Ứng dụng maple trong giảng dạy và học tập môn hình học vi phân

Header Page of 126 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG ——————— TRẦN BẢO VŨ ỨNG DỤNG MAPLE TRONG GIẢNG DẠY VÀ HỌC TẬP MÔN HÌNH HỌC VI PHÂN Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số : 60 46 40 TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng – Năm 2011 Footer Page of 126 Header Page of 126 Công trình hoàn thành ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG Người hướng dẫn khoa học: PGS TS TRẦN ĐẠO DÕNG Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp Đại học Đà Nẵng vào ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận văn tại: − Trung tâm Thông tin − Học liệu, Đại học Đà Nẵng − Thư viện trường Đại học sư phạm, Đại học Đà Nẵng Footer Page of 126 Header Page of 126 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong Toán học nói chung Hình học nói riêng, cụ thể Hình học vi phân, người ta quan tâm nghiên cứu đường mặt không gian Hình học vi phân xuất nửa đầu kỷ 18 phát triển nay, gắn liền với tên tuổi nhà Toán học tài L Euler, G Mông, Gauss, Riemann, F Mingding, M Peterson, Elie Cartan, Henri Cartan, lý thuyết đường lý thuyết mặt trình bày đầy đủ Ở nước ta, Hình học vi phân trở thành môn học bắt buộc sinh viên khoa Toán - Lý trường Đại học sư phạm, Đại học khoa học tự nhiên mức độ định cho sinh viên trường Đại học kĩ thuật Việc ứng dụng công nghệ thông tin máy tính giảng dạy học tập nhà trường nhu cầu tất yếu, nhằm nâng cao hiệu chất lượng dạy học Do ngày có nhiều phần mềm xuất để hỗ trợ cho nhu cầu trên, Maple phần mềm vạn công ty Waterloo Maple Inc (http://www.maplesoft.com), đời vào năm 1980 Đại học Waterloo (Canada), thời điểm (03/2010) phát triển đến phiên 13 Maple phần mềm tính toán vẽ hình ưu việt nay, nhiều trường Đại học kể trường phổ thông nước ta sử dụng phần mềm Maple làm công cụ hỗ trợ cho giảng dạy học tập Với lí với định hướng dẫn thầy PGS TS Trần Đạo Dõng, định chọn đề tài "Ứng dụng Maple giảng dạy học tập môn Hình học vi phân" làm Luận văn Thạc sĩ Hình học vi phân môn học trừu tượng khó, đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức môn học khác Đại số tuyến tính, Giải tích, Hình học Affine Euclide, Hình học xạ ảnh, Chính vậy, Luận văn cố gắng nêu bật lên vai trò hỗ trợ phần mềm Footer Page of 126 Header Page of 126 Maple việc tính toán vẽ hình đường, mặt không gian Bên cạnh làm sáng tỏ việc hỗ trợ tính toán vẽ hình máy không làm giảm lực tư duy, lực sáng tạo thầy trò, mà ngược lại, phát huy tính hứng thú, tìm tòi, sáng tạo, thầy trò môn học Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu, khai thác công cụ gói lệnh Maple để khảo sát số toán đường mặt môn Hình học vi phân thể qua việc: thiết lập phương trình tiếp tuyến, trùng pháp tuyến, pháp tuyến chính, mặt