xác suất thống kê bài tập

Chương XÁC SUẤT BÀI TẬP 1.1 Gieo đồng thời xúc xắc Tính xác suất để: a) tổng số chấm xuất b) tổng số chấm xuất 1.2 Một khách có phòng đơn Có 10 khách đến thuê phòng, có nam nữ Người quản lí chọn người Tính xác suất để: a) người nam b) có nam nữ c) có nữ d) có nữ 1.3 Một hộp đựng cầu trắng, cầu đỏ cầu đen Chọn ngẫu nhiên cầu Tìm xác suất để chọn trắng, đỏ đen 1.4 Có 30 thẻ đánh số từ đến 30 Chọn ngẫu nhiên 10 thẻ Tìm xác suất để: a) tất 10 mang số chẵn b) có mang số chia hết cho 1.5 Ở nước có 50 tỉnh, tỉnh có đại biểu Quốc hội Người ta chọn ngẫu nhiên 50 đại biểu số 100 đại biểu để thành lập ủy ban Tính xác suất để: a) ủy ban có đại biểu thủ đô b) tỉnh có đại biểu ủy ban 1.6 Viết chữ số: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, lên phiếu, sau thứ tự ngẫu nhiên thành hàng a) Tính xác suất để số chẵn b) Cũng từ phiếu chọn ngẫu nhiên xếp thứ tự thành hàng, tính xác suất để số chẵn 1.7 Bộ có 52 lá, có Át Lấy ngẫu nhiên Tính xác suất có: a) Át b) Át c) có Át 1.8 Một bình có 10 bi, có bi đỏ, bi xanh, bi đen Lấy ngẫu nhiên viên Tính xác suất để có: a) bi xanh b) xanh, đỏ, đen 1.9 Có 15 sản phẩm, có phế phẩm, bỏ ngẫu nhiên vào hộp I, II, III, hộp sản phẩm Tính xác suất: BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ a) Ở hộp thứ I có phế phẩm b) Các hộp có phế phẩm c) Các phế phẩm hộp thứ III 1.10 Một cửa hàng đồ điện nhập lô bóng đèn điện đóng thành hộp, hộp 12 Chủ cửa hàng kiểm tra chất lượng cách lấy ngẫu nhiên bóng để thử bóng tốt hộp bóng điện chấp nhận Tìm xác suất để hộp bóng điện chấp nhận hộp có bóng bị hỏng 1.11 Trong đề cương ôn tập môn học gồm 10 câu hỏi lý thuyết 30 tập Mỗi đề thi gồm có câu hỏi lý thuyết tập lấy ngẫu nhiên đề cương Một học sinh A học câu lí thuyết 12 câu tập đề cương Khi thi học sinh A chọn ngẫu nhiên đề thi cấc đề thi tạo thành từ đề cương Biết học sinh A trả lời câu lí thuyết tập học Tính xác suất để học sinh A a) không trả lời lí thuyết b) trả lời câu tập c) đạt yêu cầu, biết muốn đạt yêu cầu phải trả lời câu hỏi lý thuyết tập 1.12 Chọn ngẫu nhiên vé xổ số có chữ số từ đến Tính xác suất số vé a) Không có chữ số b) Không có chữ số c) Không có chữ số chữ số 1.13 Xếp ngẫu nhiên người A, B, C, D E vào bàn dài có chỗ ngồi, tính xác suất: a) A B đầu bàn b) A B cạnh 1.14 Một máy bay có phận A, B, C có tầm quan trọng khác Máy bay rơi có viên đạn trúng vào A hai viên đạn trúng vào B ba viên trúng vào C Giả sử phận A, B, C chiếm 15%, 30% 55% diện tích máy bay Bắn phát vào máy bay Tính xác suất để máy bay rơi nếu: a) máy bay bị trúng viên đạn b) máy bay bị trúng viên đạn 1.15 Một công ty sử dụng hai hình thức quảng cáo quảng cáo đài phát quảng cáo tivi Giả sử có 25% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua tivi 34% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua đài phát 10% khách hàng biết thông tin quảng cáo qua hai hình thức quảng cáo Tìm xác suất để chọn ngẫu nhiên khách hàng người biết thông tin quảng cáo công ty 1.16 Một lớp sinh viên có 50% học tiếng Anh, 40% học tiếng Pháp, 30% học tiếng Đức, 20% học tiếng Anh tiếng Pháp, 15% học tiếng Pháp tiếng Đức, 10% học tiếng Anh tiếng Đức, 5% học ba thứ tiếng Anh, Pháp Đức Chọn ngẫu nhiên sinh viên Tìm xác suất để a) sinh viên học ngoại ngữ kể b) sinh viên học tiếng Anh tiếng Đức c) sinh viên học tiếng Pháp, biết sinh viên học tiếng Anh 1.17 Một công ty đầu tư hai dự án A B Xác suất công ty bị thua lỗ dự án A 0,1, bị thua lỗ dự án B 0,2 thua lỗ dự án 0,05 Tính xác suất công ty có dự án bị thua lỗ 1.18 Một sinh viên phải thi liên tiếp môn triết học toán Xác suất qua môn triết CHƯƠNG XÁC SUẤT 0,6 qua toán 0,7 Nếu trước qua môn triết xác suất qua toán 0,8 Tính xác suất a) qua hai môn b) qua môn c) qua môn d) qua toán biết không qua triết 1.19 Một hộp bút có 10 bút, có sử dụng Ngày thứ người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp