ĐÀY đủ các DẠNG BT TÍCH PHÂN

Huỳnh Đức Khánh §5 TÍCH PHÂN CÁC HÀM SỐ CƠ BẢN A Các dạng tốn………………………………………………… … 00 Dạng Tích phân hàm hữu tỷ………… ……………… …… 00 Dạng Tích phân hàm vơ tỷ………………………… ……… 00 Dạng Tích phân hàm lượng giác….… ……………… …… 00 Dạng Tích phân hàm logarit…….………………… ……… 00 Dạng Tích phân hàm số mũ….……… ……………… …… 00 Dạng Tích phân chứa trị tuyệt đối… …………… ……… 00 Dạng Tích phân chứa nhiều hàm số….……………… …… 00 B Bài tập tương tự………………………………………………… 00 Dạng Tích phân hàm hữu tỷ………… ……………… …… 00 Dạng Tích phân hàm vơ tỷ………………………… ……… 00 Dạng Tích phân hàm lượng giác….… ……………… …… 00 Dạng Tích phân hàm logarit…….………………… ……… 00 Dạng Tích phân hàm số mũ….……… ……………… …… 00 Dạng Tích phân chứa trị tuyệt đối… …………… ……… 00 Dạng Tích phân chứa nhiều hàm số….……………… …… 00 MỤC TIÊU Kiến thức - Tìm hiểu rõ dạng tích phân - Nắm đặc trưng tình dạng tích phân Kỹ - Biết vận dụng nhanh nhẹn cơng thức cho dạng tích phân - Thao tác biến đổi hợp lí, phù hợp Huỳnh Đức Khánh A CÁC DẠNG TOÁN DẠNG TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Tích phân dạng P (x ) ∫ Q ( x ) dx , với P ( x ) Q ( x ) đa thức Trong bậc P ( x ) nhỏ bậc Q ( x ) Ngược lại ta lấy P ( x ) chia cho Q ( x ) Trong chương trình phổ thơng ta xét dạng sau: Bài tốn Mẫu nhị thức bậc Q ( x ) = ax + b, (a ≠ 0) Suy P ( x ) số Khi tích phân cần tính có dạng A ∫ ax + b dx = A.∫ ax + b dx = A a ln ax + b Bài Tính tích phân sau: x −1 a) I = ∫ dx x +1 a) Ta có I = ∫ x −1 dx = ∫ x +1 b) I = ∫ Vậy I = − ln x + 3x + = x +2+ b) Ta có x +1 x +1 2  x + 3x +  Do I = ∫ dx = ∫  x + +  dx   x + x + 0 x2  =  + x + ln x +  = + ln   Vậy I = + ln x + 3x + dx x +1 Lời giải  ( x + 1) − 3  dx =∫ 2 −  dx   x +1 x + 1 = (2 x − ln x + ) = − ln Huỳnh Đức Khánh Bài tốn Mẫu tam thức bậc hai Q ( x ) = ax + bx + c , (a ≠ 0) Suy P ( x ) số hay bậc ● Trường hợp ax + bx + c = có hai nghiệm phân biệt x1 , x phân tích P (x ) Q (x ) A B + x − x1 x − x = Sau dùng phương pháp hệ số bất định để tìm A B ● Trường hợp ax + bx + c = có nghiệp kép x P (x ) Q (x ) ▪ = P (x ) a (x − x0 ) b 2a Nếu P ( x ) số A ∫ a (x − x ▪ với x = − ) dx = A A  −1  d x =   a ∫ ( x − x )2 a ( x − x ) Nếu P ( x ) hàm bậc Ax + B ∫ a (x − x ) dx = A ( x − x ) + B + Ax dx a∫ (x − x0 )   1  A d x + B + Ax d x ( ) ∫  a  ∫ x − x ( x − x )   ● Trường hợp ax + bx + c = vơ nghiệm P (x ) P (x ) b ∆ = với m = , n = − > Q ( x ) a (x + m) + n 2a 4a = ▪ Nếu P ( x ) số A ∫ a (x + m) +n dx = A ∫ a (x + m) + n2 dx n tan t a Nếu P ( x ) hàm bậc Đặt x + m = ▪ ∫ A Ab (2ax + b ) + B − Ax + B a dx