Toa do KG

CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU • A ∈ d: điểm A thuộc đường thẳng d, đường thẳng d qua điểm A • A ∉ d : điểm A không thuộc đường thẳng d, đường thẳng d không qua điểm A • A ∈ ( α ): điểm A thuộc mp ( α ), A nằm trên ( α ), ( α ) chứa A, ( α ) qua A • A ∉ ( α ): điểm A không thuộc mp ( α ), A nằm ngoài ( α ), ( α ) không chứa A, ( α ) không qua A • d ⊂ ( α ): đường thẳng d nằm trên ( α ), ( α ) chứa d • d ⊄ ( α ): đường thẳng d không nằm trên ( α ), ( α ) không chứa d Phần 1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Các tính chất Cách xác định mặt phẳng H1 TC1: Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt H7 Cách 1: Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định một mp H2 TC2: Có một và chỉ một mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng H8 Cách 2: Một đường thẳng và 1 điểm nằm ngoài đường thẳng cho ta một mp H3 TC3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mphẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mp đó H9 Cách 3: Hai đường thẳng cắt nhau cho ta một mp H4 TC4: Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng H10 Cách 4: Hai đường thẳng song song cho ta một mp H5 TC5: Nếu 2 mp phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa H6 TC6: Trên mỗi mp các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Định nghĩa : Vetơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng. KH: AB uuur chỉ véctơ có điểm đầu A và điểm cuối B. Véctơ còn được kí hiệu là , , , .x y a b r r r r 2) Các phép toán về vectơ - Tương tự trong hình học phẳng - Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Ta có: ' 'AB AD AA AC+ + = uuur uuur uuur uuuur 3) Điều kiện đồng phẳng của 3 véctơ a) Định nghĩa : Trong không gian 3 véctơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với 1 mp b) Điều kiện để 3 véctơ đồng phẳng  Định lí : Trong không gian cho 2 vectơ ,a b r r không cùng phương và c r . Khi đó 3 vectơ , ,a b c r r r đồng phẳng ⇔ có cặp số m, n sao cho c r = ma nb+ r r . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất c) Phân tích (biểu thị) 1 vectơ theo 3 vectơ không đồng phẳng Trong không gian cho 3 vectơ , ,a b c r r r không đồng phẳng. Khi đó với mọi x r ta đều tìm được 1 bộ 3 số m, n, p sao cho: x r = ma nb+ r r + p c r . Ngoài ra bộ 3 số m, n, p là duy nhất GÓC 1 B α C A A b α d α a α a b α d B A   B α d A   A B D C’ A’ H 1.1 H7 Góc giữa hai vectơ trong không gian Trong không gian cho u r và v r là 2 vectơ khác 0 r . Lấy 1 điểm A bất kì, gọi B và C là 2 điềm sao cho AB uuur = u r , AC uuur = v r . Khi đó ta gọi · BAC (0 0 ≤ · BAC ≤ 180 0 ) là góc giữa 2 vectơ u r và v r trong không gian KH: ( u r ; v r ) cos( u r ; v r ) = u.v u v r r r r H8 Góc giữa 2 đường thẳng Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b a có vtcp 1 a uur b có vtcp 2 a uur Gọi ϕ là góc giữa 2 đường thẳng a và b cos ϕ = 1 2 1 2 .a a a a uur uur uur uur H9 Góc giữa đường thẳng và mp Góc giữa đường thẳng d và ( α ) là góc nhọn tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu d’ của d lên ( α ) Lưu ý: d ⊥ ( α ) => góc giữa đường thẳng d và ( α ) bằng 90 0 d có vtcp a r ( α ) có vtpt n r Gọi Ψ là góc giữa đthẳng d và ( α ) sin Ψ = a.n a n r r r r H10 Góc giữa 2 mp Là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mp đó ( α ) có vtpt 1 n uur ( β ) có vtpt 2 n uur Gọi Ψ là góc giữa 2mp ( α ) và ( β ) cos Ψ = 1 2 1 2 n .n n n uur uur uur uur KHOẢNG CÁCH 2 _A _B _C u r v r a’ a b b’ Phương pháp toạ độ trong không gian H11 Khoảng cách giữa 2 điểm A và B AB = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A x x y y z z− + − + − H12 P) M H Khoảng cách từ 1 M điểm đến mp ( α ) MH = d(M, ( α ) (MH là khoảng cách từ điểm M đến mp ( α )) Điểm M(x M , y M , z M ) ( α ) có pt: Ax + By + Cz + D = 0 d(M, ( α )) = 2 2 2 M M M Ax By Cz D A B C + + + + + (1) H13 Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng MH = d(M, a) (MH là khoảng cách từ điểm M đến đthẳng a) Đường thẳng a qua điểm M 0 , có vtcp a r d(M, a) = 0 ,MM a a     uuuuur r r H14 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song AB = d(a, b) Đường thẳng a qua điểm M 1 , có vtcp 1 a uur Đường thẳng b qua điểm M 2 , có vtcp 2 a uur d(a, b) = 1 2 1 2 1 2 , , a a M M a a         uur uur uuuuuur uur uur H15 Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song MH = d(a, ( α )) (Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp ( α )) - Lấy điểm M ∈ a - Ta có: d(M, ( α )) = d(M, a) (áp dụng công thức (1)) H16 Khoảng cách giữa 2 mp song song HK = d(( α ), ( β )) (khoảng cách giữa mp ( α ) và mp ( β )) H17 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b chéo nhau HK = d(a, b) Hk là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a và b *) Cách tìm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a và b H18 Trường hợp 1: a và b vuông góc nhau - Dựng ( α ) chứa a và vuông góc với b tại B - Trong ( α ) dựng BA ⊥ a tại A, ta được AB = d(a, b) Trường hợp 2: a và b không vuông góc nhau • Cách 1: - Dựng ( α ) chứa a và song song với b - Lấy 1 điểm M tuỳ ý trên b, dựng MM’ ⊥ ( α ) tại M’ - Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A - Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B KL: AB = d(a, b) • Cách 2:  Nhận xét : khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa mp chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia với đường thẳng còn lại  Cách viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a và b Giải Đường thẳng a có vtcp 1 a uur Đường thẳng b có vtcp 2 a uur Gọi M 1 (toạ độ có chứa tham 3 A B α a M H M a H α K H α a b B A α a b’ M M’ B A b H K a b A B - Dựng ( α ) vuông góc với a tại O và cắt b tại I - Dựng b’ ≡ CH b/( α ) - Trong ( α ), vẽ OH ⊥ b’tại H - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A KL: AB = d(a, b) số t) ∈ a 1 M 2 (toạ độ có chứa tham số t’) ∈ a 2 M 1 M 2 là đường vuông góc chung của a 1 và a 2 ⇔ 1 2 1 1 2 2 . 0 . 0 M M a M M a  =   =   uuuuuur uur uuuuuur uur => t = ? t’ = ? => M 1 , M 2 ? => Pt đvgc chính là pt M 1 M 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI H19 a và b song song nhau KH: a // b hay b // a 1 2 1 , 0a a M b    =     ∉   uur uur r a 1 1 M Coù v qua tcp a      uur b 2 2 M Coù v qua tcp a      uur H20 a và b cắt nhau tại M a ∩ b = M 1 2 1 2 1 2 , 0 , . 0 a a a a M M    ≠      =     uur uur r uur uur uuuuuur H21 a và b trùng nhau KH: a ≡ b 1 2 1 , 0a a M b    =     ∈   uur uur r H22 a và b chéo nhau (nếu không có mp nào chứa cả a và b) 1 2 1 2 , .a a M M     uur uur uuuuuur ≠ 0 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG H23 Đường thẳng d song song với ( α ) KH: d // ( α ) hay ( α ) // d . 0 ( ) a n M α  =   ∉   r r d M Coù v qua tcp a      r ( α ) có vtpt n H24 Đường thẳng d và ( α ) cắt nhau tại M d ∩ ( α ) = M a r . n ≠ 0 H25 Đường thẳng d nằm trong ( α ) KH: d ⊂ ( α ) hay ( α ) ⊃ d . 0 ( ) a n M α  =   ∈   r r HAI MẶT PHẲNG H26 Hai mp ( α ) và ( β ) song song với nhau KH: ( α ) // ( β ) ( α ) // ( β ) ⇔ ( α ) ∩ ( β ) = ∅ (α 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 (α 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ≠== H27 Hai mp ( α ) và ( β ) cắt nhau theo giao tuyến d ( α ) ∩ ( β ) = d (d là giao tuyến của ( α ) và ( β ) A 1 : B 1 : C 1 ≠ A 2 : B 2 : C 2 H28 Hai mp ( α ) và ( β ) trùng nhau KH: ( α ) ≡ ( β ) 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A === 4 ≡ β α α tr d d α α d α a b α a b α a M b a b α A B O I H b’ α d M  α a M b 