bút để sử dụng , cuối ngày trả bút vào hộp, ngày thứ ngày thứ thực Tính xác suất: a) sau ngày thứ hộp không bút b) bút lấy ngày bút sử dụng c) ngày đầu lấy bút , ngày thứ lấy bút sử dụng 1.20 Có hai lô hàng Lô I có 90 phẩm 10 phế phẩm, lô II có 80 phẩm 20 phế phẩm Lấy ngẫu nhiên từ lô sản phẩm Tính xác suất để a) lấy phẩm b0 lấy phẩm 1.21 Một thiết bị có phận hoạt động độc lập Cho biết thời gian hoạt động xác suất phận hỏng 0,38 xác suất phận thứ hỏng 0,8 Tính xác suất phận thứ bị hỏng thời gian hoạt động 1.22 Ba súng độc lập bắn vào mục tiêu, xác suất để bắn trúng 0,7; 0,8 ; 0,5 bắn viên, tính xs để a) bắn trúng b) hai bắn trúng c) ba bắn trật d) trúng e) thứ bắn trúng biết có viên trúng 1.23 Một thiết bị gồm cụm chi tiết, cụm bị hỏng không ảnh hưởng đến cụm khác cần cụm hỏng thiết bị ngừng hoạt động Xác suất để cụm thứ bị hỏng ngày làm việc 0,1, tương tự cho cụm lại 0,5 ; 0,15 Tính xs để thiết bị không bị ngừng hoạt động ngày 1.24 Một nhà máy sản xuất linh kiện điện tử có phân xưởng phân xưởng sản xuất 40%; phân xưởng sản xuất 30%; phân xưởng sản xuất 20% phân xưởng sản xuất 10% sản phẩm toàn xí nghiệp Tỉ lệ phế phẩm phân xưởng 1, 2, 3, tương ứng 1%, 2%, 3%, 4% Kiểm tra ngẫu nhiên sản phẩm nhà máy sản xuất a) tìm xác suất để sản phẩm lấy sản phẩm tốt? b) cho biết sản phẩm lấy kiểm tra phế phẩm Tính xác suất để phế phẩm phân xưởng sản xuất? 1.25 Một dây chuyền lắp ráp nhận chi tiết từ hai nhà máy khác nhau, tỷ lệ chi tiết nhà máy thứ cung cấp 60%, lại nhà máy thứ Tỷ lệ phẩm nhà máy thứ 90% nhà máy thứ 85% Lấy ngẫu nhiên chi tiết dây chuyền thấy tốt, tìm xác suất để chi tiết nhà máy thứ sản xuất 1.26 Một cửa hàng máy tính chuyên kinh doanh loại nhãn hiệu IBM, Dell Toshiba Trong cấu hàng bán, máy IBM chiếm 50%; Dell 30% lại máy Toshiba Tất máy bán có thời hạn bảo hành 12 tháng Kinh nghiệm kinh doanh chủ cửa hàng cho thấy 10% máy IBM phải sửa chữa hạn bảo hành; tỷ lệ sản phẩm cần sửa chữa hai hiệu BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ lại 20% 25% a) Nếu có khách hàng mua máy tính, tìm khả để máy tính khách hàng phải đem lại sửa chữa hạn bảo hành b) Có khách hàng mua máy tính tháng phải đem lại có trục trặc, tính xác suất mà máy Khách hiệu Toshiba 1.27 Hai máy sản xuất loại sản phẩm Tỉ lệ phế phẩm máy I 3% máy II 2% Từ kho gồm 2/3 sản phẩm máy I 1/3 sản phẩm máy II lấy ngẫu nhiên sản phẩm a) Tính xác suất để lấy phẩm b) Biết sản phẩm lấy phế phẩm Tính xác suất để sản phẩm máy I sản suất 1.28 Tỉ lệ người dân nghiện thuốc vùng 30% Biết người bị viêm họng số người nghiện thuốc 60%, tỉ lệ người bị viêm họng số người không hút thuốc 40% Lấy ngẫu nhiên người a) Biết người viêm họng, tính xác suất để người nghiện thuốc b) Nếu người không bị viêm họng, tính xác suất để người nghiện thuốc 1.29 Trong trường đại học có 40% sinh viên học tiếng Anh, 30% sinh viên học tiếng Pháp, số sinh viên không học tiếng Anh có 45% sinh viên học tiếng Pháp Chọn ngẫu nhiên sinh viên, biết sinh viên học tiếng Pháp Tính xác suất để sinh viên học tiếng Anh 1.30 Có hộp bi bên giống hệt Hộp I có trắng, đen, vàng; hộp II có5 trắng, đen, vàng; hộp III có trắng, đen, vàng Lấy ngẫu nhiên hộp từ hộp lấy ngẫu nhiên viên bi a)Tính xác suất bi lấy có màu b) Giả sử bi lấy màu Tính xác suất chọn hộp I 1.31 Một thùng có 20 sản phẩm, có sản phẩm loại I 17 sản phẩm loại II Trong trình vận chuyển bị sản phẩm không rõ chất lượng Lấy ngẫu nhiên sản phẩm 19 sản phẩm lại a) Tính xác suất lấy sản phẩm loại I b) Giả sử lấy sản phẩm loại I Tính xác suất để lấy tiếp sản phẩm sản phẩm loại I sản phẩm loại II 1.32 Trong số 10 xạ thủ có người bắn trúng bia với xác suất 0,9 (nhóm I); có người bắn trúng bia với xác suất 0,8 (nhóm II) người bắn trúng bia với xác suất 0,7 (nhóm III) Chọn ngẫu nhiên xạ thủ cho bắn viên đạn kết không trúng bia Tính xác suất xạ thủ thuộc nhóm I? 1.33 Một máy bay xuất vị trí