Hai đường thẳng vuông góc

Nội dung chính : 1. Hai đường thẳng vuông góc 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 3. Hai mặt phẳng vuông góc 4. Khoảng cách 5. Góc § 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1/ Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau ? Hai đường thẳng a và b cắt nhau tao ra bao nhiêu góc ? Các góc đó có đặc điểm gì ? Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc nào ? Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau tại O . Chúng tạo thành 4 góc . Định nghĩa : Số đo nhỏ nhất trong 4 góc đó được gọi là số đo góc hợp bởi hai đường thẳng a , b hay đơn giản là góc giữa hai đường thẳng a , b , kí hiệu là ( ) · ( ) · a,b hay b,a Khi a trùng b thì ¶ 0 (a,b) 0= O x x’ y’ y a b Khi a và b vuông góc thì ¶ 0 (a,b) 90= Như vậy ( ) · 0 0 0 a,b 90≤ ≤ 2. Góc giữa hai đường thẳng bất kỳ trong không gian a b a’ b’ O Em hãy xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ? Khi thay đổi điểm O thì góc giữa hai đường thẳng a và b có thay đổi không ? Định nghĩa : Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song với a và b Ta vẫn kí hiệu góc giữa a và b là ( ) · ( ) · a,b hay b,a Chú ý : Ta có thể lấy điểm O nằm trên 1 trong 2 đường thẳng đó A B C D C’ D’ A’ B’ O N M Cho hình lập phương ABCDA’B’C’D’ .Em hãy tìm góc của các cặp đường thẳng sau : BC’ và AD , OM và CC’, AC’ và BB’ ( ) · ( ) · 0 BC',AD BC',BC 45= = ( ) · ( ) · 0 OM,CC' CD',CC' 45= = ( ) · ( ) · AC',BB' AC',A¢' α = = Với 2 tg 2 α = 3/ Hai đường thẳng vuông góc : Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 60 0 . a a’ b’b O Ta kí hiệu hai đường thẳng a, b vuông góc với nhau là a b hay b a⊥ ⊥ Như vậy : ( ) · 0 a b a,b 90⊥ ⇔ = Chú ý rằng định nghĩa này cũng phù hợp với định nghĩa hai đường thẳng vuông góc trong mặt phẳng 4/ Liên hệ giữa quan hệ song song và quan hệ vuông góc của hai đường thẳng a c b Từ hình vẽ bên , em hãy nhận xét về vị trí của b và c Định lí : Cho hai đường thẳng song song . Đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng thứ nhất thì vuông góc với đường thẳng thứ 2 a // b c b c a  ⇒ ⊥  ⊥  Chú ý : 1/ Hai đường thẳng vuông góc trong không gian thì hoặc cắt nhau hoặc chéo nhau 2/ Trong mặt phẳng , hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3 thì song song với nhau , nhưng trong không gian , hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với 1 đường thẳng thứ 3 thì không phải khi nào cũng song song với nhau Trong mặt phẳng Trong không gian 5/ Các ví dụ : Ví dụ 1 : Cho tứ diện ABCD . Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AD . Cho biết AB = CD = 2a và MN = Tính góc a 3 ( ) · AB,CD M O N A B C D 2a 2a a 3 Giải : Gọi O là trung điểm của AC ta có OM = ON = a . Gọi H là trung điểm của MN . Trong tam giác cân OMN ta có : · · 0 0 a 3 MO a,MH MON 2MOH 2.60 120 2 = = ⇒ = = = Từ đó suy ra góc giữa 2 đường thẳng OM và ON là : ( ) · 0 0 0 OM,ON 180 120 60= − = Ta có : AB // OM, CD // ON . Vậy : ( ) · ( ) · 0 AB,CD OM,ON 60= = Ví dụ 2 : Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a . Gọi M,N, P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, CD, AD, BC và AC . a/ CMR : b/ CMR : MN RP, MN RQ ⊥ ⊥ AB CD⊥ A B C D Giải : a/ Ta có : MC = MD = a 3 2 M N P R Q Nên tam giác MCD cân , từ đó : MN CD ⊥ Ta lại có RP // CD nên MN RP⊥ Tương tự : MN RQ⊥ A B C D M N P R Q b/ CMR AB CD ⊥ Giải : Tương tự như câu trêb ta cũng có QP AD ⊥ Trong tam giác vuông QDP ta có 2 2 2 2 2 2 a 3 a a QP QD DP 2 2 2     = − = − =  ÷  ÷     Ta có : Nghĩa là 2 2 2 2 2 2 a a a RQ RP QP 2 2 2     + = + = =  ÷  ÷     RQ RP⊥ Vì AB // RQ và CD // RP , nên từ đó suy ra AB CD⊥ Củng cố : Các em cần nắm được cách xác định góc của hai đường thẳng bất kỳ trong không gian đó là : Định nghĩa : Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song với a và b Bài tập về nhà : BTập (SGK) . 1. Hai đường thẳng vuông góc 2. Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng 3. Hai mặt phẳng vuông góc 4. Khoảng cách 5. Góc § 1. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC 1/ Góc. 3/ Hai đường thẳng vuông góc : Định nghĩa : Hai đường thẳng gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 60 0 . a a’ b’b O Ta kí hiệu hai đường thẳng