dx = ∫ a ax + bx + c ax + bx + c = A 2ax + b dx ∫ 2a ax + bx + c  Ab  +  B −  ∫ dx  2a  a ( x + m )2 + n Huỳnh Đức Khánh Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ 2 5x + dx x + x −2 x3 dx x −1 b) I = ∫ Lời giải 5x + 5x + = x + x − ( x −1)( x + ) 5x + A B Ta phân tích = + ( x −1)( x + 2) x −1 x + a) Ta có = A ( x + ) + B ( x −1) ( x −1)( x + 2) = (A + B) x + 2A − B ( x −1)( x + 2)  A + B =  A = Đồng hai vế ta  ⇔  2 A − B = B = 3 3 dx dx Do I = ∫ + 3∫ = (2 ln x −1 + ln x + ) = ln − ln x −1 x +2 2 Vậy I = ln − ln 2 b) Ta có I = ∫ xdx + ∫ 0 x x dx = + ∫ dx = + A x −1 x −1 A ( x + 1) + B ( x −1) x A B = + = x −1 x − x + ( x −1)( x + 1)  A + B = 1 Đồng hai vế ta  ⇔ A=B=  A − B = Ta phân tích 2 2 1 1 dx + ∫ dx = ln x −1 ∫ x −1 x +1 1 Vậy I = + A = + ln 8 Khi A = + ln x + 2 = Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ x − x − x − x − 3x −19 3x + x − d x b) I = ∫ x −1 dx x − 3x − Lời giải x − x − x − x − x −19 x −19 a) Ta có = x3 + x + 2 x − 3x − x − 3x − 5 3 ln Huỳnh Đức Khánh Phân tích x −19 x −19 A B = = + 2 x − 3x − (2 x − 5)( x + 1) x − x + Đồng hai vế ta A = −4 , B = 1 1 Do I = ∫ ( x + x ) dx − ∫ dx + 3∫ dx 2x −5 x +1 0 x4 x2 = + − ln x − 1 + ln x + = + ln − ln + ln + ln − ln + ln 3x + x − 2 b) Ta có = 3x + + x −1 x −1 3 3x + x − 2 Do I = ∫ dx = x + dx + dx ( ) 2 ∫ ∫ x x − − 2 Vậy I = 3 ● A = ∫ (3 x + 4) dx = ( x + x ) = 23 2 x −1 dx = ln x −1 x +1 Vậy I = A + B = 23 + ln ● B=∫ 3 = ln 2 Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ ( x −1) + dx ( x + 1) b) I = ∫ x + 3x − 3x + ( x + 1) Lời giải ( x −1) + ( x + 1) − x + ( x + 1) − ( x + 1) + a) Ta có = = 2 ( x + 1) ( x + 1) ( x + 1) Do I = ∫ 2 1 ( x −1) + 1 dx = ∫ dx − ∫ dx + 5∫ dx 2 x +1 ( x + 1) 0 ( x + 1)   =  x − ln x + −  = − ln  x + 1 Vậy I = − ln b) Ta có x + 3x − 3x + ( x + 1) ( x + 1) − ( x + 1) + = ( x + 1) dx Huỳnh Đức Khánh 1 Do I = ∫ ( x + 1) dx − ∫ 0 1 dx + ∫ dx x +1 ( x + 1) x2   = − ln =  + x − ln x + −  x + 1 Vậy I = − ln 2 Bài Tính tích phân sau: x + 2x + 4x + a) I = ∫ dx x2 +4 b) I = ∫ x + x −1 dx x − 2x + Lời giải x + 2x + x + = x +2+ a) Ta có x +4 x +4 2 Do I = ∫ ( x + ) dx = ∫ dx x + 0 2 x2  dx =  + x  + ∫ =6+A   x + 0 Tính A = ∫ dx Đặt x = tan t , suy dx = (1 + tan t ) dt x +4  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = π  π Suy A = ∫ (1 + tan t ) dt π π dt t π = = 20 =∫ tan + t 0 π Vậy I = + A = + 3 x + x −1 x + 31 b) Ta có = 3x + − x − 2x + x − 2x + 3 x + 31 Do I = ∫ (3 x + ) dx − ∫ dx x − x + 1  3x  3 x + 31  = + x  − ∫ dx = 24 − A   x − 2x + Tính A = ∫ dx = (1 + tan t ) dt  dx Đặt x −1 = tan t ⇒   x = + tan t ( x −1) +  x + 31 Huỳnh Đức Khánh  x = ⇒ t =  Đổi cận:   x = ⇒ t = π  π Suy A = ∫ tan t + 32 + tan t ) dt ( tan t + π = ∫ (tan t + 16 ) dt = (− ln cos t + 16t ) Vậy I = 24 − A = 24 − π + ln π = − ln + 4π 2 Bài tốn Mẫu đa thức bậc ba Q ( x ) = ax + bx + cx + d , (a ≠ 0) ● Trường hợp ax + bx + cx + d = có ba nghiệm phân biệt x1 , x , x phân tích P (x ) Q (x ) = A B C + + x − x1 x − x x − x ● Trường hợp ax + bx + cx + d = có nghiệm đơn x1 nghiệm kép x phân tích P (x ) Q (x ) = P (x ) a ( x − x1 )( x − x ) = A B C + + x − x1 x − x ( x − x )2 ● Trường hợp ax + bx + cx + d = có nghiệm đơn x phân tích P (x ) Q (x ) = P (x ) ( x − x )(ax + mx + n) Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ dx x ( x −1) = A Bx + C + x − x ax + mx + n b) I = ∫ x +1 dx x ( x − 4) Lời giải a) Cách Phương pháp hệ số bất định 1 A B C Ta có = = + + x ( x −1) x ( x − 1)( x + 1) x x −1 x + 1 Đồng hau vế ta A = −1, B = , C = 2   1   1+  Do I = ∫ − +  x ( x −1) ( x + 1) dx    ln x −1 ln x +   = ln − ln = − ln x + +  2  2  Huỳnh Đức Khánh Cách Phương pháp ghép tách (thêm bớt) x − ( x −1) x Ta có = = − 2 x −1 x x ( x −1) x ( x −1) Do I = ∫ 3 xdx − ∫ dx =A − ln x x −1 x = A − ln + ln 2 xdx Đặt t = x −1 , suy dt = xdx ⇒ xdx = dt x −1 Tính A = ∫  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 8 dt 1 = ln t = ln − ln = ln − ln Suy A = ∫ t 2 2 Vậy I = A − ln + ln = ln − ln 2 b) Ta có x +1 x +1 A B C = = + + x ( x − ) x ( x − )( x + ) x x − x + Đồng hai vế ta A = − , B = , C = − 8   dx Do I = ∫ − + − x x − x + ( ) ( )   ln x ln x − ln x +  1  = − ln + ln + ln = − + −   8 8  1 Vậy I = − ln + ln + ln 8 Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ −x + x + ( x −1)( x + 2) b) I = ∫ dx Lời giải −x + x + A B C a) Ta có = + + 2 ( x −1)( x + 2) x −1 x + ( x + 2) Đồng hai vế ta A = 1, B = −2, C = Do I = ∫ 3 dx dx dx − 2∫ + 3∫ x −1 x +2 2 ( x + 2) x + 3x + dx ( x −1)( x + 2) Huỳnh Đức Khánh   = ln x −1 − ln x + − = + ln − ln   x +  20 + ln − ln 20 x + 3x + x + 3x + A B C b) Ta có = = + + ( x −1)( x + 2) ( x −1)( x + 1)( x + 2) x −1 x + x + Vậy I = 3 Đồng hai vế ta A = , B = − , C = 2   3  Do I = ∫  − + dx x − x + x + ( ) ( )     ln x −1 ln x +  −7 ln + ln + ln =  − + ln x +  = 2   Vậy I = −7 ln + ln + ln Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ 3x +1 dx x − x − 5x + b) I = ∫ x + 2x − dx x − x + 12 x − Lời giải 3x + 3x +1 A B C = = + + a) Ta có x − x − x + ( x + 2)( x − 3)( x −1) x + x − x −1 13 14 Đồng hai vế ta A = , B = , C = − 15 