A với xác suất 2/3 vị trí B với xác suất 1/3.Có phương án bố trí pháo bắn máy bay sau: Phương án 1: đặt A , đặt B Phương án 2: đặt A , đặt B Phương án : đặt A , đặt B Biết xác suất bắn trúng máy bay pháo 0,7 pháo hoạt động độc lập với , chọn phương án tốt 1.34 Tỉ lệ sản phẩm bị lỗi công ty A 0,9% Công ty sử dụng phận kiểm soát chất lượng sản phẩm, phận xác định xác sản phẩm bị lỗi với xác suất 99% xác định sai một sản phẩm không bị lỗi với xác suất 0,5% Sản phẩm phận kiểm soát chất lượng xác nhận không bị lỗi bán thị trường a) Chọn ngẫu nhiên sản phẩm sau kiểm soát chất lượng xác nhận không bị lỗi, tính xác CHƯƠNG XÁC SUẤT suất sản phẩm không bị lỗi a) Chọn ngẫu nhiên sản phẩm sau kiểm soát chất lượng xác nhận bị lỗi, tính xác suất sản phẩm không bị lỗi 1.35 Một phương pháp phân tích nhằm phát chất gây ô nhiễm nước nhà sản xuất tiến hành thử nghiệm Nếu thành công, phương pháp phân tích phát lúc loại chất gây ô nhiễm có nước: chất hữu cơ, dung môi dễ bay hơi, hợp chất clo Các kĩ sư cho thí nghiệm phát xác nguồn nước bị ô nhiễm chất hữu với xác suất 99,7%, dung môi dễ bay với xác suất 99,95% hợp chất clo với xác suất 89,7% Còn nguồn nước không bị ô nhiễm ba loại phương pháp phân tích cho kết xác 100% Các mẫu nước chuẩn bị cho tiến hành thử nghiệm có 60% mẫu bị nhiễm chất hữu cơ, 27% mẫu bị nhiễm dung môi dễ bay 13% mẫu bị nhiễm hợp chất clo Chọn ngẫu nhiên mẫu để áp dụng a) Tính xác suất phương pháp phân tích cho kết mẫu bị ô nhiễm b) Giả sử phương pháp phân tích cho kết mẫu bị ô nhiễm Tính xác suất phương pháp phân tích cho kết mẫu bị ô nhiễm hợp chất clo 1.36 Công ty A thường thăm dò ý kiến khách trước đưa sản phẩm thị trường Thông tin khứ cho thấy sản phẩm thành công có 95% ý kiến thăm dò đánh giá tốt, sản phẩm thành công vừa phải có 60% ý kiến thăm dò đánh giá tốt sản phẩm không thành công có 10% ý kiến thăm dò đánh giá tốt Ngoài công ty có 40% sản phẩm thành công, 35% sản phẩm thành công vừa phải 25% sản phẩm không thành công.Tìm xác suất sản phẩm có ý kiến thăm dò đánh giá tốt 1.37 Một thiết bị điện tử bao gồm 40 vi mạch (IC) độc lập Xác suất vi mạch bị lỗi 0,01 Thiết bị hoạt động vi mạch bị lỗi Tính xác suất thiết bị không hoạt động 1.38 Bắn ba viên đạn độc lập vào mục tiêu Xác suất trúng mục tiêu viên 0,7; 0,8; 0,9 Biết viên trúng viên trúng mục tiêu bị phá hủy với xác suất 0,4 0,6 viên trúng mục tiêu bị phá hủy Tìm xác suất để mục tiêu bị phá hủy 1.39 Hai người bắn vào mục tiêu Khả bắn trúng người 0,8 0,9 Tính xác suất a) có người bắn trúng b) có người bắn trúng mục tiêu c) hai người bắn trượt 1.40 Một nồi có van bảo hiểm Xác suất hỏng van 1, thời gian làm việc 0,05; 0,05 0,06 Các van hoạt động độc lập Nồi gặp nguy hiểm có van bị hỏng Tính xác suất nồi hoạt động bình thường thời gian làm việc 1.41 Bắn liên tiếp vào mục tiêu đến có viên đạn trúng ngừng bắn.Tìm xác suất cho phải bắn đến viên đạn thứ 4, biết xác suất viện đạn trúng mục tiêu 0,6 lần bắn độc lập 1.42 Tỉ lệ phế phẩm nhà máy 5% Tìm xác suất để 12 sản phẩm nhà máy sản xuất có a) phế phẩm b) không phế phẩm 1.43 Đề thi trắc nghiệm có 10 câu hỏi, câu có cách trả lời, có cách trả lời Một thí sinh chọn cách trả lời cách hoàn toàn hú họa Tìm xác suất để thí BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ sinh thi đỗ, biết để thi đỗ phải trả lời câu 1.44 Một người bắn bia với xác suất bắn trúng p=0,7 a) Bắn liên tiếp viên, tính xác suất để có lần trúng bia b) Hỏi phải bắn lần để có xác suất lần trúng bia lớn 0,9 1.45 Một lô hàng có tỷ lệ phế phẩm 5%, cần phải lấy mẫu cỡ cho xs để bị phế phẩm không bé 0,95 1.46 Tín hiệu thông tin phát lần với xác suất thu lần 0,4 a) Tìm xác suất để nguồn thu nhận thông tin b) Nếu muốn suất thu lên đến 0,9 phải phát lần Chương ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN BÀI TẬP 2.1 Một thiết bị gồm phận hoạt động độc lập với Xác suất thời gian T phận bị hỏng