Tr ường THCS Sơng vệ Tạ Thanh Ban CHUYÊN ĐỀ 3 ỨNG DỤNG TỈ SỐ LƯNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN TRONG GIẢI TOÁN VÀ TRONG THỰC TẾ Ngày15 tháng 9 năm2008 I/I. Mục tiêu − Nắm vững đònh nghóa các tỉ số lượng giác của góc nhọn − Nắm vững các hệ thức liên hệ giữa các tỉ số lượng giác của hai góc phụ nhau − Biết dựng góc khi cho một trong các tỉ số lượng giác của nó − Tính được các tỉ số lượng giác của ba góc đặc biệt : 30 0 ; 45 0 ; 60 0 − Thiết lập và nắm vững các hệ thức giữa cạnh và góc của một tam giác vuông − Vận dụng được các hệ thức đó vào việc giải tam giác vuông − Hiểu được thuật ngữ “Giải tam giác vuông” II. Chuẩn bò GV : SGK, phấn màu, bảng phụ HS : Bảng nhóm ,phấn màu III. Tiến trình dạy học 1/ Ổn đònh lớp 2/ Kiểm tra bài cũ : a/ Cho ∆ ABC vuông tại A, hãy viết các tỉ số lượng giác của mỗi góc B ˆ và góc C ˆ b/ Hãy tính AB, AC theo sin B ˆ , sin C ˆ , cos B ˆ , cos C ˆ c/ Hãy tính mỗi cạnh góc vuông qua cạnh góc vuông kia và các tg B ˆ , tg C ˆ , cotg B ˆ , cotg C ˆ 3/ Bài mới HOẠT ĐỘNG CỦA GV HOẠT ĐỘNG CỦA HS Hs 1 : Nêu định nghĩa tỉ số lượng giác? Hs điền vào chỗ trống cho thích hợp Nếu hai góc phụ nhau thì : Sin góc nọ bằng Cos góc kia Tan góc nọ bằng cot góc kia Sin α =……… ; cos α =……… tan α =……… ; cotan α = ………. Chú ý : • Sin α <1 ; cos α < 1 • tan α .cot α = 1 • sin 2 α + cos 2 α = 1 • sin tan cos α α α = ; cos cot sin α α α = • Nếu 0 ˆ ˆ 90B C + = thì sinB = CosC ; tanB = Cot C sinC = CosB ; tanC = CotB Chun đề về tỉ số lương giác 1 Tr ường THCS Sơng vệ Tạ Thanh Ban Hoạt động 2 :Luyện tập Góc α TSLG 30 0 45 0 60 0 Sin α 1 2 2 2 3 2 Cos α 3 2 2 2 1 2 tan α 1 3 1 3 cot α 3 1 1 3 Bài Tập áp dụng : Dạng tốn tìm tỉ số lượng giác của góc nhọn 1/ Bài 1 : Cho Tam giấc ABC vuông cân tại A.Biết ˆ B =45 0 .Tính tỉ số lượng giác của ˆ B ? Bài giải + sin45 0 = sin B ˆ = 2 2 BC AC = + cos45 0 = cos B ˆ = 2 2 BC AB = + tg45 0 = tg B ˆ = 1 AB AC = + cotg45 0 = cotg B ˆ = 1 AC AB = 2/ Bài 2 : Cho Tam giấc ABC vuông cân tại A.Biết ˆ B =45 0 .Tính tỉ số lượng giác của ˆ B ? Bài giải sin60 0 = sin B ˆ = 2 3 BC AC = cos60 0 = cos B ˆ = 2 1 BC AB = tg60 0 = tg B ˆ = 3 AB AC = cotg60 0 = cotg B ˆ = 3 3 AC AB = Bai3 : Khơng dùng máy tính ,tính nhanh giá trị của các biểu thức : a) M = sin 2 10 0 + sin 2 20 0 + sin 2 45 0 + sin 2 70 0 + sin 2 80 0 b) N = tan35 0 . tan40 0 . tan45 0 . tan50 0 . tan45 0 Bài giải Chun đề về tỉ số lương giác 2 Tr ường THCS Sông vệ Tạ Thanh Ban a) 2 cos .sin sin .sin sinCH AC C AC B a a β β β = = = = M = (sin 2 10 0 + sin 2 80 0 ) + ( sin 2 20 0 + sin 2 70 0 ) + sin 2 45 0 M = (sin 2 10 0 + cos 2 10 0 ) + ( sin 2 20 0 + cos 2 20 0 ) + sin 2 45 0 M = 1 + 1 + 2 2 2 ÷ ÷ M = 2 ,5 b) N = tan35 0 . tan40 0 .tan45 0 . tan50 0 . tan45 0 N = tan35 0 . tan55 0 . tan45 0 . tan45 0 . tan50 0 N = 1 . 1. 1 = 1 Bài 4 : Biết sin α = 5 13 ,Hãy tính cos α .,tan α , cot α ? Bài giải • Ta có : sin 2 α + cos 2 α = 1 ⇒ cos 2 α = 1 - sin 2 α = 1 - 2 5 13 ÷ = 144 169 , Do đó : cos α = 12 13 , sin tan cos α α α = = 5 13 : 12 13 = 5 12 Bài tập tương tự 1) Tam giác ABC vuông tại A . AB = 20 ,AC =21 . Tính tỉ số lượng giác của góc B , Góc C ? 