phẳng mật tiếp, mặt phẳng pháp diện, mặt phẳng trực đạc, cung túc bế, cung thân khai, dạng thứ thứ hai; tính toán độ cong, độ xoắn đường cong, độ cong Gauss, độ cong trung bình mặt cong; giải phương trình tự hàm; vẽ đường cong, mặt cong mặt phẳng không gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp giảng dạy, học tập môn Hình học vi phân với trợ giúp hỗ trợ phần mềm Maple 3.2 Phạm vi nghiên cứu Hệ thống hóa kiến thức Hình học vi phân cổ điển Phần mềm Maple gói lệnh Maplet Maple để lập trình thiết kế giao diện khác cho việc giải toán Hình học vi phân cổ điển Maple Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài liệu (sách báo, giáo trình thư mục internet) có liên quan đến Hình học vi phân, phương pháp dạy học môn toán, phần mềm Maple, để thu thập thông tin nhằm phân tích, tổng hợp, hệ thống hóa kiến thức môn học, tổ chức giao diện Maplet hợp lí phục vụ cho mục đích Footer Page of 126 Header Page of 126 đề tài Trao đổi, học tập, tham khảo ý kiến giáo viên hướng dẫn, giáo viên trường bạn học lớp Ý nghĩa khoa học thực tiễn đề tài Luận văn tài liệu tham khảo cho giáo viên sinh viên trường Đại học, Cao đẳng, nhằm phát huy tính tự giác, tích cực, chủ động sáng tạo sinh viên giáo viên trình dạy học môn toán Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn gồm có chương Chương Sơ lược phần mềm Maple phép tính giải tích không gian Euclide En 1.1 Sơ lược phần mềm Maple 1.2 Hàm vectơ không gian Euclide En 1.3 Trường vectơ trường mục tiêu Chương Hình học vi phân không gian Euclide En 2.1 Đường quy En 2.2 Mặt quy En Chương Phép giải số toán đường mặt Maple 3.1 Một số toán đường quy 3.2 Một số toán mặt quy Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Sơ lược phần mềm Maple phép tính giải tích không gian Euclide En Trong Chương trình bày kiến thức phần mềm Maple phép tính giải tích không gian Euclide En có liên quan đến việc nghiên cứu chương Các kiến thức trình bày trích dẫn từ tài liệu tham khảo [1], [3], [6], [7], [8] 1.1 Sơ lược phần mềm Maple 1.1.1 Giao diện, lệnh kết tính toán Maple 1) Giao diện menu lệnh Giao diện làm việc Maple giống giao diện chương trình ứng dụng khác môi trường Windows "thân thiện" với người sử dụng, tức gồm menu lệnh Menu lệnh bảng chọn chức chương trình Footer Page of 126 Header Page of 126 2) Lệnh kết tính toán Maple Lệnh Maple đưa vào trang làm việc dấu nhắc lệnh ">" Một lệnh cần phải kết thúc dấu chấm phẩy ";" dấu hai chấm ":" 3) Một số quy định chung − Các phép toán "+", "−", "*", "/", lũy thừa "∧ ", khai bậc "sqrt(.)", viết trực tiếp vào dòng lệnh thực theo thứ tự quen biết − Các hàm số thường dùng sin(.), cos(.), tan(.), cot(.), exp(.), viết trực tiếp dòng lệnh theo tên gọi chúng, cần lưu ý biến số phải luôn đặt dấu ngoặc đơn 1.1.2 Các phép toán 1) Một số khái niệm