tương ứng 0,4; 0,2 0,1 Gọi X số phận bị hỏng thời gian T a) Lập bảng xác suất X b) Tính xác suất thời gian T có không phận bị hỏng 2.2 Ba xạ thủ độc lập bắn vào mục tiêu Xác suất bắn trúng tương ứng 0,7; 0,8; 0,5, xạ thủ bắn viên Gọi X số viên trúng a) Lập bảng phân phối X b) Tìm kì vọng, phương sai trung vị c) Tính xác suất có viên trúng 2.3 Có hai lô sản phẩm Lô có phẩm phế phẩm, lô có phẩm phế phẩm Từ lô lấy ngẫu nhiên sản phẩm bỏ vào lô 2, sau từ lô lấy ngẫu nhiên sản phẩm Lập bảng phân phối xác suất số phẩm lấy lần 2.4 Một thiết bị có phận hoạt động độc lập Gọi X số phận hỏng thời gian T, X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,024 0,452 0,188 0,336 a) Tính kì vọng phương sai b) Biết xác suất phân hỏng thời gian T 0,8 Tìm xác suất hỏng thời gian T phận 2.5 Một công ty khai thác dầu có hai dự án khai thác dầu, môt châu Á châu Âu Gọi X số dự án thành công, X có bảng phân phối xác suất sau: X P 0,02 0,26 0,72 Giả sử xác suất thành công dự án độc lập Tìm xác suất thành công dự án 2.6 Xác suất để người bắn trúng bia 0,8 Người phát viên đạn để bắn trúng bia Gọi X số viên đạn bắn trượt, tìm quy luật phân phối X 2.7 Một xạ thủ cung cấp viên đạn 80 nghìn đồng Xạ thủ bắn độc lập viên viên trúng đích hết đạn dừng lại Xác suất bắn trúng đích BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ xạ thủ 0,7 Nếu bắn trúng viên nhận 50 nghìn bắn trật viên 20 nghìn Gọi X số tiền có xạ thủ sau bắn xong Lập bảng phân phối xác suất X tính E(X) 2.8 Một người tham gia trò chơi gieo đồng thời đồng tiền cân đối đồng chất Mỗi đồng tiền có mặt kí hiệu S N Người bỏ x đồng cho lần gieo Nếu kết gieo mặt giống người không thu đồng kết gieo mặt không giống 3x đồng Người có nên thường xuyên tham gia trò chơi không? Vì sao? 2.9 Trong kì thi hết môn học A thầy giáo cho đề cương ôn tập gồm 10 câu lý thuyết 15 câu tập Thầy giáo cấu tạo đề thi gồm câu lý thuyết câu tập lấy ngẫu nhiên đề cương Sinh viên B học trả lời câu lý thuyết làm 10 câu tập đề cương Nếu trả lời câu lý thuyết điểm làm câu tập điểm, điểm phần câu Gọi X số điểm môn học A sinh viên B sau thi Lập bảng phân phối xác suất X tính E(X) 2.10 Một sinh viên thi vấn đáp trả lời câu hỏi cách độc lập Khả trả lời câu hỏi 65% Nếu trả lời sinh viên điểm, sai bị trừ điểm a) Tìm xác suất để sinh viên trả lời câu hỏi b) Tìm số điểm trung bình mà sinh viên đạt 2.11 Trong kênh truyền hình kĩ thuật số, xác suất thiết bị đầu cuối nhận bit (đơn vị dùng để đo lượng thông tin) bị lỗi 0,001 bit bị lỗi độc lập Kí hiệu X số bit thiết bị đầu cuối nhận bị lỗi 1000 bit truyền a) Tính xác suất P (X = 1), P (X ≥ 1), P (X ≤ 2) b) Tính kì vọng phương sai X 2.12 Tuổi thọ loại bóng đèn biến ngẫu nhiên X (đơn vị năm) với hàm mật độ sau f (x) = kx2 (4 − x) x ∈ [0; 4] x ∈ [0; 4] a) Tìm k vẽ đồ thị f (x) b) Tìm xác suất để bóng đèn cháy trước năm tuổi c) Tìm kì vọng phương sai 2.13 Cho hàm mật độ biến ngẫu nhiên X có dạng  π π   a cos x x ∈ [− ; ] f (x) =  π π  0 x ∈ [− ; ] 2 a)Tìm a xác định hàm phân phối xác suất F (x) X π b) Tính xác suất để X nhận giá trị khoảng ( ; π) 2.14 Biến ngẫu nhiên X có hàm phân phối xác suất x F (x) = a + arctan , x ∈ R π a) Tìm a b) Tìm m cho P (X>m)=0,25 CHƯƠNG ĐẠI LƯỢNG NGẪU NHIÊN 2.15 Cho X có hàm phân phối xác suất  0 F (x) = a sin 2x  x ≤ < x ≤ π/4 x > π/4 a) Tìm a hàm mật độ xác suất X b) Tính kì vọng 2.16 Cho biến ngẫu nhiên liên tục X có hàm phân phối  x < −π/2 0 F (x) = a + b sin x − π/2 ≤ x ≤ π/2  x > π/2 với a, b số a) Tìm a b b) Với a b tìm câu a), tính P (X > π/4) 2.17 Tỉ lệ tai nạn giao thông theo thống kê có 1/1000 4/1000 tai nạn giao thông nặng nhẹ Một công ty bảo hiểm bán bảo hiểm với mức phí 80.000 đồng Hỏi tiền lãi trung bình công ty bán bảo hiểm ? Biết thuế chi phí khác chiếm 30% phí bảo hiểm; bị tai nạn giao thông nặng, nhẹ công ty bảo hiểm bồi thường số tiền tương ứng 10 triệu đồng triệu đồng 2.18 