5  13 14  dx Do I = ∫  + −  15 x + x − 3 x −1   13  14 =  ln x + + ln x − − ln x −1  15 4 13 14 = − ln + ln + ln 3 15 13 14 Vậy I = − ln + ln + ln 3 15 x + 2x −5 24 x − 62 x + 43 b) Ta có = x + + x − x + 12 x − x − x + 12 x − 5 Do I = ∫ ( x + ) dx = ∫ 3 24 x − 62 x + 43 dx x − x + 12 x − Huỳnh Đức Khánh 5 x2  24 x − 62 x + 43   =  + x  + ∫ dx = 20 + A   3 ( x − 2) Tính A = ∫ 24 x − 62 x + 43 ( x − 2) 3 dt = dx dx Đặt t = x − ⇒   x = t +  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 3 24 (t + ) − 62 (t + ) + 43 24 t + 34 t + 15 Suy A = ∫ dt = dt 3 ∫ t t 1  24 34 15   34 15  88 = ∫  + +  dt = 24 ln t − −  = 24 ln +  t   2t  t t  t Vậy I = 20 + A = 24 ln + 148 Bài tốn Mẫu đa thức có bậc lớn Bài Tính tích phân sau: a) I = ∫ dx ( x + x + 2) b) I = ∫ dx x + 4x + Lời giải a) Ta có (x + x + 2) = ( x + 1) ( x + 2) = A B C D + + + x + ( x + 1) x + ( x + )2 A ( x + 1)( x + ) + B ( x + 2) + C ( x + 1) ( x + ) + D ( x + 1) = 2 2 ( x + 1) ( x + 2) 2  A + C =  A = −2   5 A + B + 4C + D = B = Đồng hai vế ta  ⇔  8 A + B + 5C + D = C =   4 A + B + 2C + D =  D = 1 1 dx dx dx dx Do I = −2 ∫ +∫ + 2∫ +∫ x + ( x + 1) x + ( x + 2)2 0  1  = −2 ln x + − + ln x + −  = − ln + ln  x +1 x +  Vậy I = − ln + ln 3 Huỳnh Đức Khánh  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  t  tdt = ∫ 1 + dt  t −1 t −1 5 Suy C = ∫  t −1  = t + ln   t +  1 −1 −1   = − + ln − ln  +1 + 1 1 Vậy I = ( A + B − C ) = ( ln + 1) − + − ln 2 2 ( ( )( + 1)( −1 ) −1) +1 Nhận xét Do + x − + x ≠ 0, ∀x ∈ [1;2 ] nên ta nhân liên hiệp b) Nhận xét Lượng cần liên hiệp + x − + x với x = ∈ [−1;1] Do ta khơng thực hiên câu a) Ta giải sau: t −1 2 2 Đặt + x = t − x ⇒ + x = t − 2tx + x ⇒ x = 2t  x = −1 ⇒ t = −1   Suy dx = 1 +  dt Đổi cận:   x = ⇒ t = +  t    1 +1 +1 1 +  du +1 du du u = ∫ + ∫ Khi I = ∫ 1+ u 2 −1 + u 2 −1 (1 + u ) u 2 −1 = 2 +1 du ∫ 1+ u + 2 −1 = ln + u 2 +1 1   − +  du  u u u + 1 −1 ∫ +1   + − − ln u + ln u +   −1   u +1 = −1 Vậy I = Chú ý: Cách đặt ẩn phụ có tên gọi phép Ơle Nếu a > đặt ax + bx + c = t ± a x Nếu c > đặt ax + bx + c = tx ± c Nếu ax + bx + c có nghiệm x1 x đặt ax + bx + c = t ( x − x1 ) ax + bx + c = t ( x − x ) Bài 12 Tính tích phân sau: a) I = ∫ x +1 x + x −1 dx b) I = ∫ x x + x −1 dx Huỳnh Đức Khánh Lời giải a) Ta có I = ∫ ( ) x + x − x −1 dx = ∫ x x + 1dx − ∫ 1 x + x −1dx ● Tính A = ∫ x x + 1dx 2tdt = dx Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy   x = t −1  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 2 2  t t  112 2  Suy A = ∫ (t −1) t dt = ∫ (t − t ) dt =  −  = −   15 