2)Cho biết cos α = 3 4 , hãy tính sin α , tan α , cot α ? 3) Không dùng máy tính ,tính nhanh giá trị của các biểu thức : a) M = sin 2 25 0 + sin 2 28 0 + sin 2 45 0 + sin 2 60 0 + sin 2 72 0 b) N = tan25 0 . tan40 0 . tan55 0 . tan50 0 . tan45 0 BỔ SUNG HAI HỆ THỨC CƠ BẢN 2 2 1 1 tan cos α α + = 2 2 1 1 t sin co α α + = Chuyên đề về tỉ số lương giác 3 a β A B CH 3,5 4 140 ° C A BH 3,5 4 H 40 ° C A B Tr ường THCS Sông vệ Tạ Thanh Ban Những bài toán kinh điển về tỉ số lượng giác Bài 1 : Cho ∆ ABC vuông tại A ,Đường cao AH .Biết BC =a , ˆ B β = Hãy tính AH ;BH ; và CH theo a và β Giải : Ta có ∆ ABC vuông tại A nên : cosAB a β = , sinAC a β = ∆ ABH vuông tại H nên : sin cos .sinAH AB B a β β = = 2 cos cos .cos cosBH AB B a a β β β = = = 2 cos .sin sin .sin sinCH AC C AC B a a β β β = = = = Bài 2 : Tam giác ABC có Ab = 4 ; AC = 3,5 >Tính diện tích tam giác ABC trong hai trường hợp : a) 0 ˆ 40A = b) 0 ˆ 140A = Giải : • Vẽ đường cao CH . Nếu 0 ˆ 40A = thì H và B cùng nằm một phía đối với A. • Nếu 0 ˆ 140A = thì H và B nằm khác phía đối với A • Xét tam giác HAC vuông tại H .ta có : CH = AC.sin ˆ HAC = 3,5.sin 40 0 ≈ 2,2 Diện tích ABC∆ là : 1 1 . .4.2,2 4,4( ) 2 2 S AB CH dvdt = ≈ = Tổng quát : Diên tích tam giác bằng nữa tích hai cạnh nhân với sin góc nhọn tạo bởi các đường thẳng chứa hai cạnh ấy 1 1 1 .sin .sin .sin 2 2 2 S ab C bc A ac B = = = Giải Tam giác vuông Chuyên đề về tỉ số lương giác 4 4 x 6 H C A B 15 14 13 H A B C A HM B N C D Tr ường THCS Sông vệ Tạ Thanh Ban Bài 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Đường cao AH . Biết HB =9 ;HC = 16 . Tính AB ,AC, 0 ˆ 65B = ˆ B , ˆ C ? Bài 4 : Giải tam giác ABC vuông tại A biết : a) a = 18 ; b = 8 b) b = 20 ; 0 ˆ 38C = Bài 5: Tam giác ABC vuông cân tại A , 0 ˆ 65B = ,đường cao AH = 3,6 . Hãy giải tam giác ABC ? Bài 6 : Giải tam giác ABC vuông tại a biết c =4 ; b’ =6 Giải : Áp dụng hệ thức c 2 = ac’ Ta có : AB 2 = BC.BH Đặt BH = x ta được : 4 2 = ( x + 6 ).x ⇔ x 2 + 6x – 16 = 0 ⇔ ( x – 2 ) ( x + 8 ) = 0 ⇔ x = 2 v x = - 8 Vậy c’ = 2 ,do đó BC = 8 . Ta có : 2 cos 0,5 4 BH B AB = = = ⇒ 0 ˆ 60B = ; do đó 0 ˆ 30C = 0 .tan 4.tan 60 4 3AC AB B= = = Bài 7 : Tam giác ABC các góc đều nhọn ; Biết AB = 15 ; BC = 14 ; AC = 13; Đường cao AH . Tính BH , CH ; Số đo các góc của tam giác? Giải : -Ta có : AB 2 – BH 2 = AC 2 – CH 2 ( = AH 2 ) AB 2 - AC 2 = BH 2 – CH 2 15 2 - 13 2 = ( BH+ CH ) ( BH - CH ) 56 = 14 .(BH – CH ) BH - CH = 4 ; BH + CH = 14 ; nên BH = 9 ; CH = 5 ; Ta có 0 9 ˆ cos 0,6 59 30' 15 BH B B AB = = = ⇔ ≈ 0 0 5 ˆ cos 0,3846 67 23' 13 ˆ 59 30' CH C C AC A = = ≈= ⇒ ≈ ⇒ ≈ Bài 8 : Tính số đo góc nhọn x biết : a) cos 2 x + 2sin 2 x = 1 4 b) 7sin 2 x + 5 cos 2 x = 6,5 c) 5sin(90 0 – x ) - 3 cosx = 1,5 Bài tập : Tính chiều cao Chuyên đề về tỉ số lương giác 5 Tr ường THCS Sông vệ Tạ Thanh Ban Chuyên đề về tỉ số lương giác 6 . BH + CH = 14 ; nên BH = 9 ; CH = 5 ; Ta có 0 9 ˆ cos 0,6 59 30' 15 BH B B AB = = = ⇔ ≈ 0 0 5 ˆ cos 0,3846 67 23' 13 ˆ 59 30' CH C C AC A. = 1 - 2 5 13 ÷ = 144 1 69 , Do đó : cos α = 12 13 , sin tan cos α α α = = 5 13 : 12 13 = 5 12 Bài tập tương tự 1) Tam giác ABC vuông tại A . AB