Trọng lượng gói đường đóng máy tự động có phân bố chuẩn Trong 1000 gói đường có 70 gói có trọng lượng lớn 1015g, trọng lượng trung bình 1000 gói đường 1012g Hãy ước lượng xem có gói đường có lượng 1008g 1000 gói đường 2.19 Một chi tiết máy xem đạt tiêu chuẩn sai số tuyệt đối chiều dài so với chiều dài quy định không vượt 10mm Biến ngẫu nhiên X độ lệch chiều dài chi tiết so với chiều dài quy định có phân phối chuẩn N (µ, σ ), với µ = mm, σ = mm a) Chọn ngẫu nhiên chi tiết, tính xác suất chi tiết đạt tiêu chuẩn b) Tìm số trung bình chi tiết đạt tiêu chuẩn lấy 100 chi tiết 2.20 Tuổi thọ (năm) thiết bị điện tử biến ngẫu nhiên X có hàm mật độ xác suất 0, 25e−0,25x x ≥ f (x) = x < a) Tính P (X > 2) b) Bán thiết bị lãi 15 nghìn đồng phải bảo hành lỗ nghìn đồng Để trung bình thiết bị lãi 10 nghìn nên quy định thời gian bảo hành năm? c) Với thời gian quy định bảo hành tháng, cửa hàng A nhập 10.000 thiết bị để bán Tính xác suất với 10.000 thiết bị bán hết cửa hàng A lãi 125 triệu đồng 2.21 Chiều cao nam giới trưởng thành vùng dân cư biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với µ = 160 cm σ = cm Một niên bị coi lùn có chiều cao nhỏ 1, 55 cm a) Tìm tỉ lệ niên lùn vùng b) Tìm xác suất để lấy ngẫu nhiên người có người không lùn 2.22 Tuổi thọ bóng đèn biến ngẫu nhiên X có E(X) = 250 σ(X) = 250 a) Một cửa hàng mua 30 bóng đèn để hỏng thay Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: xác suất để cửa hàng trì ánh sáng liên tục 8750 BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ (≈ năm) b) Dùng định lí giới hạn trung tâm để tính: chủ cửa hàng phải mua bóng đèn để trì ánh sáng liên tục 8750 với xác suất lớn 0,9772 2.23 Một nhà nghỉ có 1000 người Nhà ăn phục vụ ăn trưa hai đợt liên tiếp Mỗi nguời chọn ăn trưa hai đợt với xác suất Dùng định lý giới hạn trung tâm tính: nhà ăn cần tối thiểu chỗ để đảm bảo đủ chỗ cho khách vào ăn trưa với xác suất lớn hay 0,99? 2.24 Số trẻ em sinh tuần làng A biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối xác suất X P 0, 0, 0, 0, Số người chết tuần làng biến ngẫu nhiên Y có bảng phân phối xác suất X P 0, 0, 0, 0, 15 0, 05 Giả sử X Y độc lập a) Tìm bảng phân phối xác suất vectơ (X, Y ) b) Tính P (X > Y ) 2.25 Cho (X, Y ) có bảng phân phối xác suất Y −1 −1 1/6 1/4 1/6 1/8 1/6 1/8 X Tính E(X), E(Y ), Cov(X, Y ), ρ(X, Y ) 2.26 Cho (X, Y ) có bảng phân bố xác suất đồng thời Y X Chứng minh X X độc lập 10 1/12 1/6 1/12 1/6 1/6 1/3 Chương ƯỚC LƯỢNG KHOẢNG THAM SỐ BÀI TẬP 3.1 Công ty bao bì HP nhập lô hàng gồm 20.000 bao hạt nhựa nhà cung cấp quen Dữ liệu khứ cho thấy khối lượng bao hạt nhựa có phân bố chuẩn với phương sai 36(kg ) Chọn ngẫu nhiên 25 bao hạt nhựa từ lô hàng để cân thu giá trị trung bình mẫu 96 kg/bao Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng tin cậy khối lượng trung bình 20.000 bao hạt nhựa 3.2 Doanh số cửa hàng biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn triệu đồng/tháng Điều tra ngẫu nhiên doanh số 600 cửa hàng có quy mô tương tự tìm doanh số trung bình 8,5 triệu Với độ tin cậy 95% ước lượng doanh số trung bình cửa hàng thuộc quy mô 3.3 Cho ô tô chạy thử 32 lần đoạn đường từ A đến B người ta ghi nhận lượng xăng hao phí sau: Lượng xăng hao phí (lít) Tần số [9, 6; 9, 8) [9, 8; 10, 0) [10, 0; 10, 2) 10 [10, 2; 10, 4) [10, 4; 10, 6) a) Vẽ biểu đồ tần số kiểm tra phân bố chuẩn b) Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng lượng xăng hao phí trung bình xe chạy từ A đến B 3.4 Để định mức thời gian gia công chi tiết máy, người ta theo dõi ngẫu nhiên trình gia công 25 chi tiết thu số liệu sau: Thời gian gia công (phút) Tần số [15; 17) [17; 19) [19; 21) [21; 23) 12 [23; 25) [25; 27) 11 BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ a) Vẽ biểu đồ tần số kiểm tra phân bố chuẩn b) Hãy ước lượng khoảng thời gian gia công trung bình chi tiếu máy với độ tin cậy − α = 0, 95 3.5 