15 2 ● Tính B = ∫ x + x −1dx = ∫ ( x + 1) x −1dx 1 2tdt = dx Đặt t = x −1 ⇒ t = x −1 , suy   x = t +  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =   t 2t  64  = Suy B = ∫ (t + 2) t dt = ∫ (t + 2t ) dt =  +    15  0 2 Vậy I = A − B = b) Ta có I = ∫ 2 112 − 68 15 ( x 3x − x −1 x x + x −1 ( dx = ∫ ( x + x −1 3x − x −1 ) )( ) ) dx = ∫ x x − x −1 dx = ∫ x dx − ∫ x x −1dx ● Tính A = ∫ x dx = x 3 1 3 = 1− 26 = 27 27 ● Tính B = ∫ x x −1dx Đặt t = x −1 ⇒ t = x −1 , suy 2tdt = 18 xdx ⇒ tdt = xdx Huỳnh Đức Khánh  2  x = ⇒ t = 1 3 Đổi cận:  Suy B = ∫ t dx = t  27  x = ⇒ t = 2 26 −16 Vậy I = A − B = 27 Bài tốn Dạng ∫ (ax xd x + b ) cx + d 2 = 16 27 Phương pháp: Đặt t = cx + d Bài 13 Tính tích phân sau: a) I = ∫ (x x + 1) x + b) I = ∫ dx xd x (5 − x ) x +1 Lời giải 2tdt = xdx tdt = xdx a) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy  ⇒  x = t −  x + = t −  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  5 tdt dt (t + ) − (t − ) Khi I = ∫ = = dt t − 4) t ∫3 t − 4 ∫3 (t + 2)(t − 2) (  1  1 15 − dt = (ln t − − ln t + ) = ln  ∫ t −2 t + 2 4 = Vậy I = 15 ln  2tdt = 12 xdx  tdt = xdx 6 b) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy  t −1 ⇒   x =  16 − t 2 5 − x =    x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  Khi I = tdt dt =− ∫ ∫ (16 − t ) t t −16 Huỳnh Đức Khánh 1 t −4 = − ln t +4 Vậy I = ( ( = ( ( ) ) 4+ ln 16 − ) ) 4+ ln 16 − Nhận xét Trong ta áp dụng cơng thức Bài tốn Dạng dx ∫ (ax + b ) cx + d ∫ 1 x −a ln dx = +C 2a x + a x −a Phương pháp: Đặt t = cx + d đặt t = ax + b Bài 14 Tính tích phân sau: a) I = ∫ 1 x +1 dx x 3x + b) I = ∫ dx ( x + 3) − x Lời giải  2tdt = 3dx  tdt = dx 3 a) Đặt t = x + ⇒ t = x + , suy  ⇒  t −  x =  t −1   x = 3   x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = 4 t − t + 10   Khi I = ∫ dt = ∫ t −1 +  dt  t −1 2 t −1 t3 t −1  100  = =  − t + ln + ln   t + 1 27 100 Vậy I = + ln 27 2tdt = −dx −2tdt = dx b) Đặt t = − x ⇒ t = − x , suy  ⇒ x = − t x = − t Đổi cận: x = ⇒ t = 1; x = 1 ⇒t = 2 Huỳnh Đức Khánh Khi I = −2 ∫ = Vậy I = 1 tdt = ∫ dt t − (4 − t ) t 1 t −2 ln t +2 = ( ( ) 2 −1 ln 2 +1 ) 2 −1 ln 2 +1 Bài tốn Dạng ∫ (ax + b ) Phương pháp: Đặt t = dx Ax + Bx + C đặt t = Ax + Bx + C ax + b Bài 15 Tính tích phân sau: a) I = ∫ dx ( x −1) x + x + 2 b) I = ∫ dx ( x + 2) x − x − Lời giải 1 ⇒ x = + , suy dx = − dt x −1 t t  x = ⇒ t =  Đổi cận:   x = ⇒ t =  2  1  1 6t + 5t +   Ta có x + x + = 1 +  + 1 +  + =  t   t  t2 a) Đặt t = Suy x + 3x + = Khi I = ∫ t + 5t + 6t + 5t + = t2 t 1 dt t2 =∫ 6t + 5t + 1 t t − dt 6t + 