mở đầu a) Tên Tên xâu chữ dùng nhãn để đại diện cho đối tượng Maple thay đổi b) Kiểm tra tên gán hay chưa c) Biến Maple Biến tên dùng để thay cho đối tượng đó, thông thường giá trị cần thay đổi, biểu thức toán học cần cho giá trị 2) Các phép toán a) Phép tính giá trị evalf b) Phép khai triển expand c) Phép phân tích factor 1.1.3 Gói ứng dụng Maplet 1) Giới thiệu Gói lệnh Maplet Maple chương trình với giao diện đồ họa người sử dụng, bao gồm đối tượng: windows, textboxs, menus, buttons Footer Page of 126 Header Page of 126 đối tượng khác 2) Tạo ứng dụng Maplet a) Gói lệnh Examples b) Gói lệnh Elements c) Gói lệnh Tools d) Gói lệnh Utilities 3) Tạo đối tượng cửa sổ ứng dụng Maplet a) Tạo nút lệnh (Button) b) Tạo dòng văn (TextField) c) Tạo vùng hiển thị công thức toán (MathMLViewer) d) Tạo vùng vẽ (Plotter) 4) Một số ví dụ ứng dụng Maplet Ví dụ Viết chương trình thiết kế giao diện Maplet để tính đạo hàm nguyên hàm hàm biến Ví dụ Viết chương trình thiết kế giao diện Maplet để vẽ đồ thị hàm số 1.2 Hàm vectơ không gian Euclide En 1.2.1 Hàm vectơ phép toán Định nghĩa 1.1 Cho U tập không gian Euclide Em Mỗi ánh xạ f : U −→ En , u −→ f (u) gọi hàm vectơ xác định U (nhận giá trị vectơ En ) 1.2.2 Đạo hàm hàm vectơ Định nghĩa 1.2 Với t ∈ I , giới hạn (nếu có) f (t + ∆t) − f (t) ∆t→0 ∆t lim Footer Page of 126 Header Page of 126 df (t) dt Nếu có đạo hàm t ∈ I ta nói hàm vectơ f có đạo hàm I gọi đạo hàm hàm vectơ f t, kí hiệu f (t) Hàm vectơ có đạo hàm liên tục I gọi khả vi I Định nghĩa 1.3 Giả sử hàm vectơ f : I −→ En có đạo hàm f : I −→ En Khi ta xét đạo hàm f t, gọi đạo hàm cấp hai f t, d2 f kí hiệu f (t) (t) Tổng quát, đạo hàm cấp k f t dt f (k) (t) = (f (k−1) (t)) , (k ≥ 2) 1.2.3 Đạo hàm riêng hàm vectơ khả vi Định nghĩa 1.4 Cho f : U −→ R hàm số xác định tập mở U ⊂ Em u = (u1 , u2 , , um ) ∈ U Nếu tồn f (u1 , , ui−1 , ui + h, ui+1 , , um ) − f (u1 , , um ) h→0 h giá trị gọi đạo hàm riêng theo biến thứ i f u, kí hiệu ∂f (u), với i = 1, m fui (u) Di f (u) ∂ui lim Định nghĩa 1.5 Hàm vectơ f : U −→ En xác định tập mở U ⊂ Em gọi khả vi lớp C k u ∈ U , hàm thành phần fi , i = 1, n f khả vi lớp C k u ∈ U , tức tồn đạo hàm riêng ∂ k fi (u) ∂ k1 u1 ∂ k2 u2 ∂ km um liên tục u ∈ U , với k1 + k2 + + km = k 1.3 Trường vectơ trường mục tiêu 1.3.1 Không gian vectơ tiếp xúc Định nghĩa 1.6 Mỗi phần tử (p, α) ∈ Tp En viết αp , gọi vectơ α tiếp xúc với En p hay vectơ α đặt gốc p ∈ En Ta gọi Tp En tập Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 vectơ tiếp xúc với En p Với điểm p ∈ En , ta có song ánh sau En −→ Tp En , α −→ αp Từ đưa cấu trúc không gian vectơ Euclide từ En lên Tp En ta gọi Tp En không gian vectơ tiếp xúc với En p 1.3.2 Trường vectơ trường mục tiêu tập mở Định nghĩa 1.7 Trường vectơ tập mở U ⊂ En ánh xạ X : U −→ T U