Để ước lượng kích thước trung bình chi tiết máy gia công máy gia công, người ta lấy ngẫu nhiên 25 chi tiết máy gia công, đem đo thu kích thước sau: 24,1 25,8 22,7 24,5 26,4 27,2 27,3 26,9 26,1 25,4 26,7 23,2 24,8 25,9 23,3 23,6 26,9 24,0 25,4 23,0 26,4 27,1 23,4 22,9 24,3 a) Vẽ biểu đồ tần số, biểu đồ xác suất chuẩn để kiểm tra phân bố chuẩn b) Với độ tin cậy 95% ước lượng thước trung bình chi tiết máy gia công 3.6 Hãy ước lượng tỷ lệ phẩm nhà máy khoảng tin cậy đối xứng với độ tin cậy 0,95 biết kiểm tra 100 sản phẩm nhà máy thấy có 10 phế phẩm 3.7 Mở 200 hộp kho đồ hộp, người ta thấy có 28 hộp bị biến chất Với độ tin cậy 0,95, khoảng tin cậy đối xứng, ước lượng tỷ lệ đồ hộp biến chất kho 3.8 Trong đợt vận động bầu cử tổng thống người ta vấn ngẫu nhiên 1600 cử tri biết 960 người số bỏ phiếu cho ứng cử viên A Với độ tin cậy 90%, ứng cử viên A chiếm tỷ lệ phiếu bầu khoảng nào? 3.9 Nhà máy A sản xuất loại sản phẩm Để ước lượng tỉ lệ thành phẩm người ta chọn ngẫu nhiên 400 sản phẩm chia thành 40 nhóm để kiểm tra Kết thu sau Số thành phẩm nhóm Số nhóm 10 10 Với độ tin cậy 90% ước lượng khoảng tỉ lệ thành phẩm nhà máy 12 Chương KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT BÀI TẬP 4.1 Trung tâm hỗ trợ người tiêu dùng nhận đựơc nhiều lời phàn sản phẩm bột giặt loại Kg công ty Sáng Chói Để hỗ trợ người tiêu dùng, Trung tâm tiến hành chọn ngẫu nhiên 36 gói bột giặt công ty để cân thu kết trung bình mẫu 3,95 Kg Giả sử trọng lượng bột giặt sản xuất công ty tuân theo quy luật phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn 0,15 Kg a) Trung tâm có kết luận thực kiểm định giả thuyết với mức ý nghĩa 5% b) Trung tâm có kết luận thực kiểm định giả thuyết với mức ý nghĩa 2% 4.2 Trọng lượng (X) sản phẩm nhà máy sản xuất biến ngẫu nhiên phân phối chuẩn với độ lệch chuẩn σ = (kg) trọng lượng trung bình 20 (kg( Nghi ngờ máy hoạt động không bình thường làm thay đổi trọng lượng trung bình sản phẩm người ta cân thử 100 sản phẩm thu kết sau: Trọng lượng sản phẩm 19 20 21 22 23 Số sản phẩm 10 50 20 15 Với mức ý nghĩa 0,05 kết luận điều nghi ngờ 4.3 Mỳ đóng gói 453 gam gói máy tự động Có thể coi trọng lượng gói mỳ tuân theo quy luật chuẩn với độ lệch chuẩn 36 gam Kiểm tra ngẫu nhiên 81 gói thấy trọng lượng trung bình 448 gam Với mức ý nghĩa =0,05 kết luận trọng lượng gói mỳ có xu hướng bị đóng thiếu không? 4.4 Một nhà máy sản suất bánh tuyên bố bánh họ trung bình có 88 calo Một mẫu ngẫu nhiên với 46 bánh kiểm tra cho thấy lượng calo trung bình bánh 90 calo với độ lệch tiêu chuẩn calo Với mức ý nghĩa 5%, kiểm định xem có phải thực tế bánh trung bình chứa nhiều 88 calo hay không? 4.5 Năng suất lúa trung bình giống lúa A công bố 43 tạ/ha Một nhóm gồm 60 ruộng thí nghiệm kiểm tra cho thấy suất lúa trung bình nhóm 46,2 tạ/ha với độ lệch chuẩn 12 tạ/ha Với mức ý nghĩa 5%, nhận định xem có phải công bố thấp so với thật không 4.6 Điều tra giá loại hàng hóa A 100 cửa hàng chọn ngẫu nhiên thu số liệu sau: Giá (nghìn đồng) 95 95,5 96 96,5 97 97,5 98 98,5 99 Số cửa hàng 12 15 17 20 13 13 BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ a) Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng giá trung bình loại hàng A thị trường b) Giá niêm yết loại hàng hóa A công ty 97 (nghìn đồng) Với mức ý nghĩa 5% cho giá trung bình loại hàng hóa A thị trường thấp giá niêm yết công ty không? 4.7 Khảo sát lượng nước tiêu thụ tháng 36 hộ gia đình người chọn ngẫu nhiên địa bàn Đà Nẵng có mẫu số liệu sau (đơn vị: lít): 26 30 24 30 27 30 24 26 32 24 28 27 26 24 31 24 26 23 24 30 27 30 29 25 26 28 29 26 19 32 27 28 26 24 28 28 a) Vẽ biểu đồ xác suất chuẩn kiểm tra giả thiết phân bố chuẩn b) Với mức ý nghĩa 5% cho lượng nước tiêu thụ trung bình tháng hộ gia đình người cao 26 lít không? c) Cần chọn ngẫu nhiên hộ gia đình người để lượng nước tiêu thụ trung bình tháng hộ gia đình cao 26 lít có xác suất lớn 95% 4.8 Kết khảo sát hàm lượng sắt nước biển bãi tắm TH 49 mẫu chọn ngẫu nhiên thu sau (đơn vị 10−1 mg/l) 6,4 6,2 3,2 4,6 5,7 5,2 6,9 4,3 4,7 5,3 5,9 7,2 6,5 6,8 4,0 7,2 6,5 6,5 4,7 6,4 4,4 6,2 5,0 6,2 6,4 4,2 6,0 6,5 4,7 5,0 6,4 6,3 4,5 5,1 6,5 3,9 6,0 5,6 7,1 5,6 4,7 4,6 5,1 6,4 4,1 5,0 3,9 5,0 4,2 Theo tiêu chuẩn Bộ Y tế nước máy sinh hoạt có hàm lượng sắt tối đa cho phép 0,5mg/l Với mức ý nghĩa 0,03 cho hàm lượng asen trung bình nước máy thành phố A cao 0,5 mg/l không? 