SILE CHUONG 2 BTOAN VAN TAI copy

TỐI ƯU HÓA TRONG GIAO THÔNG VẬN TẢI CHƯƠNG BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.1 Một số toán vận tải điển hình CHƯƠNG BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.2 Mô hình toán học toán vận tải 2.3 Bài toán vận tải tham số tuyến tính KHÁI NIỆM BÀI TOÁN VẬN TẢI  Bài toán vận tải (BTVT) dạng đặc biệt toán quy hoạch tuyến tính  BTVT đời từ công tác lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa từ số địa điểm đến số địa điểm khác, cho tổng chi phí nhỏ  Ẩn toán vận tải nhiều Ví dụ: toán với 10 “điểm cung” 10 “điểm cầu” số ẩn 100 BTVT dạng đặc biệt quy họach tuyến tính, nhiên toán vận tải có cách giải riêng mà không cần sử dụng phương pháp giải tổng quát BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.1 MỘT SỐ BÀI TOÁN VẬN TẢI ĐIỂN HÌNH 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.2.1 Nội dung toán  Có m điểm Gửi hàng (cảng sông gửi, bến xe gửi, cảng hàng không gửi ) A1, A2…, Am với khối lượng tương ứng điểm a 1, a2,…, am  Có n điểm Nhận hàng (cảng sông nhận, bến nhận, cảng hàng không nhận ) B1, B2…, Bn với khối lượng tương ứng điểm b 1, b2,…, bn  Khoảng cách từ Ai đến Bj Cij (i = 1,2,…,m; j = 1,2,…,n) Cij gọi chi phí  Vấn đề đặt lập kế hoạch vận chuyển hàng hóa từ điểm A i đến điểm Bj cho tổng chi phí nhỏ  Yêu cầu kế hoạch là: – Trả hết hàng điểm gửi A1, A2…, Am – Các điểm nhận B1, B2…, Bn nhận đủ hàng 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.2.2 Mô hình toán học Nếu gọi xij khối lượng hàng hóa chuyển từ điểm i đến điểm j thì: Hàm mục tiêu: Z = C1,1x1,1 + C1,2x1,2 +… + C1,mx1,m + C2,1x2,1 + C2,2x2,2 +… + C2,mx2,m … + Cm,1xm,1 + Cm,2xm,2 +… + Cm,nxm,n – Min 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI Ràng buộc (a) x1,1 + x1,2 + … + x1,n = a1 x2,1 + x2,2 + … + x2,n = a2 … xm,1 + xm,2 + … + xm,n = am Ràng buộc (b) x1,1 + x1,2 + … + x1,n = b1 x2,1 + x2,2 + … + x2,n = b2 … x1,n + x2,n + … + xm,n = bn điều kiện tất yếu: xij ≥ 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI Trong thực tế tồn trường hợp phải xét đến  Tổng khối lượng nơi gửi tổng khối lượng nơi nhận (cân Cung Cầu)  Tổng khối lượng nơi gửi lớn tổng khối lượng nơi nhận (Cung lớn Cầu)  Tổng khối lượng nơi gửi nhỏ tổng khối lượng nơi nhận (Cung nhỏ Cầu)  Hai trường hợp sau biến đổi trường hợp thứ 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI  Bất toán dạng đưa dạng đóng cách thêm điểm gửi phụ (nếu Cung < Cầu) điểm nhận phụ (nếu Cung > Cầu)  Ngoài ra, với toán mà hàm mục tiêu Z tiến tới Max ta giải toán với hàm mục tiêu Q tiến tới Min, Q = -Z 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.2.3 Biểu diễn toán dạng ma trận kép Nhận Gửi A1 a1 B1 b1 B2 b2 … Bn bn C1,1 C1,2 … C1,n … Am am … Cm,1 Cm,2 … Cm,n 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI b Phương chi phí bé  Chọn ô chi phí Ck,s nhỏ toàn bảng, phân phối tối đa cho ô này, tức là:     xk,s = (ak, bs) Nếu ak < bs thì: xk,s = ak ; Các ô lại hàng k 0; ak = 0; b,s = bs - ak Nếu ak > bs thì: xk,s = bs ; Các ô lại cột s 0; bs = 0; a,k = ak - bs Nếu ak = bs thì: xk,s = ak ; Các ô lại hàng k cột s 0; ak = 0; bs = 