5t + = 6 ∫ 2  dt 5 = ln t + + t +  −   12  144 12   t +  −  12  144 Huỳnh Đức Khánh  17    ln  +  − ln  11 + 30    12  12    11    17  + 30  Vậy I = ln + − ln      12  12  1 b) Đặt t = ⇒ x = − , suy dx = − dt x +2 t t 1 Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = 11 1  1  t − 8t + Ta có x − x − =  − 2 −  − 2 − =  t   t  t2 = Suy x − 4x −3 = 11 Khi I = ∫ 1 dt t =∫ t − 8t + 1 11 t t − = t − 8t + t − 8t + = t2 t ∫1 11 dt t − 8t + = ln t − +   t −  −   81 dt  4 t −  −   81 11 −209 + 33 = ln −245 + 21 42 −209 + 33 Vậy I = ln −245 + 21 42 Bài 16 Tính tích phân sau: dx a) I = ∫ x x − b) I = ∫ (3 x + 2) dx ( x + 1) x + x + Lời giải a) Đặt t = x −1 ⇒ t = x −1 , suy tdt = xdx 3  x = ⇒ t = tdt dt  Đổi cận:  Suy I = ∫ =∫ t (t + 1) (t + 1)  x = ⇒ t = 1  π t = ⇒ u = du  Đặt t = tan u , suy dt = Đổi cận:   π cos u t = ⇒ u =  Huỳnh Đức Khánh π Khi I = ∫ π Vậy I = b) Ta có π π du cos u = du = u = π − π = π π 12 tan u + ∫π 4 π 12 ( x + 1) (3 x + 2) = − ( x + 1) x + x + ( x + 1) x + x + ( x + 1) x + 3x + = x + 3x + − 1 ( x + 1) x + x + 3 Suy I = ∫ x + 3x + ● Tính A = ∫ dx − ∫ ( x + 1) x + x + 3 x + 3x + 3 dx = ∫    x +  +   dx = A − B dx  3 = ln x + +  x +  +   2 = ln 5+2 3+2 1 ● Tính B = ∫ dx x + x + x + ) ( 1 Đặt x + = ⇒ x = −1 , suy dx = − dt t t t  x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t =  2 1  1  t + t +1  Ta có x + x + =  −1 +  −1 + =  t  t   t2 Suy x + 3x + = Khi B = ∫ t + t +1 t 1 dt t2 =∫ t + t +1 t t − dt t + t +1 =∫ dt   t +  +   1 = ln t + +  1 t +  + = ln 3+2 2+ Huỳnh Đức Khánh Vậy I = A − B = ln 5+2 3+2 − ln 3+2 2+ Bài tốn Dạng có chứa a2 − x  π π Phương pháp: Đặt x = a sin t , với t ∈ − ;   2  Hoặc đặt x = a cos t , với t ∈ [0; π ] Bài 17 Tính tích phân sau: a) I = ∫ x b) I = ∫ − x dx −2 x dx + 2x − x Lời giải a) Đặt x = sin t , suy dx = cos tdt π π Đổi cận: x = −2 ⇒ t = − ; x = ⇒ t = 2 π π Khi I = ∫ sin t − sin t cos tdt = ∫ 16 sin t cos t cos tdt π π − − π π π = ∫ 16 sin t cos tdt = ∫ sin 2tdt = ∫ (2 − cos t ) dt − π − π − π π  sin t  = 2t −  = 2π   − π Vậy I = 2π b) Ta có I = ∫ x dx + 2x − x x dx =∫ 2 − ( x −1) Đặt x −1 = cos t , suy dx = −2 sin tdt 2π π Đổi cận: x = ⇒ t = ; x =1⇒ t = 3 π Khi I = −∫ 2π (1 + cos t ) sin t − (2 cos t ) π dt = −∫ 2π (1 + cos t ) sin t 2 sin t dt Huỳnh Đức Khánh 2π 2π π π = ∫ (1 + cos t + cos t ) dt = ∫ (3 + cos t + cos 2t ) dt 2π = (3t + sin t + sin t ) π3 = Vậy I = π 3 + − 2 π 3 + − 2 Bài 18 Tính tích phân sau: a) I = ∫ x dx 4−x6 b) I = ∫ 1 x dx a) Ta có I = ∫ =∫ 4−x6 (3 − − x ) dx 2x Lời giải x dx −( x ) 2 Đặt