CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU • A ∈ d: điểm A thuộc đường thẳng d, đường thẳng d qua điểm A • A ∉ d : điểm A không thuộc đường thẳng d, đường thẳng d không qua điểm A • A ∈ ( α ): điểm A thuộc mp ( α ), A nằm trên ( α ), ( α ) chứa A, ( α ) qua A • A ∉ ( α ): điểm A không thuộc mp ( α ), A nằm ngoài ( α ), ( α ) không chứa A, ( α ) không qua A • d ⊂ ( α ): đường thẳng d nằm trên ( α ), ( α ) chứa d • d ⊄ ( α ): đường thẳng d không nằm trên ( α ), ( α ) không chứa d Phần 1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG Các tính chất Cách xác định mặt phẳng H1 TC1: Có một và chỉ một đường thẳng qua hai điểm phân biệt H7 Cách 1: Qua 3 điểm không thẳng hàng xác định một mp H2 TC2: Có một và chỉ một mặt phẳng qua ba điểm không thẳng hàng H8 Cách 2: Một đường thẳng và 1 điểm nằm ngoài đường thẳng cho ta một mp H3 TC3: Nếu một đường thẳng có hai điểm phân biệt thuộc một mphẳng thì mọi điểm của đường thẳng đều thuộc mp đó H9 Cách 3: Hai đường thẳng cắt nhau cho ta một mp H4 TC4: Tồn tại 4 điểm không cùng thuộc một mặt phẳng H10 Cách 4: Hai đường thẳng song song cho ta một mp H5 TC5: Nếu 2 mp phân biệt có một điểm chung thì chúng còn có một điểm chung khác nữa H6 TC6: Trên mỗi mp các kết quả đã biết trong hình học phẳng đều đúng VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Định nghĩa : Vetơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng. KH: AB uuur chỉ véctơ có điểm đầu A và điểm cuối B. Véctơ còn được kí hiệu là , , , .x y a b r r r r 2) Các phép toán về vectơ - Tương tự trong hình học phẳng - Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Ta có: ' 'AB AD AA AC+ + = uuur uuur uuur uuuur 3) Điều kiện đồng phẳng của 3 véctơ a) Định nghĩa : Trong không gian 3 véctơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song song với 1 mp b) Điều kiện để 3 véctơ đồng phẳng Định lí : Trong không gian cho 2 vectơ ,a b r r không cùng phương và c r . Khi đó 3 vectơ , ,a b c r r r đồng phẳng ⇔ có cặp số m, n sao cho c r = ma nb+ r r . Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất c) Phân tích (biểu thị) 1 vectơ theo 3 vectơ không đồng phẳng Trong không gian cho 3 vectơ , ,a b c r r r không đồng phẳng. Khi đó với mọi x r ta đều tìm được 1 bộ 3 số m, n, p sao cho: x r = ma nb+ r r + p c r . Ngoài ra bộ 3 số m, n, p là duy nhất GÓC 1 B α C A A b α d α a α a b α d B A B α d A A B D C’ A’ H 1.1 H7 Góc giữa hai vectơ trong không gian Trong không gian cho u r và v r là 2 vectơ khác 0 r . Lấy 1 điểm A bất kì, gọi B và C là 2 điềm sao cho AB uuur = u r , AC uuur = v r . Khi đó ta gọi · BAC (0 0 ≤ · BAC ≤ 180 0 ) là góc giữa 2 vectơ u r và v r trong không gian KH: ( u r ; v r ) cos( u r ; v r ) = u.v u v r r r r H8 Góc giữa 2 đường thẳng Góc giữa 2 đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa 2 đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua 1 điểm và lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b a có vtcp 1 a uur b có vtcp 2 a uur Gọi ϕ là góc giữa 2 đường thẳng a và b cos ϕ = 1 2 1 2 .a a a a uur uur uur uur H9 Góc giữa đường thẳng và mp Góc giữa đường thẳng d và ( α ) là góc nhọn tạo bởi đường thẳng d và hình chiếu d’ của d lên ( α ) Lưu ý: d ⊥ ( α ) => góc giữa đường thẳng d và ( α ) bằng 90 0 d có vtcp a r ( α ) có vtpt n r Gọi Ψ là góc giữa đthẳng d và ( α ) sin Ψ = a.n a n r r r r H10 Góc giữa 2 mp Là góc giữa 2 đường thẳng lần lượt vuông góc với 2 mp đó ( α ) có vtpt 1 n uur ( β ) có vtpt 2 n uur Gọi Ψ là góc giữa 2mp ( α ) và ( β ) cos Ψ = 1 2 1 2 n .n n n uur uur uur uur KHOẢNG CÁCH 2 _A _B _C u r v r a’ a b b’ Phương pháp toạđộ trong không gian H11 Khoảng cách giữa 2 điểm A và B AB = ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 B A B A B A x x y y z z− + − + − H12 P) M H Khoảng cách từ 1 M