cho với p ∈ U , X(p) ∈ Tp U Định nghĩa 1.8 Trường mục tiêu (khả vi) tập mở U ⊂ En hệ n trường vectơ (khả vi) {U1 , U2 , , Un } U cho với p ∈ U , hệ {U1 (p), U2 (p), , Un (p)} sở Tp U 1.3.3 Đạo hàm hàm số theo hướng Định nghĩa 1.9 Cho f : U −→ R hàm số xác định tập mở U ⊂ En αp ∈ Tp U Nếu tồn f (p + tα) − f (p) t→0 t lim giới hạn gọi đạo hàm hàm số f theo hướng αp kí hiệu αp [f ] Footer Page 10 of 126 Header Page 11 of 126 Chương Hình học vi phân không gian Euclide En Trong Chương trình bày kiến thức đường mặt có liên quan đến việc nghiên cứu chương Các kiến thức trình bày trích dẫn từ tài liệu tham khảo [2], [4], [5], [6] 2.1 Đường quy En 2.1.1 Đường tham số quy En Định nghĩa 2.1 Mỗi ánh xạ d : I −→ En , t −→ d(t) gọi đường tham số En Tập d(I) ⊂ En gọi vết đường tham số Định nghĩa 2.2 Cho đường tham số d : I −→ En , t −→ d(t) Nếu d (t) = điểm t (hay d(t)) gọi điểm quy, điểm mà d (t) = gọi điểm kì dị đường tham số Footer Page 11 of 126 Header Page 12 of 126 10 Đường tham số mà điểm điểm quy gọi đường tham số quy, tức d (t) = với t ∈ I 2.1.2 Trường vectơ trường mục tiêu dọc đường tham số Định nghĩa 2.3 Trường vectơ dọc đường tham số d : I −→ En ánh xạ X : I −→ T En mà với t ∈ I , X(t) ∈ Td(t) En Định nghĩa 2.4 Trường mục tiêu (khả vi) dọc đường tham số d : I −→ En hệ n trường vectơ (khả vi) {U1 , U2 , , Un } dọc d mà với t ∈ I , hệ {U1 (t), U2 (t), , Un (t)} sở Td(t) En 2.1.3 Tham số hóa độ dài cung Định nghĩa 2.5 Độ dài cung đường tham số quy D xác định d : I −→ En , t −→ d(t) từ điểm t0 đến t (t0 , t ∈ I ) số t s(t) = d (t) dt t0 Định lý 2.1 Nếu đường tham số quy d : [a, b] −→ En khả vi lớp C có độ dài cung độ dài cung b L(d) = d (t) dt a Định nghĩa 2.6 Tham số hóa d : I −→ En , s −→ d(s) đường tham số quy D gọi tham số hóa độ dài cung (hay tham số hóa tự nhiên) D d (s) = 1, ∀s ∈ I 2.1.4 Đường tham số quy mặt phẳng 1) Trường mục tiêu Frénet 2) Độ cong đại số công thức Frénet Footer Page 12 of 126 Header Page 13 of 126 11 Định lý 2.2 Cho đường tham số quy định hướng D E2 (có hướng) với tham số hóa độ dài cung d : I −→ E2 Gọi k (hàm) độ cong dọc D, ta có công thức sau:  T (s) = kN N (s) = −kT gọi công thức Frénet 3) Đường túc bế đường thân khai ˜ E2 xác định Định nghĩa 2.7 Cho hai đường tham số quy D D ˜ ˜ : t ∈ I −→ d(t) theo thứ tự tham số hóa D : t ∈ I −→ d(t) D ˜ hay D ˜ đường thân khai D tiếp Ta nói D đường túc bế D ˜ t, với t ∈ I tuyến D t pháp tuyến D 4) Định lí đường tham số mặt phẳng Định lý 2.3 Với hàm khả vi k(s), s ∈ I cho trước, tồn đường tham số quy d : I −→ E2 có s hàm độ dài cung k hàm độ cong Hơn nửa, hai đường tham số quy sai khác phép dời hình thuận 2.1.5 Đường tham số song quy không gian 1) Đường tham số song quy Định nghĩa 2.8 Cho đường tham số với tham số hóa d : I −→ E3 , t −→ d(t) Nếu t ∈ I