t nón ch ứ a g ố c, h ơ n n ữ a 10 ( ) ( ) { } ( ) 0 0 0 0 0 lim | 0; |liminf 0 , A A n n n n n A t T x x x x x d x tv v X t λ λ →∞ → + = − ≥ → + = ∈ = trong ñ ó ( ) inf A a A d x x a ∈ = − là kho ả ng cách t ừ ñ i ể m x ñế n t ậ p A. T ừ k ế t qu ả này ta g ọ i T A (x 0 ) là nón ti ế p xúc c ủ a A t ạ i x 0 . M ộ t cách t ự nhiên ta g ọ i nón pháp tuy ế n c ủ a A t ạ i x 0 là t ậ p ( ) ( ) ( ) { } * * * * 0 0 0 | , 0; A A A N x T x x X x v v T x= − = ∈ < > ≤ ∀ ∈ . Mệnh ñề 1.15. N ế u A là t ậ p l ồ i thì ( ) ( ) ( ) { } ( ) { } ' 0 0 0 0 * * * 0 0 ) | ; 0 , ) | , 0; . A A A a T x A x v d x v b N x x X x x x x A λ λ > = − = = = ∈ < − > ≤ ∀ ∈ U Các k ế t qu ả ti ế p theo s ẽ cho th ấ y bi ể u di ễ n c ủ a nón ti ế p xúc và nón pháp tuy ế n c ủ a các t ậ p l ồ i ñượ c cho b ở i h ệ b ấ t ph ươ ng trình và ph ươ ng trình, tuy ế n tính ho ặ c phi tuy ế n. Tr ướ c h ế t ta xét các t ậ p ñ a di ệ n có d ạ ng: { } | , ;1 , i i A x X a x b i m= ∈ < > ≤ ≤ ≤ (1.2) trong ñ ó a i ∈ X * và b i ∈ v ớ i m ọ i i ∈ I := {1,…,m}. V ớ i x 0 ∈ A ta ký hi ệ u I(x 0 ) := { i ∈ I | < a i , x 0 > = b i } là t ậ p h ữ u hi ệ u t ạ i x 0 và kí hi ệ u J(x 0 ) = I\I(x 0 ). Mệnh ñề 1.16. V ớ i A cho b ở i (1.2) ta có: T A (x 0 ) = { v ∈ X | <a i , v> ≤ 0; ∀ i ∈ I(x 0 )}, ( ) ( ) 0 0 | 0 A i i i i I x N x a λ λ ∈ = ≥ ∑ . T ổ ng quát h ơ n ta xét t ậ p ñ a di ệ n A có d ạ ng { } | , ;1 , , ;1 i i j j A x X a x b i m c x d j k= ∈ < > ≤ ≤ ≤ < >= ≤ ≤ , (1.3) trong ñ ó a i , c j ∈ X * còn b i , d j ∈ . Kí hi ệ u K = { 1,…,k}. Mệnh ñề 1.17. V ớ i t ậ p A ñượ c cho b ở i (1.3) và x 0 ∈ A ta có