điểm đến mp ( α ) MH = d(M, ( α ) (MH là khoảng cách từ điểm M đến mp ( α )) Điểm M(x M , y M , z M ) ( α ) có pt: Ax + By + Cz + D = 0 d(M, ( α )) = 2 2 2 M M M Ax By Cz D A B C + + + + + (1) H13 Khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng MH = d(M, a) (MH là khoảng cách từ điểm M đến đthẳng a) Đường thẳng a qua điểm M 0 , có vtcp a r d(M, a) = 0 ,MM a a uuuuur r r H14 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng song song AB = d(a, b) Đường thẳng a qua điểm M 1 , có vtcp 1 a uur Đường thẳng b qua điểm M 2 , có vtcp 2 a uur d(a, b) = 1 2 1 2 1 2 , , a a M M a a uur uur uuuuuur uur uur H15 Khoảng cách giữa đường thẳng và mp song song MH = d(a, ( α )) (Khoảng cách giữa đường thẳng a và mp ( α )) - Lấy điểm M ∈ a - Ta có: d(M, ( α )) = d(M, a) (áp dụng công thức (1)) H16 Khoảng cách giữa 2 mp song song HK = d(( α ), ( β )) (khoảng cách giữa mp ( α ) và mp ( β )) H17 Khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau a và b chéo nhau HK = d(a, b) Hk là đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a và b *) Cách tìm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a và b H18 Trường hợp 1: a và b vuông góc nhau - Dựng ( α ) chứa a và vuông góc với b tại B - Trong ( α ) dựng BA ⊥ a tại A, ta được AB = d(a, b) Trường hợp 2: a và b không vuông góc nhau • Cách 1: - Dựng ( α ) chứa a và song song với b - Lấy 1 điểm M tuỳ ý trên b, dựng MM’ ⊥ ( α ) tại M’ - Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A - Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B KL: AB = d(a, b) • Cách 2: Nhận xét : khoảng cách giữa 2 đường thẳng chéo nhau bằng khoảng cách giữa mp chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia với đường thẳng còn lại Cách viết phương trình đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a và b Giải Đường thẳng a có vtcp 1 a uur Đường thẳng b có vtcp 2 a uur Gọi M 1 (toạ độ có chứa tham 3 A B α a M H M a H α K H α a b B A α a b’ M M’ B A b H K a b A B - Dựng ( α ) vuông góc với a tại O và cắt b tại I - Dựng b’ ≡ CH b/( α ) - Trong ( α ), vẽ OH ⊥ b’tại H - Từ H dựng đường thẳng song song với a cắt b tại B - Từ B dựng đường thẳng song song với OH cắt a tại A KL: AB = d(a, b) số t) ∈ a 1 M 2 (toạ độ có chứa tham số t’) ∈ a 2 M 1 M 2 là đường vuông góc chung của a 1 và a 2 ⇔ 1 2 1 1 2 2 . 0 . 0 M M a M M a = = uuuuuur uur uuuuuur uur => t = ? t’ = ? => M 1 , M 2 ? => Pt đvgc chính là pt M 1 M 2 VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI H19 a và b song song nhau KH: a // b hay b // a 1 2 1 , 0a a M b = ∉ uur uur r a 1 1 M Coù v qua tcp a uur b 2 2 M Coù v qua tcp a uur H20 a và b cắt nhau tại M a ∩ b = M 1 2 1 2 1 2 , 0 , . 0 a a a a M M ≠ = uur uur r uur uur uuuuuur H21 a và b trùng nhau KH: a ≡ b 1 2 1 , 0a a M b = ∈ uur uur r H22 a và b chéo nhau (nếu không có mp nào chứa cả a và b) 1 2 1 2 , .a a M M uur uur uuuuuur ≠ 0 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG H23 Đường thẳng d song song với ( α ) KH: d // ( α ) hay ( α ) // d . 0 ( ) a n M α = ∉ r r d M Coù v qua tcp a r ( α ) có vtpt n H24 Đường thẳng d và ( α ) cắt nhau tại M d ∩ ( α ) = M a r . n ≠ 0 H25 Đường thẳng d nằm trong ( α ) KH: d ⊂ ( α ) hay ( α ) ⊃ d . 0 ( ) a n M α = ∈ r r HAI MẶT PHẲNG H26 Hai mp ( α ) và ( β ) song song với nhau KH: ( α ) // ( β ) ( α ) // ( β ) ⇔ ( α ) ∩ ( β ) = ∅ (α 1 ): A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 (α 2 ): A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A ≠== H27 Hai mp ( α ) và ( β ) cắt nhau theo giao tuyến d ( α ) ∩ ( β ) = d (d là giao tuyến của ( α ) và ( β ) A 1 : B 1 : C 1 ≠ A 2 : B 2 : C 2 H28 Hai mp ( α ) và ( β ) trùng nhau KH: ( α ) ≡ ( β ) 2 1 2 1 2 1 2 1 D D C C B B A A === 4 ≡ β α α tr d d α α d α a b α a b α a M b a b α A B O I H b’ α d M α a M b