hệ gồm hai vectơ {d (t), d (t)} độc lập tuyến tính t (hay d(t)) gọi điểm song quy Đường tham số mà điểm song quy gọi đường tham số song quy, tức {d (t), d (t)} độc lập tuyến tính với t ∈ I Định nghĩa 2.9 Cho đường tham số quy D với tham số hóa độ dài cung d : I −→ E3 , s −→ d(s) Số không âm d (s) gọi độ cong D s (hay d(s)) kí hiệu k(s) Vậy ta có hàm không âm k : I −→ R, gọi hàm độ cong dọc D Footer Page 13 of 126 Header Page 14 of 126 12 2) Trường mục tiêu Frénet Định nghĩa 2.10 Cho D đường tham số song quy với tham số hóa độ dài cung d : I −→ E3 , s −→ d(s) Khi ánh xạ N : I −→ T E3 , d (s) ∈ Td(s) E3 vectơ đơn vị dọc D, gọi d (s) trường vectơ pháp đơn vị dọc D với s ∈ I , N (s) := Định nghĩa 2.11 Cho D đường tham số song quy định hướng E3 (có hướng) Khi xác định trường vectơ đơn vị B(s) = T (s) ∧ N (s) dọc D, gọi trường vectơ trùng pháp đơn vị dọc D 3) Độ xoắn công thức Frénet Định lý 2.4 Cho D đường tham số song quy định hướng E3 với tham số hóa độ dài cung d : I −→ E3 Gọi k (hàm) độ cong τ (hàm) độ xoắn dọc D, ta có công thức sau:    T (s) = kN   N (s) = −kT + τB    B (s) = −τ N, gọi công thức Frénet 4) Đường quy En Định nghĩa 2.12 Tập D En gọi đường quy En ảnh dìm đồng phôi lên ảnh d : I −→ En (I khoảng R) Ta gọi d tham số hóa D Footer Page 14 of 126 Header Page 15 of 126 13 2.2 Mặt quy En 2.2.1 Mặt tham số quy En Định nghĩa 2.13 Cho U tập mở R2 Mỗi ánh xạ m : U −→ En , (u, v) −→ m(u, v) gọi mặt tham số En Tập m(U ) ⊂ En gọi vết mặt tham số Định nghĩa 2.14 Điểm (u, v) (hay m(u, v)) gọi điểm quy mặt tham số m : U −→ En hệ hai vectơ {mu (u, v), mv (u, v)} độc lập tuyến tính, điểm không quy gọi điểm kì dị Mặt tham số mà điểm quy gọi mặt tham số quy 2.2.2 Mặt quy En Định nghĩa 2.15 Tập M En gọi mặt quy En ảnh dìm, đồng phôi lên ảnh m : U −→ En Ta gọi m tham số hóa mặt quy 2.2.3 Trường vectơ trường vectơ tiếp xúc mặt Định nghĩa 2.16 Cho M mặt (tức đa tạp hai chiều) En Ánh xạ X : M −→ T En cho với p ∈ M , X(p) ∈ Tp En gọi trường vectơ M 2.2.4 Ánh xạ Weingarten độ cong mặt 1) Ánh xạ Weingarten Footer Page 15 of 126 Header Page 16 of 126 14 Định nghĩa 2.17 Cho M mặt có hướng E3 Khi ánh xạ hp : Tp M −→ Tp M α −→ hp (α) = −Dα n gọi ánh xạ Weingarten M p Định lý 2.5 Với điểm p ∈ M , hp tự đồng cấu tuyến tính đối xứng Tp M , tức với α, β ∈ Tp M , ta có hp (α).β = α.hp (β) 2) Dạng thứ thứ hai Định nghĩa 2.18 Cho M mặt có hướng E3 Với p ∈ M , ta có: Ip : Tp M × Tp M −→ R IIp : Tp M × Tp M −→ R (α, β) −→ α.β (α, β) −→ hp (α).