0; Sau ô (k,s) ta tiếp tục chọn ô có chi phí bé số ô lại thực 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI b Phương chi phí bé  Phương pháp chi phí bé có thuật toán đơn giản,  Phương án tựa thu không xa với phương án tối ưu 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI c Phương pháp Gogel Bước 1:  Trên cột j=1, tìm ô có giá trị chi phí nhỏ nhất; Gọi D giá trị tuyệt đối hiệu hai giá trị Tương tự với cột lại ta có n giá trị Dj (j=1 n), số Ds giá trị lớn ứng với cột s  Trên hàng i=1, tìm ô có giá trị chi phí nhỏ nhất; Gọi H giá trị tuyệt đối hiệu hai giá trị Tương tự với hàng lại ta có m giá trị Hi (i=1 m), số H k giá trị lớn ứng với hàng k  Đến ô (k,s) chọn Phân phối tối đa cho ô Tức là: xks = Min (ak, bs); a,k = ak – xks; b,s= bs – xks  Từ ô (k,s) không tham gia vào việc tính toán bước 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI c Phương pháp Gogel Bước 2: - Làm tương tự bước 1, không tính toán với ô chọn (vì phân phối rồi), không xét đến ô không khả phân phối - Cứ vậy, thực bước phân phối Đâyhết phương pháp cho ta phương án tựa ban đầu gần với phương án tối ưu 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI  Chú ý:  Các phương pháp góc Tây Bắc, chi phí bé nhất, Fogel nêu cho ta phương án tựa ban đầu gồm ẩn không tạo nên chu trình  Nếu số ẩn chưa đủ m+n-1 ẩn phải đưa thêm số ô tự vào hệ thống ẩn cho đủ m+n-1 ẩn, cho không tạo nên chu trình 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI  2.2.7 Tiêu chuẩn tối ưu theo phương pháp Thế vị  Phương pháp vị giải toán vận tải có hàm mục tiêu Z Min (nếu Max giải toán với Q = -Z) mô hình toán đưa dạng đóng  Phương pháp vị giải toán vận tải dựa tiêu chuẩn tối ưu sau đây: - Phương án tựa toán vận tải phương án tối ưu tồn hệ thống số kiểm tra U ivà Vj thỏa mãn điều kiện:  Điều kiện 1: Vj – Ui = Cij ô chứa ẩn bản;  Điều kiện 2: Vj – Ui ≤ Cij ô chứa ẩn tự 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.2.8 Hoàn thiện phương án Nếu phương án tựa suy biến (không đủ m+n-1 ẩn khác 0) >>> đưa thêm vào danh sách ô bận số ẩn tự (có giá trị 0) cho đủ m+n-1 ẩn không tạo nên chu trình nào, để có m+n-1 ô bận Công việc gọi chống suy biến Các bước thực sau  Bước 1: Xác định hệ thống số kiểm tra Ui Vj ô bận theo Điều kiện Sau đối chiếu với Điều kiện Nếu thỏa mãn thuật toán kết thúc, không thỏa mãn thực tiếp bước sau  Bước 2: Chọn ô tự “có triển vọng nhất” bổ sung vào hệ thống ô bận Ô tự “có triển vọng nhất” chọn bổ sung ô (k,s) không thỏa mãn điều kiện tối ưu (Vs –Uk > Cks), đồng thời hiệu số Vs – Uk – Cks lớn Vs – Uk – Cks = Max (Vj – Ui – Cij) Trong (i,j) ô tự không thỏa mãn Điều kiện 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI  Bước 3: Lập chu trình ô bổ sung với ô bận khác Lúc ta có m+n ô bận, lập chu trình số ô bận, có ô bổ sung Chu trình có số chẵn đỉnh (ít đỉnh) Dùng dấu (+) (-) đánh dấu đỉnh, ô bổ sung mang dấu (+) Từ ô (k,s) ô bổ sung có nhiều chu trình khác tạo nên với ô bận khác, song ta chọn chu trình số  Bước 4: Xác định lượng tính chuyển chuyển phương án Giả sử ô (i,j) có giá trị nhỏ số ô mang dấu (-) Khi xij gọi lượng tính chuyển Phương án xác định sau: - Các ô