x = sin t , suy x dx = cos tdt ⇒ x dx = cos tdt π Đổi cận: x = ⇒ t = 0; x = ⇒ t = π ∫0 Khi I = cos tdt − sin t (3 − b) Ta có I = ∫ π cos tdt 1 = ∫ dt = t ∫ cos t 3 − x ) dx 3dx =∫ −∫ 4 2x x 1 π = π 18 4−x2 dx 2x 4−x2 dx = − A 2x 16 4−x2 dx = − ∫ 2x 16 4−x2 dx Đặt x = sin t , suy dx = cos tdt 2x Tính A = ∫ Đổi cận: x = ⇒ t = π Suy A = = =− −∫ 2x 1 π 16 ∫π = π π ; x =2⇒t = − (2 sin t ) π 2 sin t π π 6 cos tdt = cos t cos tdt ∫π sin t   cos t dt = ∫ cot t   dt ∫  sin t  π sin t π Huỳnh Đức Khánh Tiếp tục đặt u = cot t , suy du = − Đổi cận: t = dt sin t π π ⇒ u = 3; t = ⇒ u = 3 1 Suy A = − ∫ u du = ∫ u du = u 8 24 Vậy I = = 7 −A= − 16 16 Bài 19 Tính tích phân sau: −1 a) I = ∫ (x dx + x + 1) −x − x + 2 ∫ b) − x − x dx Lời giải −1 a) Ta có I = ∫ (x −1 dx + x + 1) −x − x + = ∫ dx ( x + 1) −( x + 1) 2 Đặt x + = sin t , suy dx = cos tdt π π Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = −1 ⇒ t = π cos tdt Khi I = ∫ (2 sin t ) −(2 sin t ) π = cos t dt ∫ π sin t cos t π cos t dt = − cot t dt = ∫ 2 ∫ π sin t cos t π sin t Vậy I = π = π 3 π = π  x = ⇒ t = b) Đặt x = sin t ⇒ dx = cos tdt Đổi cận:  π  x = ⇒ t =  π π Khi I = ∫ − sin t − sin t cos tdt = ∫ − sin t cos t cos tdt π π = ∫ − sin t cos t cos tdt = ∫ (sin t − cos t ) cos tdt 0 Huỳnh Đức Khánh π π π = ∫ sin t − cos t cos tdt = ∫ (cos t − sin t ) cos tdt π 1 + cos 2t − sin 2t  = ∫ (cos t − sin t cos t ) dt = ∫   dt   0 π  t sin 2t cos 2t  π =  + + = + −    4  12 8 Vậy I = π + − 12 8 x − a2 Bài tốn Dạng có chứa Phương pháp: Đặt x = b ● Riêng I = ∫ a b ● Riêng I = ∫ a  π π a , với t ∈ − ;  \ {0}  2  sin t dx x −a 2 , đặt t = x + x − a  x du = dx u = x − a  x − a dx , đặt  ⇒ x − a2 dv = dx   v = x 2 Bài 20 Tính tích phân sau: a) I = ∫ x −1 dx x3 2 b) I = ∫ dx x (x Lời giải  π π cos t , suy dx = − dt với t ∈ − ;  \ {0} a) Đặt x = sin t sin t  2  cos t − = sin t sin t π π Đổi cận: x = ⇒ t = ; x = ⇒ t = π π cos t cos t 2 sin t cos t cos t Khi I = −∫ sin t dt = ∫ dt 1 sin t sin t π π 3 sin t sin t Ta có x −1 = − 2) Huỳnh Đức Khánh π = ∫ cos tdt = π π  1 (1 + cos 2t ) dt = t + sin 2t  ∫  π 2 π π = π − 4 π Vậy I = − 1 Cách Đặt x = Ta thu I = ∫ − t dt t Cách Ta có I = ∫ x −1 x x −1 dx = ∫ x dx x3 Đặt t = x −1 Ta thu I = ∫ t dt b) Đặt x = (t + 1)  π π cos t , suy dx = − dt với t ∈ − ;  \ {0} sin t sin t  2  Đổi cận: x = π π ⇒t = ; x =2 ⇒t = 3 π Khi I = − ∫ π = = π ∫ π 2 sin t    − 2   sin t cos t dt = sin t 2 cos t dt = cos t 2 sin t sin t π π (tan t − t ) = π ∫ tan tdt = π π ∫ π cos t dt cos3 t sin t sin t π ∫ (tan  t + 1) −1dt  π  