β dạng song tuyến tính đối xứng Tp M , chúng gọi theo thứ tự dạng thứ thứ hai M p 3) Các độ cong mặt Định nghĩa 2.19 Cho M mặt có hướng E3 hp ánh xạ Weingarten M p ∈ M − Mỗi giá trị riêng hp gọi độ cong p M , vectơ riêng tương ứng xác định phương gọi phương p ứng với độ cong − Định thức tự đồng cấu hp gọi độ cong Gauss p M , kí hiệu K(p) − Nửa giá trị vết (tức M , kí hiệu H(p) Footer Page 16 of 126 (vết hp )) gọi độ cong trung bình p Header Page 17 of 126 15 Chương Phép giải số toán đường mặt Maple Trong Chương ứng dụng phần mềm Maple gói lệnh Maplet để khảo sát số toán đường mặt toán vẽ đường mặt đồ thị hàm, toán lập phương trình đường thẳng mặt phẳng đặc biệt, toán tính toán độ cong đường mặt, Các toán trình bày theo chủ đề khảo sát chương tham khảo từ tài liệu [1], [2], [3], [4], 3.1 Một số toán đường quy 3.1.1 Bài toán vẽ số đường 1) Vẽ đường đồ thị hàm hiển y = f (x) Với Maple, ta vẽ đường thường gặp đồ thị hàm y = f (x) lệnh plot có cú pháp tổng quát: [> plot(f(x), x=a b, y=c d, title="∗ ∗ ∗ ∗ ∗∗"); Minh họa Vẽ đường bậc ba đồ thị hàm y = x3 − 3x + Footer Page 17 of 126 Header Page 18 of 126 16 Cách vẽ dễ hiểu trực quan, đòi hỏi ta phải nhớ cú pháp lệnh, muốn vẽ đường khác ta phải thời gian nhập lại cú pháp Do để vẽ đường đồ thị hàm hiển có dạng y = f (x) với cận x = a b, y = c d đơn giản thuận tiện hơn, ta viết chương trình thiết kế giao diện Maplet để vẽ, chương trình tổng quát sau: Minh họa Vẽ đường bậc ba y = x3 − 3x + giao diện Maplet Minh họa Vẽ đường parabol y = x2 (màu đỏ) đường hình sin (màu xanh) hệ tọa độ với cận [−4, 4] × [−1, 4] 2) Vẽ đường đồ thị hàm ẩn f (x, y) = Với số điều kiện định, phương trình f (x, y) = xác định hàm y = g(x) Tuy nhiên, ta thiết kế giao diện Maplet để vẽ đường đồ thị hàm ẩn (mà không cần giải phương trình) sau: x2 y − = giao diện Maplet 3) Vẽ đường đồ thị hàm hệ tọa độ cực Minh họa Nhập vẽ đường hypebol Minh họa Vẽ hình Maple (biểu tượng phần mềm Maple) 4) Vẽ đường đồ thị động mặt phẳng Minh họa Vẽ đường hình sin đồ thị động hàm y = t cos x 2t 3.1.2 Bài toán lập phương trình 1) Lập phương trình vẽ đường túc bế đường tham số Minh họa Lập phương trình vẽ đường túc bế đường hypocycloid nhánh d(t) = (2 cos3 t, sin3 t) hệ trục tọa độ 2) Lập phương trình vẽ đường thân khai đường tham số Footer Page 18 of 126 Header Page 19 of 126 17 Minh họa Lập phương trình vẽ đường thân khai đường parabol d(t) = t, t hệ trục tọa độ 3) Lập phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến trùng pháp tuyến Minh họa Lập phương trình tiếp tuyến, pháp tuyến trùng pháp tuyến đường tham số d(t) = (t2 , t, t3 − 20) điểm A(9, 3, 7) 4) Lập phương trình mặt phẳng pháp, trực đạc mật tiếp Minh họa 10 Lập phương trình mặt phẳng pháp, trực đạc mật tiếp đường tham số d(t) = (t2 , t, t3 − 20) điểm A(9, 3, 7) 3.1.3 Bài toán tính toán 1) Tính độ dài cung đoạn Minh họa 11 Tính độ dài đường tham số sau đoạn [0, 2π] d(t) = (cos3 t, sin3 t, cos 2t) Cách Với ưu điểm trực quan thuận tiện, gói lệnh Maplet giúp ta thiết kế giao diện để tính độ dài cung đoạn Chương trình thiết kế sau: Minh họa 12 Tính độ dài