mang dấu (+) cộng thêm lượng tính chuyển; - Các ô mang dấu (-) bị trừ lượng tính chuyển; - Các ô không thuộc đỉnh chu trình giữ nguyên; - Loại ô (i,j) khỏi danh sách ô bận Phương án m+n-1 ô bận không tồn chu trình Ô bị loại (i,j) phương án có giá trị 0, trở thành ô tự  Quay lại thực từ bước 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.2.9 Tóm lược trình tự giải toán vận tải a Đưa toán dạng tắc - Hàm mục tiêu tiến tới Min - Hệ ràng buộc có dạng đóng b Tìm phương án tựa ban đầu c Chống suy biến, nghĩa phương án tựa không đủ số lượng ẩn khác chọn ô tự bổ sung vào danh sách ô bận, cho: - Không tạo nên chu trình nào; - Có đủ m+n-1 ô bận 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI d Tính số kiểm tra: - Tính Ui Vj ô bận; - Tính Vj – Ui – Cij ô tự Nếu tất giá trị Vj – Ui – Cij ứng với ô tự không dương phương án tối ưu; có giá trị dương phải hoàn thiện phương án e Hoàn thiện phương án: - Bổ sung vào danh sách ô bận ô tự có Vj – Ui – Cij lớn lập chu trình ô với ô bận khác - Tìm lượng tính chuyển chuyển phương án 2.2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 2.2.10 Giải toán ứng dụng Bài toán cung cấp bê tông nhựa Bài toán bố trí máy thi công Bài toán điều phối đầu máy 2.3 BÀI TOÁN VẬN TẢI THAM SỐ TUYẾN TÍNH 2.3.1 Mô hình toán học Bài toán vận tải có hệ só hàm mục tiêu phụ thuộc tuyến tính vào tham số có dạng sau: Hàm mục tiêu:  Z = (C’ij + t.C”ij) xij – (2.10) Với α ≤ t ≤ β  Hệ ràng buộc:n ∑ (2.11) j=1xij = (i = m) n ∑ i=1xij = bj (i = n) (2.12) xij ≥  Như vậy, toán khác toán vận tải thông thường chỗ: hệ số hàm mục tiêu mà hàm bậc tham số t, tham số nhận giá trị khoảng [α,β] 2.3 BÀI TOÁN VẬN TẢI THAM SỐ TUYẾN TÍNH 2.3.2 Phương pháp giải toán  Bước 1: Cho t nhận giá trị cận dưới, tức t = α giải toán theo phương pháp thông thường Phương án tối ưu nhận với t = α  Bước 2: Tính hệ thống số kiểm tra Ui Vj phụ thuộc tham số t ứng với ô bận  Bước 3: Tính giá trị Vj – Ui – Cij phụ thuộc tham số t ứng với ô tự do, lập hệ phương trình theo tiêu chuẩn tối ưu: Vj – Ui – Cij ≤ (Có tất m.n - m - n + bất phương trình) 2.3 BÀI TOÁN VẬN TẢI THAM SỐ TUYẾN TÍNH Bước 4:Giải bất phương trình nói Nghiệm hệ α ≤ t ≤ α’ - Nếu khoảng [α,α’] bao toàn khoảng [α,β] toán giải xong - Nếu α’ < β phương án tối ưu nêu với t nằm khoảng [α,α’] Để hoàn thiện tiếp, đưa ô tự không thỏa mãn t > α’ vào danh sách ô bận thực việc chuyển phương án Thuật toán tiếp tục t ≥ β 2.3 BÀI TOÁN VẬN TẢI THAM SỐ TUYẾN TÍNH Giải số toán ứng dụng ví dụ ... C1,2x1 ,2 +… + C1,mx1,m + C2,1x2,1 + C2,2x2 ,2 +… + C2,mx2,m … + Cm,1xm,1 + Cm,2xm ,2 +… + Cm,nxm,n – Min 2. 2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI Ràng buộc (a) x1,1 + x1 ,2 + … + x1,n = a1 x2,1... x2,1 + x2 ,2 + … + x2,n = a2 … xm,1 + xm ,2 + … + xm,n = am Ràng buộc (b) x1,1 + x1 ,2 + … + x1,n = b1 x2,1 + x2 ,2 + … + x2,n = b2 … x1,n + x2,n + … + xm,n = bn điều kiện tất yếu: xij ≥ 2. 2 MÔ HÌNH... tới Min, Q = -Z 2. 2 MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA BÀI TOÁN VẬN TẢI 2. 2.3 Biểu diễn toán dạng ma trận kép Nhận Gửi A1 a1 B1 b1 B2 b2 … Bn bn C1,1 C1 ,2 … C1,n … Am am … Cm,1 Cm ,2 … Cm,n 2. 2 MÔ HÌNH TOÁN