4.9 Lô hàng đủ tiêu chuẩn xuất tỷ lệ phế phẩm không vượt 3% Kiểm tra ngẫu nhiên 400 sản phẩm lô hàng thấy có 14 phế phẩm Với mức ý nghĩa α = 0, 05 có cho phép lô hàng xuất hay không? 4.10 Tỷ lệ phế phẩm nhà máy tự động sản xuất 5% Kiểm tra ngẫu nhiên 300 sản phẩm thấy có 24 phế phẩm Nên có ý kiến cho tỷ lệ phế phẩm nhà máy sản xuất có chiều hướng tăng lên Hãy kết luận ý kiến với mức ý nghĩa α = 0, 05 4.11 Một tỉnh báo cáo tỉ lệ học sinh tốt nghiệp họ 88% Một mẫu ngẫu nhiên 100 học sinh chọn có 82 em đỗ Với mức ý nghĩa 5% kiểm định xem báo cáo tỉnh có cao thật 4.12 Tại thành phố M, hộ dùng không điện thoại bàn điện thoại bàn sử dụng dịch vụ công ty viễn thông A B Điều tra ngẫu nhiên 3600 hộ thành phố M thấy có 2500 hộ dùng điện thoại bàn, có 1300 hộ dùng điện thoại bàn sử dụng dịch vụ viễn thông công ty A a) Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng tỉ lệ hộ dùng điện thoại bàn thành phố M b) Với mức ý nghĩa 1% cho số điện thoại bàn sử dụng dịch vụ viễn thông công ty A nhiều công ty B không? 4.13 Công ty truyền hình cáp SV lắp đặt truyền hình cáp cho 8.000 hộ địa phương F Để mở rộng kinh doanh dự định nâng cấp chương trình truyền hình cáp tốt hơn, công 14 CHƯƠNG KIỂM ĐỊNH GIẢ THUYẾT ty SV điều tra 10.000 hộ địa phương F thấy có 3.600 hộ lắp đặt truyền hình cáp Trong số 3.600 hộ lắp đặt truyền hình cáp có 720 hộ lắp đặt truyền hình cáp công ty SV a) Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng tỷ lệ hộ lắp đặt truyền hình cáp địa phương F b) Với độ tin cậy 95% ước lượng khoảng số hộ lắp đặt truyền hình cáp địa phương F c) Trong số 720 hộ lắp đặt truyền hình cáp SV đó, có 400 hộ đồng ý nâng cấp chương trình truyền hình Biết có 50% khách hàng đồng ý nâng cấp chương trình công ty SV nâng cấp Với mức ý nghĩa α = 0, 025, hỏi công ty SV có nâng cấp chương trình không? Biết hộ lắp đặt truyền hình cáp công ty 4.14 Doanh số (triệu đồng) bán nhà hàng A có phân phối chuẩn Theo dõi doanh số bán nhà hàng A 100 ngày có số liệu sau: Doanh số (triệu đồng) 118 123 127 135 140 Số ngày 26 40 20 a) Hãy ước lượng khoảng đối xứng doanh số bán trung bình nhà hàng A ngày với độ tin cậy 95% b) Chủ nhà hàng báo cáo với nhân viên thu thuế doanh số bán trung bình nhà hàng ngày 127 triệu đồng Nhân viên thu thuế nghi ngờ doanh số bán trung bình nhà hàng A lớn 127 triệu đồng Dựa vào kết mẫu trên, tìm α ∈ (0; 0, 5] cho với mức ý nghĩa α chưa có sở để bác bỏ báo cáo chủ nhà hàng 4.15 Để so sánh trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh thành thị nông thôn người ta cân thử 1000 trẻ hai khu vực thu số liệu: Vùng Số trẻ cân Trung bình mẫu Độ lệch chuẩn mẫu Nông thôn 800 3,0 kg 0,3 kg Thành thị 200 3,2 kg 0,3 kg Với mức ý ngihã α = 0, 05 coi trọng lượng trung bình trẻ sơ sinh thành thị cao nông thôn hay không? Giả thiết trọng lượng trẻ sơ sinh có phân phối chuẩn 4.16 Người ta nghiên cứu suất lúa mỳ hai vùng chế độ canh tác khác nhau, kết thu sau: Vùng Số ruộng Trung bình mẫu Phương sai mẫu A 39 24,6 tạ/ha 0,24 (tạ/ha)2 B 46 25,8 tạ/ha 0,16 (tạ/ha)2 a) Với mức ý nghĩa α = 0, 05 hỏi có khác đáng kể suất lúa trung bình hai vùng đất canh tác không? 4.17 Kiểm tra chất lượng hai lô sản phẩm người ta thấy lô thứ 500 sản phẩm kiểm tra có 50 phế phẩm, lô thứ hai 400 sản phẩm kiểm tra có 60 phế phẩm Với mức ý nghĩa α = 0, 05 xem tỉ lệ phế phẩm hai lô hàng không? 