đường tham số d(t) = (cos3 t, sin3 t, cos 2t) 2) Tính độ cong đại số bán kính cong Cũng việc tính độ dài cung đoạn, việc tính độ cong đại số tính bán kính cong đường tham số thực hiệu quả, chương trình tính Maple Minh họa 13 Tính độ cong đại số bán kính cong đường cycloid d(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)) Cách Thiết kế giao diện Maplet để tính độ cong đại số bán kính cong Footer Page 19 of 126 Header Page 20 of 126 18 Minh họa 14 Tính độ cong đại số bán kính cong đường cycloid d(t) = (a(t − sin t), a(1 − cos t)) 3) Tính độ cong độ xoắn Với Maple, ta viết chương trình để tính độ cong độ xoắn đường tham số cho trước Minh họa 15 Tính độ cong độ xoắn đường xoắn ốc d(t) = (a cos t, a sin t, bt) Cách Thiết kế giao diện Maplet để tính độ cong độ xoắn Minh họa 16 Tính độ cong độ xoắn đường Viviani d(t) = (R cos2 t, R sin t cos t, R sin t) 3.1.4 Bài toán chứng minh Các toán chứng minh xem hệ trực tiếp toán phần trước Ta viết chương trình giải toán sau Bài toán Chứng minh tỷ số độ cong độ xoắn đường tham số điểm Minh họa 17 Ta thực chương trình với đường tham số d(t) = (aec t cos t, aec t sin t, bec t ), a, b, c số khác 0, (thường gọi đường xoắn ốc tổng quát) 3.1.5 Bài toán tìm trường mục tiêu Frénet Với Maple, ta tìm trường mục tiêu Frénet mặt phẳng không gian đơn giản 1) Tìm trường mục tiêu Frénet mặt phẳng Footer Page 20 of 126 Header Page 21 of 126 19 Minh họa 18 Tìm trường mục tiêu Frénet dọc đường tham số d(t) = (a cos t, b sin t) 2) Tìm trường mục tiêu Frénet không gian Minh họa 19 Tìm trường mục tiêu Frénet dọc đường tham số d(t) = (a cos t, a sin t, bt) 3.1.6 Bài toán giải phương trình tự hàm Chương trình Maple giải phương trình tự hàm loại tỏ thuận lợi hơn, thực sau: Minh họa 20 Giải phương trình tự hàm k = a a2 + s2 3.2 Một số toán mặt quy 3.2.1 Bài toán vẽ số mặt Vẽ hình không gian chiều thực mạnh Maple 1) Vẽ mặt đồ thị hàm biến z = f (x, y) Việc vẽ mặt cong đồ thị hàm biến z = f (x, y) lệnh Maple đơn giản, nên ta viết chương trình thiết kế giao diện Maplet để vẽ sau: Minh họa 21 Vẽ mặt paraboloid hypebolic đồ thị hàm z = x2 y − 16 2) Vẽ mặt đồ thị hàm ẩn f (x, y, z) = Cũng vẽ mặt phẳng, ta tạo giao diện Maplet để vẽ trực tiếp mặt đồ thị hàm f (x, y, z) = mà không cần giải phương trình Chương trình viết sau Footer Page 21 of 126 Header Page 22 of 126 20 x y2 z2 Minh họa 22 Vẽ mặt elipsoid + + = 16 3) Vẽ đường mức hàm biến Minh họa 23 Vẽ tranh đường mức mặt cong z = x2 cos y + y cos x − xy sin y sin x, với số lượng đường mức 50, lưới điểm vẽ chọn 40 × 40 4) Vẽ đường ống không gian chiều Đường ống dạng mặt cong đặc biệt, xác định liệu: phương trình đường dẫn tâm hàm bán kính thiết diện Minh họa 24 Vẽ đường ống với đường dẫn tâm đường tham số d(t) = (15 cos t, 15 sin t, 0), hàm bán kính thiết