π −   2  6  π  −  2  6 Nhận xét Bạn đọc làm cách cách câu a Vậy I = Bài 21 Tính tích phân sau: a) I = ∫ dx x − x − b) I = ∫ Lời giải x − 4dx Huỳnh Đức Khánh 8 a) Ta có I = ∫ x − 4x −5 dx = ∫ ( x − 2) − dx     x −2 Đặt t = ( x − 2) + ( x − ) − , suy dt = 1 +  dx  ( x − 2) −      ( x − 2) − + x −  t dt dx = = dx hay  dx = 2   t x − − x − − x − − ( ) ( ) ( )    x = ⇒ t = Đổi cận:   x = ⇒ t = + 3  +3 dt = ln t t ∫ Khi I = +3 = ln 6+3  x dx u = x − du = b) Đặt  ⇒ x −4 dv = dx   v = x 4 x2 −∫ Khi I = x x − x2 −4 ( ) dx = − − ∫ = −3 − ∫ x − dx − ∫ 3 ) ( ( x − 4) + x2 −4 ( x2 −4 dx ) = − − I − A Tính A = ∫ x −4 dx Đặt t = x + x −   x t dt  dx = Suy dt = 1 + dx hay = 2   t x −4  x −4  x = ⇒ t = + Đổi cận:   x = ⇒ t = +  +2 Suy A = ∫ 3+ Vậy I = dt = ln t t 4+2 = ln 3+ −3 4+2 − ln 3+ Bài tốn 10 Dạng có chứa x + a2 4+2 3+ dx x2 −4 dx Huỳnh Đức Khánh  π π Phương pháp: Đặt x = a tan t , với t ∈ − ;   2  b dx ● Riêng I = ∫ x +a a , đặt t = x + x + a  x u = x + a du = dx  ⇒ x + a dx , đặt  x + a2 dv = dx   v = x b ● Riêng I = ∫ a Bài 22 Tính tích phân sau: dx a) I = ∫ 2 x x x x + + + + −1 ( )( ) b) I = ∫ −1 dx x + 2x + Lời giải 1 dx a) Ta có I = ∫ (x −1 + x + )( x + x + 7) 2 =∫ −1 dx ( x + 2) ( x + 2) + dt cos t π π Đổi cận: x = −1 ⇒ t = ; x = ⇒ t = π π π 3 3 1 sin t cos t = Khi I = ∫ dt = dt dt ∫ ∫ sin t − c os t 3 tan tan + t t π π π Đặt x + = tan t , suy dx = 6 Đặt u = cos t , suy du = − sin tdt π π ; t = ⇒u= Đổi cận: t = ⇒ u = Vậy I = − 3 2 2 du du du = =− 2 ∫ ∫ ∫ 3 1− u 1− u u −1 Suy I = − =− 2 3 ln ln u −1 u +1 ( 2− 2+ 3 =− ) ln ( 2− 2+ ) Huỳnh Đức Khánh Cách Ta có I = ∫ −1 Cách Ta có I = ∫ −1 dx ( x + 2) ( x + ) + ( x + 2) dx ( x + 2) ( x + ) + x + 2x + 2 −1 dx b) Ta có I = ∫ Đặt t = =∫ −1 Đặt t = x + x + dx ( x + 1) + x +2 Đặt t = ( x + 1) + ( x + 1) +    x +1 t dx dt  dx = = Suy dt = 1 + dx ⇒ 2   ( x + 1) +  ( x + 1) + ( x + 1) + t  Đổi cận: x = −1 ⇒ t = 1; x = ⇒ t = + 1+ Khi I = ∫ dt = ln t t 1+ ( ) = ln + ...Huỳnh Đức Khánh A CAÙC DAÏNG TOAÙN DẠNG TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ Tích phân dạng P (x ) ∫ Q ( x ) dx , với P ( x ) Q ( x ) đa thức Trong bậc P ( x ) nhỏ bậc... thông ta xét dạng sau: Bài toán Mẫu nhị thức bậc Q ( x ) = ax + b, (a ≠ 0) Suy P ( x ) số Khi tích phân cần tính có dạng A ∫ ax + b dx = A.∫ ax + b dx = A a ln ax + b Bài Tính tích phân sau: x... 2012.51006 Huỳnh Đức Khánh DẠNG TÍCH PHÂN HÀM VÔ TỶ Bài toán Dạng ∫ R (x, n ) f ( x ), m f ( x ) dx Phương pháp: Đặt t = k f ( x ) với k bội chung nhỏ m n Bài Tính tích phân sau: 64 a) I = ∫ dx