4.18 Độ tinh khiết chất xúc tác quan trọng nghiên cứu hóa học Người ta thử nghiệm hai phương pháp khác nhau: phương pháp I (hữu cơ) làm 34 mẫu 15 BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ phương pháp II (vô cơ) làm 36 mẫu Kết thu sau (lượng chất bẩn đơn vị chất): Phương pháp I 2,0 2,0 1,8 0,9 1,7 1,6 1,7 1,5 1,9 2,0 1,8 1,6 1,8 1,7 2,1 1,5 1,7 2,0 1,8 1,7 1,5 1,6 1,6 1,7 1,7 1,4 1,5 1,7 1,6 2,0 1,9 2,1 Phương pháp II 1,6 1,4 1,6 1,3 1,4 1,7 1,5 1,0 1, 1,2 1,6 1,8 1,2 1,5 1,6 1,4 1,8 1,3 0,9 1,2 1,3 1,4 1,7 1,5 1,5 1,9 1,2 1,3 1,6 1,6 1,3 1,5 1,8 1,5 1,8 2,0 Với mức ý nghĩa α = 0, 05 coi lượng chất bẩn trung bình hai phương pháp khác không? 16 Chương PHỤ LỤC 5.1 NỘI DUNG THI 5.1.1 Thi kì Chương 1: Xác suất Chương 2: Bảng phân bố xác suất, hàm mật độ xác suất, hàm phân phối xác suất, số đặc trưng (kì vọng, phương sai, độ lệch chuẩn, trung vị) đại lượng ngẫu nhiên 5.1.2 Thi cuối kì Chương 2: Đại lượng ngẫu nhiên + Vec tơ ngẫu nhiên+ Các định lí giới hạn (kể nội dung thi kì) Chương 3: Ước lượng khoảng kì vọng, tỉ lệ Chương 4: Kiểm định giả thuyết kì vọng, tỉ lệ, so sánh kì vọng (hai mẫu độc lập, cỡ mẫu lớn chưa biết phương sai), so sánh tỉ lệ 5.2 Các số đặc trưng mẫu số liệu Cho {x1 , x2 , , xn } mẫu số liệu biến số X 1) Trung bình mẫu, kí hiệu x, tính theo công thức: n x1 + x2 + + xn = x= n n xi i=1 2) Phương sai mẫu, kí hiệu s2 , tính theo công thức: s = n−1 n (xi − x) = n−1 n i=1 x2i − nx2 i=1 3) Độ lệch chuẩn mẫu √ s = s2 = n−1 n x2i − nx2 i=1 Chú ý 5.1 1) Mẫu số liệu cho dạng bảng phân bố tần số rời rạc X x1 x2 ni n1 n2 nm xm - Kích thước mẫu: n = n1 + n2 + + nm 17 BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ - Trung bình mẫu: x = m ni x i n i=1 m ni x2i − nx2 n − i=1 2) Mẫu số liệu cho dạng bảng phân bố tần số liên tục - Phương sai mẫu: s2 = X a0 − a1 a1 − a2 ni n1 n2 ak−1 − ak = [ak−1 ; ak ) Đặt xk = am−1 − am nm ak−1 + ak ta X x1 x2 ni n1 n2 nm xm ta đưa Chú ý để tính x, s2 s 5.3 Tính giá trị hàm Laplace máy tính Casio 1) CASIO FX570MS: - Mode→Mode→1 (SD); - Shift→ (Distr) →2; - Nhập x 2) CASIO FX570ES: - Mode→3 (Stat)→1 (1-Var)→ AC - Shift→ 1(Stat)→ (Distr) →2; - Nhập x 2) CASIO FX570ES-Plus: - Mode→3 (Stat)→1 (1-Var)→ AC - Shift→ 1(Stat)→ (Distr) →2; - Nhập x 5.4 Tính trung bình mẫu, độ lệch chuẩn mẫu máy tính CASIO 5.4.1 Casio FX 570MS 1) Khởi động chương trình thống kê: Mode→Mode→1 2) Nhập số liệu: nhập xk → M+ 3) Lấy kết x: Shift→2→1→= s: Shift→2→3 (xσn−1 )→= 4) Xóa liệu: Shift→Mode→1→= 5) Kết thúc: Mode→2 Khi cỡ mẫu n > 80, máy Casio FX 570MS xuất "Data Full", bấm tiếp M+ chọn (Editoff) để nhập tiếp 18 CHƯƠNG PHỤ LỤC 5.4.2 Casio FX 570ES 1) Khởi động nhập bảng phân phối tần số: Shift→SETUP→ DOWN (phím hình tròn nằm máy tính)→ 4(Stat) chọn ON 2) Khởi động chương trình thống kê: Mode→3→1 3) Nhập số liệu: nhập xk → =,nk → = Kết thúc nhập: bấm AC 4) Lấy kết x: Shift→1→5→2→= s: Shift→1→5→4→= 5) Xóa liệu: Shift → Mode → →= 6) Kết thúc: Mode→2 5.4.3 Casio FX 570ES-plus 1) Khởi động nhập bảng phân phối tần số: Shift→SETUP→ DOWN (phím hình tròn nằm máy tính)→ 4(Stat) chọn ON 2) Khởi động chương trình thống kê: Mode→3→1 3) Nhập số liệu: nhập xk → =, nk → = Kết thúc nhập: bấm AC 4) Lấy kết x: Shift→1→7→2→= s: Shift→1→7→4→= 5) Xóa liệu: Shift→Mode→1→= 6) Kết thúc: Mode→2 19 ... hú họa Tìm xác suất để thí BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ sinh thi đỗ, biết để thi đỗ phải trả lời câu 1.44 Một người bắn bia với xác suất bắn trúng p=0,7 a) Bắn liên tiếp viên, tính xác suất để có... dừng lại Xác suất bắn trúng đích BÀI TẬP XÁC SUẤT THỐNG KÊ xạ thủ 0,7 Nếu bắn trúng viên nhận 50 nghìn bắn trật viên 20 nghìn Gọi X số tiền có xạ thủ sau bắn xong Lập bảng phân phối xác suất X... chất lượng sản phẩm, phận xác định xác sản phẩm bị lỗi với xác suất 99% xác định sai một sản phẩm không bị lỗi với xác suất 0,5% Sản phẩm phận kiểm soát chất lượng xác nhận không bị lỗi bán thị