diện theo công thức R(t) = + cos 7t 5) Vẽ mặt cong đồ thị động không gian Minh họa 25 Vẽ mặt cong đồ thị động hàm z = cos tx sin ty 3.2.2 Bài toán lập phương trình tiếp diện pháp tuyến Với Maple, ta viết chương trình để lập phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt tham số cho điểm Chương trình sau: Minh họa 26 Lập phương trình tiếp diện pháp tuyến mặt tham số 1 m(u, v) = u − u3 + uv , v − v + vu2 , u2 − v 3 điểm A(1, 1) 3.2.3 Bài toán tìm dạng thứ thứ hai Với Maple, ta viết chương trình để tìm hệ số dạng I II, từ viết công thức dạng Footer Page 22 of 126 Header Page 23 of 126 21 Minh họa 27 Tìm dạng thứ thứ hai mặt tham số m(u, v) = (u cos v, u sin v, u + v) Cách Viết chương trình thiết kế giao diện Maplet để tìm dạng thứ thứ hai mặt tham số sau: Minh họa 28 Tìm dạng thứ thứ hai mặt tham số m(u, v) = (u cos v, u sin v, u + v) 3.2.4 Bài toán tính độ cong Gauss độ cong trung bình Với Maple, ta viết chương trình để tính độ cong Gauss độ cong trung bình Chương trình tính toán sau: Minh họa 29 Tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt tham số m(u, v) = (u, v, u2 − v ) Cách Ta viết chương trình thiết kế giao diện Maplet để tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt tham số Minh họa 30 Tính độ cong Gauss độ cong trung bình mặt tham số m(u, v) = (u, v, u2 − v ) 3.2.5 Bài toán chứng minh Mặt tham số không gian chiều gọi mặt tối tiểu độ cong trung bình triệt tiêu điểm Minh họa 31 Chứng minh mặt tham số sau mặt tối tiểu m(u, v) = (u cos v, u sin v, 4v) Footer Page 23 of 126 Header Page 24 of 126 22 KẾT LUẬN Trong luận văn trình bày số kiến thức đường mặt không gian Euclide En ứng dụng phần mềm Maple để khảo sát số toán đường mặt Kết đạt chủ yếu luận văn thể chương chương cụ thể sau: Trình bày tổng quan số kiến thức đường mặt không gian Euclide En Ứng dụng phần mềm Maple để khảo sát số toán đường mặt toán vẽ đường mặt đồ thị hàm, toán lập phương trình đường thẳng mặt phẳng đặc biệt, toán tính toán độ cong đường mặt, Các kết đạt luận văn khiêm tốn giúp cho thân hiểu biết thêm phần mềm Maple ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học, đặc biệt Hình học vi phân Footer Page 24 of 126  ... đề tài "Ứng dụng Maple giảng dạy học tập môn Hình học vi phân" làm Luận văn Thạc sĩ Hình học vi phân môn học trừu tượng khó, đòi hỏi người học phải vận dụng nhiều kiến thức môn học khác Đại số... phạm vi nghiên cứu 3.1 Đối tượng nghiên cứu Các phương pháp giảng dạy, học tập môn Hình học vi phân với trợ giúp hỗ trợ phần mềm Maple 3.2 Phạm vi nghiên cứu Hệ thống hóa kiến thức Hình học vi phân. .. kiến thức Hình học vi phân cổ điển Phần mềm Maple gói lệnh Maplet Maple để lập trình thiết kế giao diện khác cho vi c giải toán Hình học vi phân cổ điển Maple Phương pháp nghiên cứu Tham khảo tài